完美的婚姻和更多：结合降维，

teststatistic JB（Jarque Bera）是根据样本计算的偏度和峰度度量的函数，基于拉格朗日乘数测试或分数测试。最简单的测试问题假设数据y由联合密度函数f生成y、 θ在零假设下，由f（y，θ）代入，用θ，θ代入∈ Rk。拉格朗日乘子testis源自约束最大化原理（Engle 1984；尾注6）。在θ=θ的约束下，最大化对数似然度会产生一组拉格朗日乘数，用于测量约束的影子价格。如果价格较高，则应拒绝该约束，因为它与数据不一致。另一个经常使用的测试是标准化样本偏度和峰度的平方和，它以χ变量的形式渐近分布（Doornik和Hansen，2008），以及偏度和峰度的转换，以便于实施，并解决小样本问题。（Malkovich&A fi 1973）概括了这些统计数据，以检验多元正态性假设，包括对转换的讨论，以简化计算方法。（Székely&Rizzo 2005；结束注9）提出了一类新的一致性检验，用于基于样本元素之间的欧氏距离比较多元分布。应用包括任意维d中离散或连续多元分布的单样本拟合优度检验≥ 1.新测试可用于评估多变量分析中许多经典程序的分布假设。（Wald&Wolfowitz 1946）考虑为均值和方差未知的正态分布设置容差限的问题。

对于样本为N个独立观测值的单变量分布，需要构造样本的两个函数Land Lof，以确保极限Land lw至少包含给定比例γ的概率等于预先指定的值β。假设X~ N（u，σ）具有正态分布，且位于区间X内∈ （a，b），-∞ ≤ a<b≤ ∞.那么a<X<b条件下的X具有截断正态分布。它的概率密度函数fX表示≤ 十、≤ b，由FX给出x |u，σ，a，b=σφ（x）-μσ）Φ（b）-uσ)-Φ（a）-uσ); A.≤ 十、≤ b0；否则这里为（30），φ（ξ）=√2πexp(-ξ） 是标准正态分布的概率密度函数，Φ（·）是其累积分布函数。有一种理解，如果b=∞ , 然后Φ（b）-*σ=1，同样，如果a=-∞ , 然后Φ（a）-uσ)=0.提议3。当截短正态分布p，q不重叠时，Bhattacharyya距离为零，当它们重叠时，由DBC给出-tn（p，q）=（up- uq）σp+σq+lnσpσq+σqσp+2+自然对数ΦB- upσp- ΦA.- upσp+自然对数ΦD- uqσq- ΦC- uqσq-自然对数ΦU- ν- ΦL-ν给，p~ Nup，σp，a，b; Q~ Nuq，σq，c，dl=最小值（a，c）；u=最小（b，d）ν=upσq+uqσpσp+σq; =s2σpσqσp+σq证据附录14.4。很容易看出林（a，c）→-∞;（b，d）→∞DBC-tn（p，q）=DBC-N（p，q）（31）考察DBC-tn（p，q）≥ DBC-N（p，q）给出了以下结果。这表明，距离度量随着截断程度的增加而增加，然后随着分布之间的重叠程度的减小而减小。sΦB- upσp- ΦA.- upσpΦD- uqσq- ΦC- uqσq≥ΦU- ν- ΦL-ν（32）（Kiani、Panaretos、Psarakis&Saleem 2008；Zogheib&Hlynka 2009；Soranzo&Epure 2014）列出了计算正态累积分布的一些方法。

误差函数的近似也是可行的选择（Cody 1969；Chiani，Dardari&Simon 2003）。类似地，截断的多元正态分布X具有密度函数fX（X，…，xk |up，∑p，a，b）=exp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）Rbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b（33）这里，upis是平均向量，∑pis是p分布的对称正有限协方差矩阵，该积分是k维积分，其上下限由向量（a，b）和x给出∈ Rka≤十、≤b、 提议4。当截断多元正态分布p，Q且所有k维都有重叠时，Bhattacharyya距离由DBC给出-T MN（p，q）=（up- uq）T∑-1（up- uq）+lndet∑pdet∑pdet∑q+ln“p（2π）k（|∑p |）Zbaexp-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#+ln“p（2π）k（|∑q |）Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#-自然对数q（2π）kdet∑p∑-1∑qZulexp-n（x）- m） T∑q-1[∑]p-1.（十）- m） odx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）给，p~ N（up，∑p，a，b）q~ N（uq，∑q，c，d）u=min（b，d）；l=min（a，c）m=hupT∑p-1+uqT∑q-1.∑p-1+∑q-1.-1它∑=∑p+∑p。附录14.5我们再次看到，lim（a，c）→-∞;（b，d）→∞DBC-T MN（p，q）=DBC-mn（p，q）（34）考察DBC-MN（p，q）≥ DBC-mn（p，q）给出了与单变量情形ln“p（2π）k（|∑p |）Zbaexp类似的条件-（十）- up）T∑p-1（x）- up）dx；十、∈ Rka≤十、≤b#（35）+ln“p（2π）k（|∑q |）Zdcexp-（十）- up）T∑q-1（x）- uq）dx；十、∈ Rkc≤十、≤d#（36）≥ - 自然对数q（2π）kdet∑p∑-1∑q（37）Zulexp-n（x）- m） T∑q-1[∑]p-1.（十）- m） odx；十、∈ Rkmin（a，c）≤十、≤最小（b，d）（38）5.4离散多元分布实用方法是对概率分布使用离散近似。这通常是通过匹配原始分布和近似分布的矩来实现的。

概率分布的离散近似通常是通过将可能值的范围或累积概率的范围划分为一组集体穷举且相互排斥的区间来确定的。每一个中间值由一个等于其平均值或中值的值和一个等于真值在区间内的概率来近似。判断离散近似精度的一个标准是，它尽可能多地保留原始分布的矩。（Keefer&Bodyly 1983；Smith 1993）提供了常用离散化方法的比较。（Miller&Rice 1983）研究数值积分，使用高斯函数作为改进近似的手段。这种方法通过在几个值x上计算g（x）并计算结果的加权和，来近似函数g（x）和加权函数w（x）的乘积在内部（a，b）上的积分。Zbag（x）w（x）dx=NXi=1wig（xi）（39）对于概率分布的离散近似情况，支持（a，b）的密度函数f（x）与权重函数相关联，概率Pi与权重wi相关联。我们用一个多项式逼近g（x），然后选择xind pi（或wi）为多项式的每个项提供适当的近似。这转化为找到一组值和概率，使得Zbaxkf（x）dx=NXi=1pixkik=0,1,2。（40）具有N个概率值对的离散近似值可以匹配前2N个- 1.通过查找满足以下方程式的piand Xit，精确计算力矩，这些方程式使用众所周知的技术进行求解。p+p+…+pN=Zbaxf（x）dx=1（41）px+px+…+pNxN=Zbaxf（x）dx（42）px+px+…+pNxN=Zbaxf（x）dx（43）。。。。。。（44）px2N-1+px2N-1+ . . .

+pNx2N-1N=Zbax2N-1f（x）dx（45）在分布近似的几种替代方法中，（Wallace 1958），限制了人们对发现共形展开的关注，其中近似误差接近零，因为一些参数（通常称为样本大小）趋于一致。通过将分布设置为离散多元分布并基于这些估计分布计算距离来估计分布参数（包括不变分布和降维分布），是使用截断正态分布的一种实用替代方法。5.5协方差和距离我们比较两个随机变量之间的协方差和Bhattacharyya系数，假设支持实线的相关部分，并且密度函数是可微分的。考虑协方差和Y=X和Y=X的距离-很容易看出，两种情况下分布之间的距离都为零，但当它们完全相同时，协方差为一，而在另一种情况下协方差为负一。这表明，尽管知道距离，但我们并没有关于这两个分布的CO运动的完整信息。因此，距离不是协方差的替代品，而是一个非常有用的补充，因为知道这两个变量将告诉我们，如果我们知道另一个变量，一个变量将如何变化，以及如果从一个分布中观察到另一个分布的值，则从一个分布中观察到某些值的可能性。斯坦因引理（Stein 1973；1981；Rubinstein1973；1976）给出了一个关于协方差的有趣结果，该引理将联合正态分布的两个随机变量之间的协方差与其中一个随机变量和另一个随机变量的任何函数之间的协方差联系起来。

如果X和Y具有二元正态的伴随分布，如果c（·）是X的连续可微函数，那么Cov[c（X），Y]=E[c（X）]Cov[X，Y]（46）很容易得出结论，如果X是一个具有均值u和方差σ的正态随机变量，如果c是一个具有导数csuch的可微函数，那么E[c（X）]<∞, 然后我们有，E[（X- u）c（X）]=σE[c（X）]（47）（Losq&Chateau 1982）将结果推广到c（·）是n个随机变量的函数的情况。（Wei&Lee 1988）进一步将其推广到两个变量都是多元正态随机变量函数的情况。（Siegel 1993）导出了一个关于X的协方差与多元正态向量（X，…，Xn）的最小值的显著公式。Cov[X，min（X，…，Xn）]=nXi=1Cov（X，Xi）Pr[Xi=min（X，…，Xn）]（48）（Liu 1994）使用多元版本的斯坦恒等式来设计以下更广义的公式，其中X（i）是-在X中排名第四，Xn，Cov[X，X（i）]=nXj=1Cov（X，Xj）PrXj=X（i）（49）（Kattumannil 2009）通过放宽正态性的要求扩展了Stein引理。如果连续随机变量X在区间（a，b）上有支撑，那就是-∞ ≤ a<X<b≤ ∞, 平均值E（X）=u，方差V ar（X）=σ，密度函数fX（t）和累积分布fX（t）。设h为实值函数，使得E[h（X）]=u和Eh（X）< ∞.

假设fX（t）是一个带导数fX（t）的可微函数，且存在一个非零函数g（t），使得fX（t）fX（t）=-g（t）g（t）+[u- h（t）]g（t），t∈ （a，b）（50）=> fX（t）g（t）+g（t）fX（t）=[u- h（t）]fX（t）（51）=>外汇（t）g（t）t=[u- h（t）]fX（t）（52）关于t从r到b的积分，并假设极限→bg（t）fX（t）=0表明，对于给定的h（t），g（t）的值唯一地决定了X的分布- h（t）]fX（t）dt（53）=> fX（r）=g（r）（Zbr[h（t）- u]fX（t）dt）（54）类似地，从a到r对t进行积分，并假设limr→ag（t）fX（t）=0，fX（r）=g（r）Zar[u- h（t）]fX（t）dt（55）对于任何绝对连续函数，c（t），其导数c（t）满足E[c（X）h（X）]<∞, Ec（X）<∞, E[g（X）c（X）]<∞, 并提供了限制→bg（t）fX（t）=0我们有以下恒等式，E[c（X）{h（X）-u}]=E[c（X）g（X）]（56）（Teerapabolarn 2013）是这种正态性松弛对离散分布的进一步扩展。另一个有用的参考文献（Kimeldorf&Sampson 1973）提供了两个随机变量的协方差和两个随机变量函数的方差之间的一类不等式。设A为平面的开凸子集，且Υ为具有有限方差和P{（X，Y）的所有实随机变量对（X，Y）的类∈ A} =1。

假设g是一个具有连续偏一阶导数的函数，其特征是以下函数不等式和等价的偏微分不等式，（X，Y）∈ Υ；（x，y），（x，y）∈ A.<==> （十）- x） （y）- y）≤ [g（x，y）- g（x，y）]（57）GYGY≥（58）如果满足上述同等必要和充分条件，我们有cov（X，Y）≤ var g（X，Y）（59）我们现在导出Stein引理的以下一般扩展，它不需要正态性，涉及一个随机变量和另一个随机变量的函数之间的协方差。提议5。如果连续随机变量X和Y在区间（a，b）上有支撑，则-∞ ≤ a<X，Y<b≤ ∞, 平均值E（X）=uX；E（Y）=uY，方差V ar（X）=σX；V ar（Y）=σY，密度函数fX（t）；fY（u），累计分配FX（t）；FY（u）和关节密度函数fXY（t，u）。设h（u）为实值函数，使得E[h（Y）]=uYandh（Y）< ∞. 假设fXY（t，u）是一个关于t的导数为fXY（t，u）的可微函数，并且存在一个非零函数g（t，u），使得fXY（t，u）fXY（t，u）=-g（t，u）g（t，u）+[uY- h（u）]g（t，u），t，u∈ （a，b）假设限制→bg（t，u）fXY（t，u）=0表明，对于给定的h（u），g（t，u）的值唯一地决定了X和Y的联合分布。fXY（r，u）g（r，u）=Zbr[h（u）- uY]fXY（t，u）dtZbafXY（r，u）g（r，u）du=ZbaZbr[h（u）- uY]fXY（t，u）dt dusimily，假设limt→ag（t，u）fXY（t，u）=0，fXY（r，u）g（r，u）=Zra[uY- h（u）]fXY（t，u）dtZbafXY（r，u）g（r，u）du=ZbaZra[uY- h（u）]fXY（t，u）dt du对于任何绝对连续函数c（t），其导数c（t）满足E[c（X）h（Y）]∞, Ec（X）<∞, E[g（X，Y）c（X）]<∞, 并提供了限制→bg（t，u）fXY（t，u）=0，我们有以下恒等式，Cov[c（X），h（Y）]=E[c（X）g（X，Y）]证明。

附录14.6。推论1。很容易看出，Cov[c（X），Y]=E[c（X）g（X，Y）]证明。在命题5的证明中，用h（u）=u代入，并加以简化，就得到了这个结果。基于上述一些结果，主要是推论1中对Stein引理的扩展，我们推导出距离（Bhattacharyya系数）和协方差之间的以下关系。提议6。下面的方程控制着Bhattacharyya系数ρ（fX，fY）和任意两个分布之间的协方差之间的关系，这两个分布具有联合密度函数fXY（t，u）、均值、uX和uYand密度函数fX（t）和fY（t），Cov[c（X），Y]=Cov（X，Y）- E“sfY（t）fX（t）Y#+uYρ（fX，fY）Cov（X，Y）+uYρ（fX，fY）=E[c（X）g（X，Y）]+E”sfY（t）fX（t）Y#这里，c（t）=t-sfY（t）fX（t）和g（t，u）是一个非消失函数，因此fXY（t，u）fXY（t，u）=-g（t，u）g（t，u）+[uY- u] g（t，u），t，u∈ （a，b）证据。附录14.7。推论2。很容易看出，Cov[c（X，h（Y）]=Cov（X，h（Y））- E“sfY（t）fX（t）h（Y）#+uYρ（fX，fY）Cov（X，h（Y））+uYρ（fX，fY）=E[c（X），g（X，Y）]+E”sfY（t）fX（t）h（Y）#。在命题6的证明中，用h（u）代替u，并加以简化，就得到了这个结果。6市场结构、微观结构和其他应用我们的方法有助于比较产生价格、数量的经济系统，并有助于分析购物模式和理解消费者行为。这些系统可以在不同的购物中心或整个国家的贸易流中得到很好的应用。可以对两个地区的交通拥堵、道路事故和其他死亡事故进行研究，以了解相似之处，并在可能适用此类简化的情况下寻求常见解决方案。

应用的多样性仅受到我们想象力的限制，因为这些技术可以用于任何生成和研究数据以更好地理解系统的系统。我们在下面指出一种资产定价和一种生物应用，以展示无限的可能性，例如比较效果。下面第7.1节中的实证说明是这里开发的技术如何立即适用于微观结构研究的另一个例子。我们提供了一个微观结构的定义，解释了为什么信息收集和降维可以在这个空间中起到帮助作用。定义1。市场微观结构是对管理资产交换的过程和协议的调查，目的是减少可能阻碍资产转移的摩擦。在有大量记录信息的金融市场中，这意味着研究观察到的变量（如价格、交易量和价差）与隐藏成分（如交易成本和波动性）之间的动态关系，这些因素对系统的有效运行起着支配作用。不同的市场或证券子集团对其相应分布有不同度量的程度告诉我们它们的不同程度。这可以帮助投资者寻找投资或寻找更多相同的东西。6.1资产定价应用根据基础资产定价方程pt=E（mt+1xt+1），利用随机贴现系数mt+1给出了当前资产在未来（下一个时间段）的价格Pto。多周期版本很容易派生，因此我们将时间下标放在下面。（卢卡斯1978；汉森和理查德1987；汉森和贾甘纳森1991；科克伦2009）是经典参考文献。