利率与通货膨胀

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英文标题：
《Interest Rates and Inflation》
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作者：
Michael Coopersmith and Pascal J. Gambardella
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This article is an extension of the work of one of us (Coopersmith, 2011) in deriving the relationship between certain interest rates and the inflation rate of a two component economic system. We use the well-known Fisher relation between the difference of the nominal interest rate and its inflation adjusted value to eliminate the inflation rate and obtain a delay differential equation. We provide computer simulated solutions for this equation over regimes of interest. This paper could be of interest to three audiences: those in Economics who are interested in interest and inflation; those in Mathematics who are interested in examining a detailed analysis of a delay differential equation, which includes a summary of existing results, simulations, and an exact solution; and those in Physics who are interested in non-traditional applications of traditional methods of modeling.
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中文摘要：
本文是我们其中一位（Coopersmith，2011）在推导两个组成部分经济系统的特定利率和通货膨胀率之间关系的工作的延伸。我们利用名义利率差与其通货膨胀调整值之间的著名Fisher关系来消除通货膨胀率，并得到一个延迟微分方程。我们提供了这个方程在感兴趣区域的计算机模拟解。这篇论文可能会引起三位读者的兴趣：那些对利率和通货膨胀感兴趣的经济学人士；有兴趣研究延迟微分方程详细分析的数学专业人士，包括现有结果、模拟和精确解的总结；以及那些对传统建模方法的非传统应用感兴趣的物理学者。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Interest_Rates_and_Inflation.pdf (995.39 KB)

2022-5-11 03:31:15 上传

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关键词：通货膨胀 Quantitative Differential Applications relationship

利率和通货膨胀一个预测利率行为的简单模型Chael Coopersmith*和Pascal J.Gambardella*摘要本文是我们其中一位（Coopersmith，2011）在推导双成分经济系统中特定利率和通货膨胀率之间关系的工作的延伸。我们利用名义利率差与其通货膨胀调整值之间的著名Fisher关系来消除通货膨胀率，并得到一个延迟微分方程。我们提供了这个方程在感兴趣区域的计算机模拟解。这篇论文可能会引起三位读者的兴趣：那些对利益和通货膨胀感兴趣的经济学人士；有兴趣研究延迟微分方程详细分析的数学专业人士，包括现有结果、模拟和精确解的总结；还有那些对非传统建模方法感兴趣的物理学专业人士。*mhc2q@virginia.edu和pascalgambardella@gmail.comContentsAbstract ........................................................................................................................................... 11.导言。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。32.利率方程式。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。42.1. 利率差异和通货膨胀。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。42.2. 利率延迟微分方程。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。52.3. 延迟逻辑斯蒂方程。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。82.3.1.

渐近非振荡解：0（1/）ae<≤............................................. 102.3.2. 振荡解：（1/）e a。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。113.利率和通货膨胀。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。143.1. 应用Logistic方程特征。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。143.1.1. 渐近的，非振荡的，解：（）nLie t<≤·............................................ 153.1.2. 振动解：（）nLie t<·................................................................................ 163.2. 假设短期利率非零且不变。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。174.结束语。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20附录A-模拟精度测试。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。21A1。边界测试。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。21A2。精确解。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22附录B-模拟代码。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。24.确认。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。25参考文献。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。261

导言本文推导了由一家制造公司和一家银行组成的二元经济系统（第2.1节）的长期和短期利率与通货膨胀率之间的关系。利用名义利率与其通胀调整值（即实际长期利率）之差之间的Fisher关系，以及一些附加条件，我们消除了通胀率，并获得了实际（实际）长期利率的逻辑延迟微分方程（第2.2节）。logistic+方程在人口动力学领域很有名。1838年，Verhulstin引入该词来描述一种生物的种群增长，这种生物的种群增长受到其环境支持其种群的能力的限制。Hutchinson（1948）在等式中引入了一个固定的延迟，以解释某些生物体在繁殖时有脉冲的情况，因为它们在再次繁殖之前有一个滞后时间（例如孵化期）（Erneux，2009）。由于银行利率的变化需要时间来影响制造商的价格，我们的双成分经济体系出现了延迟。延迟的引入引入引入了+Verhulst实际使用的术语“logistique”目前尚不清楚为什么Verhulst选择“logistique”（英语中的物流）来描述他的方程式。Erneux（2009）认为，受马尔萨斯《关于人口原理的文章》影响的Verhulst想要将他的术语与马尔萨斯的“对数”（英语中的对数）区分开来。振荡解的可能性，这在一阶微分方程中是不可能的。我们讨论了logistic延迟微分方程（第2.3节）的性质，并将其应用于我们的利率和通货膨胀模型（第3.1节），使用计算机模拟的解决方案在利率制度上。

然后，我们放松一个初始条件，推导出一个延迟微分方程，在线性变换下，它显示自己是另一个延迟逻辑方程（第3.2节）。最后，我们讨论我们的结论（第4节）。在附录A中，我们通过将我们的模拟方程与该方程的已知性质以及精确解进行比较，来测试我们对延迟logistic方程模拟的准确性。这些结果让我们相信模拟的准确性，至少就我们的目的而言。2.利率方程式。1.利率差异和通货膨胀我们之前（Coopersmith，2011）推导出了某些特定利率差异和通货膨胀率之间的以下关系：（2-1）（ln（））（）d y t tdt=-（比例原则），式中：-,Li是长期利率，Si是短期利率，是时间延迟。当（）（）n nL Sy y i==-    或（）a a aL Sy y i==-, 其中上标“n”和“a”指名义利率和实际利率。在本节中，我们重复等式（2-1）的推导，为本文的其余部分提供背景；在下一节中，我们通过消除通货膨胀率，得到了一个单独的利率方程。我们推导了一个简单的制造商和银行的两方模型的方程（2-1）。假设制造商每月销售x件物品，价格为p，成本为c。因此，制造商的收入为（）x p c· -. 假设银行以较低（短期）利率Si借入资金m，以较高（长期）利率Li贷出资金，y是早期定义的利率差。假设银行和制造商的收入成比例（使用constantk），成本与价格成比例（使用constantk）。

然后：12（）（1）kmyxpcckp· = · - = · - ··, 因此，p与y成正比（常数为k）：pky=·, 式中（）（）m kkx k=·-.我们将通货膨胀I定义为：（2-2）2121211（）（ln（（））lim（）（（））t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t→-= =- ·.注意到ln（）ln（）ln（）pky=+并假设银行利率的变化需要时间来影响制造商的价格，等式（2-1）来自等式（2-2）。2.2。利率延迟微分方程在这一节中，我们通过消除通货膨胀率得到了一个单独的利率方程。我们还说明了这个利率方程解的定性特征。如果我们使用Fisher方程（Fisher，1930）来估计通货膨胀与名义利率和实际利率之间的关系，我们可以从方程（2-1）中消除通货膨胀率。Fisher公式适用于长期利率和短期利率，表示为：（2-3）（（））n aI i=- .方程（2-3）是一个近似值，当：（）a ai+·>>. 例如，如果最低利率为0.1（10%），则不平等性为20.1>>. 方程式（2.3）对于我们目前的目的来说已经足够好了。这个方程还导致：（）n ay y=，这与我们的初始条件一致，即方程（2-1）对两者都适用。插入（）和（）n aL LI i=-  转化为方程式（2-1）得到：（2-4）0（ln（（））（）（）和aL-SL-Ld-ti-tdt-= - - -.尽管等式（2-4）似乎将利率与时间联系起来（从而确定），但它实际上只提供了一个起点，因为我们现在有四种不同的利率。如果我们对这些利率设置以下条件，我们可以将方程简化为一个涉及单一利率的方程：（i）长期名义利率为常数且大于零。

一个例子是美国最优惠银行贷款利率，即商业银行对公司短期贷款收取的平均利率。从2009年1月到2015年11月，这一比例一直保持在每年3.25%。这种情况会导致参见http://www.economagic.com/em-cgi/data.exe/fedbog/prime#Monthly.（2-5）nLi t A- =, 其中A是一个大于零的常数。（二）短期实际利率为零。例如，联邦基金利率从2009年12月到2015年11月一直在0%到0.25%之间。这种情况导致：（2-6）（）0aSi t=。我们将在第3-2节中放松这个条件，并定义（）（）作为一个正的非零常数。使用方程（2-4）中的方程（2-5）和（2-6）得到：（）（）（ln（（））（）aaLLd i tA i t tdt=- -, 其中扩展为：（2-7）aa a aLL L L数据tdt=· - - · .如前所述，方程（2-7）传统上被称为延迟逻辑方程或哈钦森方程（Erneux 2009，Smith 2011）。它也是一个泛函微分方程，其解由初始函数（）确定≡ 间隔t上定义的ψ≤ ≤. 这与常微分方程的解形成了对比，常微分方程的解由某一点的初始值决定。例如，（）（）dx ta x tdt=· 由初始条件确定：（0）0x=。延迟的引入引入引入了振荡解的可能性，没有延迟就不可能有振荡解。结合方程式（2-3）、（2-5）和（2-6）得出：§见http://useconomy.about.com/od/monetarypolicy/p/Past_Fed_Funds.htm.（2-8）alit A it=- .方程（2-8）表明方程（2-7）的解可以转化为I（t）的解。

延迟逻辑斯蒂方程本节探讨逻辑斯蒂微分方程的解和性质。第三节，我们将这些结果应用到利率方程中。了解这些结果的读者可以跳过本节。延迟logistic方程的解具有有趣的性质，这些性质取决于A的值，其中常数（（）nLA i=）。为了更好地描述从许多参考文献中收集到的这些性质，并将它们应用到我们的利率和通货膨胀模型中，我们首先需要将方程（2-7）转换为时间单位为1的标准形式。假设（2-9）（\'）（）/aLi t z t=，式中≠,（2-10）\'t=·, 和（2-11）/A t=。然后，方程（2-7）变成（从t中去掉素数后）离散延迟逻辑方程；称为“离散”，因为延迟现在是1，而不是：（2-12）（（）（1）（）dz-tz-tz-tz-tdt=- · - + ·我们将方程（2-12）的解定义为一个连续可微函数（即在（1）C）中）≥.  这意味着导数（）dz tdtexists本身就是一个连续函数（例如，它没有跳跃不连续性）。如前一节所述，方程（2-12）的解由初始函数确定。定义（）（）z t t=Φ在0 1t间隔内≤ ≤作为一种功能。虽然有很多初始函数可供选择，但我们选择那些也满足方程（2-12）的函数。Kakutani和Markus（1958）证明了z（t）的连续微分解的存在性≥当且仅当（）tΦ是和（2-13）（1）[（0）]（1）dadtΦ=- Φ ·Φ .符号（）cΦ表示该量是以c=的值计算的，其中c等于常数。

下面是一个满足等式（2-13）的函数的例子：（2-14）（）a tt eβ-Φ = · , 其中β是一个大于零的常数。方程（2-12）的平凡解为z（t）=0和z（t）=a。如果非零解在一段时间后变为零，则所有t的z（t）=0≥（坎宁安，1954年）。这导致了几个后果：（a）解永远不会在（）0z t=左右振荡。然而，正如我们将在后面讨论的，解可能围绕z（t）=a振荡。（b）解（）z是完全正的或负的，但不是两者都有。t=1时初始函数（1）Φ的符号控制（）z t的符号。方程（2-12）解的定性特征（例如阻尼、阻尼振荡、持续振荡）仅取决于我们将讨论的“a”值。这意味着这些特性取决于A与原始方程式的乘积（见方程式2-7）。下面的讨论收集了不同“a”范围的结果，表明溶液何时振荡；当我们有阻尼或持续振荡时，如果它们振荡。当我们将所学知识应用于利率方程时，这些结果将在第3节中使用。2.3.1. 渐近非振荡解：0（1/）ae<≤如果0（1/）a e<≤（式中1/e=0.367879441…，（1）0Φ>且（z（t）-a）的零点之间的间隔对于大t至少为1（例如，这不包括（）0z t=解），则解z（t）与z=a是同构的（Kakutani和Markus，1958，定理10）。这意味着a<（1/e）的解在这些条件下不会振荡。条件（1）0Φ>意味着（）0z t>，因为（）tΦ满足方程（2-12），方程有正解或负解，但不是两者都有。图2.1显示了一个运行**，使用等式（2-13）中的（）tΦ作为初始函数，a=0.35和0。2β=.

注意，得到的解是渐近的，z（t）=a=0.35，初始值（0）为0.2Φ=如预期的那样**系统建模工具Stella Professional(http://www.iseesystems.com/softwares/stellapro/v1.aspx#)，用于生成解决方案。图2-1。渐近到z（t）=a=0.352.3.2的解的示例。振荡解：（1/）ea<Kakutani和Markus（1958，定理6）证明了方程（2-12）的解a>0且足够大，要么（1）渐近于z=a，要么（2）围绕z=a振荡。因为“a”满足0 1/ae<≤是纯渐近解，满足（1/）ae>的解是振荡解。图2-2所示的曲线图使用等式（2-13）中的（）tΦ作为初始函数，a=1，0。12β=. 请注意，z（t）在预期情况下渐近于a=1。图2-2。振荡衰减到z（t）=a=1的解的示例在图2.2中，解z（t）最终衰减到稳定状态z（t）=a。这种稳定行为是否在所有“a”中持续？图2-3表明，在a=1.5和a=1.6之间，在一个衰变为稳定状态的解和一个最终表现出持续振荡的解之间存在一个过渡。这种转变是Hopf分叉的一个例子（Smith，2011）。当一个参数（如“a”）越过临界值时，从稳态产生周期解时，就会发生这种情况。“a”的临界值与初始函数Φ无关，我们将在下面讨论。+Touboul（2014）运用物理学的方法研究了“hipster效应”，他将其定义为“因此，看起来相似却试图看起来不同的未经证实的突发集体现象”他最终得到了一个表现出Hopf分叉的微分方程。