适度偏差制度下的期权定价

虽然没有在一般马尔可夫扩散模型的设置中写入，因此也没有在能量函数∧方面写入，但如果应用于给定的参数随机波动模型，它们不可避免地会给出相同的结果（见[12]中的第3.1节）。然而，这项工作带来了一些（似乎）不可检查的假设，其缺点在[12]的第2.6节中讨论。3主要结果的证明定理2.3的证明。因为满足感的密度q=KKC，我们有，根据杜皮尔的公式（2.1），C（K，t）=ZtsC（K，s）ds=Ztq（K，s）Kσloc（K，s）ds。那么，对于Kt=ektwith Kt↓ 如前所述，我们应用假设2.2如下：C（Kt，t）=Ztq（Kt，s）Ktσloc（Kt，s）ds~σZtq（Kt，s）ds，t↓ 然后，使用密度膨胀的局部均匀性（2.2），C（Kt，t）~σγ（0）中兴通讯-∧（kt）ss-1/2dt=σγ（0）tZe-∧（kt）xt（xt）-1/2dx=σγ（0）t1/2Ze-∧（kt）xtx-1/2dx。（3.1）由于∧在零处是光滑的，利用∧（0）=∧（0）=0这一事实，我们得到∧（kt）t~∧（0）ktt→ ∞ 作为t↓ 0.对于小t，因此（3.1）中的被积函数集中在x=1附近，通过拉普拉斯方法（文献[32]中的定理7.1]）-∧（kt）xtx-1/2dx~t∧（kt）exp-∧（kt）t.因此，C（Kt，t）~σγ（0）t3/2∧（kt）exp-∧（kt）t~ vγ（0）t3/2ktexp-∧（kt）t, T↓ 0，（3.2），这意味着（回想一下（1.1）中的符号c和c）-对数c（kt，t）=∧（kt）t- logt3/2kt+O（1）（3.3）=t∧（0）kt+∧（0）kt+O（kt）+ Ologkt3/2.为了证明（i）和（ii），我们需要证明kt/t支配log（kt）-3/2）如果β∈ （0，），且kt/t主导对数（ktt-3/2）如果β∈ (0,). 为了我∈ {2,3}，我们计算kmt/t | log（ktt-3/2）|=tmβ-1`（t）m|log（t2β-3/2`（t））|=tmβ-1`（t）m |（2β）-) log t+2 log`（t）|。根据[4]中的命题1.3.6（i），我们知道log`（t）=o（logt），以及sokmt/t | log（ktt）-3/2)|~tmβ-1`（t）m |（2β）-) 对数t |，t↓ 0.对于m=2和β，这往往是一致的∈ （0，），对于m=3和β∈ （0，），根据需要。检查前面的证明，不难看出我们可以进一步扩展log c（kt，t）：定理2.5的证明。

将原木放入（3.2）yieldslog c（kt，t）=-∧（kt）t+logt3/2kt+logγ（0）v+ o（1）。然后（2.6）接泰勒展开∧。注意，kmt/t=o（1）表示m≥ b1/βc+1.4隐含波动率我们现在研究MOTM看涨期权价格扩张与隐含波动率的一些关系。推论4.1在定理2.3的假设下，将kt=tβ`（t）与β相加∈ （0，）和“>0”缓慢变化。那么隐含波动率有如下MOTM展开：σimp（kt，t）=σ-σ∧（0）kt（1+o（1））（4.1）证明。我们将主要结果（定理2.3）与Gao andLee[20]的转移结果结合使用。由于买入价趋向于零，我们处于“以防万一”(-)” 第[20]页（见本文第354页）。[20]的符号L，V表示L=-对数c（kt，t）分别为。V=t1/2σimp（kt，t），无量纲隐含波动率。那么[20]的推论7.2意味着v=kt√2L1+O（t1-2β-ε)+ O（t5/2）-4β-ε） ，t↓ 0.（4.2）这里，ε>0表示一个任意小的常数，用于消耗O-估计中缓慢变化的函数。根据定理2.3的第（ii）部分，我们有2l=σktt+λ（0）ktt（1+o（1））。将其插入（4.2）得到σimp（kt，t）=t-1/2吨σt1/2kt-σ∧（0）t1/21+o（1）+ O（t2-4β-ε） ，其收益率为（4.1）。上述推论有一些有趣的结果。假设隐含波动率对小到期日和小对数走向具有一阶泰勒展开式，其形式为σimp（k，t）=σ+kσimp（0,0）k+o（k）+o（t），t↓ 0，k=o（1），（4.3）那么当然在MOTM体制中，我们有t kt，所以k项支配着O（t）项，而O（t）项又决定了隐含方差skew asS=limt↓02σkt（σimp（kt，t）- σ). （4.4）另一方面，推论4.1现在意味着（4.4）的右边等于-σΛ(0).因此，我们在不使用BBF公式的情况下，得到了能量函数中的倾斜表示（2.7）的另一种证明。

（如果需要，ATM微笑的曲率和高阶导数可以用类似的方法处理。）5例。1通用局部波动模型早期，假设2.2适用于任何局部波动模型，假设局部波动函数的连续性。现在我们讨论假设2.1，并展示如何计算我们的MotmeExpansion。首先考虑时间齐次局部波动模型DST=σ（St）StdWt，S=1，（5.1），其中σ为Con（0，∞). Gatheralet al.[22]对STQ的pdf q（·，t）进行了扩展。它们假设σ及其导数的增长条件，这可以通过不感觉边界的原则来缓解（见[22]的附录A）。[22]中的命题2.1表示thatq（ek，t）~E-ku（0，k）√2πtexp-∧（k）t, T↓ 0，在k中一致，其中能量函数由（参见Varadhan[37]）给出∧（k）=Zkdxσ（ex）,andu（0，k）=σ（1）1/2σ（ek）-3/2e-k/2。（回想一下，我们始终将spot标准化为S=1。）这表明假设2.1满足，γ（0）=1/(√2πσ(1)). 为了计算定理2.3的展开式，我们计算了∧：λ（k）=σ（ek）Zkdxσ（ex）∧（k）=σ（ek）的导数-ekσ（ek）σ（ek）Zkdxσ（ex）和∧（k）=-3ekσ（ek）σ（ek）+2e2kσ（ek）σ（ek）-σ（ek）σ（ek）Zkdxσ（ex），它产生∧（0）=σ（1）=σ（S）和∧（0）=-3σ(1)σ(1)= -3σ（S）σ（S）。（5.2）或者，这些表达式可以从命题2.4中获得。

由于满足第2.3条的假设，我们得到了以下MOTM调用价格估计，其中kt=θtβ，θ>0:c（kt，t）=exp-θ2σ（1）t1-2β1+o（1）, β ∈ （0，），t↓ 0，c（kt，t）=exp-θ2σ（1）t1-2β-σ（1）2σ（1）θt1-3β1+o（1）, β ∈ （0，），t↓ 0.回想一下，我们用S（限制小时间ATM）表示隐含方差偏差，因此隐含波动率偏差由S/2σ给出，它等于模型（5.1）中的S/2σ（1）=S/2σ（S）。从（2.7）和（5.2）中，我们发现局部倾斜σ（1）=σ（S）等于隐含可用性倾斜σ（S）=2×S2σ（S）的两倍，正如Henry Labord`ere所观察到的（在[26]中的注释5.2]）。一般时间非齐次局部波动率模型St=σ（St，t）Stdwt可以用[22]第3节中的热核展开进行非常类似的处理，它本身取自Yosida[38]。5.2一般随机波动率模型我们现在讨论一般随机波动率模型第2节的结果。[10,33]给出了随机波动率模型满足假设2.1的严格条件。函数∧由与模型相关的黎曼度量给出：2∧（k）是从（S=1，σ）到{（k，σ）：σ>0}的平方极距离，k=ek。Berestycki、Busca和Florent[3]中的定理2.2给出了关于局部波动收敛性的假设2.2成立的条件。现在，我们描述了如何在一般的双因素随机波动率模型DST=StpVtdWt，S=1，dVt=（…）中显式计算定理2.3展开式中出现的表达式dt+ηpVtν（Vt）dZt，V=V>0，（5.3），其中ν：R→ R和dhW，Zit=ρdt。赫斯顿模型（ν（v）≡ 1） 3/2模型（ν（v）=v；参见[29]）是特殊情况。

忽略一阶项的随机过程（S，V）的最小生成元L可以写成LF≈TrggggDf, F∈ C（R），其中Df表示f的Hessian矩阵，该模型中的系数矩阵g=（gij）由g给出=vρηvν（v）ρηvν（v）ηvν（v）.我们定义了常数b=g | v=v=vand b=Pi=1g1iig | v=v=ρηvν（v）。如果我们假设（5.3）中的系数足够好，足以证明应用[10]或[33]中定理1的第（2）部分中得到的（边际）密度展开式是正确的，我们就得到了所需的小时间密度展开式（2.2）。此外，由于命题2.4，∧（k）=2bk-b3bk+O（k）在0附近。因此，量∧（0）=v-1= σ-2和∧（0）=-ρην（v）/vc易于计算，以及小时间ATM隐含方差偏差=-v∧（0）=ρην（v）。因此，在我们的展开式（定理2.3，推论4.1）中出现的所有量，在模型参数方面都有非常简单的表达式。5.3 Heston模型本节将第2节和第4节的结果应用于常见的Heston模型，其中可以进行许多明确的“有效”计算。赫斯顿模型不在假设2.1和2.2的一般结果范围内，我们在第5.2节开始时回顾了假设2.1和2.2。我们将解释如何通过专用分析严格验证这两个假设；完整的细节将涉及以非常相似的形式在文献中找到的论点的相当枯燥的重复，因此被省略。模型动力学为DST=StpVtdWt，S=1，dVt=-κ（V）- v）dt+ηpVtdZt，v=v>0，其中v，κ，η>0，dhW，Zit=ρdt和ρ∈ (-1, 1).

根据Forde和Jacquier[14]，买入价的一阶OTM（大偏差）行为是log cHe（k，t）~ -∧He（k），k>0固定，t↓ 0，（5.4）式中∧HeisΓ（p）=vpη（¨ρcot（η¨ρp/2）的勒让德变换（不明确可用）- ρ） =vpηρη′ρp/2+O（p）- ρ=vpp/2- ηρ+O（p）=vp/21- pηρ/2+O（p）=vp1+pηρ/2+O（p）. （5.5）（我们使用标准符号‘ρ=1- ρ.) 这种扩展意味着Γ（0）=v=σ。（5.6）从Forde、Jacquier和Lee[16]的论点的简单修正中可以看出，局部均匀密度渐近（2.2）成立。在这里，通过鞍点法对买入价的傅里叶表示进行分析，得出（5.4）的结果。对St的pdf进行完全的傅立叶表示，我们得到了密度近似Qhe（ek，t）=e-k2πtZ∞-知识产权*（k）-∞-知识产权*（k） 再eiku/tφt(-u/t）du=exp-∧He（k）tU（p*（k） p2πΓ（k）t-1/21+o（1）, T↓ 0，在k中局部一致，其中φ是Xt=log St的特征函数，p*Uare的定义见[16]第693页。（请注意，[16]使用了∧和∧的符号。）*而不是我们的Γ，∧他。）从（5.6）和U（p*（0））=U（0）=1，我们看到（2.2）中的因子γ（k）收敛到γ（0）=√2πσ（5.7）作为k→ 0.为了验证假设2.2（局部波动的收敛性），可以对杜皮尔公式（2.1）进行类似于[8,18]的分析。更准确地说，（2.1）分子中的KKC（K，t）是St的pdf，我们刚刚描述了它的分析。实际上，相同的鞍点方法可以应用于分子tC（K，t），得到商到σ的收敛性。现在我们计算Heston模型的MOTM渐近展开式。Legendretransform∧Heis由∧He（k）=supx{kx给出-Γ（x）}与最大化子x*= 十、*（k） 。

从勒让德变换的一般作用来看，∧He（k）=Γ（x）*（k） ）。自从x*（0）=0，我们有∧He（0）=Γ（0）=v。根据定理2.3，当kt=θtβ且θ>0时，我们得到MOTM买入价格估计值（kt，t）=exp-θ2vt1-2β1+o（1）, T↓ 0.（5.8）至于二阶展开式，从Γ的展开式（5.5）我们可以清楚地看到Γ（0）=vηρ。另一方面，一般的勒让德计算给出∧He（k）=-Γ（x）*（k） )Γ（x）*（k） ）（十*)（k） =-（λHe（k））Γ（x）*（k） ）。因此，∧He（0）=-ηρv，符合第5.2节中通用双因素模型的表达式。对于β∈ 因此，定理2.3（ii）暗示了二阶展开式che（kt，t）=exp-θ2vt1-2β+ηρ4vθt1-3β1+o（1）, T↓ 0.（5.9）根据定理2.5和（5.7），我们得到了以下定义的买入价格展开式：log cHe（kt，t）=-2σktt+- 2β对数t+logσ√2π+o（1），β∈ （，），（5.10）log cHe（kt，t）=-2σktt+ηρ4vktt+- 2β对数t+logσ√2π+o（1），β∈ (,). （5.11）根据隐含方差歪斜与∧（0）之间的关系（2.7），我们得到了歪斜的显式表达式SHe=ηρ/2。这与Gathereal[21]第35页的观点一致。隐含的挥发性膨胀（4.4）变成σimp（kt，t）=σ+ηρ4σkt1+o（1）, T↓ 0.（5.12）图2显示了该近似值的良好拟合，即使到期日不是很小。6通过G–artner-Ellis理论得出的MOTM期权价格在本节中，我们讨论了小时间中度偏差下的不同方法。虽然只产生一阶结果，但对于具有明确特征函数的模型，其条件通常很容易检查。假设2.1和2.2在此不生效。回想一下，在i.i.d.随机变量序列的经典设置中，可以通过将G¨artner-Ellis定理应用于适当重新缩放的序列，推导出类似于克拉姆定理的中度偏差（见[9]，第3.7节）。差异的MD短时行为可以进行类似的分析。

考虑对数价格Xt=log stx=0和mgf（矩母函数）M（p，t）：=E[epXt]。（6.1）0.00.10.20.30.40.160.180.200.220.240.26图2:Heston模型的隐含波动率扩展说明，带`≡ θ=0.4，β=0.3。因此，原木走向等于k=0.4 t0。3.模型参数为“v=0.0707，κ=0.6067，η=0.2928，ρ=-0.7571，v=0.0654（即σ=0.2557），S=1。横轴是时间。虚线是精确的MOTM隐含波动率σimp（kt，t）。固体曲线是（5.12）右侧σ+ηρ4σk的近似值。假设6.1适用于所有β∈ （0，），重新缩放的mgf满足极限↓0t1-2βlogm（tβ-1p，t）=σp，p∈ R.（6.2）我们预计这一假设在相当普遍的情况下适用于扩散模型。通过其显式特征函数，或者更优雅地，通过相关的Riccati方程，很容易检查（6.2）是否适用于Heston模型；参见即将发表的A.Pinter Fordetals博士论文。因此，本节的结果为赫斯顿买入价的一阶MOTM行为（5.8）提供了另一种证明。从启发性的角度来看，假设6.1可以从假设2.1中的密度渐近线推导出来，这反过来又适用于相当普遍的差异设置[10,11]：M（tβ-1p，t）=Zetβ-1pxq（x，t）dx≈Zexptβ-1px-∧（x）tdx（6.3）≈Zexptβ-1px-∧（0）x2tdx（6.4）=exptβ-1px-x2σtx=σptβ（1+o（1））（6.5）=expσpt2β-1.1+o（1）, T↓ 0.（6.6）在（6.3）中，我们忽略了密度膨胀（2.2）在空间中可能不全局有效；这可以通过用弗雷德林·温策尔的LD参数来估计q（x，t）来变得严格。至于（6.4），我们可以预期浓度接近x≈ 0，因为∧（x）随|x |增加。最后，（6.5）和（6.6）源自拉普拉斯方法的（严格）应用。

如果（6.6）是正确的，那么（6.2）显然是正确的。由p+（t）定义的STI的临界时刻：=sup{p≥ 0:M（p，t）<∞}.很明显，Limt↓0t1-βp+（t）=∞ （6.7）是（6.2）所必需的，即p+（t）必须比tβ增长更快-1as t公司↓ 0.在Heston模型中，例如，临界力矩的阶数为p+（t）≈ 1/t tβ-1对于小t，参见[28]中的倒置（6.2）。另一方面，我们不希望我们的结果在存在跳跃的情况下有多大用处。事实上，假设（6.1）是指数L’evy模型的mgf。然后p+（t）≡ p+不依赖于t，并且对于实践中使用的大多数模型是有限的。因此，（6.7）cannothold，因此假设6.1不满足。Merton跳跃扩散模型是fewL’evy模型中的一种，具有p+=∞, 但也很容易检查它是否满足（6.2）。在讨论了假设6.1之后，我们现在给出定理6.2中Xt（不同地，MOTM数字看涨价格）分布函数的渐近估计。然后我们将这个结果转化为定理6.3中的MOTM买入价格。如果需要，（6.2）中的高阶项将在定理6.2中给出明确的渐近性，使用Gulisashvili和Teichman最近对G–artner-Ellis定理的修正[25]。不过，将由此产生的扩展转化为callprice渐近性可能并非易事。关于使用G–artner-EllisTherem的期权价格的其他渐近结果，请参见，例如[14,15]。定理6.2在假设6.1下（在我们的模型上没有任何进一步假设），forkt=θtβ和β∈ （0，）和θ>0，我们对Xt:P[Xt]的cdf有一阶MD估计≥ kt]=exp-2σktt1+o（1）, T↓ 0.（6.8）证据。

定义：t-βXt，其中mgf MZ（s，t）=E[esZt]，且t:=t1-2β=o（1），t↓ 那么（6.2）相当于ΓZ（p）：=limt↓0atlog MZ（p/at，t）=σp，p∈ R.由于R上的ΓZis定义，G¨artner-Ellis定理（文献[9]中的定理2.3.6]）暗示（Zt）t≥0将LDP（大偏差原则）满足为t↓ 0，对于速率A和良好的速率函数∧Z，ΓZ的勒让德变换。简单地说，∧Zis也是二次的：∧Z（x）=supp∈R（px）- ΓZ（p））=supp∈R（px）-σp）=x2σ，x∈ R.现在fixθ>0。将LDP的较低估计值应用于（θ），∞) 产量↓0atlog P[Zt≥ θ] ≥ lim inft↓0atlog P[Zt>θ]≥ -∧Z（θ）=-θ2σ，并将上估计应用于θ，∞) yieldslim supt↓0atlog P[Zt≥ θ] ≤ -θ2σ和solimt↓0atlog P[Zt≥ θ] = -θ2σ.这与（6.8）相同。与LD/OTM机制一样，一阶cdf渐近性很容易转化为买入价格渐近性。以下结果的证明类似于[36]，第30f页（关于LD区域）和[6]定理1.5。在MD/MOTM模式中，可以用模型力矩的温和条件代替[6]的条件（1.19）。定理6.3设S=Ex为连续正鞅。假设，尽管p≥ 1，其第p时刻在正时间爆炸（包括实际时间）。我们的意思是有一个正t*（p） 因此，mgf E[exp（pXt）]对于所有t∈ [0，t*（p） ]。设v=σ>0。那么下面的等式是等价的：（i）对于kt=`（t）tβ，带β∈ （0，）和“>0在0处缓慢变化，它保持p[Xt≥ kt]=exp-2vktt1+o（1）, T↓ 0.（ii）在（i）的假设下，我们有c（kt，t）=exp-2vktt1+o（1）, T↓ 0.（6.9）证据。首先假设（i）。设ε>0，并定义kt=（1+ε）kt。Thenc（kt，t）≥ E[（分机）- ekt）+{Xt≥~kt}]≥ （ekt）- ekt）+P[Xt≥~kt]。