仿射财富模型：一种基于代理的资产交换模型

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英文标题：
《The Affine Wealth Model: An agent-based model of asset exchange that
  allows for negative-wealth agents and its empirical validation》
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作者：
Jie Li, Bruce M. Boghosian, Chengli Li
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We present a stochastic, agent-based, binary-transaction Asset-Exchange Model (AEM) for wealth distribution that allows for agents with negative wealth. This model retains certain features of prior AEMs such as redistribution and wealth-attained advantage, but it also allows for shifts as well as scalings of the agent density function. We derive the Fokker-Planck equation describing its time evolution and we describe its numerical solution, including a methodology for solving the inverse problem of finding the model parameters that best match empirical data. Using this methodology, we compare the steady-state solutions of the Fokker-Planck equation with data from the United States Survey of Consumer Finances over a time period of 27 years. In doing so, we demonstrate agreement with empirical data of an average error less than 0.16\\% over this time period. We present the model parameters for the US wealth distribution data as a function of time under the assumption that the distribution responds to their variation adiabatically. We argue that the time series of model parameters thus obtained provides a valuable new diagnostic tool for analyzing wealth inequality.
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中文摘要：
我们提出了一个随机的，基于代理的，二元交易资产交换模型（AEM）的财富分配，允许代理负财富。该模型保留了之前AEMs的某些特征，例如再分配和财富获得优势，但它也允许代理密度函数的变化和缩放。我们推导了描述其时间演化的福克-普朗克方程，并描述了其数值解，包括一种求解反问题的方法，即找到与经验数据最匹配的模型参数。使用这种方法，我们将福克-普朗克方程的稳态解与美国消费者金融调查27年的数据进行了比较。在此过程中，我们证明了与经验数据的一致性，在此期间的平均误差小于0.16%。我们提出了美国财富分布数据的模型参数作为时间的函数，假设分布对其变化做出绝热响应。我们认为，由此获得的模型参数时间序列为分析财富不平等提供了一个有价值的新诊断工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> The_Affine_Wealth_Model:_An_agent-based_model_of_asset_exchange_that_allows_for_.pdf (1.08 MB)

2022-5-11 05:12:05 上传

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关键词：distribution Quantitative Applications QUANTITATIV Methodology

有效财富模型：一种基于代理的资产交换模型，允许负财富代理及其经验验证*美国马萨诸塞州梅德福德塔夫茨大学数学系李杰、布鲁斯·M·博格森和李成利，邮编：02155。我们提出了一个随机的、基于代理的二元交易资产交换模型（AEM），用于财富分配，允许具有负财富的代理。该模型保留了先验的某些特征，如再分配和财富获得优势，但它也允许代理密度函数的转移和缩放。我们推导了描述其时间演化的福克-普朗克方程，并描述了其数值解，包括一种解决反演问题的方法，即找到与经验数据最匹配的模型参数。使用这种方法，我们将福克-普朗克方程的稳态解与美国消费者金融调查局27年的数据进行了比较。在此过程中，我们证明了与经验数据的一致性，在此期间的平均误差小于0.16%。我们提出了美国财富分布数据的模型参数作为时间的函数，假设分布对其变化做出绝热响应。我们认为，由此获得的模型参数时间序列为分析财富不平等提供了一个有价值的新诊断工具。I.简介财富分配的基于随机主体的资产交换模型（AEMs）于1986年首次引入[1]，并于1997年首次使用动力学理论方法进行数学分析[2]。AEMs是高度理想化的，但对于理解财富分布的静态和动态非常有用的模型，它们展示了丰富的现象学[3,4]。

在这项工作中，我们将证明，如果包含适当的特征，它们也能够以显著的准确性解释某些经验经济数据。尽管AEMs有很多变体，但大多数都认为是一个封闭的经济体，涉及固定数量的经济主体，每个主体都拥有一定数量的资源，我们称之为财富。随机选择几对代理人进行二元交易，其中少量财富，w、 可能会从一个特工转移到另一个特工。在大种群和长时间的限制下，agentdensity函数可以用连续分布来描述，可以是经典分布，也可以是单数分布。虽然使用蒙特卡罗方法可以很容易地模拟此类模型，但在大量小交易的限制下——即所谓的小交易限制下——可以为其近似密度函数推导出kke r-Planck类型[5–7]的偏微分方程。这有助于用解析和数值方法研究这些分布的性质。本论文基于2002年[8]首次提出的一个特定的AEM，并得到了它的结论*(c)2018年，版权所有在sameyear[9]晚些时候将庭院销售模型（YSM）命名。该模型假设二进制事务，其中w与两个国家的发起者的财富成正比，财富增长的方向由一个公平的硬币流量决定。当时的数值模拟表明，它的时间渐近状态是一种完全财富凝聚[10,11]，即寡头政治，其中所有财富都落入一个代理人手中。2014年，针对该模型推导出了一个玻尔兹曼方程，并证明在小交易限制下简化了toa Fokker-Planck方程[12,13]。

一年后，从任何初始条件来看，这些方程演化的时间渐近极限都是完全寡头状态[14]。为了避免完全寡头的状态，从而使YSM更加现实，引入了一种再分配模型，在这种模型中，每单位时间的财富税按交易对所有代理人征收，并统一再分配给整个人口。研究表明，这有助于将anOrnstein-Uhlenbeck[15]术语添加到Fokker Pla nckequation[13]中。随后的扩展将财富获得优势（WAA）的概念引入到模型中，以解释更富有的代理享有超额代理的良好消费特权，例如更高的投资回报和更低的贷款利率[16]。从数学上讲，这是由于偏向了更富有的代理人的硬币狂热。偏差的大小被认为与较富裕和较贫穷年龄段之间的财富差异成正比，时间系数ζ。由于偏差与财富差异成正比，因此当交易代理人的财富相等时，偏差自然会降至零。由此产生的扩展庭院销售模型（EYSM）[16]具有再分配率χ和WAAparameterζ，承认了更有趣的现象学，我们在第II A小节中对其进行了回顾。在ζ<χ定义的亚临界区域中，药剂密度函数是一个经典分布。

当ζ≥ χ、 这就形成了一种部分财富浓缩的超临界制度，其特征是，代理人的经典分布占总财富的χ/ζ，寡头政治占剩余财富的1%-财富总额的χ/ζ[16,17]。进一步的研究揭示了这种扩展模型的亚临界和超临界阶段之间存在的“二元性”[18]。在本文中，我们对EYSM进行了进一步修改，以允许具有负海拔的试剂。这种情况在经验数据中得到广泛观察——例如，2016年美国约10.9%的人口负债超过资产，因此财富为负——但包括EYSM在内的大多数之前的AEM都限制财富为正数。agent密度函数的现实模型在agent总数和总财富的缩放下具有不变性；我们通过额外要求在加法移位下财富分布的不变性来实现负财富的扩展。因为新模型在缩放和移位下是不变的，所以我们将其称为新健康模型（AWM）。我们推导了AWM的代理密度函数所遵循的福克-普朗克方程，并描述了它在亚临界状态下（无无无序）稳态财富分布的数值解。我们解释了如何利用上述d对偶性，从亚临界对应物中获得超临界区域（寡头）的数值解[18]。最后，我们将AWM的结果与经验数据进行了详细的比较。特别是，我们将F-kke r-Planck方程的稳态解和美国消费者金融调查[19]27年的数据进行了比较。

在这样做的过程中，我们证明了（i）我们在基础AEM中引入的每一个扩展都导致了更好的拟合，以及（ii）在所有这些模型中，AWM是经验数据最可靠的结果之一。此外，我们提出了美国财富分布数据的拟合参数，作为时间的函数，假设财富分布对其绝热变化做出响应。我们认为，这种模型参数的时间序列提供了一种新的方法来提取有关经济体中财富不平等的有用信息。作为一个例子，我们演示了一种精确定义的方法，用于量化美国财富分布的部分财富浓缩程度。二、背景。扩展庭院销售模式在本小节中，我们简要介绍了当前工作所基于的扩展庭院销售模式（EYSM）。参考文献[16]中有更完整的描述。我们假设我们的人口有N个代理人，每个代理人都有一定数量的正财富，并且总财富为W，因此代理人的平均财富为W/N。我们假设财富为w的特定代理人1在时间t与财富为x的随机选择代理人2进行交易。在交易过程中，代理人1的财富增加了w、 而NT2年龄组则下降了w、 这样总的财富就得以保存。我们认为是这样w、 它可以是正的，也可以是负的，由统计过程描述w=pγt最小值（w，x）η+χWN- Wt、 （1）式（1）中的前导项是两个代理人中较穷者财富的一小部分，因为大多数人不把他们财富的很大一部分押在一次交易上似乎是合理的。因为满足这个要求，代理人的财富永远不会变为非正的，代理人密度函数的支持度是（0，∞).

货币流动由随机变量η建模，如果财富从代理2移动到代理1，则为正；如果财富从代理1移动到代理2，则为负。我们通过假设η的期望值为[η]=ζs来建立WAA模型tγW- 西北, （2） 式中，ζ被称为WAA系数，因此co流量中的偏差与两个代理的财富差异成正比，通过平均财富标准化。请注意，如果w>x，硬币偏向于从nt 2到Agent 1的财富，反之亦然。如果两个代理拥有相等的财富，则上述值降低到E[η]=0，因此co in是无偏的。然后我们可以要求E[η]=1，而不丧失一般性。式（1）中的第二项实施财富税，单位时间的税率等于χ，我们称之为再分配系数。财富税的金额及时从Ag ent 1收取t是（χt） 所以从当时的整个人口中t是（χt） W。后一个量被N分割并重新分配，因此Agent 1的净增益正好是等式（1）中的秒项。请注意，财富低于平均值W/N的代理人从再分配中获得净收益，其费用高于平均值。该项与OrnsteinUhlenbeck过程的福克-普朗克方程[15]中的相同，并且具有相同的稳定效果。上述随机过程的药剂密度分布P（w，t）的福克-普朗克方程[5–7]通过T→ 0，也就是所谓的小额交易限额，通过补充，代理人2的财富，即x，也是一个随机变量。我们通过σ=lim定义漂移系数和扩散系数T→0EWT（3） andD=limT→0E(w）T, （4） 其中函数f（η，x）在分布P（x，t）上的期望值E[f]由[f]=NZ给出∞dxp（x，t）E[f（η，x）]。

（5） 根据σ和D，福克Pla nck方程可以写成：Pt=-w（σP）+w（DP）。（6） σ和D的显式计算直接遵循等式。（1） ，（2），（3），（4）和（5）；参考文献[16]给出了详细信息。最终结果是EYSM的非线性部分积分微分福克普朗克方程，Pt=-WχWN- WP+Wζ西北B-佤+ (1 - 2L）wP+WγB+wAP, （7） 我们定义了帕累托-洛伦兹势，A（w，t）：=NZ∞wdx P（x，t）（8）L（w，t）：=WZwdx P（x，t）x（9）和b（w，t）：=NZwdx P（x，t）x，（10），其中代理人总数和总财富以P（w，t）byN=Z表示∞dwp（w，t）（11）和w:=Z∞分别为dwp（w，t）w，（12）。这是为了证明Nand W是等式（7）的运动常数。我们可以将式（7）除以γ，将其吸收到时间t中，并分别吸收到再分配系数和WAA系数χ和ζ中。等价地说，通过将γ设为单位，我们得到了时间t的自然事务单位的方程形式，我们可以将χa和ζ分别视为每个事务基础上的再分配和WAA的系数。因此，采用这些事务单元后，EYSM被认为只有两个自由参数。在稳态下，我们在公式（7）中将时间导数设为零，并对wto进行一次积分，得到非线性、普通积分微分方程DDWB+wAP= χWN- WP-2ζ西北B-佤+- LWP.（13）此后，我们将重点讨论这个稳态方程的经典解和/或弱解，因此忽略了时间依赖性，用P（w）代替P（w，t）等。B.洛伦兹曲线和基尼系数尽管药剂密度函数P（w）是非常基本的，但对于analyzingwealth分布，一种称为洛伦兹曲线[20]的替代表示被广泛使用。

如果我们知道代理人密度函数P（w），洛伦兹曲线可以通过绘制财富小于w的代理人所拥有的总财富，即L（w）：=WRwdx P（x）x，与财富小于w的代理人的分数，即F（w）：=NRwdx P（x）来获得，其中N和w由等式给出。（11） 和（12）。这是单位正方形中的一条曲线，由财富w参数化，可以显示为上凹，位于对角线下方。因为F（w）从0到1是单调递增的，所以可以将其反转以获得w=F-1（f）表示该间隔上的f。洛伦兹曲线m的泛函则表示为byL（f）：=L（f）-1（f））代表f∈ [0, 1].因为百分之零点的代理人拥有百分之零点的财富，而百分之一百的代理人拥有百分之一百的财富，所以我们可以合理地预期L（0）=0，L（1）=1，作为inFig。1a，事实上，当ζ≤ χ、 我们可以称之为次临界状态。然而，当ζ>χ时，已经表明[16]L（1）=χ/ζ<1，表明部分财富凝聚，如图1b所示。本质上，fr作用为1-总财富的χ/ζ由数量越来越少的代理人持有，我们称之为寡头统治。从数学上讲，使用非标准分析的分布理论方法[21]可以更好地理解这种现象，但在本演示中，我们将避开这些主题。由于F′（w）=P（w）/N和L′（w）=P（w）w/w，因此洛伦兹曲线的斜率L′（F）=dldww=F-1（f）=f-1（f）W/N，（14）只是财富参数除以平均财富。因此，只要所有代理人都有正财富，这在EYSM中总是如此，洛伦兹曲线就会单调递增。稍后，在Sec。

在本文的第三部分中，我们将考虑允许负财富代理的ra模型，对于该模型，洛伦兹曲线可能首先从点（0,0）开始下降，然后最终向上。给定洛伦兹曲线以及N和W，分布P（W）可以恢复。为了了解这是如何实现的，首先请注意，如果已知L（f），可导LDF可以作为f的函数计算。SinceN和W是另外已知的，因此Gent wealthw=WNdLdf（15）被称为f的函数。因为L（f）是凹的，W将是单调递增的函数off，因此可以将其反转以获得f=f（W）作为W的函数，最终可能会被微分并乘以N，得到P（w）=NF′（w）。既然我们已经注意到{L（f），N，W}可以从P（W）计算出来，既然我们刚刚证明了对立面也是真的，那么{L（f），N，W}和P（W）就包含了等价的信息。对于一个所有代理人拥有完全相同财富的假设社会，很容易看出L和F是相等的，所以洛伦兹曲线是一条对角线。衡量财富不平等的一个重要指标是基尼系数[22,23]，定义为洛伦兹曲线和对角线之间面积的两倍。在上述完全经济平等的情况下，G=0。在一个完全的奥利伽曲线中，我们将有退化的洛伦兹曲线L（f）=0，全部为0≤ f<1，所以欧伦茨曲线和对角线之间的面积为/2，因此G=1。在洛伦兹曲线介于这两个极端之间的更现实的情况下，0<G<1。（然而，随着大量负财富代理人的出现，G>1实际上是可能的。）证明G=1是向前的-WZ∞dwp（w）A（w）w。