分布约束最优停车

然后，我们表示xt:=x+Bt。对于任何实值，F-逐步可测过程α满足rtαsds<∞, Q-a.s.，我们定义了(Ohm, F） ，Qα：=Qo （Xα）-其中xαt:=x+ZtαrdBr。那么Xα是一个Qα-局部鞅。我们用Q表示所有这些概率测度的集合(Ohm, F） 其中X是Q-一致可积鞅。我们注意到，虽然我们似乎不太可能有一个代表波动性前景的原子度量，但这是一个合理的起点，原因有二。可以用原子测度来近似更一般的测度，因为可以证明Wasserstein拓扑中值函数的连续性（见[10]中的引理3.1）。其次，通过只允许有限数量的场景进行定价，而不是指定一个完整的连续值模型，这在行业中是标准的（例如，在证券化产品的标准模型中指定利率、违约和预付款场景）。分布约束最优变分过程hXi=hBi在任何Q下都是普遍定义的∈ Q、 从R+到R+取所有非递减连续函数集合中的值。设u为形式（2.1）的给定概率分布。然后我们考虑这个问题：=supQ∈QEQ[f（XT）]s.t.hXiT~ u，其中Q是可容许鞅测度的集合。这对应于一个模型，在某种意义上，它是由对偶结果所明确的，例如[5]。3.2等价于分布约束最优停止我们证明了这个问题等价于布朗运动的分布约束最优停止。提议6。我们有：=supQ∈QEQ[f（XT）]=supτ∈TEQ[f（Xτ）]。s、 t.hXiT~ us.t.τ~ u.证据这个论点可以在[5]的定理2.4中找到。为了完整起见，我们将其复制如下。让Q∈ 使Hxit的Q分布为u。

根据Dambis Dubinschwarz定理，XT=x+~whxit，其中W是标准布朗运动，τ：=hxit是关于随时间变化的过滤与分布u的停止时间（见[15]中的定理4.6）。然后你≤ supτ~uEQ[f（Xτ）]。设τ为停止时间，使τ~ u. 定义过程XτasXτt:=X+Bτ∧tT-t、 注意，Xτ是[0，t]上的一个连续鞅，hXτiT=τ，因此Xτ产生一个概率测度Q∈ Q使得hXτiT=τ~ u. 然后，相反的不平等就成立了。然后，通过求解第2.3.3节数值例子中的迭代随机控制问题，可以获得具有波动性前景的无模型超级套期保值价格。在本节中，我们使用有限差分格式获得分布约束最优停止问题的近似数值解。特别是，我们考虑了对波动性的两种潜在展望。在第一个二元展望中，我们假设高波动率和低波动率情景u：=δ+δ之间的概率相等。在第二种情况下，我们用第三种极端波动性情景来增强二元前景，这种情景下的波动率为小概率u：=δ+δ+δ。我们的目标是计算每种可用性展望下的欧式看涨期权的无模型超边际价格。因为我们不局限于价格过程非负的模型，所以我们可以在不失去一般性的情况下，将支付函数设为f（x）：=x+。分布约束最优停止16然后，与之前一样，我们为每个展望asv（x）定义了值函数：=supτ∈T（u）Ex[f（Wτ）]和v（x）：=supτ∈T（u）Ex[f（Wτ）]。我们使用第2.3节中的迭代随机控制方法来解决这个问题。特别是，我们使用有限差分格式获得了第2.4节中相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的粘度解。

需要强调的是，由于wand w中额外的状态变量导致了势简并，因此使用amonotone数值格式至关重要。在这些结果中，我们应用了[19]中介绍的宽模板方案的一个版本。特别是，我们通过以下形式的单调有限差分近似来近似每个方程中的非线性项：∈R“α>uxuxyuxyuyyα#≈ 马克斯∈K（t，x，y）u（x+h，t，y+K）- 2u（x，t，y）+u（x- h、 t，y- k） h，其中集合k（t，x，y）是一个集合，使得y±k位于附近的网格点上。对于退化椭圆方程的宽模板格式的严格分析，我们请读者参考[20,13,19]。为了进行比较，我们考虑了两种主要的特殊情况，我们称之为“平均波动率”值和“支持约束”值。我们将平均波动率值定义为通过假设二次变化等于相应分布约束问题中分布的平均值而获得的无模型超边际价格。我们将其相应的值函数分别定义为vand v。另一方面，我们将支持约束值定义为当仅限制二次变化以获得与相应分布约束问题中的分布相同的支持时获得的无模型超边际价格。我们将其相应的值函数分别定义为vand v。我们期待以下订单：f（x）≤ v（x）≤ v（x）≤ v（x）和f（x）≤ v（x）≤ v（x）≤ v（x）。此外，我们注意到，我们可以根据热核计算v、v、v和v（见[12]中的第2.3节）。我们分别在图1和图2中说明了二原子和三原子问题的值函数。

正如预期的那样，我们看到一个超边际价值，它在基础资产价格中增加（或者，相当于，在执行价格中减少），并且尊重支持约束和平均波动率模型所暗示的界限。正如预期的那样，在三种模型volatilityoutlook中，支持约束的超边缘问题提供的边界特别差，我们规定高波动（高值）情况非常罕见。值得注意的是，仔细比较这两个数据表明，两种波动性展望之间的超边缘值增加，这大致与预期二次变化的平方根增加成正比。例如，在x=0时，价值大约增加25%，这基本上与两种前景之间预期的二次变化的平方根增加25.2%完全一致。这与我们的假设相吻合，即看涨期权超边际价格应与一阶预期波动率成比例。在图3中，我们提供了一个关于τ=10和τ=20的Wconditional的概率密度估计，用于从W=0开始的两原子挥发性展望模型的近似最佳停止时间。我们通过执行蒙特卡罗模拟来获得这些估计。分布约束最优停止17-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2x0123456f（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）v2（x）图1：对应于分布约束二次变量（v）、支持约束二次变量（v）和平均二次变量（v）的无模型超边缘值的比较。每一个都在两原子（二元）波动性展望中。分布约束值对应于两原子分布约束下最优停止问题的值函数。通过相关HJB方程的数值解估计控制。

我们使用网格间距dx=0.1、dy=0.005和dt=0.01。我们进行了10次模拟，并验证了蒙特卡罗模拟的相关统计数据与有限差分解决方案（例如，预期收益、停止时间和停止过程的分布和时刻）的相关统计数据在合理的误差范围内。密度估计提供了对最优策略形式的洞察。回想一下，payoff在所有点上都是局部有效的，除了x=0，这里它是严格凸的。然后，我们期望一个最优的停止策略是最大化在原点累积的本地时间。正如预期的那样，我们发现τ=10时的条件密度很大程度上集中在远离x=0的点上，在这个点上，如果我们选择不停止，支付过程不太可能作为一个子过程花费大量时间。有趣的是，这两个密度估计值之间没有明显的差异。人们可能会认为最佳策略的形式是存在“停止区域”和“继续区域”相反，即使我们改变有限差分求解器的分辨率，两个密度估计值的平滑重叠仍然存在，这表明真正的最佳停止策略不是{τ=10}形式 σ（W）。也就是说，数值计算表明，即使在简单的例子中，最优停车策略也可能是路径依赖的。引理3的证明第一个论点是基于弱动态规划原理的证明，它避免了可测选择，如[7,6,3]所示。在这些论点中，作者通常使用一个令人信服的论点来找到一个可数的选择-状态空间小球的最优控制。

这里的主要困难在于，虽然状态空间中某一点的状态约束问题的控制可能是允许的，但没有理由期望它从附近的状态开始满足状态约束。我们方法中的新理念是覆盖k+1带有一个有限的网孔。我们展示了我们的分布约束最优停止18-2-1.5-1-0.5 0.5 1 1.5 2x0123456f（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）v3（x）图2：与分布约束二次变量（v）、支持约束二次变量（v）和平均二次变量（v）对应的无模型超边缘值的比较。每一种都是三原子（三元）波动性展望。分布约束值对应于三原子分布约束下最优停止问题的值函数。用修改后的流程Y替换流程Y, 几乎可以肯定的是，在终端时间，它位于网格点上。我们在一个精心构造的随机变量上使用鞅表示定理以一种可测量的方式构造了这个新过程。然后我们证明了，利用vk+1的连续性，沿Y的目标函数接近于沿Y的目标函数为了一个无网格的网格。一旦我们知道，我们可以考虑扰动过程Y这取决于在k+1在终端时间，我们几乎可以确定-在R证明中使用标准覆盖参数的最佳停止时间。修正（x，y）∈ R×k、 为了便于记法，定义：=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Ytk-1，y，αtk是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1Y（k），tk-1，y，αtk∈ {0，1}，几乎可以肯定。在这个证明的其余部分，我们不写tk-1在X和Y的上标中，因为它总是固定的。步骤1：修复任意 > 0

选择足够大的R>0“suptk”-1.≤U≤tk吴- Wtk-1.≥ R#≤ .因为vk+1在紧集[x]上是连续的- R、 x+R]×k+1，我们可以发现δ>0足够小vk+1（x，y）- vk+1（x，y）≤ 分布约束最优停止19图3：从W=0开始的两原子波动率展望模型的非最优停止时间的W条件τ=10和τ=20的概率密度估计。密度估算是通过对相关HJB方程的高分辨率解进行蒙特卡罗模拟进行的。样本量，N=10。为了所有的x∈ [x]- R、 x+R]和y，y∈ k+1太棒了- yk`∞≤ δ.类似地，因为f在x中是Lipschitz，vk+1在y中是Lipschitz，所以我们可以发现δ>0，可能比以前小，因此我们也有f（x）- f（x）+vk+1（x，y）- vk+1（x，y）≤ 对于所有的x，x∈ R和y∈ k+1就是这样十、- 十、≤ δ.第2步：我们现在在上面构建一个有限网格k+1。设P:={yj}Nj=1b是k+1的性质是oP的凸包是k+1和o任意点y∈ k+1可以写成P中若干点的凸组合，每个点都包含在y的δ-邻域中。这可以通过y的紧性和凸性来实现k+1。特别是，我们可以定义一个连续函数T：k+1→ [0,1]n所有y的性质为oTj（y）=0∈ k+1如此| y- yj |>δoPNj=1Tj（y）=1表示所有y∈ k+1和oPNj=1yjTj（y）=y表示所有y∈ k+1。这对应于从点y开始的连续贴图∈ k+1到P中点的概率加权，使得y是P中邻近点的凸组合。例如，这样的映射可以通过`-最小化问题获得。分布约束最优停止步骤3:Let{Ai}i≥1b是R的一个可数且不相交的覆盖，它有一组相关的点{xi}，使得以xic为中心的δ球包含该集Ai。每一次我≥ 1和j∈ {1, . . .

，N}，设τi，j∈ Ttkbe a满足τi，j的停止时间~rX`=1y（`）jδt `使得ehf（Xtk，xiτi，j）i≥ vk+1（xi，yj）- .注意，上面使用y（`）jt表示向量yj的第`个条目。通过在第一步中选择δ>0和定义集合Ai，我们得到了Vk+1（xi，yj）≥ vk+1（x，yj）- Ehf（Xtk，xτi，j）i≥ Ehf（Xtk，xiτi，j）i- 为了所有的x∈ 人工智能。把这些不等式放在一起，我们得出结论：ehf（Xtk，xτi，j）i≥ vk+1（x，yj）- 3.尽管我≥ 1，j∈ {1，…，N}，和x∈ 人工智能。第四步：让我们∈ Atk-1为任意控件，其中Yy，αu∈ 驻科部队≥ tk-1和y（k），y，αtk∈ {0，1}几乎可以肯定。对于任何0<h<tk-tk-1.定义两个随机变量，MandM，asM:=h-1/2（Wtk）- Wtk-h） （A.1）M:=h-1/2maxtk-H≤s≤tk|Ws- Wtk-H- δ-1（s）- tk+h）（Wtk- Wtk-h） |。然后，Mand-Mare Ftk可测量且相互独立。Mis-equal分布为标准正态分布，其累积分布函数用Φ表示。类似地，Mis在分布上等于[0,1]上标准布朗桥的绝对最大值，其累积分布函数用ΦBB表示。此外，如果我们定义为：=σ（Ftk-H∪ σ（Wtk）），则G-不可测量，而与G无关。定义一个随机向量YtkasY（k）tk:=1nM≤Φ-1BBY（k），Y，αtk-HoandY（k+1）：rtk:=1{M>Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }×NPj=1yj{Φ-1（Pj-1i=1Ti（Pk（Yy，αtk-h） ）<M≤Φ-1（Pji=1Ti（Pk（Yy，αtk-h） ）在这里，我们遵循-1(0) = -∞, Φ-1(1) = +∞, 空集合上的和为零。我们用Y（k+1）：rtk表示随机向量中的（k+1）th到rth条目。然后Ytk∈ kis Ftk是可测量的，其构造具有Ytk | Ftk-H= Yy，αtk-h、 几乎可以肯定的是，分布约束的最优停止策略。根据鞅表示定理，存在α∈ A为Yy，αtk=最肯定的。从结构上可以明显看出，Ytkis独立于Ftk-1，所以我们可以取α∈ Atk-1.

然后，通过构造，Yy，αU∈ KforAll u≥ tk-1，Y（k），Y，αtk∈ {0,1}和Yy，αtk∈ 当Y（k），Y，αtk=0，几乎可以肯定。我们现在执行密钥计算。首先要注意的是ehy（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki=E{Y（k）tk=1}f（Xxtk）+ E{Y（k）tk=0}vk+1Xxtk，Ytk.对于右边的第一个学期，我们只需计算{Y（k）tk=1}f（Xxtk）= E{M≤Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }f（Xxtk）= EE{M≤Φ-1BB（Y（k），Y，αtk-h） }Gf（Xxtk）= EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）i.我们以类似的方式处理第二项，但计算更复杂。注意，通过构造，我们有了KYTK- Pk（Yt，y，αtk）-h） k`∞≤ δ几乎肯定在{Y（k）θ=0}集中。回想一下，我们还取了足够小的δ，使得| vk+1（x，y）- vk+1（x，y）|≤ 为了所有的x∈ [x]-R、 x+R]和y，y∈ k+1就这样-yk`∞≤ δ. 但是我们可以计算{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Ytk）= E{Y（k）tk=0}{Wtk|≤R} vk+1（Xxtk，Ytk）+ E{Y（k）tk=0}{Wtk|≥R} vk+1（Xxtk，Ytk）≥ E{Y（k）tk=0}{Wtk|≤R} vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )+E{Y（k）tk=0}{Wtk|≥R} vk+1（Xxtk，Ytk）- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )-呃{| Wtk|≥R}vk+1（Xxtk，Ytk）+vk+1（Xxtk，Yy，αtk-h）我- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )- 2pP[| Wtk |≥ R] C（1+| x |）- ≥ E{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )- 2（1+C）（1+x）,其中C>0来自命题2的增长界。

有了这个，我们现在完成第二项的分析{Y（k）tk=0}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )= E{M>Φ-1BBY（k），Y，αtk-H}vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )= EE{M>Φ-1BBY（k），Y，αtk-H}| Gvk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） )= 呃(1)- Y（k），Y，αtk-h） vk+1（Xxtk，Pk（Yy，αtk-h） i.利用f、vk+1和Pk的连续性，以及支配收敛定理wenotelimh，分布约束的最优停止→0EhY（k），y，αtk-hf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk-h） vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk-h）i=EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Pk（Yy，αtk）i=EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtki、 然后把这些结果放在一起，我们看到，对于h>0，小的enoughEhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtk我≥ EhY（k），y，αtkf（Xxtk）+（1）- Y（k），Y，αtk）vk+1Xxtk，Yy，αtk我-  - 2（1+C）（1+x）.第五步：最后，我们打算构建一个-使用第二步中的覆盖物的最佳停止时间。定义停止时间τasτ:= tk+1{Y（k），t，Y，αtk=0}∞Xi=1NXj=1τi，j{Xxtk∈Ai}{Yy，αtk=yj}。通过构造，我们得到τ~Pr`=1y`δt`。我们开始仔细计算。首先，请注意f（Xxτ）)= E{τ=tk}f（Xxtk）+ E{τ>tk}f（Xxτ）).我们关注第二学期。