完美的婚姻和更多：结合降维，

（Kashyap 2018）回顾了资产定价文献，重点是股权风险溢价之谜（Mehra&Prescott 1985；Mehra 1988），即股权回报率远远超过了短期无风险债务的平均回报率，无法用传统的代表性代理消费均衡模型来解释。一些解决方案尝试和相关辩论是（Rietz 1988；Mehra&Prescott 1988；Weil 1989；Constantinides&Duffee1996；Campbell&Cochrane 1999；Bansal&Yaron 2004；Barro 2006；Weitzman 2007）。这个谜题基于消费增长是对数正态的假设。我们可以放松这一假设，并推导出以下关系，这些关系有助于资产定价的许多实证尝试，这些尝试寻求贴现因子或边际效用增长的代理，采用形式为m=c（f）的变量f。提议7。资产定价方程p=E（mx）可以写成，p=E（mx）≡ E[c（f）x]设置，m=c（f）p=E[c（f）]E（x）+Cov[c（f），x]p=E[c（f）]E（x）+E[c（f）g（f，x）]证明。利用命题5以及其中c（t）和g（t，u）的定义，给出了这个结果。推论3。对m的进一步限制≡ c（f）=f-qfx（f）ff（f），其中，密度函数fx（f）的预期收益为ux，因子f的密度函数为ff（f），资产定价方程为，p=E[c（f）]E（x）+Cov（f，x）+uxρ（ff，fx）- E“sfx（f）ff（f）x#证明。紧接着从命题6.6.2生物应用开始，医学科学领域并不能免受信息收集的增加（伯纳和莫斯2005）以及研究和文献不断增长的副作用（Huth 1989）的影响。管理增长的研究产出的挑战比不断扩大的数据量要复杂得多。

这可能需要在艺术智能方面取得进展，更好地理解人类大脑有时会做出的巨大飞跃，从信息分类、将其总结为知识并超越到浓缩智慧的状态。我们暂时搁置这个问题；但要解决更容易克服的海量数据源问题。假设我们对来自不同地理区域的不同人群进行了一系列不同性质的观察（如心率或血糖水平等）。然后，目标将是确定哪些地区的人拥有更相似的宪法。所有地区进行观测的天数相同；但每个地区的参与者人数可能不同。数据收集可能是在不同测试设施进行的特定天数的测试结果，不同数量的人可能会在测试完成的不同天数出现在每个设施。数据收集的结果如下：对于每个区域i和属性j，我们有一个矩阵Mi，j，以及时间（行）上的T个观察值，对于区域i和属性j中的参与者数量，我们认为所有属性一起代表一个区域。数据矩阵的维数由Dim（Mi，j）=（T，Ni，j）给出。根据数据收集结果，我们可能有两个病例。1.Ni，j=Ni，k，j、 k，即一个区域内的参与者数量，对于所有被测量的属性而言是相同的。情况很简单。2.

Ni，j6=Ni，k，j、 k——一个地区的参与者人数可能因被测量的某些属性而不同。与数据收集案例1）相对应的简单场景是，当我们有一个矩阵Mi，j，用于每个区域i和属性j，对于该区域的参与者数量，在时间（行）和Ni（列）上有T个观测值。如果我们单独考虑每个属性，我们可以分别计算不同区域或i的每个属性j的不同矩阵Mi，j（成对）的BhattacharyAdastance。前面概述的多项式方法可以通过组合所有属性来计算每个区域的一个系数。对于第二种情况，我们可以在适当的维数变换后，使用多项式方法计算一个区域的所有组合属性（或每个属性单独）在各种矩阵Mi，j上的Bhattacharyya距离。为了说明这一点，假设我们有两个矩阵A和B，分别代表两种不同的概率分布，维数分别为m×n和k×n。这里，m和k表示由两个矩阵A和B捕获的变量数量。通常，m和k不相等。n是观察数，这在两个分布中是相同的。我们可以计算Bhattacharyya距离或A和B之间的相似性或相异性的另一个度量，方法是将较大矩阵（比如m>k）的维数减少到较小的矩阵，这样我们就有了A和B，具有相同的维数，k×n。这里，A=CA，Dim（C）=k×m。C中的每个条目都是从高斯n中采样的i.d0，k分配7.实证说明。1不同市场的证券价格比较我们从一个简单的例子开始，说明如何使用这一衡量标准，根据在该市场交易的所有权益证券的价格来比较不同国家。

我们的数据样本包含2014年1月1日至2014年5月28日六个不同市场的大多数证券的收盘价（图1a）。新加坡有566种证券，是交易证券数量最少的市场。即使我们减少所有其他证券数量较多的市场的规模，为了对这些市场进行适当的比较，我们也需要两年以上的数据。因此，作为一种简化，我们首先使用主成分分析（PCA）缩减法来缩减持有每个市场收盘价的矩阵的维数，以便保留的股票数量与我们拥有数据的天数相当。这种比较的结果如图1b所示。第7节给出了一些使用统计包（如R）的实现指针。7.我们报告完整的矩阵，而不仅仅是上下矩阵，因为PCA缩减我们确实采取了第一个国家将维度缩减到一定数量的重要数字，然后减少第二个国家的维度，以匹配第一个国家的维度数量。例如，这就意味着比较澳大利亚和新加坡货币政策与比较新加坡货币政策和澳大利亚货币政策并不完全相同。作为计算距离之前的一个安全步骤，这要求保存被比较两个实体数据的结构具有相同的尺寸，如果PCA缩减后两国的尺寸不同，我们可以使用JL引理进行尺寸缩减。我们对PCA减少的不同数字重复计算。这显示了我们的距离比较产生的结果的精细度，并强调了PCA缩减存在信息损失的问题，因为PCA缩减中使用的重要数字数量不同，我们得到的结果是不同的市场是相似的。

例如，在图1b中，当使用两个重要数字时，澳大利亚-新加坡邮政是最相似的市场，而澳大利亚-香港邮政最相似，有六个重要数字。我们举例说明另一个例子，我们比较每个市场中随机选择的证券子宇宙，以便保留的股票代码数量与我们拥有数据的天数相当。结果如图2所示。左表（图2a）用于对randomlychosen子宇宙进行PCA缩减，右表（图2b）用于对同一子宇宙使用JL引理进行维度缩减。我们报告完整矩阵的原因与前面解释的相同，并在使用JL引理降维时执行多次运算。一个关键的观察结果是，由于PCA技术带来的信息损失，使用PCA缩减和使用维度缩减时，距离的大小非常不同。很明显，通过JL引理使用降维可以产生一致的结果，因为相同的市场对在差异上是相似的（在图2b中，AUS-IND在迭代一和迭代五中最相似）。值得记住的是，在JL引理维度变换的每次迭代中，我们乘以不同的随机矩阵，因此每次迭代中的距离略有不同，但在JL引理确定的范围内。当两对实体之间的距离接近时，我们可以观察到由于连续迭代中的JL引理变换而产生的不一致性。

我们将在第8节中讨论这一领域，需要进一步的理论研究。我们的方法也可以用于在同一个市场内比较证券组时，这是一种非常常见的情况，即决定在一个市场上投资的证券组，而不是决定在哪个市场上投资。这种方法对于指数构建或市场内跨部门的比较非常有用。（Kashyap 2017）总结了本文的理论结果，并对开放、高、低价格、数量和价格波动的示例进行了阐述，以提供完整的市场微观结构研究；第7.2节再现了本研究的相关部分，以说明我们的技术如何应用于不同类型的变量。（a） 市场和股市统计（b）PCA维度缩减图1：全样本的距离度量（a）PCA维度缩减（b）JL引理维度缩减图2：随机选择的子宇宙的距离度量7。2证券交易量、高低开盘价格和成交量价格波动性的比较我们在（第7.3、7.4、7.5节）中提供了几个例子，以补充（第7.1节）我们的技术如何用于基于该市场所有股票交易的时间序列变量来比较不同国家。这些插图作为《市场微观结构完整研究》（Kashyap 2017）的一部分进行了更详细的讨论。数据样本包含2014年1月1日至2014年5月28日六个不同市场的大多数证券的价格（开盘、收盘、高点和低点）和交易量（图3a）。所考虑的时间段、证券数量和大部分数值分析与第7.1节中的比较类似。

为了比较价格和交易量的波动性，我们计算收盘价和交易量的60天移动波动率，并计算整个样本以及每个随机选择的子样本的距离度量。7.3演讲量：交易量比较完整样本的交易量比较结果如图3b所示。例如，在图3B中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR是最相似的市场，而AUS-GBR是最相似的市场，有六个重要数字。在这种情况下，PCA和JL引理降维给出了相似的结果。随机抽样结果如图4所示。左表（图4a）用于对大量选择的子宇宙进行PCA缩减，右表（图4b）用于对同一子宇宙使用JL Lemma进行维度缩减。（a） 市场和股市计数（b）交易量PCA维度缩减图3：全样本市场/交易量距离度量的证券计数（a）交易量PCA维度缩减（b）交易量JL引理维度缩减图4：随机选择的子宇宙上的交易量距离度量7。4价格昂贵的处方：价格比较（开盘价、收盘价、高价和低价）7.4.1开盘价-收盘价完整样本的开盘价和收盘价比较结果如图5、5a、5b所示。例如，在图5b中，当使用两个重要数字时，澳大利亚-新加坡证券交易所是最相似的市场，而澳大利亚-香港证券交易所是最相似的市场，有六个重要数字。在距离度量方面，开盘价和收盘价之间的相似性也很容易观察到。随机抽样结果如图6、7所示。左表（图6a、7a）用于对随机选择的子宇宙进行PCA缩减，右表（图6b、7b）用于对同一子宇宙使用JLLemma进行维度缩减。

在图7b中，AUS-IND在迭代一和初始五中最为相似。（a） 开放式PCA降维（b）封闭式PCA降维图5：全样本上的开放/封闭距离度量（a）开放式PCA降维（b）开放式JL引理降维图6：随机选择子宇宙上的开放距离度量（a）封闭式PCA降维（b）封闭式JL引理降维图7：随机选择子宇宙上的封闭距离度量宇宙7。4.2高-低-整个样本的高-低价格比较结果如图8、8a、8b所示。例如，在图8a中，当使用两个重要数字时，AUS-SGP是最相似的市场，而AUS-HKG是最相似的市场，有六个重要数字。高价和低价之间的相似性也很容易观察到。随机抽样结果如图9、10所示。左表（图9a，10a）用于对随机选择的子宇宙进行PCA归约，右表（图9b，10b）用于使用JL引理对同一子宇宙进行降维。在图9b和10b中，AUS-IND是最相似的初始值，在迭代五中也是如此。（a） 高PCA降维（b）低PCA降维图8：全样本上的高/低距离度量（a）高PCA降维（b）高JL引理降维图9：随机选择的子宇宙上的高距离度量（a）低PCA降维（b）低JL引理降维图10：随机选择的子宇宙上的低距离度量7。5控制（波动性）偏差：收盘价格/成交量波动性的比较完整样本中收盘价格波动性和成交量波动性的比较结果如图11、11a、11b所示。

例如，在图11a中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR是最相似的市场，而AUS-HKG是最相似的，有六个重要数字。在图11b中，当使用两个重要数字时，AUS-GBR-IND是同样相似的市场，而AUS-GBR是最相似的，有六个重要数字。价格、成交量和波动性的距离测量值的大小差异也很容易观察到。这表明，价格来自最不相似或最遥远的分布，波动性不太相似，成交量来自最相似或最重叠的分布。正如在成交量比较中所观察到的，当使用PCA或JL引理降维时，成交量波动性比较给出的结果似乎相似。通过考虑价格波动性并创建具有不同波动性分布的工具组合，我们可以降低投资组合回报的总体风险或方差，成为缓解波动性波动影响的一种潜在方法。随机抽样结果如图12、13所示。左表（图12a，13a）用于对随机选择的子宇宙进行Pc还原，右表（图12b，13b）用于对同一子宇宙使用JL引理进行维度还原。在图12b中，AUS-SGP在迭代一和迭代五中最为相似。

在图13b中，AUS-SGP在迭代一和AUS-GBR初始化五中最为相似。（a） 密切波动性PCA维度缩减（b）成交量波动性PCA维度缩减图11：全样本的密切/成交量波动性距离度量（a）密切波动性PCA维度缩减（b）密切波动性JL引理维度缩减图12：随机选择子宇宙的密切波动性距离度量（a）成交量波动性PCA维度缩减（b）成交量波动率JL引理维度缩减图13：随机选择的子宇宙上的交易量波动率距离测度7。6其他补充案例研究下面，我们提到了我们计划进行的研究的例子，这些研究可以作为这里讨论的方法的应用。7.6.1英国犯罪分析我们正在开发一个单独的应用程序，将本文中的技术以及网络理论（Euler 1953；Wasserman&Faust 1994；Watts 1999；Aldous&Wilson 2003；Gribkovskaia，HalskauSr&Laporte 2007）应用于英国的犯罪数据集。该项目的目标是确定犯罪水平和类型相似的地区，以便根据从早期事件中吸取的教训或某些法律措施取得相当成功的地区做出政策和执法决定。此外，网络互动可以帮助我们了解犯罪浪潮如何从一个地区传播到另一个地区，并有助于预防犯罪。