分布约束最优停车

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英文标题：
《Distribution-Constrained Optimal Stopping》
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作者：
Erhan Bayraktar and Christopher W. Miller
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We solve the problem of optimal stopping of a Brownian motion subject to the constraint that the stopping time\'s distribution is a given measure consisting of finitely-many atoms. In particular, we show that this problem can be converted to a finite sequence of state-constrained optimal control problems with additional states corresponding to the conditional probability of stopping at each possible terminal time. The proof of this correspondence relies on a new variation of the dynamic programming principle for state-constrained problems which avoids measurable selection. We emphasize that distribution constraints lead to novel and interesting mathematical problems on their own, but also demonstrate an application in mathematical finance to model-free superhedging with an outlook on volatility.
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中文摘要：
在布朗运动的停止时间分布是由有限多个原子组成的给定测度的约束下，我们解决了布朗运动的最优停止问题。特别地，我们证明了这个问题可以转化为一个有限序列的状态约束最优控制问题，其附加状态对应于在每个可能的终端时间停止的条件概率。这种对应关系的证明依赖于状态约束问题的动态规划原理的一种新变化，它避免了可测量的选择。我们强调，分布约束本身会导致新的、有趣的数学问题，但我们也展示了在数学金融中的一个应用，即用波动性的观点对自由超边际进行建模。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Distribution-Constrained_Optimal_Stopping.pdf (525.2 KB)

2022-5-11 05:16:08 上传

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关键词：Mathematical distribution Differential Optimization Quantitative

分布约束的最优停站器erhan-Bayraktar*Christopher W.Miller+Abstracts我们解决了布朗运动的最优停止问题，该问题受到停止时间分布是由若干个原子组成的给定度量的约束。特别是，我们证明了这个问题可以转化为一个有限序列的状态约束最优控制问题，其附加状态对应于在每个可能的终端时间停止的条件概率。这种对应关系的证明依赖于避免可测选择的状态约束问题的动态规划原理的新变化。我们强调，分布约束本身会导致新的有趣的数学问题，但也展示了在数学金融中的应用，以对波动性进行展望，对自由超边缘建模。关键词。最优停止、分布约束、最优控制、状态约束、具有波动前景的稳健对冲。AMS科目分类。60G40，93E20，91G80。1导言在本文中，我们考虑了当布朗运动的停止时间分布的选择受到约束时，布朗运动的最佳停止时间的选择问题。虽然标准的最优停车理论主要关注无约束的有限和有限水平停车时间（例如[22,25]），以及最近对停车时间第一时刻的约束（例如[18,21,1]），但关于分布约束下最优停车问题的文献非常有限。事实证明，分布约束的最优停止是一个困难的问题，停止策略一般取决于布朗运动的路径方向。

这是意料之中的，因为对停止时间分布的约束迫使停止者在决定是否停止时，考虑他将沿着布朗运动的所有其他路径做什么。目前的主要任务是识别相关的状态变量，然后转换问题，以便用标准方法进行分析。在这篇文章中，我们展示了一种特殊情况下的解决方案，即目标分布由许多原子组成。我们的方法由迭代随机控制问题组成，其中weintroduce控制过程表示停止时间的条件分布。然后用有限个状态约束最优控制问题的值函数刻画分布约束最优停止问题的值函数。这种以受控过程和无界微分来解决问题的动态方法，类似于[18]中关于非线性最优停止和[10]中可测值鞅控制的最新结果。本文的主要数学贡献在于我们证明了一个与每个顺序最优控制问题相关的动态规划原理。我们提供一个论点*密歇根大学数学系(erhan@umich.edu).部分由NSFunder拨款编号DMS-1613170支持，部分由Susan M.Smith教授提供支持。+加州大学伯克利分校数学系(miller@math.berkeley.edu).由NSF GRFP以DGE 1106400号拨款支持。分布约束最优停止2，避免使用可测量的选择，类似于[7,6,3]中弱动态规划原理的证明。

然而，我们以一种新颖的方式处理状态约束，这种方式依赖于值函数的一些先验规律性。虽然分布约束最优停止问题本身在数学上很有趣，但我们强调，在数学金融和最优控制理论中有应用的空间。例如，我们展示了一个应用程序，当人们对资产价格的二次变化有了展望时，可以对金融衍生品的自由超边际进行建模。这里，二次变化的分布对应于[5,14]中最近使用的鞅时间变化方法的停止时间分布。此外，当截断矩问题（例如[11,17]）中存在唯一的原子表示测度时，在矩约束下的最优停止问题就简化为分布约束最优停止问题。分布约束的最优停车和第一次通过时间逆问题之间似乎也存在联系（例如[27,9]）。我们还应该提到，在我们的预印本出版后，[4]用最优运输理论给出了最优停车时间的几何描述。本文的工作如下。在第二节中，我们给出了布朗运动的分布约束最优停止的解。特别是，我们通过迭代状态约束随机控制问题的有限序列来描述解。主要结果由定理1中的一个归纳论点提供，但论点的核心主要在于引理3和引理4的证明。我们还提供了这些结果的随时间变化的版本，其特征是相关HJB方程的粘度解。这里的关键论点在于定理2中的动态规划原理。

在第3节中，我们演示了一个应用程序，以对波动性进行展望，对自由超边缘进行建模。我们将这个问题转化为一个分布约束的最优停止问题，其中volatilityoutlook对应于停止时间的分布约束。我们展示了数值结果，为最优停止策略的行为提供了一些直觉。最后，我们在附录A-D.2主要结果2中提供了我们主要结果的完整证明。1问题公式我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持标准布朗运动W。我们认为：={Ft}t≥0是W的自然过滤增强，以满足通常的性能。我们考虑一个给定的支付函数f:R→ 假设R是Lipschitz连续的。我们也可以使用符号xu:=x+Wu- 对于任何（x，t）∈ R×[0，∞) 你呢∈ [t，∞).在本文中，我们还得到了一个目标分布u，它在（0，∞) 假设由许多原子组成。在不丧失一般性的情况下，我们假设以下表达式u=rXk=1pkδtk，（2.1），其中r∈ N、 0=t<t<··<tr，p+··+pr=1，p，pr>0。我们还介绍了方便的符号tk:=tk- tk-1每个k∈ {1，…，r}。我们考虑的分布约束最优停止问题isv？：=supτ∈TEhf（X0，xτ）为。t、 τ~Prk=1pkδtk，（2.2）分布约束最优停止3，其中T是所有与F无关的有限值F停止时间的集合。我们让x∈ R可能是某个固定的起始值。也就是说，我们选择一个分布等于u的停止时间τ，以最大化从x.2.2开始的停止布朗运动的预期收益。构造分布约束的停止时间有多种方法自然地表示满足分布约束的停止时间。

在本节中，我们概述了两种特殊的这种表示，并说明它们如何直接导致这种停止时间的构造。我们首先通过将路径空间划分为具有特定度量的区域来描述分布受限的停车时间。之后，我们与受控流程建立联系。引理1。停止时间τ的分布u当且仅当其为以下形式τ=rXk=1tkAk时，几乎可以肯定，其中{A，…，Ar}Ohm 对于每一个k∈ {1，…，r}，Akis-Ftk可测量，P[Ak]=pk。证据从构造中可以清楚地看出，这样的τ是F-停止时间，τ~ u. 相反，取一个停止时间τ，使τ~ u并定义每个k的集合Ak:={τ=tk}∈ {1，…，r}。考虑到这一点，我们可以立即明确地构造一个给定分布的停止时间。推论1。存在一个停止时间τ，使得τ~ u.证据定义的分区{a，…，Ar}Ohm asA：=Wt- W≤√tΦ-1（p）A:=Wt- Wt≤√T- tΦ-1.pp+··+pr\\ A.Ak：=Wtk- Wtk-1.≤ptk- tk-1Φ-1.pkpk+··+pr\\ （A）∪ ···∪ Ak-1)...Ar:=Ohm \\ （A）∪ ···∪ 应收账-1） ，其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。很明显，Akis Ftk可以通过P[Ak]=pkk来测量∈ {1，…，r}。然后，通过引理1，τ：=Prk=1tkk用τ定义一个停止时间~ u.上面的证明构造了一个停止时间，当分布的左尾出现事件时，该时间大致停止。

然而，人们可以很容易地修改构造，使其在右尾喷口、中间带附近的事件中停止，或在Φ下任何适当测量的Borel集的图像上停止。虽然这种构造可能建议将分布约束的最优停止问题转化为特定度量的Borel集上的优化，但我们接下来强调的是，分布约束的最优停止4没有理由期望停止时间相对于σ（Wt，…，Wtr）是可测量的。特别是，在下一个例子中，我们展示了一个完全依赖路径的分布约束停止时间的构造。推论2。存在一个满足τ的停止时间τ，与（Wt，…，Wtr）无关~ u.证据定义一系列随机变量（M，…，Mr）asMk:=（tk- tk-1)-1/2maxtk-1.≤s≤tkWs- Wtk-1.- （s）- tk-1） Wtk- Wtk-1tk- tk-1.每k∈ {1，…，r}。那么每个mk都是[tk]上布朗桥的绝对极大值-1，tk]，按时间间隔的长度缩放。特别地，每个Mk是可测量的，独立于（Wt，…，Wtr），并且在分布上等于[0,1]上标准布朗桥的绝对最大值，我们用ΦBB表示其累积分布函数。定义的分区{a，…，Ar}Ohm asA：=M≤ Φ-1BB（p）A:=M≤ Φ-1BBpp+··+pr\\ A.Ak：=Mk≤ Φ-1BBpkpk+··+pr\\ （A）∪ ···∪ Ak-1)...Ar:=Ohm \\ （A）∪ ···∪ 应收账-1) .很明显，Akis Ftk可以用P[Ak]=pkk来测量∈ {1，…，r}。然后，通过引理1，τ：=Prk=1tkk用τ定义一个停止时间~ u与（Wt，…，Wtr）无关。显然，在分布约束最优停止问题中，上面构造的停止时间是一个可容许的停止时间，但不希望用每个潜在停止时间的布朗运动值来表示它。

虽然涉及布朗桥的停止时间一开始似乎不自然，但它们的使用是引理3和引理4证明中的一个关键思想。从引理1得到的另一个有用结果是下面的近似结果。提议1。修正p，p∈ [0,1]r满足p+··+pr=1和p+··+pr=1。对于任何τ∈ T以至于τ~rXk=1pkδtk，存在τ∈ T以至于τ~rXk=1pkδtk，满足τ 6= τ≤ 4rkp- pk`。证据第一步：通过引理1，存在一个{a，…，Ar}的分区Ohm 这样，当P[Ak]=pk和τ=rXk=1tkAk时，每个AkisFtk都是可测量的，分布约束的最优停止几乎是肯定的。目标是根据相关分区定义τ。我们首先做一个关键观察：对于任何t>0，θ∈ （0，1），并且当P[A]>0时，存在一个实数w∈ R这样p[Wt≥ w | A]=θ。这直接源于观察到WT的分布没有原子，因此，当条件分布在非零概率事件上时，条件分布没有原子。第2步：确定Ft可测量集AasA：=Ap=pA∪ {Wt≥ w+}p<pA∩ {Wt≥ W-} p> 这里是w+，w-∈ R的选择是这样的Wt≥ w+|Ohm \\ A.=P- p1- p、 pWt≥ W-| A.=注意，如果p<p，那么p<1和p[Ohm \\ A] >0，因此w+定义良好。同样，如果p>p，那么p>0，p[A]>0，那么w-定义明确。很明显，P[A]=pby结构。然而，关键属性是eitherA A区 A.由此，我们可以立即计算A和A的对称性差的度量，PA4A=P- P.第三步：现在，假设我们已经构造了{A，…，Ak-1} 已经。

定义k:=PAk \\（A）∪ ···∪ Ak-1).定义Ftk可测量集AkasAk：=Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1） qk=pk（Ak\\（A）∪ ···∪ Ak-1)) ∪ {Wtk≥ w+k}qk<pk（Ak\\（A）∪ ···∪ Ak-1)) ∩ {Wtk≥ W-k} qk>pk其中w+k，w-K∈ R的选择是这样的Wtk≥ w+k |（A）∪ ···∪ Ak-1) ∪ (Ohm \\ （Ak）=主键-qk1-qk，PWtk≥ W-k | Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1)=pkqk。和以前一样，qk和pki之间的不等式是w+k和w-在需要的时候，kare会很好地定义。此外，很明显P[Ak]=pk。在这种情况下，密钥属性变成eitherAk\\（A∪ ···∪ Ak-1)  Ak（2.3）orAk Ak \\（A）∪ ···∪ Ak-1)  Ak。（2.4）首先，我们考虑（2.3）的情况。因为{A，…，Ak}中的每一个集合都是不相交的，对于任何`∈ {1，…，k- 1} ，我们可以通过A\'和A\'的对称差来限制A\'和A\'之间的重叠Ak∩ A`≤ PA`\\A`≤ PA\'4A`.使用（2.3），我们可以计算Ak4Ak= PAk- P[Ak]+2PAk\\Ak≤主键- 主键+ 2PAk∩ （A）∪ ···∪ Ak-1).利用前面的不等式，我们推导出PAk4Ak≤主键- 主键+K-1X`=12PAk∩ A`≤主键- 主键+K-1X`=12PA\'4A`.在（2.4）成立的情况下，同样的不平等性会立即出现。第4步：通过对k的归纳∈ {1，…，r}，我们构造了Ohm这样Akis Ftk是可测量的，P[Ak]=pk。

此外，我们还得到了一个粗糙边界Ak4Ak≤kX`=1k-`p`- p`.根据引理1，存在形式为τ=rXk=1tkAk的停止时间τ。然后我们可以立即计算τ 6= τ≤rXk=1PAk4Ak≤rXk=1r主键- 主键≤ 4rkp- pk`。当然，这个结果在技术上的重要性在于，它允许我们在停车时间的分布约束变化方面获得问题的连续性。虽然我们已经证明，使用引理1中的表示法，可以对分布约束的停止时间说很多，但事实证明，如果我们引入额外的受控过程，表示停止时间在每个可能值上的条件概率，我们可以获得更易于管理的表示法。这个向量值随机过程是概率单纯形中的鞅。在下一个结果中，我们明确了这个过程和分布约束停止时间之间的联系。在本文的剩余部分中，我们定义了A来表示所有独立于F的渐进可测、平方可积、Rr值过程的集合。我们还表示y，y，αu:=y+ZutαsdWsfor all（t，y）∈ [0, ∞) ×Rr，u∈ [t，∞), 和α∈ A.当需要时，我们将用Y（k），t，Y，α来表示这个向量值过程的KTH坐标。我们偶尔会滥用符号，当上下文清楚地暗示它们时，我们会省略上标。我们也用 下列闭凸集 := {y=（y，…，yr）∈ [0,1]r|y+·y+yr=1} Rr。然后，我们可以用一个状态约束受控鞅来描述分布约束停止时间的一个引理。我们强调，前面的不平等并不尖锐。一个直接的问题是，是否会产生一个锐化近似值，其常数的比例为r→ ∞, 存在。分布约束最优停止引理2。