分布约束最优停车

，M}这样你≤ 钛≤ u+δ。通过函数的紧性和凸性k、 我们可以得到k、 P:={y`}P`=1，其性质是oP的凸包是k、 任何一点都可以∈ kc可以写成P中点的凸组合，每个点都包含在y的δ-邻域中。特别是，我们可以找到一个连续函数T：K→ [0,1]p所有y的属性oT`（y）=0∈ K如此| y- y`|>δoPP`=1T`（y）=1表示所有y∈ k、 和oPP`=1y`T`（y）=y代表所有y∈ k、 这对应于从点y开始的连续贴图∈ k对P中的点进行概率加权，使得y是P中邻近点的凸组合。通过与引理2证明中相同类型的覆盖参数，我们可以得到[x]的完全不相交覆盖- R、 x+R]通过可测集{Aj}Nj=1，每个可测集包含在一个δ球中，并控制αij`∈ 与Yti，y`，αij`u∈ KforAll u≥ 天德（k），ti，y`，αij`θf（Xti，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xti，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））i≥ wk（ti，x，y`）- 3.每一次我∈ {1，…，M}，j∈ {1，…，N}，`∈ {1，…，P}，和x∈ Aj。步骤3：修复任意控件∈ A表示y，y，αu∈ KforAll u≥ t和letτα是相关的停止时间，其值为[t，t+h]。接下来我们将构造一个与次优控制αij`相关的新控制。换句话说，我们将跟踪α直到停止时间τα，然后将控制设置为零，直到随后的第一次命中时间∧。然后我们将遵循适当的凸组合控制αij`。为了精确起见，定义一个停止时间τ：=inf{t≥ τα| t∈ Λ}.确定一系列控制措施`∈ A作为α`，u:=1{u∈[t，τα]}αu+1{u>τ}MXi=1NXj=1{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}αij`，每个`∈ {1，…，P}和所有u≥ T

最后，确定一个控制点∈ A作为αu:=1{u∈[t，τα]}αu+1{u>τ}PX`=1T`（Yt，y，ατα）α`，uF用于所有u≥ t、 由于映射t是连续的，所以对控制α进行了调整。同样，它也很容易被看作是平方可积的。然而，关键特性是α满足Yt，y，αu∈ KforAll u≥ t、 换句话说，这源于集合的凸性kα是一个凸的控件组合，每个控件都满足状态约束。为了精确起见，我们使用映射T的假定性质和Y的动力学来计算，Y，αθ=Y+ZταTαudWu+ZθταudWu=Yt，Y，ατα+Xi，j，`{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Zθταij`，udWu=1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Yt，y，ατα+X`T`（Yt，y，ατα）Zθταij`，udWu！=1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}X`T`（Yt，y，ατα）y`+Zθταij`，udWu= 1{Wτ-Wt|≥R} y，y，ατα+Xi，j{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}X`T`（Yt，y，ατα）Yti，y`，αij`θ通过Yti，y`，αij`θ回忆∈ kand-Yt，y，ατα∈ 当然。然后是上面的等式和K证明y，y，αu∈ KforAll u≥ 我几乎不能肯定。第四步：我们现在开始做一系列非常微妙的估计。首先，我们有wk（t，x，y）≥ EhY（k），t，y，αθf（Xt，xθ）+（1- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））i≥Xi，jEh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Y（k），t，Y，αθf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））我-CEh{Wτ|≥R}1 +Xt，xτi、 其中最后一项来自f和vk+1的已知增长边界。当然，这个术语的范围是pC（1+| x |）由R的选择和H¨older不等式的使用。

接下来，使用前面步骤中α的构造的关键属性重写上面和中的每个项，我们看到eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}Y（k），t，Y，αθf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），t，Y，αθ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yt，Y，αθ））i=Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}PP`=1T`（Yt，y，ατα）y（k），ti，y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1-PP`=1T`（Yt，y，ατα）y（k），ti，y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（PP`=1T`（Yt，y，ατα）Yti，y`，αij`θ））我≥PP`=1Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Y（k），ti，Y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））IdiDistribution Constraint Optimal Stopping 33使用vk+1的凹度与y中的透视函数构成（参见第3点的证明）。接下来，通过αijk的次优条件，我们可以看到eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）Y（k），ti，Y`，αij`θf（Xt，xθ）+（1）- Y（k），ti，Y`，αij`θ）vk+1（Xt，xθ，Pk（Yti，Y`，αij`θ））我≥ Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，y`）i- 3.≥ Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i- 4.,在这里，我们使用了映射T的局部性和P的构造中假定的wk的连续性。最后，对i，j，`求和，我们看到i，j，`Eh{τ=ti}{Xt，xτ∈Aj}T`（Yt，y，ατα）wk（ti，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i≥ Ehwk（τ，Xt，xτ，Yt，y，ατα）i- Eh{（|Wτ）|≥R} wk（τ，Xt，xτ，Yt，y，αταi）≥ Ehwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）i- C Eh |τ- τα|1/4+Xt，xτ- Xt，xτα+ 1{Wτ|≥R}1 +Xt，xτ我≥ Ehwk（τα，Xt，xτα，Yt，y，ατα）i- Cδ1/4+ δ1/2+  （1+| x |）对于足够大的C>0。在这一步中，我们使用了Wk的增长边界和命题4中的H¨older估计，以及|τ- τα| ≤ δ由结构决定。然而，通过δ的选择，我们可以看到最后一个误差项是以C（2+| x |）为界的.把所有这些计算放在一起，回忆一下α和 > 0是任意的，weseewk（t，x，y）≥ A.参考文献[1]S.Ankirchner、M.Klein和T.Kruse，《带期望约束的最优停止问题的验证定理》，应用数学与优化，（2017年）。[2] E.贝拉克塔尔和M。

Sirbu，《汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的随机佩龙方法》，暹罗控制与优化杂志，51（2013），第4274-4294页。[3] E.Bayraktar和S.Yao，具有无界控制的零和随机微分对策的弱动态规划原理，SIAM J.Control Optim。，51（2013），第2036-2080页。[4] M.Beiglboeck，M.Eder，C.Elgert和U.Schmock，分布几何约束最优停止问题，ArXiv e-prints，（2016）。[5] J.F.Bonnans和X.Tan，方差期权的无模型无套利价格，应用。数学Optim。，68（2013），第43-73页。[6] B.Bouchard和M.Nutz，广义状态约束的弱动态规划，SIAMJ。控制Optim。，50（2012），第3344-3373页。[7] B.Bouchard和N.Touzi，粘性解的弱动态规划原理，SIAMJ。控制Optim。，49（2011），第948-962页。[8] S.Boyd和L.Vandenberghe，《凸优化》，剑桥大学出版社，剑桥，2004年。[9] R.Capocelli和L.Ricciardi，关于首次通过时间概率问题的逆问题，应用概率杂志（1972），第270-287页。[10] A.M.G.Cox和S.K–allblad，《亚式期权的模型独立边界：动态规划方法》，发表在《暹罗控制与优化杂志》（2017年）。[11] R.E.Curto和L.A.Fialkow，《递归性、正性和截断矩问题》，休斯顿J.数学。，17（1991），第603-635页。分布约束最优停止34[12]L.C.Evans，偏微分方程，数学研究生研究第19卷，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，第二版，2010年。[13] B.D.Froese和A.M.Oberman，二维及更高维椭圆型Monge-Amp`ere方程粘性解的收敛有限差分求解器，SIAM J.Numer。肛门。，49（2011），第1692-1714页。[14] A.Galichon，P.Henry Labord\'ere和N。

Touzi是一种随机控制方法，适用于给定边际的无轨道边界，并应用于回望期权，Ann。阿普尔。Probab。，24（2014），第312-336页。[15] I.Karatzas和S.E.Shreve，《布朗运动和随机微积分》，数学研究生教材第113卷，斯普林格·维拉格，纽约，第二版，1991年。[16] M.A.Katsoulakis，《带状态约束的二阶完全非线性椭圆方程的粘性解》，印第安纳大学数学。《华尔街日报》，43（1994），第493-519页。[17] J.B.Lasserre，矩，正多项式及其应用，帝国理工学院出版社优化系列第一卷，帝国理工学院出版社，伦敦，2010年。[18] C.W.Miller，时间不一致最优停止的非线性偏微分方程方法，暹罗J.ControlOptim。，55（2017），第557-573页。[19] A.M.Oberman，凸包络是一个非线性障碍问题的解，Proc。艾默尔。数学Soc。，135（2007），第1689-1694页（电子版）。[20] 椭圆Monge-Amp`ere方程的宽模板差分格式和Hessian离散Contin特征值函数。戴恩。系统。爵士。B、 10（2008），第221-238页。[21]J.L.Pedersen和G.Peskir，最优均值-方差销售策略，数学。财务部。经济。，10（2016），第203-220页。[22]G.Peskir和A.Shiryaev，最优停止和自由边界问题，数学讲座ETH Z¨urich，Birkh¨auser Verlag，巴塞尔，2006年。[23]H.Pham，《金融应用中的连续时间随机控制与优化》，第61卷，斯普林格科学与商业媒体，2009年。[24]D.B.Rokhlin，带状态约束的最优控制问题的随机Perron方法，电子版。公社。Probab。，19（2014），第73、15页。[25]A.N.Shiryaev，《最优停车规则》，随机建模与应用概率第8卷，Springer Verlag，柏林，2008年。由A.B.翻译自1976年俄文第二版。

《白羊座》，1978年译本的翻版。[26]N.Touzi，《最优随机控制，随机目标问题和反向SDE》，第29卷，菲尔德研究所专著，纽约斯普林格；菲尔兹数学科学研究所，多伦多。第13章由Agn\'es Tourin撰写。[27]C.Zucca和L.Sacerdote，关于wiener过程的首次通过时间反问题，《应用概率年鉴》（2009），第1319-1346页。