折射列维过程的巴黎废墟

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英文标题：
《Parisian ruin for a refracted L\\\'evy process》
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作者：
Mohamed Amine Lkabous, Irmina Czarna, Jean-Fran\\c{c}ois Renaud
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we investigate Parisian ruin for a L\\\'evy surplus process with an adaptive premium rate, namely a refracted L\\\'evy process. More general Parisian boundary-crossing problems with a deterministic implementation delay are also considered. Our main contribution is a generalization of the result in Loeffen et al. (2013) for the probability of Parisian ruin of a standard L\\\'evy insurance risk process. Despite the more general setup considered here, our main result is as compact and has a similar structure. Examples are provided.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了具有自适应保费率的列维剩余过程的巴黎破产，即折射列维过程。还考虑了更一般的具有确定性实现延迟的巴黎边界穿越问题。我们的主要贡献是对Loeffen等人（2013）关于标准列维保险风险过程巴黎破产概率的结果的推广。尽管这里考虑了更一般的设置，但我们的主要结果是紧凑的，并且具有类似的结构。举例说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Parisian_ruin_for_a_refracted_Lévy_process.pdf (275.72 KB)

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关键词：Applications Differential Contribution Quantitative Probability

巴黎的折光莱维工艺废墟穆罕默德·阿明·卡布斯、伊米娜·扎纳和让-弗朗索瓦·勒诺。本文研究了具有自适应保费率的Lévy剩余过程的巴黎破产问题，即折射Lévy过程。我们的主要贡献是[13]中关于标准Lévy保险风险过程的巴黎破产概率的结果的推广。还考虑了更一般的具有确定性实现延迟的巴黎边界穿越问题。尽管这里考虑了更一般的设置，但我们的主要结果是结构紧凑，结构相似。举例说明。1.介绍在过去的几年里，巴黎废墟的想法引起了很多关注。在巴黎pe破产模型中，保险公司违约时不会立即清算：在清算前给予宽限期。更准确地说，如果在预先确定的临界水平下所花费的时间比实现延迟（也称为时钟）长，则会发生巴黎破产。最初，人们考虑了两种类型的巴黎破产，一种是确定性延迟（参见[2,9,13,16]），另一种是随机延迟（[1,10,11]）。每当盈余进入红色区域时，这两种类型的巴黎废墟就会启动一个新的时钟，无论是确定性的还是随机的。最近[5]提出了巴黎废墟的第三个定义，称为累积巴黎废墟；在这种情况下，竞赛是在单个确定性时钟和低于临界水平的偏移总和之间进行的。在本文中，我们对折射Lévy保险风险过程中具有确定性延迟的巴黎破产时间感兴趣，这是[8]中首次研究的过程。

对于标准的Lévyin保险风险过程X，在[13]中研究了延迟r>0的巴黎破产时间：定义为κr=inf{t>0:t- gt>r}，其中gt=sup{0≤ s≤ t:Xs≥ 0}. Loe offen等人[13]获得了巴黎破产概率的一个非常好且紧凑的表达式：定理1。为了x∈ R、 Px（κR<∞) = 1.- （E[X]）+R∞W（x+z）zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ dz），（1）式中（x）+=max（x，0），其中函数W是x的0标度函数（见（3）中的定义），我们希望通过对剩余过程使用具有自适应溢价的过程，使模型更一般、更现实，从而改进这个结果，如[15]所示。更准确地说，当公司陷入财务困境时，即当其盈余低于临界水平时，保费会增加；当其盈余离开红色区域时，日期为2018年10月10日。关键词和短语。巴黎废墟，适应性溢价，折射莱维过程。保险费恢复到正常水平。因此，我们将使用折射Lévy过程作为剩余过程。请注意，我们也可以将溢价率的这种变化解释为一种投资方式（用于研发、现代化等）：如果公司的盈余处于良好的财务状况，即高于临界水平，则其投资率为δ；否则就不行了。然而，对于本文的剩余部分，我们将使用前面的解释。一般来说，与经典过程相比，折射Lévy过程的波动恒等式可能很乏味，因为涉及两个不同Lévy风险过程的标度函数（见[8]）。因此，我们的主要贡献是，对于折射Lévy风险过程（见下面的等式（14））的巴黎破产概率，我们给出了一个令人惊讶的简洁表达式，其精神与标准Lévy风险过程的等式（1）中的等式相同。

我们的公式还提供了折射参数如何影响这种概率的信息，同时显示了延迟参数的影响。此外，我们还分析了折射Lévy过程的更一般的巴黎边界交叉问题，即使对于标准的Lévy风险过程，这些问题以前都没有研究过。因此，当折射参数设置为零时，经典的Lévy装置将获得新的恒等式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将更详细地介绍我们的模型，以及一些关于光谱负Lévy过程和尺度函数的背景材料。第3节给出了主要结果，第4节给出了几个例子。第5节是主要结果的证明，以及（新的）技术问题。在附录中，给出了尺度函数的一些众所周知的性质。2.我们的模型和背景材料在导言中提到，我们对剩余过程U感兴趣，其动态变化通过在低于临界水平时添加固定线性漂移（溢价），即所谓的红色区域。在不丧失一般性的情况下，我们将选择该临界水平为0。在我们的模型中，Y是正常业务期间（高于零）的盈余过程，而Lex是关键业务期间（低于零）的盈余过程，额外的溢价率δ。更准确地说，假设Y是一个Lévy保险风险过程（参见下面的定义），模拟0以上盈余U的动态。在0以下，我们的剩余过程U演化为asX={Xt=Yt+δt，t≥ 0}.

显然，X也是一个Lévy保险风险过程；事实上，除了受Lévyprocess的线性部分的值影响的那些属性外，X andY共享许多属性。换句话说，我们的剩余过程由解U={Ut，t给出≥ 0}到以下随机微分方程：对于δ≥ 0，dUt=dYt+δ1{Ut<0}dt，t≥ 0. (2)2.1. 莱维保险风险流程。我们说X={Xt，t≥ 如果0}是滤波概率空间上的谱负Lévy过程（SNLP），则0}是Lévy保险风险过程(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，P），这是一个具有平稳、独立增量和无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。由于Lévy过程X没有正跳跃，它的拉普拉斯指数存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞E-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），表示γ∈ R和σ≥ 其中∏是（0，∞) 就这样∞(1 ∧ z） π（dz）<∞.该测度∏称为X的Lévy测度。最后，请注意，E[X]=ψ′（0+）因此，在Lévy保险风险模型中，净利润条件写为E[X]=ψ′（0+）≥ 0.我们将使用标准的马尔可夫符号：从X=X开始的X定律由px表示，相应的期望值由Ex表示。当X=0时，我们写出P和E。当剩余过程X具有有界变化路径时，即当rz∏（dz）<∞σ=0，我们可以写ext=ct- 其中c:=γ+Rz∏（dz）>0是X的漂移，其中S={St，t≥ 0}是无漂移随机变量（例如伽马过程或复合泊松过程）。现在我们给出了X的标度函数W（q）和Z（q）的定义。

首先，回想一下有一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φ（q）=sup{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φ（q））=q，q≥ 0.现在，对于q≥ 0，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 用拉普拉斯变换器∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- q、 对于λ>Φ（q）。（3） 这个函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0，并且对于q是进一步的连续≥ 通过设置W（q）（x）=0 f或x<0，我们将W（q）扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=W（0）。我们还定义了z（q）（x）=1+qZxW（q）（y）dy，x∈ R.（4）如果我们定义Y={Yt=Xt- δt，t≥ 0}，那么它也是一个Lévy保险风险过程（如果它没有单调路径）：它的线性部分由γ给出- δ但它与X具有相同的高斯系数σ和Lévy测度∏。事实上，X和Y有许多共同的性质。请注意，我们可以先指定，然后定义X={Xt=Yt+δt，t≥ 0}如引言所示。这两种方法是等效的。Y的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，带右逆的φ（q）=sup{λ≥ 0 | ψ(λ) - Δλ=q}。然后，对于每个q≥ 0，我们定义了它的标度函数W（q）和Z（q），如方程（3）和（4）：Z∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- δλ -q、 对于λ>φ（q）和z（q）（x）=1+qZxW（q）（y）dy，x∈ R.2.2。折射Lévy过程。回想等式（2），我们的剩余过程U={Ut，t≥ 0}等价于解todUt=dYt+δ1{Ut<0}dt，t≥ 0，ordUt=dXt- δ1{Ut>0}dt，t≥ 0，其中δ≥ 0是折射参数。秒随机微分方程是[8]中使用的方程。在那篇文章中证明了这样一个过程的存在，它是一个向上跳跃的强马尔可夫过程。出于技术原因，我们需要假设，如果X（以及Y）具有有界变化路径，则为0≤ δ<c=γ+Z（0,1）Z∏（dz）。

（5） 因为在这种情况下，X可以写成Xt=ct- 式（5）中的条件是确保Y具有严格的正线性漂移。在[8]中，许多函数恒等式，包括U的破产概率，都是用U:q的尺度函数推导出来的≥ 0和x∈ R、 setw（q）（x；z）=W（q）（x）- z） +δ1{x≥0}ZxW（q）（x）- y） W（q）′（y）-z） dy.（6）注意，当x<0时，我们有W（q）（x；z）=W（q）（x）- z） 。对于q=0，我们将写w（0）（x；z）=w（x；z）。有关更多详细信息，请参见[7]。2.3. 经典的破产和退出问题。以下是光谱负Lévy过程X和Y以及折射Lévy过程U的已知反射识别的集合。有关更多详细信息，请参见[7]。首先，对于实数a和b，我们定义了以下第一次通过的停止时间：τ-a=inf{t>0:Xt<a}和τ+b=inf{t>0:Xt≥ b} ν-a=inf{t>0:Yt<a}和ν+b=inf{t>0:Yt≥ b} κ-a=inf{t>0:Ut<a}和κ+b=inf{t>0:Ut≥ b} ，与公约 = ∞. 暂时≤ 0≤ b和q≥ 0，如果a≤ 十、≤ b那么我们有-qκ+b{κ+b<κ-a} i=w（q）（x；a）w（q）（b；a），从中我们可以推断出-qκ+b{Kκ+b<∞}i=eΦ（q）x+ΔΦ（q）1{x≥0}RxeΦ（q）yW（q）（x）- y） 染料Φ（q）b+ΔΦ（q）RbeΦ（q）yW（q）（b）- y） dy.（7）参见[8]中的定理5。此外，与每三个过程相关的经典破产概率由px给出τ-< ∞= 1.- （E[X]）+W（X），对于X，而对于Y和U，我们有pxν-< ∞= 1.- （E[X]- δ） +W（x）（8）和pxκ-< ∞= 1.-（E[X]- δ)+1 - δW（0）W（x；0）。（9） 当然，等式（8）和（9）中的表达式应该相等，因为Yt，t<ν-和Ut，t<κ-当x>0时，具有与px相同的分布。使用附录中的等式（31），我们可以看到情况就是这样。最后，由于Y的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，那么对于x，θ>0，wehaveExheθYν-{ν-<∞}i=eθx- (ψ(θ) - Δθ）eθxZxe-θzW（z）dz-ψ(θ) - ΔθW（x）。

（10） 我们以辅助功能的定义结束本节。对于紧凑性，我们定义了p，p+q≥ 0和a，x∈ RW（p，q）a（x）=W（p）（x）+qZxaW（p+q）（x）- y） W（p）（y）dy=W（p+q）（x）- qZaW（p+q）（x）- y） W（p）（y）dy（11）和h（p，q）（x）=eΦ（p）x1+qZxe-Φ（p）zW（p+q）（y）dy, （12） 式中，等式（11）中的第二个等式来自附录中的恒等式（32）。Wealso defi neW（p，q）a，δ（x）=W（p）（x）- δW（p+q）（0）W（p）（x）+ZxaqW（p+q）（x）- y）- δW（p+q）′（x- y）W（p）（y）dy=W（p+q）（x）-ZaqW（p+q）（x）- y）- δW（p+q）′（x- y）W（p）（y）dy（13）和h（p，q）δ（x）=eа（p）x1+（q）- Δψ（p））Zxe-~n（p）yW（p+q）（y）dy,分别作为（11）和（12）的类似物，其中H（p，q）=H（p，q）和W（p，q）a，0=W（p，q）a。等式（13）中W（p，q）a，δ的第二个表达式来自附录中的等式（31）。3.主要结果在对标准利维保险风险过程进行定义之后，我们通过κUr=inf定义了折射利维保险风险过程U的巴黎破产时间，延迟r>0t>0:t- 内脏>r,其中gUt=sup{0≤ s≤ t:我们≥ 0}. 我们的主要目标是获得巴黎破产的相应概率的表达式，其结构类似于等式（1）中的结构。定理2。为了x∈ R、 PxκUr<∞= 1.- （E[X]- δ） +R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞zP（Xr）∈ （dz）- δr.（14）对于标准SN LP的经典破产和巴黎破产，如果未验证净利润条件，则几乎肯定会发生（巴黎）破产。在最后一个结果中，如果E[X]≤ δ、 那么U的巴黎破产概率等于1。这是因为要求E[Y]=E[X]-δ>0与该模型中的净利润条件相同，即对于盈余过程U。同样，应该清楚的是，如果我们在上述结果中设置δ=0，那么我们可以恢复方程（1）。备注3。

使用第5节中的恒等式，我们还可以将结果重新写入等式（14）中，如下所示：κUr<∞= 1.- （E[X]- δ） +R∞w（x；-z） zP（Xr）∈ dz）R∞(1 - δW（z））zP（Xr∈ dz）3.1。其他结果。利用第5节中的一些结果/引理，可以得到涉及巴黎破产时间的U的其他函数恒等式。例如，还可以计算U在巴黎破产前达到a级的贴现概率和巴黎破产时间的拉普拉斯变换。定理4。对于任何x≤ a和d q≥ 0，我们有（i）Exhe-q（κUr）-r） {κUr<κ+a}i=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<κ+a}i- W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），他在哪里-qκUr{κUr<κ+a}i=1-Z（q）（a）+R∞w（q）（a；-z）- W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）=R∞W（q，-q） a，δ（a+z）zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ （dz）-Z（q）（a）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）（ii）Exhe-q（κUr）-r） {κUr<∞}i=Z（q）（x）+Z∞w（q）（x；-z） Ehe-qκUr{κUr<∞}我-W（q，-q） x，δ（x+z）zrP（Xr∈ dz），他在哪里-q（κUr）-r） {κUr<∞}i=R∞H（q，-q） δ（z）zrP（Xr∈ （dz）-q~n（q）- δR∞H（q，0）δ（z）zrP（Xr）∈ （dz）- δeqr，（iii）Exhe-qκ+a{κ+a<κUr}i=R∞w（q）（x；-z） zrP（Xr∈ dz）R∞w（q）（a；-z） zrP（Xr∈ dz）。备注5。如果我们将δ设为0，我们通过替换φ，w（q），H（q，-q） δ和w（q，-q） δ乘以Φ，W（q），H（q，-q） 和W（q，-q） 分别。4.例句我们现在给出四个模型，在其中我们可以计算定理2中给出的巴黎破产概率。这项任务相当于查找X和Y两个已知分布和比例函数的过程。首先，我们将研究两个经典模型：具有指数索赔的Cramér-Lundberg模型和布朗风险模型。然后，我们将转向更复杂的盈余过程，即稳定风险过程和阶段型索赔的转移风险过程。4.1. 具有指数索赔的Cramér-Lundberg过程。

当X和Y是具有指数分布索赔的aCramér-Lundberg风险过程时，则它们被给定为YXT- X=ct-NtXi=1Ciand Yt- Y=（c）- δ） t-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是具有参数α的独立指数分布随机变量。泊松过程和随机变量是相互独立的。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+η给出αλ + α- 1., 对于λ>-α，净利润条件由E[Y]=c给出- δ - η/α ≥ 0.那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x,W（x）=c- δ - η/α1.-η（c）- δ） αe（ηc）-δ-α） x,w（x；-z） =c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） （x+z）+K（x，δ，α，η，c）（c）- δ - η/α）ce（ηc-α） z，其中k（x，δ，α，η，c）：=δηη - cαe（ηc）-α） x- 1.-δα1.- E-ηδc（c）-δ） xe（ηc）-δ-α） x.如[13]所述，我们有PnRxi=1Ci∈ 阿迪=∞Xk=0PkXi=0Ci∈ 阿迪！P（Nr=k）=e-ηrδ（dy）+e-αy∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！嗯！，其中δ（dy）是0处的狄拉克质量∞zP（Xr）∈ dz）=Zcrze-ηrδ（cr）- dz）+e-α（cr）-z）∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr）- z） mdz！=E-ηrcr+∞Xm=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）!,式中Γ（a，x）=Rxe-埃塔-1dt是不完全伽马函数，ηcαZ∞e（ηc）-α） zzP（Xr）∈ dz）=Z∞zP（Xr）∈ （dz）- （c）- η/α）r.把所有的部分与定理2的主要结果结合起来，我们得到了巴黎破产概率的以下表达式：Px（κUr<∞) = 1.-1.-δc- η/α1.- e（ηc）-α） x-1.-δc- η/αδr- e（ηc）-α） x（δr- （c）- η/α）r）e-ηr铬+磷∞m=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）- δr-αηK（x，δ，α，η，c）1+δr-（c）- η/α）re-ηr铬+磷∞m=0（ηr）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，crα）-αΓ（m+2，crα）- δr.以下两个表提供了折射Cramér-Lundberg模型（具有指数索赔）中关于折射参数δ和巴黎延迟参数r的巴黎破产概率的敏感性分析。