折射列维过程的巴黎废墟

事实上，我们有利马→∞告密-q（κUr）-r） {κUr<κ+a}i=lima→∞Ehe-qκUr{κUr<κ+a}iZ∞w（q）（x；-z） zrP（Xr∈ Z+Z（q）（x）-Z∞W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），以及来自（30）利马→∞Ehe-qκUr（κUr<κ+a）i=lima→∞-Z（q）（a）+R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。如前所示，我们有利马→∞w（q）（a；-z） W（q）（a）=-δW（q）（z）+e~n（q）z1.- ΔП（q）Zze-ν（q）yW（q）（y）dy,森利马→∞Z∞w（q）（a；-z） W（q）（a）zrP（Xr）∈ dz）=Z∞1.- ΔП（q）Zze-ν（q）vW（q）（v）dve~n（q）zzrP（Xr∈ （dz）- δeqr。最后，从W（q）的定义来看，-q） a，δ，使用Lebesgue的支配收敛定理并进行分部积分，lima→∞-Z（q）（a）+R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）W（q）（a）=-q~n（q）+利马→∞Z∞W（q）（a+z）- δW（z）W（q）（a）W（q）（a）！zrP（Xr∈ 利马→∞Z∞zrP（Xr∈ dz）ZzqW（z）- y）- δW′（z）-y）W（q）（a+y）W（q）（a）dy=-q~n（q）- δ+Z∞e~n（q）z1+（q）- ΔП（q））Zze-~n（q）yW（y）d yzrP（Xr∈ dz）。为了证明（iii），我们首先使用强马尔可夫性质和U只有向下跳跃到getPx的事实（κUr=∞) = Px（κ-a<κ-Ur）Pa（κ-Ur=∞),哪个产量spx（κ+a<κUr）=Px（κUr=∞)Pa（κUr=∞).使用测量的pΦ（q）xdPx=eΦ（q）（Xt）的变化-十）-qton Ftand使用（14），我们得到v（q）（x）：=eΦ（q）xPΦ（q）x（κUr=∞)=EΦ（q）[X]- δ+R∞E-Φ（q）zw（q）（x；-z） zPΦ（q）（Xr）∈ dz）R∞zPΦ（q）（Xr）∈ （dz）- δr=EΦ（q）[X]- δ+R∞w（q）（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zPΦ（q）（Xr）∈ （dz）- δr.因此，从可选停止定理和关于顶部Φ（q），X和Y漂移到完整性的事实（因为ψ′Φ（q）（0+）=ψ′（Φ（q）+）>0），我们得到-qκ+a，κ+a<κUri=V（q）（x）V（q）（a）=R∞w（q）（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zP（Xr）∈ dz）。附录A.标度函数的一些分析性质谱负Lévy过程X的q-标度函数W（q）是可微分的，最多可数点除外。此外，如果X具有无界变化路径，或者如果Lévy测度的尾部是连续的，那么W（q）是连续可微的，并且在（0，∞) 如果σ>0。

当σ=0和rz∏（dz）<∞,否则，W（q）′（0+）=2/σ当σ>0时，∏（0，∞) + q） 当σ=0和∏（0，∞) < ∞,∞ 否则另一方面，当ψ′（0+）>0时，W的终值由imx给出→∞W（x）=ψ′（0+）。众所周知，Limx→∞Z（q）（x）W（q）（x）=qΦ（q）。最后，回想一下[15]中的以下有用恒等式：f或p，q≥ 0和x∈ R、 （q）- p） ZxW（p）（x）- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（p）（x）+δW（q）（0）W（p）（x）+ZxW（p）（x）- y） W（q）′（y）dy, （31）其中W（q）是光谱负Lévy过程Y={Yt=Xt的q标度函数-δt，t≥ 0}. 注意，当δ=0时，我们恢复了一个在[14]中首次出现的特例：（q-p） ZxW（p）（x）- y） W（q）（y）dy=W（q）（x）- W（p）（x）。（32）附录B.致谢我们感谢两位匿名推荐人仔细阅读了这篇论文。支持这项工作的资金由加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）提供。Mohamed Amine Lkabous感谢科学数学研究所（ISM）和UQAM科学学院的财政支持（博士奖学金）。Irmina Czarna得到了国家科学中心第2015/19/D/ST1/01182号拨款的支持。参考文献[1]E.J.Baurdoux，J.C.Pardo，J.L。Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.Appl。Probab。53（2016），第2572-584号。[2] I.Czarna和Z.Palmowski，《带巴黎时滞的谱负Lévy风险过程的破产概率》，J.Appl。Probab。48（2011），第4984-1002号。[3] M.Egami和K.Yamazaki，谱负Lévy过程尺度函数的相位类型拟合，J.Compute。阿普尔。数学264 (2014), 1–22.[4] W.Feller，概率论及其应用导论。第二卷。，第二版，约翰·威利父子公司，纽约，1971年。[5] 盖林和J-F。

雷诺，关于巴黎累积破产的分布，保险数学。经济。73C（2017），116-123。[6] 库兹涅佐夫。E.Kyprianou和V.Rivero，《光谱负Lévy过程的尺度函数理论》，Lévy Matters——斯普林格数学讲稿，2012年。[7] A.E.Kyprianou，《莱维过程的波动与应用——入门讲座》，第二期，Universitext，斯普林格，海德堡，2014年。[8] A.E.Kyprianou和R.L.Loefen，折射Lévy过程，安。亨利·彭加勒·普罗巴研究所。《统计》第46期（2010年），第1期，第24-44页。[9] D.Landriault，B.Li和H.Zhang，《关于列维模型水位下降的幅度、渐近性和持续时间》，伯努利23（2017），第1432-458号。[10] D.Landriault，J.-F.Renaud和X.Zhou，谱负Lévy过程的占用时间及其应用，随机过程。阿普尔。121（2011），第11号，2629–2641。[11] ，一个具有巴黎实施延迟的保险风险模型，Methodol。计算机。阿普尔。Probab。2014年第16期，第3583-607号。[12] R.L.Loe ffen，关于获得光谱负Lévy过程超调的简单恒等式，arXiv:1410.5341v2[math.PR]。[13] R.L.Loe ffen，I.Czarna和Z.Palmowski，《谱负Lévy过程的巴黎破产概率》，Bernoulli 19（2013），第2599-609号。[14] R.L.Loe offen，J.-F.Renaud，和X.Zhou，谱负Lévy过程，随机过程，直到第一次通过时间的间隔占用时间。阿普尔。124（2014），第31408-1435号。[15] J.-F.Ren aud，关于折射莱维风险过程中出现赤字的时间，J.Appl。Probab。51（2014），第4号，1171-1188。[16] J.T.Y.Wong和E.C.K.Cheung，关于指数跳跃（双重）更新风险过程中巴黎破产的时间价值，保险数学。经济。65 (2015), 280–290.魁北克大学蒙特勒阿尔分校数学系（UQAM），201 av。

普雷西登肯尼迪，蒙特勒阿尔（魁北克）H2X 3Y7，加拿大航空公司邮箱：lkabous。穆罕默德_amine@courrier.uqam.caDepartment沃克瓦夫大学数学系，pl.Grunwaldzki 2/4，沃克瓦夫大学50-384号，波兰德邮箱：czarna@math.uni.wroc.plD魁北克大学蒙特勒阿尔分校数学系（UQAM），201 av。普雷西登肯尼迪，蒙特勒阿尔（魁北克）H2X 3Y7，加拿大邮政地址：雷诺。jf@uqam.ca