分布约束最优停车

停止时间τ∈ 当且仅当T的形式为τ=貂皮时，T的分布为u∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1o，几乎可以肯定，对于某些α∈ A等于y0，p，αt∈ ,几乎可以肯定，尽管如此≥ 0，andY（k），0，p，αtk∈ 几乎可以肯定的是，每k∈ {1，…，r}。证据第一步：让我们∈ A是Y0，p，αt∈ , 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0 andY（k），0，p，αtk∈ 几乎可以肯定的是，每k∈ {1，…，r}。定义τ为τ：=貂∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1o。从以上性质可以清楚地看出，Y（k），0，p，αtr∈ 每k{0,1}∈ {1，…，r}和Y0，p，αtr∈, 这意味着τ≤ 几乎可以肯定。然后τ∈ T，但我们必须检查它是否有其分布。修理k∈ {1，…，r}注意P[τ=tk]=P{Y（1），0，p，αt=0}∩ ··· ∩ {Y（k）-1） ，0，p，αtk-1=0}{z}A∩{Y（k），0，p，αtk=1}{z}B.注意B 因为在集合B中，我们有Y（k），0，p，αtk=1a，以及Y（`），0，p，αt`=1，对于某些`<k。因为Y0，p，α是一个约束于, 这意味着Y（`），0，p，αtk=1，几乎可以肯定，这与Y0，p，αtk相矛盾∈ . 然后，我们可以得出[τ=tk]=PhY（k），0，p，αtk=1i=pk，因为Y（k），0，p，α=pk和Y（k），0，p，α是一个在tk取0和1的鞅。第2步：让τ∈ T T是一个停止时间，使得τ~ u. 然后定义[0,1]r值过程asY（k）t:=E{τ=tk}|Ft.注意Y=p。根据鞅表示定理，存在一个控制α∈ 对于Y0，p，αt=Yt，几乎可以肯定，对于所有的t≥ 然后我们可以检查，Y（1），0，p，αt+··+Y（r），0，p，αt=E{τ=t}+··+1{τ=tr}|Ft= 1，所以Y0，p，αt∈  尽管如此，t≥ 0，几乎可以肯定。最后，对于任何k∈ {1，…，r}，我们有Y（k），0，p，αtk={τ=tk}∈ 因为{τ=tk}是Ftk可测的。将停车时间σ定义为σ：=貂皮∈{1，…，r}ntk | Y（k），0，p，αtk=1，假设存在一组τ6=σ的非零概率。然后，对somek来说，`∈ {1, . . .

，r}使得k6=`，集合B:=A∩{τ=tk}∩{σ=t`}具有非零概率。分布约束最优停止8假设`<k，那么Y（`），0，p，αt`=1在B上，因为Y0，p，α是一个鞅约束, 因此，Y（`），0，p，αtk=1在B上，因此，Y（k），0，p，αtk=1{τ=tk}=0，这与τ=tkon B相矛盾。另一方面，假设`>k。然后Y（k），0，p，αtk6=1在B上，但因为Y（k），0，p，αtk=1{ττ=tk}这也与τ=tkon B相矛盾。我们几乎肯定地得出τ=σ的结论。2.3通过迭代随机控制的解决方案确定一系列集合是很方便的，这些集合在本文的剩余部分将很重要。每k∈ {1，…，r}，定义k:={（y，…，yr）∈  | y`=0表示每个`∈ {1，…，k- 1}}  .请注意，每个集合都是封闭的、凸的和k+1 k每个k∈ {1，…，r- 1}.我们还介绍了停止时间的子集合和具有附加独立性质的控件，这些子集合稍后将用于证明动态规划原理。特别是，对于任何t∈ [0, ∞) 我们定义了停止时间TT的子集合：={τ∈ T|τ独立于Ft} 和控制卫星的子集合：={α∈ A |α独立于Ft} A.然后我们定义了一系列迭代分布约束的最优停止问题。定义1。每k∈ {1，…，r}，定义函数vk:r×K→ R asvk（x，y）：=supτ∈Ttk-1Ehf（Xtk-1，xτ）是。t、 τ~Pr`=1y`δt`。（2.5）注意v？=v（x，p）。我们强调，虽然每个VKI都被写成一个依赖于整个元组y=（y，…，yr）的函数∈ k、 我们有y=···=yk-1=0，定义为k、 我们的目标是将这些迭代分布约束的最优停止问题转化为迭代状态约束的随机控制问题。首先，我们记录每个vk的增长和连续性估计。提议2。

存在C>0，这仅取决于f和u，其中| vk（x，y）|≤ C（1+| x |）vk（x，y）- vk（x，y）≤ C十、- 十、+ 基尼- yk1/2每k∈ {1，…，r}和所有（x，y），（x，y）∈ R×k、 我们没有在y中指定范数的选择，因为它只影响常数的选择。证据回想一下，假设f是Lipschitz连续的。让τ∈ Ttk-1为任意停止时间，使得τ~Prk=1ykδtk（根据推论1，这种停止时间存在）。那么，我们有流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≤ 嗯f（Xtk）-1，xτ）我≤ |f（0）|+L|x |+EWτ- Wtk-1.≤ |f（0）|+L（|x |+2E[| Wtr |]）≤ |f（0）|+L | x |+2rπtr！。分布约束最优停止9下一步，我们计算vk（x，y）≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- L十、- 十、.最后，通过应用命题1，我们可以构造一个停止时间τ∈ Ttk-那么τ~Prk=1ykδtkandPτ 6= τ≤ 4rky- yk。然后我们可以计算vk（x，y）≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- CEhτ6=τXtk-1，xτ- Xtk-1，xτ我≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- 2CEτ6=τ| Wtr|≥ 流行性出血热（Xtk）-1，xτ）i- 2C 2rt1/2rky- yk1/2`。那么所述结果成立，因为（x，y）∈ R×kandτ都是任意的。在本文的剩余部分中，考虑集合上的一种透视图将被证明是有用的k、 每k∈ {1，…，r}，定义Pk：K→ 卡斯普克（y，…，yr）：=如果yk=1（yk+1+·年），则为（y，…，年）-如果yk<1，则为1（0，…，0，yk+1，…，yr）。（2.6）我们注意到这张地图的三个关键属性。1.对于任何人来说∈ k\\{ek}，我们有Pk（y）∈ k+1,2。对任何人来说∈ k、 Pk（y）的第k个坐标为0或1，和3。地图还在继续k\\{ek}。我们现在提供一个动态规划引理，它的证明与[7,6,3]中的弱动态规划结果具有相同的特点。与之前的结果相比，我们在右边的值函数具有先验连续性，因此我们不需要考虑上下半连续包络。

我们扩展了球对状态空间的可数覆盖的概念，每个球都有一个接近最优的停止时间。为了处理状态约束，我们使用了一个参数，该参数利用了卡隆和vk+1的连续性。这个引理的证明是本文的核心，但涉及面很广，所以被归入附录。引理3（动态规划）。每k∈ {1，…，r- 1} 每（x，y）∈ R×k、 我们有vk（x，y）=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Ytk-1，y，αtk是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1Y（k），tk-1，y，αtk∈ {0，1}，几乎可以肯定。（2.7）证据。见附录A。分布约束最优停车10接下来，我们将证明我们可以放松终端约束。这一思想的证明依赖于扰动鞅的仔细构造，扰动鞅满足前一个问题的终端约束，但不显著改变预期收益。这个结果的证明与前面的引理有许多共同的关键思想。为了便于说明，我们在附录中也提供了这一证明。引理4（约束松弛）。每k∈ {1，…，r- 1} 每（x，y）∈ R×k、 我们有vk（x，y）=supα∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Pk（Ytk-1，y，α（tk）是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1，几乎可以肯定，（2.8）其中Pk：K→ kis（2.6）中定义的透视图。注意，即使Pk（ek）6∈ k+1，即（2.8）的右侧，因为已知vk+1是有界且连续的，所以定义得很好。然后，图（x，y）7有一个独特的连续扩展→ (1 - yk）vk+1（x，y）来自克托k、 也就是说，当y=ek时，将右手边设为零。证据见附录B。有了这些引理，我们现在可以陈述本文的主要结果。定理1。

函数vr:R×R→ R满意度Vr（x，y）=Ehf（Xtr-1，xtr）ifor every（x，y）∈ R×r、 每k∈ {1，…，r- 1} ，函数vk:R×K→ R是下列状态约束随机控制问题Vk（x，y）=supα的值函数∈Atk-1hy（k），tk-1，y，αtkf（Xtk-1，xtk）+（1- Y（k），tk-1，y，αtk）vk+1Xtk-1，xtk，Pk（Ytk-1，y，α（tk）是t、 Ytk-1，y，αu∈ KforAll u≥ tk-1，几乎可以肯定，其中Pk：K→ kis定义如（2.6）所示。当然，那我们就有了v（x，p，…，pr）。证据很明显，由于只有一个可接受的停止时间，VRA有上述陈述。其余的则直接应用引理3和引理4.2.4时间相关的值函数。为了本文的目的，我们可以考虑定理1的结果作为分布约束最优停止问题的解，我们可以考虑状态约束问题的另一个时间相关版本，这是可以数值解决的。特别是，与时间相关的值函数将对应于Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘性解。分布约束的最优停止定义2。定义函数wr:[tr-1，tr]×R×R→ R aswr（t，x，y）：=Ehf（Xt，xtr）i∈ {1，…，r- 1} ，定义一个函数[tk]-1，tk]×R×K→ R aswk（t，x，y）：=supα∈AEhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）是t、 y，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定，Pk：K→ kis定义如（2.6）所示。备注1。利用第2.3节中与时间无关的辅助值函数Vkdeduced的性质，我们可以将终端payoff视为给定的H¨older连续函数。这是一个真正的状态约束最优随机控制问题。

特别是，我们注意到，通过[7]中备注5.2的论证，我们可以等效地将Wk定义为a中的控制上确界，它不一定独立于Ft。我们注意到，Wk与第2.3节的值函数有直接关系。推论3。每k∈ {1，…，r}我们有vk（x，y）=wk（tk-1，x，y）表示所有（x，y）∈ R×k、 证据。从WK和定理1的定义来看，这个结果是显而易见的。在阐述与时间相关的值函数的动态规划原理之前，我们首先研究它们的规律性。特别是，我们的目的是证明每一个wkis都是凹的和联合连续的，并对其连续模进行估计。提议3。每k∈ {1，…，r}，函数wk（t，x，·）对于每个（t，x）都是凹的。证据我们采用反向归纳法。请注意ris是一个单子，所以函数wrand和Vr在y中都是凹的。假设对于某些k，vk+1在y中是凹的∈ {1，…，r- 1}. 关键的观察结果是地图k\\{ek}3 y 7→ (1 - vk+1（x，Pk（y））=（yk+1+·年）vk+1x、 （0，…，0，yk+1，…，yr）yk+1+·yr每x是凹的∈ 因为这是凹面贴图的透视变换k+13 y 7→ vk+1（x，y）（见[8]第3.2.6节）。考虑到这一点，fix any（t，x）∈ [tk]-1，tk]×R，y，y∈ k、 λ∈ [0, 1]. 让α，α∈ Abe任意控制whichYt，y，αu，Yt，y，αu∈ k、 几乎可以肯定的是，尽管如此≥ t、 定义y:=λy+（1）- λ） yandαu:=λα1，u+（1- λ） α2，u。

然后α∈ A andYt，y，αu∈ k、 几乎可以肯定的是，尽管如此≥ t由集合的凸性决定k、 分布约束最优停止12然后利用透视图的凹度，我们可以计算wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）我≥ EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+λ（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）+(1 - λ)(1 - Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i=λEhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i+（1）- λ） EhY（k），t，y，αtkf（Xt，xtk）+（1）- Y（k），t，Y，αtk）vk+1Xt，xtk，Pk（Yt，y，αtk）i、 但是因为α，α是任意的，我们得出了dewk（t，x，y）≥ λwk（t，x，y）+（1）- λ） wk（t，x，y）。那么WKY是凹的，所以vkby推论3也是凹的。然后通过归纳得出结论。我们可以更进一步，获得工作联合连续性的详细估计。提议4。存在C>0，这仅取决于f和u，因此对于每个k∈{1，…，r- 1} ，我们有wk（t，x，y）- wk（t，x，y）≤ CT- T1/4+十、- 十、+ （1+| x |+十、)基尼- yk1/4`）对于所有（t，x，y），（t，x，y）∈ [tk]-1，tk]×R×k、 这一说法的证据相对简单，但冗长，因此我们将其放在附录中。我们并不认为这些H？older指数是尖锐的。证据见附录C。这种表示作为最优随机控制问题的优点是，我们可以将每个时间相关的值函数WK描述为相应JB方程的粘性解。此时，我们可以证明时间相关值函数的动态规划原理。虽然这些都是状态约束随机控制问题，但我们可以直接利用wkin y的先验连续性和wkin y的凸性引理3的证明中的kas。定理2。修理k∈ {1，…，r- 1} ，（t，x，y）∈ [tk]-1，tk）×R×k、 任何h>0，使得T+h<tk。

设{τα}α∈Atbe是一个独立于fta的停时族，取值为[t，t+h]。Thenwk（t，x，y）=supα∈AtEhwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）为。t、 y，y，αu∈ KforAll u≥ t、 几乎可以肯定。证据见附录D。根据这个结果，我们可以立即验证每个时间相关的值函数是HJB的aviscosity解。一旦我们掌握了动态规划原理，这个结果就变得相当标准，因此我们将有兴趣的读者引向[16,6,24]。分布约束最优停止13We First define椭圆算子Fk，Gk:S1+r×K→ R asFk（R，y）：=sup(A.>RA.| A.∈ Ak（y）Gk（R，y）：=sup(A.>RA.| A.∈ k（y），k`=1，其中k（y）：={a∈ Rr| > 0 s.t.y+a(-, )  k} 。这些定义背后的直觉是，Ak（y）对容许方向进行编码，其中无状态约束鞅从y开始∈ 凯迈进化。特别地，一个被约束为在边界的外法线方向上，K不能有非零的二次变化。椭圆算子FK在应用动态编程时自然出现，而GK则在y中编码凹度。FK和GK的主要性质是FK（R，y）<+∞ ==> Gk（R，y）≤ 0Gk（R，y）<0==> Fk（R，y）<+∞.然后，根据[2]的参数，我们可以推导出值函数是一个包含Gk包络的方程的粘性解。提议5。该函数是热方程的唯一解（时间倒数），ut+uxx=0英寸[tr-1，tr）×R×在{t=tr}×R×上ru=fr、 每k∈ {1，…，r- 1} WK是HJB方程的连续粘度解，闵ut+Fk（Dxyu，y），Gk（Dxyu，y）= 0英寸[tk-1，tk）×R×ku=ykf（x）+（1）- 在{t=tk}×R×上的yk）vk+1（x，Pk（y））k、 （2.9）本声明的证据来源于一个标准论点和对边界上允许控制的额外分析。

关于引入算子来获得变分不等式的更多细节，请参考[2]或[23]中的第4节。当然，更重要的问题是，一个人是否能得到（2.9）的粘性解的唯一性结果。当我们在边界上有Dirichlet条件时，证明（2.9）允许一个比较原则是标准的k、 下面，我们用域的特殊结构证明了即使在二阶边界条件下也可以证明唯一性。定理3。有一个独特的连续粘度溶液（2.9），满足| u（t，x，y）|≤ C（1+| x |）对于某些C>0。当然，与时间相关的值函数满足命题4中的线性增长约束。这个证明的关键思想是，当我们将（2.9）的粘性解限制在任意平面F的相对内部时在y坐标系下，约束函数是同一方程在较小状态空间上的粘性解。特别是，当被限制在一个顶点时，方程简化为热方程，我们立即得到了它的唯一性。然后，我们应用与限制于边的方程相对应的比较原理，利用顶点唯一性的事实来推断边的唯一性。我们在更高维度的面上进行类似的操作，直到我们证明所有这些面的唯一性k、 分布约束下的最优停止证明。修理k∈ {1，…，r-1} 让你，v:[tk]-1，tk]×R×K→ R是（2.9）的两个连续粘性溶液。假设在某个点u>v。在终端条件下，这必须发生在某些t<tk时。假设单纯形存在一个顶点当限制y坐标时，在某个点u 6=v。

根据[26]中的命题6.9，我们注意到，在y坐标系中限制顶点时，u和v都是热方程的粘性解。但这与热方程的唯一性相矛盾。设F是单纯形的最小维数面K当在y坐标系中限制为F时，在某个点u 6=v。同样，通过[26]中的6.9提议，我们得出结论，bothu和v是F相对内部相同方程的粘性解。当然，F的边界是单纯形的低维面的并集k、 因此，通过F的假设维数性质，我们得出结论，当限制在y坐标系中F的边界时，u=v。然后应用（2.9）与Dirichlet边界的比较原理，推导出F上的u=v。然后，考虑到k维面，定理成立，基瑟夫。3应用于波动性展望的超边缘在本节中，我们考虑在数学金融中分布约束的最优停止的应用。特别地，我们只考虑了在标的资产X中使用动态交易的带支付f（XT）的或有权益的无模型超边问题。我们假设价格过程XT是在一些未知鞅测度Q下的鞅，但没有指定确切的波动动力学。然而，在这个问题中，我们假设我们对二次变量hXiT分布形式的波动性有一个展望。3.1无模型超边缘我们遵循[14,5]的无模型设置。允许Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）|ω=0}是具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ωT |，B正则过程，Qthe wiener测度，F:={Ft}0≤T≤t由B和F+生成的过滤：={F+t}0≤T≤t F的右极限。确定一些初始值x∈ R