适度偏差制度下的期权定价

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英文标题：
《Option Pricing in the Moderate Deviations Regime》
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作者：
Peter Friz, Stefan Gerhold, Arpad Pinter
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider call option prices in diffusion models close to expiry, in an asymptotic regime (\"moderately out of the money\") that interpolates between the well-studied cases of at-the-money options and out-of-the-money fixed-strike options. First and higher order small-time moderate deviation estimates of call prices and implied volatility are obtained. The expansions involve only simple expressions of the model parameters, and we show in detail how to calculate them for generic local and stochastic volatility models. Some numerical examples for the Heston model illustrate the accuracy of our results.
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中文摘要：
我们考虑了接近到期的扩散模型中的看涨期权价格，在一个渐进机制（“适度缺钱”）中，在经过充分研究的非现金期权和缺钱固定行使期权之间进行插值。得到了看涨期权价格和隐含波动率的一阶和高阶小时中偏差估计。展开式只涉及模型参数的简单表达式，我们详细介绍了如何计算通用局部和随机波动率模型的参数。赫斯顿模型的一些数值例子说明了我们结果的准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：期权定价 Applications Differential Quantitative Probability

中等偏差地区的期权定价Berlinfriz@math.tu-柏林。德斯特凡·格霍尔德图Wiensgerhold@fam.tuwien.ac.atArpad品脱*屠Wienapinter@fam.tuwien.ac.atSeptember2016年8月16日摘要我们在接近到期的扩散模型中，在一个渐进机制（“适度缺钱”）中考虑看涨期权价格，该机制在经过充分研究的非货币期权和非货币固定行使期权之间进行插值。得到了买入价格和隐含波动率的一阶和高阶小时中偏差估计。展开式只涉及模型参数的简单表达式，我们详细展示了如何计算通用局部和随机波动率模型的参数。赫斯顿模型的一些数值例子说明了我们结果的准确性。1引言近年来，人们对期权价格的小到期近似进行了广泛的研究。虽然对固定罢工的现金出票和现金出票都进行了彻底的调查，但两者之间存在一个重要的渐进机制。它几乎没有受到关注，而且据我们所知，在经典的分歧案例中一点也没有。本文旨在填补这一空白。“适度缺钱”制度反映了所报期权价格的真实性（随着到期日缩短，罢工会更接近货币），同时提供了出色的分析可处理性。为了更好地理解我们的结果，我们回顾了一些关于期权价格接近到期的众所周知的事实。我们用C=C（K，t）来表示买入价，如果我们想把它表示为对数货币的函数K:C（Sek，t）/S=C（K，t）。（1.1）我们从货币（简称ATM）制度k=0开始。

在Black-Scholes模型中，在波动率参数σ>0的情况下，写出c（k，t）=cBS（0，t；σ），我们有以下ATM callprice行为，cBS（0，t；σ）~σ√T√2π，t↓ 0*我们衷心感谢DFG grant FR2943/2（P.Friz）的财政支持。奥地利科学基金会（FWF）资助项目P 24880（S.Gerhold，A.Pinter）。这项工作首次由我们中的一位（Friz）在阿姆斯特丹举办的2015年全球衍生产品展上介绍，感谢与会者的反馈。在具有不同成分（具有波动率σ）的一般半鞅模型中，事实上也是如此[31]=√v> 0）：c（0，t）~σ√T√2π，t↓ 0，（1.2），这转化为通用的ATM隐含波动率公式（即使存在跳跃，只要v>0）σimp（0，t）=v+o（1），t↓ 0.t中的高阶项将取决于模型。例如，在Heston案例中，variancedynamics dV=-κ（V）- \'v）dt+η√V dW，隐含波动率有以下ATM扩展：σimp（0，t）=V+a（0）t+o（t），（1.3）a（0）=-η1.-ρ+vρη+κ（\'v- v） 。这是[16]中的推论4.4，我们注意到a（0）在模型参数方面没有简单的解释。放松k=0到k=o(√t） 相当于我们称之为“几乎自动取款机”（缩写：AATM）的体制。（尤其是k≈ 当且仅当β>1/2时，tβ处于AATM状态。）同样，对于具有不同成分且现货波动率σ>0的一般半鞅模型，很容易看出[6，31]，ATM渐近（1.2）暗示了以下几乎ATM渐近：c（kt，t）~σ√T√2π，kt=o(√t） ，t↓ 0.当KTO停止时，此操作失败(√t） 。实际上，对于kt=θ√常数因子θ>0的t，我们有[6,31]：c（kt，t）~ E[N](-θ, σ)+]√t、 这在半鞅的一般性中也是成立的。在任何情况下，证明都是基于非零差异v的L’evy情况，结果来自比较结果，而这种差异在一阶上可以忽略不计。

对于regimek=O的彻底讨论(√t） 在（局部）扩散的情况下，请参见[34]。在这种情况下，买入价的渐近性会发生很大的变化。例如，取另一个缓慢发散因子对数（1/t），kt=θpt对数（1/t）。即使在Black-Scholes模型中，我们现在也失去了√上述看涨期权价格的t-行为，实际上CBS（0，t；σ）=t+θ2σ`（t），对于一些缓慢变化的函数`（t），参见[30]。另一方面，在真正的缺钱（简称：OTM）情况下≡ k>0固定，期权价值是指数小的扩散模型，我们处于大偏差理论领域。例如，cBS（k，t；σ）≈ 经验-∧BS（k）t, k>0固定值，t↓ 0，表1：短期看涨期权的渐近行为，t↓ 0处理类型ATM（在货币处）K=SAATM（在货币处）logKS≈ （const）tββ>1/2MOTM（资金的适度消耗）logk≈ （const）tβ0<β<1/2OTM（缺钱）日志（K/S）≡ k>0布莱克·斯科莱索(√t） ，elementaryO(√t） ，elementaryexp-常数1-2β经验-康斯特,基本随机波动率（扩散模型）(√t） ，[7,31]O(√t） ，[31]经验-常数1-2β经验-康斯特,[3] 跳差/带差的一般半鞅。成分(√t） ，[31]O(√t） 在L’evy模型中，[31]O（t），[30]O（t），[1,7]在Black-Scholes模型中∧BS（k）=k/σ。对于其他和/或一般差异模型，文献中也出现了类似的结果，但数学严谨程度有所不同[2,7,14,35]。在整篇论文中，我们为固定OTM logstrike k>0保留了“资金外”一词，以区分这种制度与我们现在引入的适度资金外制度。我们的基本观察结果是叉子≈ （const）tβ（1.4）β>的病例，分别为。β=0，由上述AATM，resp涵盖。OTM，结果。这留下了一个显著的差距，即β∈ （0，），我们称之为“适度支出”（简称：MOTM）。我们对莫特政权有三重利益，k≈ （常数）tβ表示β∈ (0,).

（1.5）（i）首先，它与报价（短期）期权价格的现实密切相关，在这种情况下，具有可接受买卖价差的期权价格数据的冲击倾向于“在货币附近”累积，如图1所示。因此，对于某些β>0的情况，分析罢工k=O（tβ）是很自然的，并且没有理由认为引用的罢工应该总是几乎是ATM，这实际上意味着由于β>1/2，资金的极端集中。（ii）第二个原因是数学上的便利。与真正的OTM体制（大偏差体制）不同，在这种体制下，速率函数∧（k）很难分析——通常与测地距离问题有关——MOTM自然带有二次速率函数，最显著的是，高阶展开式总是可以根据模型参数显式计算。OTM（MOTM）一词实际上指的是缓和偏差理论，该理论有效地在中心极限和大偏差之间插入。（这也将AATM区域确定为中心极限区域，其中渐近性恰好是Black-Scholes模型的渐近性，而Black-Scholes模型又是具有不同分量的一般半鞅模型的重标高斯（对数坐标）极限。）（iii）我们的第三点是，MOTM扩展自然涉及到非常熟悉的量，尤其是即期（隐含）波动率、隐含波动率偏斜等。“几乎自动取款机”一词似乎很新，但包括[6,31]在内的许多作者都考虑过这种机制。更准确地说，t log cBS（k，t；σ）~ -∧BS（k），k>0固定，t↓ 0.图1:2013年8月14日的SPX波动率（由J.Gatherel提供）。

剩余到期时间很短（T=0.0082）的期权的行权约为e0。02-1.≈ 围绕货币（现货）的2%，未来T=0.26的好数据已经有了一个范围≈ 30%，最高成熟度T=2.35的范围为≈ 65%左右的钱。在Black-Scholes模型中，很容易检查我们是否有以下MOTM渐近性，cBS（kt≡ θtβ，t；σ） =exp-θ2σt1-2β1+o（1）, T↓ 0.粗略地说，我们的主要结果表明，这种关系（甚至是高阶的）对于扩散模型来说是非常普遍的，所有的量都是可计算的，然后与隐含的可扩展性相关。我们顺便注意到，对于L’evy模型，已经在[30]中研究了制度（1.5）；然后，看涨期权价格按代数衰减，而不是按指数衰减。有关分数随机波动率模型的最新相关结果，请参见[17,23]。这里还应提及桂林[24]关于小噪音减噪差异的工作；然而，在“快速”随机环境中（有物理动机，没有明显的财务解释），以及[24]中的非简并假设（D）在我们的语境中并不令人满意。论文的其余部分组织如下。第2节包含我们的主要结果，这些结果将标的证券的转移密度的渐近性转化为MOTM买入价格的渐近性。第3节给出了相应的证明。第4节给出了由我们的买入价格近似值产生的隐含波动率扩展。第5节将我们的主要结果应用于标准示例，即通用局部波动模型（第5.1小节）、通用随机波动模型（第5.2小节）和赫斯顿模型（第5.3小节）。

（与往常一样，赫斯顿模型的平方根简并性使得很难将结果应用于一般随机波动率模型，因此我们通过直接“困难”分析验证了我们的结果的有效性（如果正式应用于赫斯顿）最后，在第6节中，我们介绍了MOTM估计的第二种方法，它利用了大偏差理论中的G–artner-Ellis定理。考虑到我们的短期考虑，我们始终采取零利率。此外，w.l.o.g.我们通过密度渐近将现货价格标准化为S=1.2 MOTM期权价格。我们考虑一个一般的随机波动率模型，即正鞅（St）t≥0在S=1时，动态St=Stσ（t，ω）DWT开始（w.l.o.g.）。我们假设随机波动率（过程）σ本身是一个自某个确定性值σ（0，ω）开始的扩散≡ σ、 称为现货波动率。回想一下，在任何此类随机波动率模型中，局部（或有效）波动率由σloc（t，K）：=e[σ（t，ω）|St=K]定义。众所周知，等效局部波动率模型dSt=~Stσloc（t，~St）dw在所有固定时间都具有St=St（在法律上）的性质。参见[5]了解一些精确的技术条件，在这些条件下，这是正确的。尤其是在这两种模型中，欧式期权的价格C=C（K，t）是匹配的。在这种情况下，还可以回忆一下杜皮尔的公式：σloc（K，t）=tC（K，t）KKKC（K，t），t>0，K>0。（2.1）我们现在陈述两个关键条件。假设2.1对于所有t>0，STK有一个连续的pdf K 7→ q（K，t），在很短的时间内渐近地表现如下：q（K，t）~ E-∧（k）tt-1/2γ（k），t↓ 0，（2.2）在S=1的某个邻域中，对于K=ek一致。能量函数∧在某些零邻域内是光滑的，其中∧（0）=∧（0）=0。

此外，林克→0γ（k）=γ（0）>0。t的假设2.2↓ 0和K→ S=1，（St）t的局部波动函数≥0现货波动率：limK→圣↓0σloc（K，t）=σ。后一种假设（在扩散模型中）是相当无害的。第一个假设可能（非常）难以验证，但幸运的是，我们可以依靠最近在这方面取得的实质性进展[10,11,33]。我们将在第5.2节中详细看到，这两种假设在一般的短期波动率模型中确实成立。我们还要注意现货波动率σ（实际上等于此处隐含的现货波动率σimp（0，0））与能量函数∧=∧（k），σ=∧（0）的海森函数之间的基本关系-1/2.（这是众所周知的（例如[12]），也源于下面的命题2.4。）现在我们陈述我们的主要结果。我们稍微推广了（1.5）中考虑的对数击数，用任意缓慢变化的函数替换常数。跳跃的情况非常不同，参见[19]。定理2.3在假设2.1和2.2下，考虑一个适度的缺钱通知，在这个意义上，对数罢工是kT=tβ`（t），t>0，（2.3），其中`>0在0和β处缓慢变化∈ (0,).（i） 买入价满足中等偏差估计值（kt，t）=exp-∧（0）ktt1+o（1）= 经验-2σktt1+o（1）, T↓ （2.4）（ii）如果我们将β限制为（0，），那么以下中等二阶展开式成立：c（kt，t）=exp-∧（0）ktt-∧（0）ktt1+o（1）= 经验-2σktt1.-Sσkt（1+o（1））, T↓ 0，（2.5），即期方差σ等于σimp（0,0），隐含方差偏斜S=Kk=0σimp（k，0）。尤其是对于`≡ θ>0，我们有（一阶）展开式1-2βlogc（θtβ，t）~ -θ2σ，t↓ 0，表示二次速率函数θ7→ θ/2σ，典型的中等偏差问题。量∧（0），∧（0）。上面的数据总是可以通过随机波动率模型的初始值和扩散系数来计算的。

这与theOTM模式形成了鲜明的对比，在theOTM模式中，需要∧（k），而∧（k）通常不能以封闭形式提供（除了一些著名的例外，比如SABR模型）。我们引用了Osajima[33]关于N因子模型的以下结果，并参考第5.2节了解双因子随机波动率模型的详细计算。命题2.4假设（对数S，σ，…，σN-1） 是马尔可夫，从（0，\'σ）开始，以\'σ∈注册护士-1和¨σ>0，随机波动率σ≡ σ、 其中，生成元具有（非退化）主部paij从某种意义上说-1定义黎曼度量。那么∧（k）=2bk-b3bk+-b4b+b2bk+O（k），k→ 0，其中系数由b=Za（t，’σ）dtb=Z（Va）（t，’σ）dtb=2Z（Va）（t，’σ）dt+ZΓ（a，a）（t，’σ）dt给出，回想一下中心i.i.d.序列（Xn）n的MD速率函数≥1由θ7给出→ θ/（2Var（X））。这是克拉姆定理的“温和”版本，参见[9]中的定理3.7.1。使用函数（vf）（t，x）=NXi=1a1i（t，x）ZtFxi（s，x）ds，Γ（f，g）（t，x）=NXi，j=1aij（t，x）ZtFxi（s，x）dsZtGxj（s，x）ds.证据见Osajima[33]，定理1（1），T=1。以下结果给出了MOTM区域的高阶展开式。它为买入价（而不仅仅是对数渐近性）提供了一个符号等价的表达式。定理2.5在定理2.3的假设下，我们用β设置kt=tβ`（t）∈ （0，）和“>0在0处缓慢变化，如上所述。然后，买入价格的对数具有以下定义的MOTM展开式：log c（kt，t）=-b1/βcXm=2∧（m）（0）m！kmtt+2β -洛格特- 2 log`（t）+logγ（0）v+ o（1），t↓ 0.（2.6）当量，c（kt，t）~ γ（0）vt3/2-2β`（t）exp-b1/βcXm=2∧（m）（0）m！kmtt, T↓ 0.如果1/β不是整数，那么kmt/t倾向于m=b1/βc的一致性，顺序为tβb1/βc-1（达到缓慢变化的系数）。

另一方面，如果1/β是一个整数，那么sumPb1/βcm=2in（2.6）的最后一个和的阶数为`（t），这意味着下面的项log（1/t）可能会相应地大。因此，求和上限b1/βc确保求和中不包含不相关的（即o（1））项。注意，对于β，我们有b1/βc=2∈ （，）和b1/βc≥ 3对于β∈ （0，），因此（2.6）与（2.4）相一致。(2.5).通过[2]中证明的Berestycki-Busca-Florent（缩写：BBF）公式，最好将短时间内的（能量导数）转换为隐含挥发物的ATM导数。（也就是说，正如第4节所指出的，这些关系也是我们扩张的直接后果。）在这方面，我们有定理2.6，假设∧是一个具有假设2.1中要求的性质的函数，其中∧（0）=σ-2=v-Berestycki-Busca-Florent公式σimp（0，k）=k/2∧（k）成立。然后，小时间ATM隐含方差偏斜和曲率分别与∧过孔有关：=Kk=0σimp（k，0）=-∧（0）∧（0）（2.7）和c：=Kk=0σimp（k，0）=∧（0）-Λ(0)Λ(0)3Λ(0). （2.8）证据。通过BBF公式和我们对∧的光滑性假设，σimp（k，0）=k2∧（k）=k∧（0）k+λ（0）k+λ（0）k+O（k）-1=Λ(0)-∧（0）∧（0）k+Λ(0)-Λ(0)Λ(0)Λ(0)k、 k→ 0.这意味着（2.7）和（2.8）。备注2.7命题2.4与定理2.6相结合，允许直接从一般随机波动率模型的系数计算偏差和曲率（以及隐含波动率微笑的更高导数，如果需要）。“一般”（甚至非马尔可夫）模型的相关公式也出现在杜尔曼的著作中（定理3.1.1.见[12]；另见[13]）。