仿射财富模型：一种基于代理的资产交换模型

（16） 在本文的剩余部分中，我们将着重于拟合洛伦兹曲线，而不是试图将代理密度函数模型化为它们的经验计数器部分。这在很多方面更合适，包括o洛伦兹曲线及其相关的基尼系数——一种被广泛使用和认可的财富分布分析指标经验agent密度函数在连续介质极限下具有非紧支撑，而洛伦兹曲线L（f）是凹向上的，并且很方便地支撑着onf∈ [0, 1].o 在超临界状态下，财富被凝聚成一个部分或完全的寡头政治，不容易从代理人密度函数中检测出来，但从洛伦兹曲线的观察中，它立即变得显而易见。limf的价值→1.-洛伦兹曲线与右边界相交的L（f）是人口中非寡头o部分持有的财富的分数最后，正如已经证明的，洛伦兹曲线包含的信息与经过缩放的agentdensity函数一样多，因此N=W=1。事实上，当比较不同国家的财富分布时，这种比例是一种理想的标准化，这些国家的N值和W值可能非常不同。C.对称性和对偶性。（13） 展示了两个显著的对称性。我们可以从上面对洛伦兹曲线的讨论中预测第一个。假设0.20.30.40.50.60.70.80.9Lorenz曲线（a）具有经典财富密度函数的亚临界状态的Lorenz曲线0.20.4 0.6 0.8人的累积份额F（w）0.10.20.30.50.70.9Lorenz曲线（b）具有部分财富凝聚的超临界状态的Lorenz曲线图。1：在亚临界情况下，洛伦兹曲线不能低于零，并且总是在点（1，1）处终止。

基尼系数定义为G=AA+B，其中A和B是阴影区域的面积。P（w；χ，ζ；w，N）表示方程（13）的再分配系数χ、WAA系数ζ、药剂总数N和财富总量w的解。假设我们知道这个财富分布的洛伦兹曲线，但我们不知道和W。在这种情况下，我们可以正式假设n=W=1，从而得到p（W；χ，ζ；1，1）。然后很容易验证，对于N和W的其他值，等式（13）的解由p（W；χ，ζ；N，W）=NW/NP给出wW/N；χ, ζ; 1, 1.（17） 因此，如果公式（13）可以在N=W=1时进行形式化求解，则解的图形可以横向和纵向缩放，以获得任意N和W的解。第二种对称性并不明显。它是在最近的一篇参考文献[18]中推导出来的，既来自稳定状态下的福克-普朗克方程，公式（13），也来自基本的统计过程。LetLsuphχ，ζi（f）：=L（f）-1（f；χ，ζ）；χ、 ζ）（18）表示具有重分布系数χ和WAA系数ζ>χ的超临界洛伦兹电流函数。因此，交换χ和ζ将产生asub临界洛伦兹曲线函数Lsubhχ，ζi（f）。结果表明，lsuphχ，ζi（f）=χζLsubhζ，χi（f），（19）表示f∈ [0,1]，仍然假设ζ>χ。这e在系统的亚临界和超临界状态之间建立了一对一的对应关系。这种对称性是物理学中众所周知的对偶现象的一个例子。在我们的应用中，对偶性对于解的数值计算非常有用，因为它不需要计算超临界解计算超临界洛伦兹曲线，你可以简单地计算通过交换χ和ζ得到的亚临界曲线，然后按照上述方式重新缩放。

在参考文献[18]中可以找到对性的更详细描述。三、 仿射财富模型a。模型的定义EYSM的一个关键缺陷是无法解释负财富。Agent wealth最初是正的，动力学设计使其保持正的状态，因此Agent density function P在（0，∞).然而，如前所述，2016年美国约有10.9%的人口出现了负海拔。为了克服这种缺陷，我们通过要求一种新的对称性来推广EYSM。除了等式描述的乘法标度。（17） 和（19），我们要求在财富分布的某种加性位移下不变，如下所述。由于ne-w模型在缩放和移位两种情况下都是不变的，因此我们将其称为有效财富模型（AWM）。在AWM中，代理密度函数P（w）在[-, ∞), 固定正等式 稍后将进行描述。在每笔交易开始时，交易双方都会进行交易 为了他们的财富。有了这一结果，他们进行了EYSM交易。最后，他们都减法 用他们的财富来完成交易。这种方法的一个很好的特点是，不需要修改ISME算法来处理负财富。注意，即使两个代理都以正数w和x开头，数量w=pγt分钟（w+, x+)η（20）可能大于w和/或x，因此代理人可能会损失比他/她目前拥有的更多的财富，从而最终得到负财富。

总体效果是在“财富转移”中创造一个EYSM分布，w=w+ ∈ (0, ∞), 但接下来要把这个分布，P（\'w），转换成w的一个中间值，而不是w，这很容易实现，如下所示，P（w）=\'P（\'w）=\'P（w+), （21）其中“P”是EYSM分布。现在dw=d\'w，所以n=Z∞-dwp（w）=Z∞d\'w\'P（\'w）=\'N（22）和w=Z∞-dw P（w）w=Z∞d\'w\'P（\'w）（\'w- ) =“W”- N，（23）他表示平均财富，u：=W/N是由转移后的平均财富，u：=W/N，除以u=\'u- . （24）去沃德，我们写道 作为转移平均财富的一小部分，\'u，保证为正， = κ′u，其中κ≥ 0是模型的新参数。由此得出u=（1- κ） u，因此 = λu=κu，（25）其中我们定义了λ：=κ1- κ（26）为方便起见。虽然原则上没有什么可以阻止κ超过1，但我们将看到，根据经验确定的κ值往往非常小。以类似的方式，我们可以计算洛伦兹-帕累托势，F，A，L和B，它们的对应项如下：F（w）=F（\'w）（27）A（w）=\'A（\'w）（28）L（w）=（1+λ）\'L（\'w）- λ\'F（\'w）（29）B（w）=\'B（\'w）- κu“L”（“w”）- κF（\'w）. （30）相应的逆e变换为‘F（\'w）=F（w）（31）’A（\'w）=A（w）（32）’L（\'w）=（1）- κ） L（w）+κF（w）（33）\'B（\'w）=B（w）+λuL（w）+λF（w）. （34）请注意，当κ=λ=0时，变换将简化为恒等式。B.AWM的福克-普朗克方程在上述变换的情况下，并将P的时间差存储片刻，我们希望导出AWM的福克-普朗克方程。我们通过支持转移的财富分布是EYSM的结果来实现这一点，因此“P”及其关联的巴雷托-洛伦兹势应该服从公式（7）的一个版本。我们首先为AWM编写等式（1）， w=pγ最小温度（\'w，\'x）η+χ（\'u）- “（w）T

（35）注意“u”- \'w=（u+) - （w+) = u - w、 （36）使得r分布项在位移下不变。接下来，我们希望修改等式（2）。显然是“w”- \'x=w-x、 括号中分数的分子，等式是独立的。在分母中，我们使用“W/”N，因为它保证为正。AWM公式（2）的修改版本为：ne[η]=ζstγ“w”- \'x\'u. （37）自Eqs以来。（35）和（37）与等式相同。（1） 和（2）但对于条s的存在，`P遵循的方程为\'Pt+ “w”χ (u - w）P-ζu“B”-“w”A+1.- 2’L“w”\'P= “w”γ“B+”w“A\'P. （38）我们现在插入inEqs中描述的转换。（21）-（26）和等式。（31）–（34）在经过计算后，获得AWM的F-kke r-Planck方程，Pt+W(χ - κζ) (u - w） P- (1 - κ)ζuB-佤+ (1 - 2L）wP=WγB+wA+ λu（uL+Aw）+λuP. （39）其中w∈ [-λu, ∞).通过设置Pt=0，对w积分一次，得到dDwγB+wA+ λu（uL+Aw）+λuP= (χ - κζ) (u - w） P- (1 - κ)ζuB-佤+ (1 - 2L）wP、 （40）同样适用于w∈ [-λu, ∞).Eqs。（39）和（40）ar e等式的单参数变形。（7） 和（13）。当κ（因此λ=κ1-κ） 设置为零。虽然变形方程式看起来更复杂，但它们有相同的基本结构，即交易项、再分配项和WAA项。此外，还讨论了WAAterm和Eq的再分配项。（39）和（40）与等式中的形式完全相同。（7） （13）但有两个有趣的变化：第一，WAA系数按1缩放-κ; 其次，再分布率χ有效地降低了κζ。对于首次观察，我们需要κ<1使标度WAA系数为正值。从Eq。

（25），这也相当于平均财富为正。如下文第IV D和IV E小节所示，经验拟合表明κ的合理值都远小于1。负WAA系数对微分方程解的影响是一个超出本文范围的数学问题。对于第二个观察，我们需要χ>κζ来保持诱导的再分配系数为正。如inEq所示。（48），考虑到κ<1，这也相当于洛伦兹曲线以正值与其右侧边界相交，因此非寡头群体持有的财富为正值。同样，后面给出的经验证据将表明，这种不平等性在现实中总是得到很大程度的满足，我们将其作为数学问题留给未来研究。我们目前的直觉是，这可能会导致微分方程解的不稳定性，甚至不存在。C.洛伦兹曲线和AWM的对偶为了更好地理解移位方差的性质，用w的p（w；χ，ζ，κ；w，N）表示等式（40）的解∈ [-λu, ∞). 从式（40）的构造中，可以清楚地看出，位移密度函数P服从EYSM的福克-普朗克方程，式（38），这与κ=0时AWM的方程相同。因此，我们有了新的对称性（w；χ，ζ，κ；w，N）=P（w+λu；χ，ζ，0；（1+λ）w，N），（41），因此，通过求解EYSM的更简单版本并将结果s移位，可以求解AWM的福克-普朗克方程。上述观察结果为我们提供了一个完整的策略来解决WM的代理密度函数。当被要求为w查找P（w；χ，ζ，κ；w，N）时∈ [-λu, ∞):1.使用等式（41）将其转化为κ=0和w的问题∈ [0, ∞).2.如果ζ>χ导致问题超临界，则使用等式。

（19） 把它转换成次临界的。3.最后，使用公式（17）将问题转化为所谓的标准形式，其中chn=W=1。因此，求解AWM所需的唯一数值解是EYSM的次临界、规范型解。我们可以更进一步，直接关联上述策略三个阶段的洛伦兹曲线。我们首先考虑次临界情况，不需要第2步。此外，我们可以假设我们从标准形式开始，所以第3步是不必要的。我们再次用重分布系数χ和WAA系数ζ<χ表示亚临界AWM的洛伦兹曲线，用Lsubhχ表示，ζi（f）=L（f-1（f）），以及相应的EYSM溶液的‘Lsubhχ，ζi（f）=‘L（‘f-1（f））。然后，使用。（27）和（29），我们有subhχ，ζi（f）=L（f）-1（f））=L（\'f-1（f））=（1+λ）L（\'f-1（f））- λ\'F（\'F-1（f）），orLsubhχ，ζi（f）=（1+λ）Lsubhχ，ζi（f）- λf，（42），它直接将亚临界AWM的洛伦兹曲线与相应EYSM的洛伦兹曲线联系起来。注意lsubhχ，ζi（0）=（1+λ）0- λ0=0（43）和lsubhχ，ζi（1）=（1+λ）1- λ1=1，（44）如预期。接下来，我们考虑ζ>χ的超临界情况，再次使用非正则形式，因此不需要步骤3。类似于上面的推理，ζi（f）=（1+λ）Lsuphχ，ζi（f）- λf.（45）我们现在可以使用等式。

（19） 重写这个asLsuphζ，ζi（f）=（1+λ）χζLsubhζ，χi（f）- λf，（46）仍然遵循lsuphχ，ζi（0）=0，（47），但现在我们有lsuphχ，ζi（1）=（1+λ）χζ- λ（48）表示人口中非寡头阶层持有的财富份额，1- Lsuphχ，ζi（1）=（1+λ）1.-χζ（49）寡头所持有的财富份额。请注意，给定κ<1，Lsuphχ，ζi（1）>0等于χ>κζ，这是我们在第i II B小节中讨论的条件。使用本小节中描述的方法，我们可以通过对EYSM亚临界解的洛伦兹曲线进行变换，绘制任意给定参数三元组hχ，ζ，κi的AWM洛伦兹曲线。这一观察极大地促进了获得本文后面给出的拟合结果。图中给出了含有负盐剂的AWM的亚临界和超临界洛伦兹曲线示例。2a和2b。四、 经验测试a。使用数据说明我们用于美国财富分配的数据取自联邦储备委员会与美国财政部合作进行的美国消费者财务调查（SCF）[19]。这是一项三年一次的美国家庭横断面调查，包括家庭资产负债表、养老金、收入和人口特征等信息。在SCF中为住户收集的数据领域中，有一个称为networth的领域，它代表了住户的总财富，因为networth被计算为资产和负债之间的差异，其价值可能为负值。事实上，如前所述，大约10。

在这些模型中，只有AWM能够产生具有负值的洛伦兹曲线。对于考虑的其他模型，低财富必然会有显著误差，其中模型的洛伦兹曲线为正，但数据的洛伦兹曲线为负。出于身份的原因，公布的SCFdata故意排除了被称为“福布斯400”的美国最富有人群名单上的人[24]。因为这群人虽然人数不多，但他们非常富有，对整体分布有着不可忽视的影响，尤其是在上尾，我们觉得把他们加回去很重要。从技术上讲，networth不包含在SCF的原始微数据中。SCF数据的用户必须通过对微观数据中的许多其他财务变量求和来计算自身。事实上，SCF数据[19]提供了一个例子来解释如何准确地做到这一点，我们在为本研究准备数据时密切遵循了这个例子。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1人的累积份额F（w）－0.20.20.40.60.8洛伦兹曲线（a）带负财富的AWM超临界状态的洛伦兹曲线0 0.2 0.4 0.6 0.8 1人的累积份额F（w）－0.20.20.40.60.8洛伦兹曲线（b）带负财富的AWM超临界状态的洛伦兹曲线图。2：在亚临界情况下，洛伦兹曲线下降到零度以下，但在点（1，1）处终止。基尼系数定义为G=AA+B，其中A和B是阴影区域的面积。根据我们的AWM和经验财富分布，洛伦兹曲线可以：1，由于总财富为负的代理人的存在而变为负；2.由于寡头政治的存在，在点（1,1）以下的某个地方击中右边界。在这种情况下，基尼系数确定为G=A-钙+硼-C、 其中A、B和C是阴影区域的面积。进入SCF数据。

例如，《福布斯》杂志每年都会发布这一名单，包括对其净财富的估计，因此我们将福布斯400数据集与SCF数据集进行了简单合并，并使用他们的联盟进行了分析。我们使用公式（16）来计算财富基尼系数，并将其与公布的价值进行比较，从而检查结果数据集；例如，对于2013SCF数据，我们计算出的基尼系数为85.5%，这与瑞士信贷银行2013年出版的《全球财富数据手册》中报告的基尼系数（85.1%）非常接近[25]。在上述模型中得到的经验财富分布按住宅群离散。第j个这样的群体代表为净财富wj和权重pj。权重Pjar可能与每组房屋的数量成正比，并在人口中标准化，因此Pjpj=1。因此，财富的密度函数可以写成加权狄拉克三角洲分布的总和，P（w）=NXj=1pjδ（w- wj）。（50）很明显，N=rdwp（w）=Pjpj=1，w=rdwp（w）w=Pjpjwj。WJC可以均匀缩放，这样最后一个量也等于一，这样经验数据就是标准形式的，N=W=1。为了绘制洛伦兹坐标，我们需要计算财富小于w的人口及其相应的累积财富之和。这相当于绘制点（fj，lj） ，其中fj:=Xi:wi≤wjpi（51）和lj:=Xi:wi≤wjpiwi。（52）本文中我们比较模型的经验Lore-nz曲线是Lorenz坐标（fj，lj） ，如上所述。由于CESCF数据非常精确，包括数以万计的房屋，因此插值显示为平滑曲线，我们的理论模型的数值解也是如此。B