信贷组合的稳健优化

（6） 附录A中的引理A.1表明，在没有模型不确定性的市场中，上述风险中性违约强度是在债券贬值矩阵的温和可逆性条件下唯一确定的（具体说明见引理A.1）。根据资产定价的第二个基本理论（参见Biagini（2010）中的定理1.2），这意味着由银行账户和风险债券组成的市场模型是完整的。第i种债券的时间t价格由pi（t）：=（1）给出- Zi（t）Et“ZTite-RutrdsdDi（u）#，t∈ [0，Ti]，（7）其中期望Et[·]：=E[·| Gt]在风险中性度量Q下，且以当前信息集为条件。此外，价格公式（7）表明在τi上≤ t、 i-thbond的价格由0给出，而在τi>t上，它是i（t）=Et“CiZTite”-Rutrds（1）- Zi（u）du#+RiEthZi（Ti）e-RTitr（1-(u)对+Eth(1)- 子（体）e-RTitrdsi。（8） 2.4鲁棒控制公式本节描述了投资者的鲁棒投资组合优化问题。我们的投资者动态地将她的财富存入货币市场账户和M高风险债券。此后，让0<T<∧Mi=1指最终期限，即投资期限小于债券的到期日。对于i=1，M、 和t∈ [0，T]，用φi（T）表示投资者在时间T购买（φi（T）>0）或出售（φi（T）<0）的第i个风险债券的股份数。短期信贷头寸通过卖空债券实现，而长期信贷头寸通过购买债券证券实现。在后一种情况下，投资者支付债券价格并收到一系列息票，直到违约发生。此外，当违约发生时，他会得到恢复率。我们用φB（t）表示在t时货币市场账户中持有的股份数量。

过程φ=（φ（t），φB（t））t∈[0，T]其中φ（T）=（φi（T））i=1，。。。，这就是所谓的投资组合过程。与投资组合φ=（φ（t），φB（t））t相关的财富过程∈[0，T]用V′φT表示，由V′φT=MXi=1φi（T）Pi（T）+φB（T）B（T）给出。（9） 众所周知，鉴于违约事件很少发生，实际违约强度和违约相关性很难估计。例如，杜菲等人（2006年）发现，由四个宏观经济和企业特定协变量（企业违约距离、企业后续一年股票收益率、三个月国库券利率和道琼斯工业平均指数的后续一年收益率）组成的违约强度的比例风险形式无法根据经验估算历史违约相关性。另一方面，风险中性违约强度可以更准确地估计，尤其是在流动性CDS市场增长之后。基于这些考虑，我们只考虑实际违约强度的不确定性，并假设风险中性违约强度是完全已知的。考虑到他评估违约事件的可能性及其相关性的能力有限，投资者考虑了其他模型，以保护自己免受可能的模型误判。每个备选模型由一个等效的概率度量P定义~ P通过ηt=EMXi=1Z驱动的氡Nikodym导数η·θi（u）-) - 1.dξPi（u）！t、 （10）在上述表达式中，θi（t）=θi，Z（t）（t），即ηθt改变投资者对参考违约强度和违约相关性的概率评估。备注2.1。稳健决策问题的制定需要引入三个等价的概率测度P、~P和Q。虽然债券价格是在风险中性测度下观察到的，但投资者希望在最坏情况下从终端财富中优化其预期效用，即：。

在他考虑的最坏情况下的替代模型下。在另一种衡量标准P下，义务人i的违约强度变为hπ，Z（t）（t）：=θi（t）hPi，Z（t）（t）。根据（10），投资者在参考模型下操作，选择θi（t）=1，每i=1，M、 并通过选择θi（t）6=1来选择其他模型。如果一个名字i和时间t，θi（t）<1，这意味着投资者对债务人i的信用质量比历史更乐观。反之，如果θi（t）>1，这意味着他更悲观，认为i的信用质量比他的估计方法预测的要差。请注意，下面的过程是一个（P，（Gt）t∈[0，T]）-鞅：ξ＠Pi（T）：=Zi（T）-Zt（1）- Zi（u）h)Pi，Z（u）（u）du，t∈ [0，T]。（11） 由于P在统计学上是现有数据的最佳代表，投资者会根据其与参考度量值P的偏差程度来惩罚其选择。距离度量值由相对熵Ht（P | P）捕获。后者定义为概率测度P下的预期~ P onGt，时间t时Radon Nikodym导数的对数，由（10）给出。我们可以将ηθtus改写为ηθt=exp（MXi=1Ztlog（u-))天子（u）-MXi=1Zt∧τiθi（u）- 1.hPi，Z（u）（u）du）。（12） 我们用v表示所有（Gt）t的空间∈[0，T]-适应的积极过程θ=（θ（T））T∈[0，T]所以密度过程ηθ=（ηθT）T∈[0，T]是a（P，（Gt）T∈[0，T]）-如果初始时间为0，则为鞅。同样，如果初始时间为t，我们使用vt来表示对应时间∈ [0，T]。请注意，~P下的log Radon-Nikodym导数过程由log给出ηθt=MXi=1Ztlog（θi（u-))dξPi（u）+MXi=1Zt∧τiθi（u）log（θi（u））- θi（u）+1hPi，Z（u）（u）du。使用（11），这将导致相对熵的以下表达式：Ht（~P | P）：=E ~P日志ηθt= E~P“MXi=1Zt∧τiθi（u）log（θi（u））- θi（u）+1hPi，Z（u）（u）du#。

（13） 此外，在一个非常小的时间间隔内，相对熵允许以下limitlimδ-→0δEPt“对数ηθt+Δηθt#=MXi=1（1- Zi（t））θi（t）log（θi（t））- θi（t）+1hPi，Z（t）（t）=：MXi=1pi，θt，（14），因为θ（t）是Gt自适应的。这里的EPt:=EP[·| Gt]。我们遵循Anderson等人（2003）的观点，假设投资者选择了稳健的投资组合策略，这是在某些最坏情况下的最佳选择。我们考虑一个理性的风险规避投资者，他希望从终端财富中最大化其电力效用，即U:[0，∞)-→ [0, ∞) 由U（v）=vγ给出，其中γ∈ （0，1）是风险规避参数。投资者通过选择最优的可容许分配策略（可容许性的精确定义将在下一节给出），使其效用函数最大化，并根据模型模糊性进行调整。具体而言，我们定义了值函数wz（t，v）：=supφ∈Utinfθ∈VtEPt，v，z“UV′φT+MXi=1ZTt-pi，θuΥi，Z（u）（u，V′φu）du#，（15）其中，对于（t，V，Z），P-条件期望E＠Pt，V，Z[·]：=E＠P[·Vt=V，Z（t）=Z]∈ [0，T]×R+×S，出生率π，θT，T∈ [0，T]，（i=1，…，M）由（14）定义，而Υi，z（T，v）表示控制债务人i对参考违约强度的不确定性厌恶的偏好参数。对于i=1，M、 还有z∈ S、 假设其为以下形式：Υi，z（t，v）=ui，z（t）U（v），（t，v）∈ [0，T]×R+，（16），其中ui，z（T）满足∈[0，T]ui，z（T）>0，是时间T内的连续函数，允许依赖于当前默认状态。正如Mahenhout（2004年）、Mahenhout（2006年）和Liu等人（2005年）所述，我们对模糊厌恶施加了一种同感规范，使得问题易于处理，并允许根据财富水平将哈密顿量分为一个项和另一个仅依赖于时间的项（详细表达式见等式（31））。

在这种同感形式下，我们能够导出最坏情况测度和最优策略的封闭形式表示。在上述模糊度规定下，这些函数的值越大，与参考模型的给定偏差越小，将受到惩罚。对称地，投资者对参考违约模型的信心越低，最坏情况下的模型与参考模型的偏差就越大。尽管这种同质化规范是为了便于分析，但在Mahenhout（2004）中有人认为，它便于校准和经济原因，因为它有助于构建代表性，见其论文第2节。等式（16）中的规定还允许区分不同信息源的不确定性程度。例如，如果用于估计默认状态z下名称i的物理默认强度的信息源∈ S非常可靠，投资者对参考模型更有信心，因此他会选择较高的惩罚值（较低的ui，z（t））。相反，如果投资者有不可靠的信息来进行这种估计，他会更加稳健，对参考模型的信任度也会降低，因此他会对参考模型的偏差进行惩罚（ui，z（t）的值越高）。3动力学规划公式本节的目的是推导与鲁棒控制问题inEq相关的HJB方程。(15). 为此，我们需要财富过程的动力学，而财富过程又取决于第i种债券证券的价格过程Pi（t）的动力学。我们给出了债券价格过程pi（t），t的精确价格动力学∈ [0，Ti]，见第3.1节。我们在第3.2.3.1节风险债券的价格动态中获得了主HJB方程，i=1。

，M，使用价格表示（8），我们可以将其改写为asPi（t）=（1）- Zi（t））Fi，Z（t）（t），t∈ [0，Ti]，（17）式中Fi，z（t），（t，z）∈ [0，Ti]×S，表示byFi给出的违约前价格函数，z（t）=RiFai，z（t）+ciffi，z（t）+Fci，z（t）。（18） 这里分解的价格函数由fai，z（t）：=EhZi（Ti）e给出-RTitr（1-子都Z（t）=zi，Fbi，Z（t）：=E“ZTite-Rutrds（1）- 子都Z（t）=Z#，（19）Fci，Z（t）：=Eh（1）- 子（体）e-RTitrduZ（t）=zi。显然，Fi，z（Ti）=Rizi+1- 子。因此Pi（Ti）=1- 对于i=1，…，Zi（Ti），M.接下来，我们给出一个辅助函数，给出股息调整债券价格过程的P-动力学，随后用于推导测度P.引理3.1下财富过程的动力学。在P下，对于每个i=1，我们有以下动力学：对于t∈ [0，T]，dPi（t）+Di（t）π（t）-)=人力资源- (1 - Zj（t））hj，Z（t）（t）- θj（t）hPj，Z（t）（t）idt+MXj=1Gi，j，Z（t-)（t） dξ~Pj（t）。（20） 我们记得，上面表达式中的∧P-鞅ξPj（t）由（11）给出，对于i，j=1，M、 我们定义函数gi，j，z（t）：=Fi，zj（t）Fi，z（t）- 1，（t，z）∈ [0，T]×S（21）证明。由引理A.2可知，Pi（t）=Pi（0）+Zt（1- 子（u）rPi（u）- 词杜- 里兹（t）+ZtPi（u）-)MXj=1Gi，j，Z（u-)（u） dξj（u）。考虑（5）中给出的股息，注意∈ (0, ∧Mi=1Ti）。然后我们有1t≥对于所有t，Ti=0∈ [0，T]。HencePi（t）+Di（t）=Pi（0）+Di（0）+rZtPi（u）du+ZtPi（u-)MXj=1Gi，j，Z（u-)（u） dξj（u）。然后从（6）和关系式ξPj（t）=ξj（t）+Zt（1）得出)P-动力学（20）- Zj（u））hj，Z（u）（u）- θj（u）hPj，Z（u）（u）杜。（22）这就完成了引理的证明。我们可以导出预设价格函数Fi，z（t）的递归显式表达式。这反过来又为函数Gi，j，z（t）以及债券价格过程Pi（t）的动力学提供了递归表达式。

我们在附录B.3.2 HJB方程中给出了详细的表达式。本节推导了与鲁棒控制问题相关的HJB方程。我们要求portfolioprocess’φ为（Gt）t∈[0，T]-可预测。A（Gt）t∈[0，T]-可预测投资组合过程φ=（φ（T），φB（T））T∈[0，T]如果VΘφT=VΘφ+ΘφT，则称为自融资，其中时间T财富VΘφ在式（9）中定义，时间T过程由ΘφT=MXi=1Ztφi（u）d（Pi（u）+Di（u）+ZtφB（u）dB（u）给出。（23）上面，Di=（Di（t））t≥0是（5）给出的第i种风险债券的分红过程。对于t∈ [0，T]，我们使用∧πB（T）：=φB（T）BtV′φT-指投资于货币市场账户的财富比例。类似地，πi（t）：=φi（t）Pi（t）-)V′φt-, i=1，M，表示投资于第i种风险债券的财富比例。从上面的定义和使用（7）可以很容易地看出∧πi（t）=（1- 子（t）-))πi（t）表示t∈ [0，T]。此外，从（9）中，可以得出mxi=1πi（t）+πB（t）=1。（24）然后我们可以定义可接受策略的空间。定义3.1。让我们∈ [0，T]。t-容许控制集<<Ut=<<Ut（v，z），（v，z）∈ R+×S是（Gt）t的一类∈[0，T]-可预测的局部有界反馈策略∧π（u）=（∧πi（u））i=1，。。。，Mgiven byπi（u）=πi，Z（u）-)u、 Vπu-, i=1，M、 u∈ [t，t]。（25）对于i=1，…，反馈函数πi，z（·）在[0，T]×R+上局部有界，M和z∈ S、 πi（u）=（1- Zi（u）-))πi，Z（u）-)（u，Vπu）-) 为了你∈ [t，t]。相对财富过程的形式为ZTTDVπuVπu-=ZTtα（u）du+MXj=1ZTtβj（u）dZj（u），其中Vπt=V∈ R+，Z（t）=Z∈ 如上所述，α是一个具有良好定义的积分tα（u）du的适应过程，而βjis是一个可预测的过程，并远离-1和∞ 对于所有的j=1，M

此外，我们定义为局部有界反馈函数向量的t-容许集π=（πi，z（·））i=1，。。。，M、 z∈下面的引理给出了财富过程的动力学：引理3.2。设∧π∈■UAN和t∈ [0，T]。然后，P-财富动态由Vπ=V>0和dvπtVπt给出-= rdt-MXj=1MXi=1πi（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！(1 - Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+MXj=1MXi=1∏i（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！其中，对于i，j=1，M、 函数Gi，j，z（t）和（t，z）∈ [0，T]×S由（21）定义。证据对于∧π∈U，使用（23），它遵循thatdVπt=MXi=1φi（t）d（Pi（t）+Di（t））+φB（t）dB（t）=V)πt-MXi=1πi（t）d（Pi（t）+Di（t））Pi（t-)+ Vπt-πB（t）rdt。它由引理3.1得出，即dVπt=Vπt-MXi=1πi（t）d（Pi（t）+Di（t））Pi（t-)+ Vπt-~πB（t）rdt=V~πt-MXi=1πi（t）R-MXj=1Gi，j，Z（t-)（t） （1）- Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+Vπt-πB（t）rdt+Vπt-MXj=1MXi=1πi（t）Gi，j，Z（t-)（t） !！dξ~Pj（t）。然后，P-财富动态（26）由条件（24）得出。这就完成了引理的证明。财富动态（26）可以直观地解释如下。投资者对自己的财富立即产生利率r。当信用事件发生时，其财富水平会更新，以反映因违约名称对存续实体造成的传染效应而导致的债券头寸市值变化。备注3.3。利用可容许控制的定义3.1，我们得到∧π（u）=πZ（u-)（u，Vt，v，πu）-) 为了你∈ [0，T]。然后，我们可以将财富动态（26）改写如下：∈ [0，T]，dVπtVπT-= rdt-MXj=1MXi=1πi，Z（t-)（t，Vπt）-)Gi，j，Z（t）-)（t） !！(1 - Zj（t）-))hj，Z（t）-)（t）- θj（t）hPj，Z（t）-)（t）dt+MXj=1MXi=1πi，Z（t-)（t，Vπt）-)Gi，j，Z（t）-)（t） !！dξ~Pj（t）。（27）接下来，我们使用（14）和（27）推导主HJB方程。我们首先从启发式论证开始，然后在验证定理中给出严格的证明。

回想一下givenby（15）给出的鲁棒控制优化准则。如果wz（t，v）是cint，并且对于每个z是cinv∈ S、 利用动态规划原理，我们期望与鲁棒控制问题（15）相关的主HJB方程由upπ给出∈乌因夫θ∈五(t+Lπ，θwz（t，v）+MXi=1（1）- (子)θi，zlog（θi，z）- θi，z+1hPi，z（t）Υi，z（t，v））=0（28），终端条件wz（t，v）=U（v）。这里，算子Lπ，θ：=Lπc+Lπ，θJacts在任何函数θz（t，v）上是Cin（t，v），如下所示：Lπcθz（t，v）：=v~nz（t，v）五、R-MXj=1MXi=1πi（1- Gi，j，z（t）！(1 - zj）hj，z（t）, （29）Lπ，θJаz（t，v）：=MXj=1“θzjt、 v+vMXi=1πi（1- zi）Gi，j，z（t）- ~nz（t，v）#（1）- zj）θj，zhPj，z（t），其中，对于i=1，M和z∈ S、 πi=πi，z（t，v）在（t，v）上∈ [0，T]×R+，所以π=（πi）i=1，。。。，M∈ U.4最佳反馈函数本节严格分析最佳反馈函数。第4.1节推导了与最坏情况测量相关的HJB方程。然后，我们在第4.2.4.1节最坏情况度量中分析了这种度量下的最优反馈函数。该节给出了与最坏情况度量相关的HJB方程的显式形式，即，它分析了等式（28）中的内部极小化问题。为此，我们首先使用变量分离，并提出值函数的以下分解：wz（t，v）=U（v）Bz（t），（30），其中Bz（t）是t中的正C函数∈ [0，T]对于每个z∈ S.利用（29）中算符的表达式和分解（30），我们定义了以下哈密顿量byHπ，θz（t，v）：=Lπ，θwz（t，v）+MXi=1（1）- (子)θi，zlog（θi，z）- θi，z+1hPi，z（t）Υi，z（t，v）=γU（v）Bz（t）R-MXj=1Γπj，z（t）（1）- zj）hj，z（t）+U（v）MXj=1Bzj（t）1+Γπj，z（t）γ- Bz（t）(1 - zj）θj，zhPj，z（t）+U（v）MXj=1（1）- （zj）θj，zlog（θj，z）- θj，z+1hPj，z（t）uj，z（t）。

（31）以上，我们使用了反馈函数的以下线性变换：for（t，z）∈ [0，T]×S和π∈ U、 πj，z（t）：=MXi=1πi（1）- zi）Gi，j，z（t），j=1，M.（32）那么，对于j=1，M和z∈ S、 一阶条件的解Hπ，θz（t，v）θj，z=0由θ给出*,πj，z（t）=exp- uj，z（t）Bzj（t）1+Γπj，z（t）γ- Bz（t）, 如果zj=0。（33）我们将在验证定理中证明θ*,由（33）给出的πj，z（t）确实确定了与π相关的最坏情况度量。将表达式（33）代入主HJB方程（28）yieldssupπ∈UtnU（v）Bz（t）+Hπ，θ*,πz（t，v）o=0（34），终端条件wz（t，v）=U（v）。在上面的表达式中，对于π∈ Ut，哈密顿量Hπ，θ*,πzz（t）由（31）定义，其中θ由θ代替*,πz=（θ*,πi，z）i=1，。。。，被（33）所取代。在这篇论文的续篇，托莱恩符号中，我们使用了Hπ，θ*Hπ的zin位，θ*,πzz。4.2最坏情况下的最优反馈函数本节推导了最优反馈函数的显式表达式。这些与HJB方程（34）有关。我们的目标是找到最佳容许反馈函数π*z（t）=（π）*i、 z（t））i=1，。。。，M、 （t，z）∈ [0，T]×S，其中π*i、 z（t）是反馈函数，当默认状态为z时，产生投资于第i个债券的最佳财富比例∈ S.从可采性的定义来看，每个（t，z）∈ [0，T]×坐姿必须保持1+π*j、 z（t）>0，j=1，M、 （35）式中Γπj，z（t）由（32）给出。从（26）中可以看出，条件（35）保证在任何违约事件发生后，财富过程保持积极。我们解决了系统的一阶条件Hπ，θ*z（t，v）πi=0，i=1，M、 通过使用（31）和（33）并获得mxj=1（1- zj）hPj，z（t）Bzj（t）（1）- zi）Gi，j，z（t）1+Γπj，z（t）γ-1θ*,πj，z=Bz（t）MXj=1（1- zi）Gi，j，z（t）（1）- zj）hj，z（t）。