基于Copula的矢量MEMs规范

，Kwhereθ是utvector的第i个元素中涉及的参数。3.1条件平均值中的参数，与fε（εt | Ft）的规格无关-1） ，vMEM的结构允许将分数函数中与θ对应的部分表示为θl=TXt=1Atwt（13），其中=-θutdiag（ut）-1.wt=εt bt+1，（14）bt=εtln f（εt | Ft-1） ，为了得到零预期分数，我们需要E（wt | Ft-1） =0或等效的E（εtbt |英尺-1) = -1.因此，信息矩阵和预期的Hessian值由Ehati（ε）Ati（15）andE给出AtH（ε）At, （16） 其中矩阵i（ε）=E[（εt bt）（εt bt）|英尺-1] - 11和h（ε）=E[εtbt（εtεt）| Ft-1] - Idepend仅在λ上，而不在θ上。当然，在正确的规格下H（ε）=-I（ε）。对于εt的条件分布的特定参数选择，我们需要插入lnfε（εt | Ft）的特定表达式-1） 例如，考虑到通用的连接公式（8），那么ln fε（εt | Ft-1） =lnc（ut）+KXi=1ln-fi（εt，i）（17），因此bthas elementsbt，i=fi（εt，i）ut，iln c（ut+εt，iln-fi（εt，i）。（18） 在下文中，我们提供了椭圆连接公式（11）及其主要子情况的具体公式。3.2误差项pdf中的参数在copula方法下，分数函数中对应于ptt=1ln f（εt | Ft）的部分-1） （参见等式（12））取决于向量λ=（ξ；φ）（ξ和φ分别是copula函数和边缘函数的参数——参见第2.2节），λl=TXt=1λlnf（εt | Ft）-1） =TXt=1λlnc（ut；ξ）KYi=1fi（εt，i；φi）！。因此ξl=TXt=1ξln c（ut）。和φil=TXt=1φiFi（εt，i）ut，iln c（ut+φiln-fi（εt，i）.如第2.2.3节所述，除了一个可能的形状参数ν外，椭圆连接函数的特征是一个相关矩阵R，考虑到其完整的ML估计，它可以被表示（参见McNeil et al.（2005，p。

235）asR=DccD，（19），其中c是主对角线上的上三角矩阵，D是对角线项D=1和Dj的对角线矩阵=1+Pj-1i=1cij-1/2对于j=2，这样，R的估计就转化为一个无约束问题，因为K（K- 1） /2 c的自由元素可以变成R，然后我们可以写出ξ=（c；ν）。让我们介绍一个简洁的表示法如下：C=cD，qt=（qt，1；…；qt，K），qt，i=G-1（ut，i；ν），eqt=C0-1qt，q*t=R-1qt，eeqt=qtR-1qt=eqteqt。然后我们可以写c（ut）=ln K*-KXi=2ln Di+ln g（eeqt）-KXi=1ln g（qt，i）（20），其中使用了ln（|R |）=PKi=2ln Di这一事实。在特定情况下，我们得到：o正常copula:lnk*= 0，lng（x）=lng（x）=-x/2；oStudent-T copula:lnk*= lnhΓ（（ν+K）/2）Γ（ν/2）K-1Γ（（ν+1）/2）i，lng（x）=-ν+Kln1+xν,g（x）=-ν+1ln1+xν.进入矩阵c的参数相对于c矩阵自由参数的分数部分包含元素cijl=cij“-TKXi=2ln Di+TXt=1ln g（eeqt）#，i<j.（21）使用一些代数，我们可以证明cijKXi=2ln（Di）=-德吉詹德cijln g（eeqt）=-2.eeqt（ln g（eeqt））Djq*t、 j（eqt，i- Cijqt，j）。通过将它们替换为（21），我们获得cijl=T DjCij+2DjTXt=1q*t、 j（Cijqt，j- eqt，i）eeqt（lng（eeqt））。输入向量ν的参数分数相对于ν的部分为νl=ν“T ln K*+TXt=1ln克（eeqt）-TXt=1KXi=1ln g（qt，i）#。lnk的导数*= ln K*（ν；K）有时可以解析计算。

例如，在Student–T copula中，我们有νln K*（ν；K）=ψν+K+ （K）- 1)ψν- Kψν + 1.对于剩余的量，我们建议使用数值导数，就像在Student–Tcase中，分位数函数G-1（x；ν）不能解析计算。输入向量φ的参数得分相对于φ的部分包含元素φil=φiTXt=1“ln g（eeqt）-KXi=1ln g（qt，i）+KXi=1ln fi（εt，i）#。经过一些代数运算，我们得到φil=TXt=1[φiFi（εt，i）dt，i+φiln fi（εt，i）]，（22）式中，dt，i=g（qt，i）h2q*t、 我eeqtln g（eeqt）- qt，iln g（qt，i）i.（23）例如，如果一个边缘有一个分布伽马（φi，φi），那么φifi（εt，i）=ln（φi）- ψ（φi）+ln（εt，i）- εt，i+1，而φiFi（εt，i）可以用数值计算。参数输入向量θ通过利用本节中介绍的符号，我们现在可以详细说明bt输入（14）的结构，然后输入与θ相关的分数函数部分。从（20）开始，εt bt+1（参见14）包含元素εt，ibt，i+1=εt，ifi（εt，i）dt，i+εt，iεt，iln fi（εt，i））+1（24），其中dt，iis在（23）中给出。对于我们的选择，fi（εt，i）是伽马（φi，φi）分布的pdf，因此εt，iεt，iln-fi（εt，i）+1=φi- εt，iφi.（25）3.2.1以过程的弱平稳性、数值稳定性和待估计参数数量的减少为目标的期望值，可以通过用过程的无条件平均值表示ω来实现，例如u，这可以通过样本平均值（期望值目标值）轻松估计。因为E（xt）=E（ut）=u定义良好，等于uI-LXl=1αl+βl+γl#-1ω，（26）式（3）变成ut=“I-LXl=1αl+βl+γl#u+LXl=1αlxt-l+γlx(-)T-l+βlut-L. （27）在GARCH框架下，Kristensen和Linton（2004年）以及最近Francq等人对这种做法的后果进行了调查。

（2011）表明这相当于GARCH背景下的方差目标（Engle和Mezrich（1995）），其中假设条件方差模型的常数项是样本非条件方差和其他参数的函数。在这种情况下，除了由于我们对条件平均值建模而偏爱术语expectationtargeting之外，主要参数保持不变。它在估计算法的稳定性以及系数和长期波动性估计的准确性方面的优点（参见附录5了解当前上下文中的一些细节）。从技术角度来看，用样本均值XT替换u，然后对剩余参数进行ML估计，可以保持一致性，但会导致错误的标准误差（Kristensen和Linton，2004）。通过将推理问题确定为涉及两步估计器（Newey和McFadden（1994，第6章）），即将（θ；λ）重新排列为（u；θ），其中θ收集除u以外的所有模型参数，可以解决这个问题。在能够保证（θ；u）的一致性和渐近正态性的条件下（特别是E（utut）的存在性：见Francq等人（2011）），我们可以修改Newey和McFadden（1994）的注释来写出√TbθT- θasG-1θ我-GuM-1.Ohmθ,θOhmθ,uOhmu,θOhmu,u我-（GuM）-1)G-10θ（28）式中gθ=E(θlt）Gu=E(θult）M=E(umt），且M=TXt=1mt=TXt=1（xt- u）是给出样本平均值的矩函数，作为u的估计量。

这个Ohm 矩阵表示变量的方差矩阵(θlt；mt）在相应的块中分区。为了考虑采用预期目标的必要修改，我们提供了充分通用且紧凑的表达式，用于（27）表示的条件平均值中的参数u（无条件平均值）和θ（剩余参数）。Gθ=E(θlt=EAtH（ε）AtGu=E(θult）=-EAtH（ε）diag（ut）-1.AM=-我Ohmθ、 θ=E(θltθlt）=EhAtI（ε）AtiOhmθ、 u=E(θltmt）=E[At[E[（bt εt）εt | Ft-1] +11]diag（ut）]BA-10Ohmu，u=E（mtmt）=A-1（B∑vB+C∑v ∑I）C）A-10where=I-LXl=1αl+βl+γlB=I-LXl=1βlC=LXl=1γl∑v=E（utut） Σ.表达Ohmu，u通过使用Horv\'ath等人（2006年）和Francq等人（2011年）中的技术获得。从这个意义上说，我们将引用的工作扩展到一个包含不对称效应的多元公式。当模型得到正确规定时，也可以进一步简化，因为在这种情况下，H（ε）=-I（ε）和E[（bt εt）εt | Ft-1] = -11导致Ohmθ、 u=0和托伊哈蒂（ε）Ati+EAtI（ε）diag（ut）-1.[vB+C（v）∑ ∑I）C]E诊断（ut）-1I（ε）At关于（28）的内部部分。3.2.2集中对数概率在椭圆连接函数的框架内，如果需要，可以实现一些进一步的数值估计稳定性和参数数量的减少：我们可以使用残差的当前值来计算R的当前估计（Lindskog et al.（2003）提出了Kendall相关性）和形状参数的当前估计ν（Kostadinov（2005）提出了尾部依赖指数）。当可以充分利用简单的力矩条件时，这种方法对于其他连接函数也可能是有效的。类似的策略也适用于边缘的参数。例如，如果假设伽马（φi，φi）分布，则关系V（εt，i | Ft-1） =1/φi根据残差的当前值得出φi的非常简单的估计值。

通过这种方法，剩余的参数可以从一种伪对数似然更新，条件是对预先估计的参数进行当前估计。在正常copula的情况下，可以遵循不同的策略。R矩阵（无约束）最大似然估计（Cherubini et al.（2004，第155页））的公式，即q=qqt，其中q=（q；…；qT）是一个T×K矩阵，可以插入对数似然，而不是R，从而获得一种集中的对数似然[-ln | Q |- K+迹线（Q）]+TXt=1KXi=1ln-fi（εt，i | Ft-1） （29）导致得分函数的结构相对简单。然而，该R估计值是在不施加任何约束的情况下获得的，与其作为相关矩阵的性质（diag（R）=1和正不确定性）有关。直接计算R的非对角元素的导数，经过一些代数运算后，我们得到R的约束极大似然估计满足以下方程：（R-1） ij- （R）-1） i.qqT（R）-1).j=0对于I6=j=1，K、 其中Ri。和R.j分别表示矩阵R的第i行和第j列。不幸的是，这些方程没有显式解。一个可以接受的折衷方案应该可以提高效率，尽管它在形式上不能被解释为ML估计量，但它是将上述获得的估计量Q标准化，以便将其转换为相关矩阵：eR=D-QQD-Q、 其中DQ=diag（Q，…，QKK）。通过观察群体对可能性的贡献取决于R，可以证明该解决方案是合理的，就好像它是iid rv QT的相关矩阵，正态分布，平均值为0，相关矩阵为R（另见Somcneil等人（2005年，第235页））。利用R的约束估计，集中对数似然成为-嗯|呃|- 追踪（呃）-1Q+trace（Q）i+TXt=1KXi=1ln-fi（εt，i | Ft-1).

（30）有趣的是，只要（29），等式（30）也给出了相对简单的分数函数结构。使用一些繁琐的代数，我们可以证明，与θ和φ对应的分数分量的结构与上面的完全相同，数量dt，iinto（23）改变为t，i=Ci。qtφ（qt，i）（31），其中C矩阵由C=Q给出-1D1/2QD1/2QQ-1.- Q-1+IK-呃-1+D-1Q- D-1/2Qdiag（Q-1D1/2QQ）和φ（.）此处表示在其参数处计算的标准法线的pdf。当然，在这种情况下，边缘的参数也可以通过根据当前残差（而不是通过ML）计算的矩估计来更新，正如上面所解释的。即使R是（2，2）矩阵，满足三次方程的Rhas值：- RqqT+RqqT+qqT- 1.-qqT=0.4交易活动和vMEMTrading活动中的波动性交易活动产生了许多指标，因此这些指标的特点是相互依赖，即使是在动态意义上。在本应用程序中，我们将重点关注三个系列代理此类交易活动的联合动力学，即波动率（衡量为已实现的核心波动率，参见Barndorff Nielsen et al.（2011）和其中的参考文献）、交易量和每天的股数。例如，安达信（Andersen）在《早期贡献》（Early Contribution）中记录了与交易活动有关的波动性和交易量之间的关系。自那以后，金融市场结构的演变、行业创新、机构投资者的日益参与以及自动化交易实践的采用加强了这种关系，交易数量显然反映了交易强度的一个重要方面。

首先，为了节省成本，我们选择已实现的波动率预测作为多元努力的主要目标；我们将波动性的单变量模型本身作为一个基准，与其他指标中的额外信息以及误差项中的同期相关性进行对比。超高频数据的可用性使我们能够利用波动率测量文献中的最新发展构建每日变量序列。作为一个领先的例子，我们考虑了强生公司（JNJ）在2007年1月3日至2013年7月31日之间（1656次观察）。这种股票具有理想的流动性和有限的风险性，其市场贝塔值通常小于1。TAQ的原始贸易数据根据Brownlees和Gallo（2006）算法进行清理。随后，我们根据Barndorff Nielsen等人（2011年）的计算结果，构建了已实现内核波动率的每日序列，计算了第t天asrkv=vuutHXh的值=-香港啊γhγh=nXj=|h |+1xjxj-|h |其中k（x）是Parzen kernelk（x）=1.- 6x+6xif x∈ [0, 1/2]2(1 - x） 如果x∈ （1/2,1]0否则，H=3.51·n3/5Pnj=1xj/（2n）Penj=1exj！2/5，xjis是根据Barndorff-Nielsen等人（2009年，第2.2节）计算的第j个高频收益率，exjis是第j个bin的日内收益率（间隔15分钟等间隔）。对于成交量（vol）和交易数量（nt），我们只是简单地汇总数据（分别是日内成交量和交易数量的总和）。根据图1，次贷危机引发的动荡显然正在以潜在趋势影响该系列的业绩。对于波动性，Gallo和Otranto（2015）用一些非线性MEM分析了平均水平的变化。

在不采用他们的方法的情况下，我们在下面实施图1：JNJ交易活动指数的时间序列（2007年1月3日至2013年7月31日）。左：原始数据；右：去渲染数据；顶部：已实现的核心波动率（年化百分比）；中等：数量（百万）；底部：交易数量（千）。2012年6月13日的收购相当于一家子公司对其部分普通股的重要收购和回购。趋势消除策略（分别针对每个指标），以识别系列之间除了低频变动之外的短期波动。样本的第一部分中存在明显的阿努沃德坡度，这与安徒生（1996）提出的体积证据一致。值得注意的是，这一上升趋势在2008年10月危机达到顶峰后被打断，变量的平均水平出现了实质性的逐步降低。为了消除这种趋势，我们采用了一种类似于安徒生（1996）的解决方案，即时间的灵活函数来平滑序列。具体来说，假设趋势是乘法的，我们在每个指标中删除它，如下所示：o我们取原始序列的对数；o我们使用timet（样本中从第一次观察到最后一次观察的累进计数器）作为因变量，在每个对数系列上进行基于样条曲线的加性误差回归然后对之前回归的残差进行指数化，得到去趋势序列。当用于生成原始数量的样本外预测时，假设趋势分量在上一次样本内估计时保持不变，则采用描述方法。

这一策略实施简单，对于预测中等水平的前景相当可靠。用夹板提取金融市场活动系列中的低频运动，让人想起Engle和Rangel（2008）与aspline GARCH共同发起的文学流，并在MEM背景下在Brownlees和Gallo（2010）中进行。表1显示了估计趋势之间非常相似的相关性，都在0.87左右。尽管非常大，但去趋势系列之间的相关性不太均匀：根据预期，交易量和交易数量的价值高于0.9，是最高的；cor（rkv，vol）低于0.6，而cor（rkv，nt）约为0.7，这证实了相关变量的扩大是由数据保证的。另请注意，与原始序列相比，去除趋势往往会扩大相关性之间的差异。表1:JNJ的相关性（2007年1月3日至2013年7月31日）。rkv=已实现的内核可用性；体积=体积；ntr=交易数量。原始趋势去趋势vol ntr ntr vol NTRKV 0.645 0.779 0.875 0.877 0.579 0.707 vol 0.903 0.874 0.936可以使用其他方法，例如固定长度（居中或非居中）的移动平均数，但在实践中，它们会产生非常相似的结果，这里将不详细讨论。样条曲线回归是通过R包mgcv中的gam（）函数使用默认设置估计的。4.1建模结果在应用中，我们考虑去趋势数据上的vMEM，其中条件期望的形式为（参见等式（3））ut=ω+αxt-1+αxt-2+γx(-)T-1+βut-1.（32）为了评估不同模型组件的贡献，在这个条件平均值中，我们考虑系数矩阵α和β的替代规格（α和γ在所有规格中保持对角），以及误差项。