仿射财富模型：一种基于代理的资产交换模型

拟合方法通过最小化经验洛伦兹曲线和通过我们模型的数值解获得的理论洛伦兹曲线之间的差异来进行拟合。与上面我们已经采用的符号一致，如果一个模型的参数是一个参数向量θ的c分量，我们应该为对应于该参数向量的理论（模型）洛伦兹曲线写出Lθ（f）。如果我们为经验洛伦兹曲线写L（f），我们的拟合方法可以用数学描述为θ最优=arg minθJ（θ），（53），其中我们定义了离散度J（θ）：=Zdf | L（f）- Lθ（f）|（54）此处形式的选择受基尼系数定义的启发；正如基尼系数是洛伦兹曲线和对角线之间面积的一半，离散度等于理论和经验洛伦兹曲线之间的面积。对于不同的模型，参数向量θ将具有不同的维度。在接下来的内容中，我们将考虑一到三个参数的模型，因此θ的维数范围为1到3。这些模型在第IV C小节中有详细描述。在所有情况下，都无法保证J（θ）的凹度，因此我们采用全局数值搜索来寻找最佳参数。对于第IV E小节中给出的一些结果，模型和经验洛伦兹曲线非常接近，很难从图形上区分它们。因此，我们将两条曲线之间的局部误差（相对于F绘制）显示在一组图中。

由于Lor-enz曲线的斜率范围从零（或略小于s）到整数，将局部误差定义为两条曲线之间的垂直距离会产生误导。相反，我们将局部误差定义为连接经验数据点（fj，lj） 模型洛伦兹曲线，构造成与后者垂直，如图所示。3.如果有多条此类线段，则使用最短线段的长度。换句话说，局部误差是从经验数据点到模型洛伦兹曲线的最短距离。对于超临界状态下的洛伦兹曲线模型，当L大于非寡头人口所拥有的财富之和且小于1时，解将与边界F=1一致。因此，与模型洛伦兹曲线的这一部分垂直的直线段是水平的，因此局部误差是距点的水平距离（fj，lj） 垂直边界f=1，即等于| fj- 1|. 这也如图3所示。C.所用型号的说明1。单智能体模型作为我们比较的基础，我们使用一个类似于早期洛伦兹曲线拟合（fi，li）（fi，li）（fj，lj）（1，lj）中使用的线性模型。图3：计算数据点局部误差的几何结构（fi，li） 和（fj，lj） 到设定曲线L（f）。对于（fi，li） 我们计算了它与点（f，Lθ（f））的垂直距离，这是Lθ（f）上最接近的点。而对于（fj，lj） ，我们计算它到边界的水平距离f=1。由许多作者撰写。（参见，例如[10]）。该模型不是随机选择一对代理进行二元交易，而是选择单个代理进行一元交易。因此，我们将其称为单代理模型（SAM）。

在一笔交易中，一位拥有财富的绅士有着均等的胜负几率√γ他/她拥有自己的财富。如果我们再次采用Ornstein-Uhlenbeck形式的再分配项，即方程式（1）中的a s，则该方程式的解析对数为w=pγt wη+χWN- Wt、 （55）其中E[η]=0和E[η]=1。这个统计过程显然保存了代理人的总数，但它只在平均意义上消耗财富。与该模型对应的简单推导的线性福克-普朗克方程，P（w，t）t=-WχWN- WP（w，t）+WγwP（w，t）, （56）然而，N和W都守恒。就像我们对等式的推导一样。（13）和（40），我们看到式（56）的稳态解由DDW描述可湿性粉剂（w）= χWN- WP（w），（57），可解析求解。如果选择积分常数以满足公式（11）的标准化要求，并且如果我们像以前一样通过取γ=1来采用事务单位，则代理密度函数isP（w）=Nu（2χ）2χ（2χ）微瓦2χ+2e-2χuw，（58），其中u：=w/N是平均财富。在w=0附近，P（w）的解是非常有限和耗尽的，而对于w非常大的ge，它是渐近幂律，与帕累托观测一致。从等式（58）可以直接计算ef（w）=Q2χ+1,2χuw（59）andL（w）=Q2χ，2χuw, （60）其中Q:=Γ（a，z）Γ（a）是正则化的上不完全伽马函数。该函数的逆函数通常用Q表示-1（a，z），所以Q（a，Q-1（a，z））=z，其中单参数洛伦兹曲线函数为samhχi（f）=Q2χ，Q-1（2χ+1，f）（61）注意，该模型的参数向量θ=hχi是一维的，因为洛伦兹曲线仅取决于再分配系数χ。我们考虑的第二个模型是第II A小节中描述的EYSMA，具有再分配系数χ，但没有WAA soζ=0。

同样，参数向量是一维的，我们用LEYSMhχi（f）表示洛伦兹曲线的函数形式。具有再分配的EYSM和WAA thir d模型，我们认为是第II A小节中描述的EYSM，但这一次是同时具有三个分配系数χ和WAA系数ζ的EYSM。因此，参数向量是二维的，我们用LEYSMhχζi（f）表示洛伦兹曲线的函数形式。AWM我们考虑的第四个模型是第。三、 该模型的参数向量是三维的，θ=hχ，ζ，κi，从第三节C中的讨论中，我们知道我们可以写出λhχ，ζ，κi（f）=（1+λ）LEYSMχ，ζ（f）- λf，（62），其中λ由等式给出。(26).现在，以三维参数s的速度进行全局搜索在计算上是昂贵的。然而，请注意，如果我们使用LNORMT来定义差异，而不是Lnorm，并且如果χ和ζ保持不变，λ的最佳值将由λLopt=RdfhLEYSMhχ，ζi（f）给出- l（f） ihf- LEYSMhχ，ζi（f）irdfhfhfhf- LEYSMhχζi（f）i，（63）其中l（f） 是经验洛伦兹曲线。由此我们可以计算出κLopt=λLopt1+λLopt。（64）在我们的数值模拟中，我们使用κLopt作为初始猜测，通过最小化差异的形式，线性搜索真正的最优值κLopt。以上述方式，一个三维优化问题在hχζi中被简化为一个二维优化问题——尽管在每个点上都有一个快速的线搜索，对于这个点，我们有一个非常好的初始猜测。我们发现这种方法工作可靠，并且显著减少了计算工作量。D、 模型比较在本小节中，我们将第IV B小节的拟合技术应用于第IV C小节中描述的所有四个模型。为此，我们使用了第IV A小节中描述的2013SCF数据，包括福布斯400。

所有的拟合结果如图（4）所示，找到的所有最佳参数以及拟合基尼和经验基尼之间的比较总结在表中。（一） 图（4a）显示了基线SAM模型的SCF数据拟合。虽然拟合曲线的基尼系数比经验基尼系数低，但这两条曲线之间的差异明显有待改善。这表明，SAM无法捕捉低财富地区和0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1累积人口（F）0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 SAM2013 SCF与福布斯4000 0.5 1F0的拟合曲线。020.04平均局部误差：2.1%（a）单因素模型0.2 0.4 0.6 0.8 1累积人口（F）0.10.20.30.40.50.60.70.80.9用福布斯4000 0.5 1F0重新分配2013 SCF拟合EYSM曲线。020.04平均局部误差：0.9%（b）重新分配的EYSM 0.2 0.4 0.6 0.8 1累积人口（F）0.10.20.30.40.50.60.70.80.9重新分配的EYSM和福布斯4000 0.5 1F0的WAA2013 SCF的拟合曲线。020.04平均局部误差：1.0%（c）重新分配的EYSM和WAA0 0.2 0.4 0.6 0.8 1累积总体（F）0.10.20.30.40.50.60.70.80.9福布斯4000 0.5 1F0的AWMSCF2013拟合曲线。020.04平均局部误差：0.1%（d）A有效财富模型图。4:2013年美国消费者金融调查数据的四种不同模型与经验洛伦兹曲线的拟合，增加了福布斯400。对于每一个函数，我们都会寻找最佳参数向量，以最小化经验和模型洛伦兹曲线之间的误差。插图中绘制的局部误差如第IV B小节所述进行计算。这四个图显示，按照其呈现顺序，其绘制经验数据的能力不断提高。

本文介绍的AWM模型在捕捉低财富区域（包括负财富）和上尾部财富分布特征方面优于其他三种模型。上尾巴。它严重高估了低财富地区的洛伦兹曲线，远远超出了它不允许负财富这一事实所能解释的范围。此外，SAM的渐近幂律尾被认为严重低估了经验上尾。插图中绘制的局部误差的平均值在f2%附近。图（4b）显示了仅在再分配情况下对资产负债表SCF数据的拟合，如第II A小节所述。这是我们认为的最简单的非线性、二进制交易模型，给出了稳定的分布。尽管该模型中只有一个参数，即再分配χ，就像SAM中的参数一样，尽管f的整个范围是显著的，但f已经得到了改善。这表明，具有二元交易的非线性模型比线性模型有很大的优势。再一次，最大的局部误差发生在低财富地区，但这一次很可能是因为模型不允许负财富。图（4c）显示了2013年具有再分配和WAA的EYSM SCF数据的fit，如第II A小节所述。回想一下，该模型可用于财富凝聚。结果清楚地表明，数据的最佳拟合度在于超临界制度，这表明美国当时的财富分布是寡头的，只有极少数的代理人在帮助美国8.33%的总财富。值得注意的是，与前两次相比，它的上尾翼得到了显著改善。

尽管如此，EYSM不允许负财富，因此低财富地区仍存在较大差异。最后，图（4d）显示了对AWM的2013SCF数据的拟合。即使只看一眼图，也足以说明AWM比其他三种模型都好。当然，它的参数比其他参数多，但三个参数似乎并不是为这种对经验数据的忠实性付出的高昂代价。因为AWM允许负财富，所以它能够捕捉洛伦兹曲线低财富区域发生的情况，但不会失去其在上尾的准确性。模型和经验曲线几乎相互重叠，与其他曲线相比，差异减少了近一个数量级，平均局部误差降低到约十分之一。总之，我们认为，AWM提供了一种合理的方法，可以将EYSM扩展到负财富状态，从而实现对经验数据的精确定量建模。E.1989年至2016年SCF的结果在确定了AWM的优先性后，其他三个模型在第IV D小节中有详细说明，因此，我们将注意力限制在AWM和SCF的经验数据上。SCF每隔三年进行一次，从1989年到2016年，因此总共有十个地块。对于这些趋势集中的每一个，我们解决了确定AWM参数向量θ=hχ，ζ，κi的“反问题”，该向量最小化了经验曲线和模型洛伦兹曲线之间的差异。测试结果如图5所示，表中总结了所有找到的最佳参数以及测试基尼和经验基尼之间的比较。（二） 。对于考虑的每一年，我们报告了最佳配置和最佳参数。

曲线图表明，AWM与经验数据非常吻合。对于三参数函数，经验和模型洛伦兹曲线几乎无法区分，平均局部误差在0.15%附近。一个关键的观察结果是，所有的fits都属于χ<ζ的超临界状态。因此，由数值解计算的洛伦兹电流都在（（1+λ）χ/ζ处到达右边界- λ、 1），如等式（48）所述，而不是（1,1）。水平虚线表示Lore nz曲线到达边界的位置，模型Lorenz曲线在该点上方为垂直线。这有力地表明，美国。SCF成立以来，美国的财富分配一直处于部分财富凝聚——或部分寡头政治——的状态。寡头所持有的社会总财富的分数为（1+λ）（1-χ/ζ），由等式（49）得出。从图中我们可以看到，这个分数在20%到30%之间。不同年份的10条洛伦兹曲线看起来非常相似，但拟合参数每年都有变化。由于每个AWM拟合曲线完全由三个模型参数决定，我们可以研究U。通过绘制参数的最佳值与时间的关系图，分析美国财富随时间的分布。需要记住的是，我们所有的功能都是AWM的稳态洛伦兹曲线。因此，在绘制AWM拟合参数s与时间的关系时，我们假设它们的时间变化本质上是非绝热的；换言之，我们假设拟合参数的变化太慢，无法产生P他在福克-普朗克方程式中做出了任何重大贡献。在图（6a）中，我们绘制了AWM的三个参数hχ、ζ、κi的最佳值，对应于图（5）中绘制的十条洛伦兹曲线，作为时间的函数。

如前所述，我们可以证实，在整个研究期间，χ<ζ，因此在整个27年的研究期间，美国的财富分配是寡头的。应该指出的是，这里的“寡头”指的是非常精确的东西：在福克-普朗克方程的所有有效（经典和分布）解的空间中，等式（39），那些最接近于SCF数据的解（在离散形式最为脆弱的意义上）都是显示财富凝聚的分布解，也就是说→1.-L（f）<1。这在数学上精确地定义了低聚木糖的现象。我们可以从图（6a）中观察到的第二个特征是，κ的变量远小于χ或ζ。因此，多年来，负富裕地区的下限与平均财富的比率相对恒定。从参数与时间的关系图中可以明显看出的第三个特征是，χ和ζ之间似乎存在相关性。这可能是因为至少在某种程度上，这两个参数对药剂密度函数的影响是多余的。增加WAA与减少再分配的效果相似（尽管并不完全相同）。因此，ζ的增加可以通过同时增加χ在一定程度上得到缓解。因此，这两个参数的比值χ/ζ比模型χoptζoptκopt fittingginiemperiicalginisingle Agent Model 0.0066--83.29%85.50%EYSM w/redist中的任何一个都更加稳健，这也许并不奇怪。0.016--83.85%的EYSM和redistWAA 0.022 0.024-83.76%净财富模型0.046 0.064 0.076 85.59%表一：每个模型的参数和拟合基尼的最佳值如图所示。

4年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，年，61%32.47%2010 0.046 0.0580.076 84.59%84.56%22.39%2013 0.048 0.066 0.078 85.24%85.05%29.58%2016 0.036 0.050.058 86.18%85.94%29.72%表二：图5分别显示了每年的参数和设定基尼的最佳值。由于χ/ζ和κ都是合理的常数，从等式（49）可以看出寡头财富比例也是一样的，这可以通过图（6b）中的最低曲线得到验证，这表明在研究过程中，寡头财富比例在20%到30%之间。图（6b）中的上部曲线是经验和模型基尼系数的曲线图。考虑到我们洛伦兹曲线的准确性，这两条曲线几乎相同也就不足为奇了。在研究的27年期间，基尼系数从79%增加到了86%。这与主要经济机构发布的数据一致[25,26]。五、结论和未来工作本文描述的AWM提供了一种新的财富分配模型，能够以前所未有的精度描述经验数据。由于该模型的参数与其代理级别描述的特定特征相关，因此这些参数的时间趋势（如图（6）所示）使我们能够窥见财富分布演变的潜在机制。