折射列维过程的巴黎废墟

初始级别U=x的值也在变化。注意，在本例中，我们使用符号c表示X的线性部分（低于0）和c- Y的线性部分的δ（大于0）。换句话说，在正常的营业期间，提款由c给出-δ. 因此，在表1中，我们确定了c的值-δ（大于0）并研究了折射参数δ值的变化对巴黎破产概率的影响。注意，当δ增加时，c的值（低于0）也增加到keepc- δ常数。正如预期的那样，δ值越大，巴黎人自杀的概率越小。在表2中，我们确定了除巴黎延迟参数r之外的所有参数。按照预期，延迟r的值越大，即宽限期越大，巴黎破产的可能性越小。表1。折射参数δ对折射Cramér-Lundberg模型中Parisianruin概率的影响xδ=0δ=1δ=3δ=51 2.872324151×10-11.850876547 × 10-15.573334777 × 10-21.226635655 × 10-25 1.474700390 × 10-19.50271705 × 10-22.86144548 × 10-26.2977571 × 10-310 6.40902148 × 10-24.12986379 × 10-21.24357907 × 10-22.7369940 × 10-320 1.210507796 × 10-27.8003051 × 10-32.3488176 × 10-35.169513 × 10-430 2.286353896 × 10-31.4732872 × 10-34.436344 × 10-49.76391 × 10-6参数：r=2，c- δ=6（漂移大于0），η=5，α=1。表2。

延迟参数r对折射Cramér-Lundberg模型中巴黎破裂概率的影响X r=0 r=1 r=2 r=31 7.054014374×10-11.727546072 × 10-15.573334777 × 10-22.064556230 × 10-25 3.621651737 × 10-18.86951728 × 10-22.86144548 × 10-21.05997853 × 10-210 1.573963357 × 10-13.85467632 × 10-21.24357907 × 10-24.6066476 × 10-320 2.972832780 × 10-27.2805432 × 10-32.3488176 × 10-38.700832 × 10-430 5.614955832 × 10-31.3751168 × 10-34.436344 × 10-41.643375 × 10-4参数：δ=3，c=6（漂移低于0），c-δ=6（漂移大于0），η=5，α=1.4.2。布朗风险过程。现在，如果X和Y是布朗风险过程，即ifXt- X=ct+σBt和Yt- Y=（c）- δ） t+σBt，其中B={Bt，t≥ 0}是标准的布朗运动。在这种情况下，x的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+σλ给出，净利润条件由E[Y]=c给出- δ ≥ 0.那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=c1.- E-2cσx,W（x）=c- δ1.- E-2c-Δσx,w（x；-z） =c1.- E-2cσ（x+z）+ M（x，δ，σ，c）e-2cσz，其中m（x，δ，σ，c）：=δc- δC1.- E-2cσx-δE-2c-Δσx- E-2cσx.同样，如[13]所述，我们有∞E-2cσzzP（Xr∈ dz）=Z∞zP（Xr）∈ （dz）- 克兰德莱兹∞zP（Xr）∈ （dz）=√2πσrZ∞泽-（z）-cr）2σrdz=σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ.把所有的部分和定理2的主要结果放在一起，我们得到了巴黎破产概率的以下表达式：Px（κUr<∞)= 1.-C- δcσ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ1.- E-2cσx+cM（x，δ，σ，c）σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ- δr+（c）- δ） rE-2cσx- cM（x，δ，σ，c）σ√R√2πe-cr2σ+crNC√rσ- δr。以下两个表提供了折射布朗风险模型中关于折射参数δ和巴黎指数参数r的巴黎破产概率的敏感性分析。初始水平U=x的值也在变化。

同样在这个例子中，我们用符号c表示X的线性部分（0以下）和c- Y的线性部分的δ（大于0）。在表3中，我们确定了c的值- δ（大于0）并研究折射参数δ值的变化对巴黎破产概率的影响。正如预期的那样，δ值越大，巴黎破产的概率越小。在表4中，我们有除巴黎延迟参数r之外的所有参数。正如预期的那样，延迟r的值越大，即宽限期越大，巴黎破产的概率越小。表3。折射参数δ对折射布朗风险模型中巴黎人回归概率的影响xδ=0δ=1δ=3δ=4δ=51 1.756316×10-24.058863 × 10-22.040134 × 10-21.393016 × 10-29.279776 × 10-35 4.629599 × 10-31.069916 × 10-35.377735 × 10-23.671950 × 10-32.446123 × 10-310 8.744183 × 10-42.020791 × 10-31.015725 × 10-36.935426 × 10-44.620132 × 10-420 3.119399 × 10-57.209243 × 10-53.623682 × 10-42.474236 × 10-51.648221 × 10-530 1.112814 × 10-62.574575 × 10-61.294587 × 10-68.835856 × 10-75.883359 × 10-7参数：r=2，c- δ=6（漂移大于0），σ=6表4。延迟参数r对折射布朗ris k模型中巴黎破裂概率的影响X r=0 r=1 r=2 r=4 r=61 8.3650684×10-18.89538704 × 10-22.908344 × 10-25.066851×10-31.146373 × 10-35 3.6513221 × 10-13.65700339 × 10-21.195692 × 10-22.083045 × 10-34.712679 × 10-410 1.2674282 × 10-11.20385972 × 10-23.936133 × 10-36.857238 × 10-41.551377 × 10-420 1.908693 × 10-21.3045990 × 10-34.265510 × 10-47.431054 × 10-51.681198 × 10-530 3.41422 × 10-31.413768 × 10-44.622456 × 10-58.052897 × 10-61.821894 × 10-6参数：δ=3，c=6（漂移低于0），c-δ=3（漂移大于0），σ=64.3。跳跃-阶段型索赔的扩散风险过程。

更一般地说，如果我们加入一个布朗成分，如果我们让索赔分布更一般，那么我们考虑一个阶段型索赔的Lévy跳跃扩散风险过程：Xt- X=ct+σBt-NtXi=1Ciand Yt- Y=（c）- δ） t+σBt-NtXi=1Ci，其中σ≥ 0，B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动，N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是独立的随机变量，具有公共相位类型分布，具有最小表示（m，T，α），即其累积分布函数（cdf）由F（x）=1给出- αeTx1和T是连续时间killed Markov链的m×m矩阵，其初始分布由单纯形α=[α，…，αm]给出，1表示1的列向量。上述所有对象都是相互独立的（详情参见[3]）。X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+σλ+η明确给出α（λI）- （T）-1t- 1., （15） 其中t=-T1。让我们用ρjandζ表示方程λ7的负实部根→ ψ（λ）=0和λ7→ ψ(λ) - Δλ分别为0。根据[6]中的命题5.4，我们假设净利润条件E[X]>δ，因此ρj和ζi是不同的根。然后，从[3]中的命题2.1和[6]中的命题5.4，我们可以得到w（x）=ψ′（0）+Xj∈IρAjeρjx，W′（x）=Xj∈IρρjAjeρjx，W（x）=ψ′（0）- δ+Xi∈IζBieζix，w（x；-z） =ψ′（0）+Xj∈IρAjeρj（x+z）+ψ′（0）- δXj∈IρρjAj（eρjx）- 1） eρjz+Xj∈IρXi∈Iζeρjx- eζixρj- ζiAjBieρjz，其中Aj=ψ′（ρj）和Bi=ψ′（ζi）-δ、 其中Iρ和Iζ是分别对应于ρj和ζI的指数集。此外，我们可以观察到Laplace-ex-ponentin（15）和ψ（λ）- Δλ分别是m+2和m次多项式的比值。如果σ>0和c>0，这当然是正确的。另一方面，如果σ=0且c>0，我们分别得到两个m+1和m次多项式的比值。

因此，如果我们取ψ（λ）=0和ψ（λ）-Δλ=0根据σ>0或σ=0，我们将有m+2或m+1根。从[6][Prop.5.4（ii）]我们知道有m+1（或m）根具有负实部。亨塞卡（Iζ）=卡（Iρ）=m+1（或卡（Iζ）=卡（Iρ）=m，如果σ=0）。此外，P（Xr∈ dz=e-ηr∞Xk=0（ηr）kk！Z∞F*k（dy）N（dz+y）- cr）σ√R,其中N是标准正态随机变量的cdf，F*k=0时，我们知道F的第k次卷积*0（dy）=δ（dy）为0时的狄拉克质量。把所有的部分放在一起，我们得到了巴黎破产概率的表达式。4.4. 稳定的风险流程。现在，如果X和Y是3/2稳定的风险过程，即ifXt-X=ct+ZT和Yt- Y=（c）- δ） t+Zt，其中Z={Zt，t≥ 0}是一个光谱负的α稳定过程，α=3/2。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+λ3/2给出。那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=1- E1/2(-C√x） c，W（x）=1- E1/2(-（c）- δ)√x） c- δ、 w（x；-z） =c1.- E1/2-C√x+z+Zxc- δ1.- E1/2-（c）- δ)√十、- Yπ√十、- c·E1/2-C√y+zdy，其中E1/2是1/2阶的Mittag-Le-funger函数。同样，如[13]所述，我们有p（Zr∈ dy）=P（r2/3Z∈ (dy)=qπr2/3y-1e-u/2W1/2,1/6（u）dy y>0，-√3πr2/3y-1eu/2W-1/2,1/6（u）dy y<0，其中u=r9/2 | y |和Wκ，u是惠特克的W函数（不要与X的0标度函数混淆）。把所有的部分和定理2的主要结果结合起来，我们得到了巴黎破产的概率。5.证明等我们主要结果的证明基于技术性但重要的引理（在下一节中提供），以及更标准的概率分解。5.1. 中间结果。下一个引理来自[13]：引理6。对于θ>q>0和y≥ 0，Z∞E-θrZ∞yzrP（Xr∈ dz）dr=Φ（θ）e-Φ（θ）y，（16）和z∞E-θrZ∞W（q）（z）-y） zrP（Xr∈ dz）dr=e-Φ（θ）yθ- Q

（17） 从第一个引理，我们可以推断出以下两个有用的i特性：Z∞W（q）（z）zrP（Xr）∈ dz）=eqr，（18）和z∞E-θrW（z）-y） zrP（Xr∈ dz）=θe-Φ（θ）y，y≥ 我们还可以从[13]中提取以下恒等式：f或x<0，Pxτ+≤ R=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）。（20） 这个恒等式将在等式（22）中推广。为了证明我们的主要引理，也就是下面的引理8，我们需要[12]中的以下结果。引理7。对于所有的p，q≥ 0和a≤ 十、≤ b、 告密-pν-aW（q）（Yν-a） 1{ν-a<ν+b}i=W（q）（x）-Zx-A.（q）-p） W（q）（x）- z）- δW（q）′（x）- z）W（p）（z）dz-W（p）（x）- a） W（p）（b）- （a）W（q）（b）-Zb-A.（q）-p） W（q）（b）- z）- δW（q）′（b）- z）W（p）（z）dz. （21）注意，（21）的另一个表达式可以在[15，引理1]中找到。以下三个恒等式对于证明我们的主要结果是新的和关键的。引理8。为了x∈ R、 q≥ 0和a≥ 我们有PYν-τ+≤ R{ν-<∞}=Z∞（w（x；-z）- W（x））zrP（Xr∈ dz）+δW（x），（22）ExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}=Z∞E-qrw（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ （23）安第斯山脉E-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}=Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。（24）证据。通过（17）和拉普拉斯反演，我们得到，对于所有的y≤ 0啊-qτ+{τ+≤r} i=Z∞E-qrW（q）（y+z）zrP（Xr）∈ dz）。然后，根据Tonelli的theoremExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}= 前任E-qν-Z∞E-qrW（q）Yν-+ ZzrP（Xr∈ dz）1{ν-<ν+a}=Z∞E-qrexe-qν-W（q）Yν-+ Z{ν-<ν+a}izrP（Xr∈ dz）=Z∞E-qrEx+zhe-qν-zW（q）Yν-Z{ν-z<ν+a+z}izrP（Xr∈ dz），其中最后一行后面是Y的空间均匀性。

用恒等式（21）表示p=q，我们有ex+zhe-qν-zW（q）Yν-Z{ν-z<ν+a+z}i=w（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z） ，这证明了（23）。根据（20），Tonelli定理和Y的空间齐性，我们得到了E-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}= 前任E-qν-Z∞WYν-+ ZzrP（Xr∈ dz）1{ν-<ν+a}=Z∞告密-qν-WYν-+ Z{ν-<ν+a}izrP（Xr∈ dz）=Z∞Ex+zhe-qν-zWYν-Z{ν-z<ν+a+z}izrP（Xr∈ dz）=Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。为了证明最后一个恒等式，我们需要计算以下limitExPYν-τ+≤ R{ν-<∞}= 林克→利马→∞前任E-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}.辛塞利马→∞W（q）（z+a）W（q）（a）=0和利马→∞W（q）（a）- y） W（q）（a）=e-η（q）y.我们使用Lebesgue的支配收敛定理→∞w（q）（a；-z） W（q）（a）=δz∞E-ν（q）yW（q）′（y+z）dy=-δW（q）（z）+δe~n（q）zδ- ~n（q）Zze-ν（q）yW（q）（y）dy,自ψ（ψ（q））- q=ψ（ψ（q））- ΔП（q）+ΔП（q）- q=Δа（q）。森林克→利马→∞w（q）（a），-z） W（q）（a）=-δW（z）+1，结果如下。5.2. 定理2的证明。对于x<0，利用U的强Markov性质和它是无跳向上的事实，我们得到了pxκUr=∞= ExhPxκUr=∞ | Fκ+{κ+<∞}i=Pxκ+≤ RPκUr=∞.自从Xt，t<τ+和Ut，t<κ+当nx<0时，我们进一步得到pxκUr=∞= 二甲苯τ+≤ r） P（κUr=∞. （25）对于x≥ 0，再次使用U的强马尔可夫性质，事实上Yt，t<ν-和Ut，t<κ-对于px有相同的分布，使用（25），我们得到pxκUr=∞= 二甲苯κ-= ∞+ ExhPxκUr=∞ | Fκ-{κ-<∞}i=Pxκ-= ∞+ 前任PUκ-κUr=∞{κ-<∞}= 二甲苯ν-= ∞+ PκUr=∞前任PYν-τ+≤ R{ν-<∞}. （26）注意，最后一个表达式适用于所有x∈ R.我们将首先证明x=0的结果。我们将这部分证明分为两种情况：对于有界变差路径（BV）的过程，以及对于无界变差路径（UBV）的过程。首先，我们假设X和Y有BV的路径。

设定x=0英寸（26）yieldsPκUr=∞= Pν-= ∞+ PκUr=∞EPYν-τ+≤ R{ν-<∞}.求PκUr=∞使用（8）和（22），我们得到p（κUr=∞) =（E[X]- δ） +R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ、 （27）在这里我们使用f法，W（0）>0。现在，如果X有UBV的路径，我们将使用与[13]相同的近似过程。Wedenote byκUr，描述第一次远足的停留时间，从0以下开始，回到结束，持续时间比r长。更准确地说，对于>0，定义κUr，=inft>r:t-内脏，>r，Ut-r<0,其中gUt，=sup{0≤ s≤ t:我们≥ }. 显然，我们有κUr，<κUra。s、 这意味着κUr，=∞κUr=∞. 然后，可以证明lim→0PκUr，=∞= PκUr=∞.使用类似于BV的参数，当x<0时，我们有pxκUr，=∞= Px（κ+）≤ r） P（κUr，=∞)然后，当x≥ 0，我们有pxκUr，=∞= 二甲苯ν-= ∞+ P（κUr，=∞)前任PYν-κ+≤ R{ν-<∞}.设置x=并求解PκUr，=∞, 我们得到了P的帮助κUr，=∞=（E[X]- δ） +W（）1- EPYν-κ+≤ R{ν-<∞}. （28）使用（7）和（10），我们可以写∞E-θrEPYν-κ+≤ R{ν-<∞}dr=E{ν-<∞}Z∞E-θrPYν-(κ+≤ r） 博士=θE{ν-<∞}EYν-他-θκ+{κ+<∞}我=E{ν-<∞}eΦ（θ）Yν-θeΦ（θ）+ΔΦ（θ）ReΦ（θ）yW（θ）（）- y） dy=1.- (θ - ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy-θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）θ1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy.因此，我们有∞E-θr1.- EPYν-(κ+≤ r） 1{ν-<∞}W（）dr=θW（）-1.- (θ -ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy-θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）θW（）1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy=θW（）ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy+（θ）- ΔΦ（θ））Re-Φ（θ）yW（y）dy+θ-ΔΦ（θ）Φ（θ）e-Φ（θ）W（）1+ΔΦ（θ）Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dy--→→0Φ(θ)-Δθ，我们用f表示，对于所有θ≥ 0，我们有Lim→0Re-Φ（θ）yW（θ）（y）dyW（）=0。从引理6的（16）中，我们得到θ7→ 1/Φ(θ) - δ/θ是r7的拉普拉斯变换→Z∞zrP（Xr∈ （dz）- δ.通过拉普拉斯变换的扩展连续性定理（参见。

[4] ），这是x=0的极限。现在我们证明x的结果∈ 现在，X和Y可以是BV或UBV。我们现在可以这样写（26）：Px（κUr=∞) = （E[X]- δ） +W（x）+（E[x]- δ） +R∞zrP（Xr∈ （dz）- δExPYν-(τ+≤ r） 1{ν-<∞}= （E[X]- δ)+W（x）R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ+ 前任PYν-τ+≤ R{ν-<∞}R∞zrP（Xr∈ （dz）- δ.使用（22），我们得到最终的ypxκUr=∞= （E[X]- δ)+R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ （dz）- δr,这适用于所有x∈ R5.3. 定理4的证明。对于x<0，利用U的强Markov性质和它是无跳向上的事实，我们得到了-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrPx（κ+>r）+Exhe-qκ+{κ+≤r} 耶-qκUr{κUr<κ+a}i.自Xt，t<τ+和Ut，t<κ+当x<0时，我们得到-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrPx（τ+>r）+Exhe-qτ+{τ+≤r} 耶-qκUr{κUr<κ+a}i。

（29）对于0≤ 十、≤ a、 再次利用强马尔可夫性，我们得到-qκUr{κUr<κ+a}i=ExE-qκ-EUκ-他-qκUr{κUr<κ+a}i{κ-<κ+a}利用这个事实Yt，t<ν-和Ut，t<κ-在pxx下有同样的规律≥ 在最后一个期望中，我们有∈ 雷克斯-qκUr{κUr<κ+a}i=e-qrexe-qν-{ν-<ν+a}i- E-qrExE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}+ Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iExE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}.对于x=0，使用最后一个等式-qκUr{κUr<κ+a}i=e-克里赫-qν-{ν-<ν+a}i- E-qrEE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}1.- EE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}其中，来自（23），EE-qν-EYν-他-qτ+{τ+≤r} i{ν-<ν+a}=Z∞E-qrW（q）（z）-W（q）（0）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ dz）和，从（24）开始，EE-qν-PYν-(τ+≤ r） 1{ν-<ν+a}=Z∞W（z）-W（q）（0）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）。在（18）和（19）的帮助下，y=0，并且由于W（0）>0，我们得到了-qκUr{κUr<κ+a}i=-E-qrW（q）（0）W（q）（a）Z（q）（a）+e-qrR∞W（q）（0）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）W（q）（0）W（q）（a）R∞E-qrw（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）=1-Z（q）（a）+R∞w（q）（a；-z）- W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。（30）新的-qκUr{κUr<κ+a}i=Z（q）（x）- Z（q）（a）W（q）（x）W（q）（a）-Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q，-q） a，δ（a+z）！zrP（Xr∈ dz）+Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iZ∞w（q）（x；-z）-W（q）（x）W（q）（a）W（q）（a）；-z） !！zrP（Xr∈ dz）=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<κ+a}i- W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz）。当X有无界变分路径时，我们可以在定理2的证明中使用相同的近似过程。细节留给读者。身份（ii）从（i）开始，通过接受限制。