基于Copula的矢量MEMs规范

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英文标题：
《Copula--based Specification of vector MEMs》
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作者：
Fabrizio Cipollini and Robert F. Engle and Giampiero M. Gallo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The Multiplicative Error Model (Engle (2002)) for nonnegative valued processes is specified as the product of a (conditionally autoregressive) scale factor and an innovation process with nonnegative support. A multivariate extension allows for the innovations to be contemporaneously correlated. We overcome the lack of sufficiently flexible probability density functions for such processes by suggesting a copula function approach to estimate the parameters of the scale factors and of the correlations of the innovation processes. We illustrate this vector MEM with an application to the interactions between realized volatility, volume and the number of trades. We show that significantly superior realized volatility forecasts are delivered in the presence of other trading activity indicators and contemporaneous correlations.
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中文摘要：
非负值过程的乘法误差模型（Engle（2002））被指定为（条件自回归）标度因子和具有非负支持的创新过程的乘积。多元扩展允许创新同时相关。我们通过提出一种copula函数方法来估计规模因子的参数和创新过程的相关性，克服了这类过程缺乏足够灵活的概率密度函数的缺点。我们用已实现的波动率、交易量和交易数量之间的相互作用来说明这个向量MEM。我们表明，在存在其他交易活动指标和同期相关性的情况下，显著优于已实现波动率预测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Copula--based_Specification_of_vector_MEMs.pdf (955.01 KB)

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关键词：Copula opula MEMS EMS correlations

基于Copula的矢量MEMs规范*Fabrizio Cipollini+Robert F.EngleGiampiero M.Gallo§Abstractative非负值过程的乘法误差模型（Engle（2002））被指定为（条件自回归）比例因子和具有非负支持的创新过程的乘积。多元扩展允许创新同时关联。我们通过提出一种普适函数方法来估计规模因子的参数和创新过程的相关性，克服了此类过程缺乏足够灵活的概率密度函数的问题。我们用已实现的波动率、交易量和交易数量之间的相互作用来说明这个向量MEM。我们表明，在存在其他交易活动指标和同期相关性的情况下，显著优于已实现波动率预测。关键词：GARCH；MEM；已实现的波动性；交易量；贸易活动；连接词；波动性预测。*这里介绍的一些材料在NBER WP 12690（2006）“向量乘法误差模型：表示和推理”中流通。我们感谢尼古拉斯·豪奇、洛里亚诺·曼奇尼、约瑟夫诺斯、安德鲁·巴顿、凯文·谢泼德、大卫·韦雷达斯，以及洪堡大学CORE——柏林大学帝国理工学院——博科尼分校研讨会的参与者提供了有益的意见。通常的免责声明适用。感谢意大利MIUR在格兰特·普林·米苏拉的资助。+意大利费伦泽大学“G.Parenti”应用软件信息统计部。电子邮件：cipollini@disia.unifi.it纽约大学斯特恩商学院金融系；emailrengle@stern.nyu.edu§通讯作者：统计学、信息学、应用学“G.家长学”、弗伦泽大学、Viale G.B。

莫尔加尼，59-50134意大利费伦泽。电子邮件：gallog@disia.unifi.it1金融市场的动态可以通过交易活动的许多指标来表征，如绝对回报、高低区间、特定区间内的交易数量（可能标记为买入或卖出）、交易量、高低区间、基于超高频的波动性度量、金融持续时间等。恩格尔（2002）认为，金融时间序列的一个显著规律是，持续性和聚集性是此类过程演化的特征。因此，这些变量的动态可以被描述为一个条件确定的比例因子的乘积，该比例因子根据一个GARCH型方程和一个创新项（即iid和单位均值）演化。这种模型被称为乘法误差模型（MEM），可以看作是GARCH（Bollerslev（1986））和ACD（Engle and Russell（1998））方法的推广。这种模型的优点之一是避免了对日志进行排序的需要（当数据中存在零时不可能），并直接提供感兴趣的变量的条件透视（而不是对日志的期望）。实证结果表明，这些类型的模型在捕捉观测序列的风格化行为方面表现良好（例如，对于日范围，周（2005）；关于Manganelli（2005）的持续时间、交易量和波动性；关于波动性、交易量和交易强度（Hautsch（2008））。该模型可以在多变量环境（向量MEM或vMEM）中具体化，只允许每个感兴趣变量的滞后值影响除自身变量外的其他变量的条件期望。

这种规定有助于产生多步预测：例如，Engle和Gallo（2006）指定了一个多元MEM，其中三种不同的波动性度量，即绝对收益率、日范围和实际波动率的动态相互影响，并评估基于MEM的预测对VIX预测的贡献。尽管逐方程估计确保了准最大似然情况下估计量的一致性，但考虑到Engle（2002）讨论的平稳性条件，创新项之间的相关性未被考虑，并导致效率损失。创新的多元分布的具体情况远非微不足道：非负值随机变量的联合概率分布不可用，除非在非常特殊的情况下。在本文中，我们提出了一种最大似然估计策略，即采用copula函数将单个创新的边际概率密度函数连接在一起，如Engle和Gallo（2006）中的Gamma或Hautsch等人（2014）中的零增强分布，区分零发生和严格正实现。Bodnarand Hautsch（2016）将Copula函数用于乘法误差框架，但用于动态条件相关上下文。作为向量MEM的替代方法，Cipollini等人（2013年）提出了一种基于GMM估计的suggesta半参数方法。潜在的应用范围相当广泛：不同波动值之间的动态互动、市场间的波动溢出（允许多变量多步预测和脉冲响应函数、订单执行动力学（Noss（2007）规定了执行深度的MEM）。

作为一个例子，我们将集中讨论各种市场活动指标（波动性、交易量和交易数量）之间的相互作用，其中条件预期仅取决于过去的价值（而不是像Manganelli（2005）和Hautsch（2008）那样也取决于一些当代信息）。读者应该期待的是：在第2节中，我们展示了向量乘法误差模型的具体情况，讨论了采用几种连接单变量伽马边际分布的copula函数所产生的问题。第3节我们描述了导致参数推断的最大似然过程。第4节介绍了我们的模型在三个交易活动系列中的应用，即已实现的核心波动率、交易量和交易数量。在2007年至2013年期间对JNJ股票进行清净。研究发现，与独立（即方程-方程）方法相比，指定允许同时相关性的创新的联合分布显著提高了对数可能性。更丰富的规格（在无法同时进行估计的情况下）提供了更好的t、改进的序列相关性诊断，以及更好的样本外预测性能。Student-T copula比普通copula具有更好的特性。总体而言，有迹象表明，在考虑其他交易活动指标和同期相关性时，我们将获得显著优于预期的波动率预测。结束语如下。2乘法误差模型可以是一个具有非负分量的K维过程。XT的向量乘法误差模型（vMEM）定义为XT=ut εt=diag（ut）εt，（1）式中 表示Hadamard（逐元素）乘积，对角线是一个对角线矩阵，其向量参数位于主对角线上。

有条件地基于信息集Ft-1，utisut=ω+αxt的一个相当一般的规范-1+γx(-)T-1+βut-其中ω为（K，1），α、γ和β为（K，K）。向量x(-)THA是一个通用元素XT，由一个与有符号变量相关的函数乘以，无论是正或负回报（0，1值）或有符号交易（买入或卖出1，-1）以捕捉不对称效应。让与utbe相关的参数收集在向量θ中。u皮重平稳性的条件是单变量情况下的条件的简单推广（例如Bollerslev（1986）；Hamilton（1994））：如果a=α+β+γ/2的所有特征根的模量小于1，则等式（2）中定义为utde的vMEM（1,1）在平均值上是平稳的。我们可以将A视为表达式（xt+1 | Ft）中的影响矩阵-1） =ut+1 | t-1=ω+Aut | t-1.如果考虑更多滞后，则模型为ut=ω+LXl=1hαlxt-l+γlx(-)T-l+βlut-li，（3），其中L是动力学中出现的最大滞后。通常可以方便地将系统（3）表示为其等效的伴生形式*t+L | t-1=A*u*t+L-1 | t-1、（4）其中：*t+L | t-1=（ut+L | t）-1.ut+L-1 | t-1.ut+1 | t-1） 是一个KL×1向量，通过将其元素按列andA排列得到*=AA··阿利克（L）-1） K（L）-1） ，KAl=αl+βl+γl/2，l=1，五十、 IK（L）-1） 是K（L）- 1） ×K（L）- 1） 识别矩阵和0K（L-1） ，Kis a K（L-1） ×K零点矩阵。就A的特征值而言，同样的平稳性条件成立*.新息向量ε是一个K维iid过程，密度函数定义为[0+∞)k支持，单位向量1作为期望和一般方差-协方差矩阵∑，εt | Ft-1.~ D+（1，∑）。

（5） 之前的条件保证E（xt | Ft-1） =ut（6）V（xt | Ft-1） =utut ∑=diag（ut）∑diag（ut），（7），其中后者通过构造是正定义矩阵。关于误差项εt | Ft的分布，可以考虑一些替代方案-1.2.1多元伽马公式Engle和Gallo（2006）采用的单变量伽马公式推广到多元伽马公式时，由于文献中可用的多元伽马分布的局限性（以下所有参考文献均来自Johnson等人（2000年，第48章））：其中许多公式是双变量公式，对于我们的目的来说不够普遍；另一些是通过联合特征函数定义的，因此它们需要繁琐的数值反演公式来确定其概率密度函数（pdf）。最符合我们需求的公式（它提供了εi，tas Gamma（φi，φi）的所有单变量边际概率函数），是Cheriyan和Ramabhadran（此后GammaCR，相当于Kowalckzyk和Trycha以及Mathai和Moschopoulos的其他版本）多元Gamma的一个特定版本：εt |Ft-1.~ GammaCR（φ，φ，φ），其中φ=（φ；…；φK）和0<φ<min（φ，…，φK）（Johnson等人（2000，454-470））。多元pdf用一个繁琐的积分和εthas泛型元素ρ（εt，i，εt，j | Ft）的条件相关矩阵表示-1） =φpφiφj，它被限制为正，与方差1/φi和1/φj严格相关。鉴于这些缺点，这里不采用多元伽马。2.2基于Copula的公式指定εt | Ft分布的不同方法-1使用copula函数（参见Joe（1997）和Nelsen（1999）、Embrechts等人（2002）、Cherubini等人（2004）、McNeil等人。

（2005年）和巴顿（2007年）的财务应用评论）。在这种情况下，vMEM误差分量的条件pdf由fε（εt | Ft）给出-1） =c（ut；ξ）KYi=1fi（εt，i；φi），（8）其中c（ut；ξ）是copula的pdf，fi（εt，i；φi）和ut，i=fi（εt，i；φi）分别是边值、ξ和φi参数的pdf和cdf。因此，copula方法需要指定两个元素：边缘的分布和copula函数。鉴于其他地方显示的灵活特性（Engle和Gallo，2006），我们首次采用Gamma pdf（但也有其他选择，如逆Gamma、Weibull、对数正态以及它们的混合）。第二，我们讨论椭圆连接函数类中一些可能的特殊情况。2.2.1正规copula正规copula在应用中是一种常见的选择（McNeil等人（2005）、Cherubinet等人（2004）、Bouy\'e等人（2000））。它的pdf格式是bycN（u；R）=|R|-1/2exp-qR-1q- qq, （9） 其中q=（q；…；qK），qi=Φ-1（ui）和Φ（x）表示在x处计算的标准正态分布的cdf。正态copula有许多有趣的特性：能够重现广泛的依赖关系（根据correlationparameter的值，双变量版本能够获得较低的Fr’echet界、乘积copula界和较高的Fr’echet界），分析的可处理性，模拟的简易性。当与伽马（φi，φi）边缘相结合时，得到的多元分布是由高斯copula产生的色散分布的一种特殊情况（Song，2000）。

我们注意到εthas泛型元素的条件相关矩阵近似等于Rij，这与第2.1节中的多元伽马不同，也可以假定为负值。2.2.2 Student-T copula正常copula的限制之一是尾部的渐近独立性。从经验上看，尾部依赖是金融时间序列中经常观察到的一种行为（参见McNeil等人（2005年）等）。x元素（无论是同一资产的不同指标还是不同资产的不同指标）往往会受到相同极端事件的影响。出于这个原因，作为替代方案，我们考虑Student-T copula，它允许有孔虫依赖的尾巴。Student-T copula的pdf由ct（u；R，ν）=Γ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K给出-1Γ（（ν+1）/2）|R|-1/2（1+qR）-1q/ν）-（ν+K）/2QKi=1（1+qi/ν）-（ν+1）/2，（10）式中q=（q；…；qK），qi=T-1（ui；ν）和T（x；ν）表示学生T分布的cdf，其自由度在x处计算。与正常的copula不同，当R=I时，我们得到不相关但不独立的边缘（详见McNeilet al.（2005））。Demarta和McNeil（2005）对Student-T连接词作了进一步说明。2.2.3椭圆连接词椭圆连接词族提供了一个统一的框架，包括正常连接词、Student-T连接词和该家族的任何其他成员，并赋予了明确的pdf。椭圆copula（有关详细信息，请参见McNeil et al.（2005）、Frahm et al.（2003）、Schmidt（2002））是由椭圆分布生成的copula，与正态copula和Student-T copula分别由多元正态分布和Student-T分布生成的方式完全相同。

椭圆连接函数具有有趣的特性和广泛的适用性，即使它们的椭圆对称性在某些应用中可能构成限制。我们考虑一个由椭圆分布生成的copula，其单变量“标准化”边缘（此处使用位置参数0和色散参数1）具有绝对连续的对称分布，以零为中心，具有pdf g（；ν）和cdfG（；ν）（ν表示形状参数的向量）。因此，copula的密度可以写成ascE（u；R，ν）=K*（ν，K）|R|-1/2g（qR）-1q；ν、 K）QKi=1g（qi；ν）（11）以选择合适的K*(., .), g（.；，.）和g（.；），其中q=（q；…；qK），qi=G-1（ui；ν）。例如：o在正常的copula中，没有明确的形状参数ν，我们有K*（K）≡ 1，g（x；K）=g（x）≡ 经验(-x/2）；o在Student-T copula中，有一个标量ν形状参数，我们有K*（ν；K）=Γ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K-1Γ（（ν+1）/2），g（x；ν，K）=（1+x/ν）-（ν+K）/2，g（x；ν）=（1+x/ν）-（ν+1）/2.3最大似然推断在这一节中，我们讨论了如何从VMEM中获得完整的最大似然（ML）推断，对于阿基米德族中的ut（依赖于参数向量θ）copula，参数规格（3）提供了一种绕过这一限制的方法，但存在其他缺点，本文将不再讨论。和一个通用公式fε（εt | Ft-1） 向量误差项的条件分布（以参数向量λ为特征）。关于θ和λ的推断可以在本文中讨论，因为根据模型假设，对数似然函数isl=TXt=1ln fx（xt | Ft-1） =TXt=1lnfε（εt | Ft-1） KYi=1u-1t，我=TXt=1英寸英尺（εt |英尺）-1) -KXi=1lnut，i#。（12） 考虑到一般时间t，回忆一下计算顺序很有用：ut，i（θi）→ xt，i/ut，i=εt，i→ Fi（εt，i；φi）=ut，i→ c（ut；ξ）i=1。