随机目标问题的随机Perron

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英文标题：
《Stochastic Perron for Stochastic Target Problems》
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作者：
Erhan Bayraktar and Jiaqi Li
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we adapt stochastic Perron\'s method to analyze a stochastic target problem with unbounded controls in a jump diffusion set-up. With this method, we construct a viscosity sub-solution and super-solution to the associated Hamiltonian-Jacobi-Bellman (HJB) equations. Under comparison principles, uniqueness of the viscosity solutions holds and the value function coincides with the unique solution in the parabolic interior. Since classical control problems can be analyzed under the framework of stochastic target problems (with unbounded controls), we use our results to generalize the results in ArXiv:1212.2170 to problems with controlled jumps.
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中文摘要：
在本文中，我们采用随机Perron方法来分析跳跃扩散环境中具有无界控制的随机目标问题。利用这种方法，我们构造了相应的哈密顿Jacobi-Bellman（HJB）方程的粘性子解和超解。根据比较原理，粘性解的唯一性成立，且值函数与抛物线内部的唯一解一致。由于经典控制问题可以在随机目标问题（具有无界控制）的框架下进行分析，我们使用我们的结果将ArXiv:1212.2170中的结果推广到具有受控跳跃的问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Stochastic_Perron_for_Stochastic_Target_Problems.pdf (367.47 KB)

2022-5-11 05:24:45 上传

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关键词：Perron err Mathematical Optimization Applications

JOTA手稿编号（将由编辑插入）随机目标问题随机Perron Serhan Bayraktar·Jiaqi LiReceived:date/Received:date摘要在本文中，我们采用随机Perron的方法来分析ajump扩散设置中的随机目标问题，其中控制是无界的。由于经典控制问题可以在随机目标问题（具有无界控制）的框架下进行分析，我们使用我们的结果将Bayraktar和S^irbu（暹罗控制与优化杂志，2013）的结果推广到具有控制跳跃的问题。随机目标问题·随机佩龙方法·跳跃扩散过程·粘性解·无界控制数学学科分类（2000）93E20·49L20·49L25·60G46Erhan Bayraktar，相应作者密歇根大学阿伯分校，Michiganerhan@umich.eduJiaqi密歇根大学，Michiganlijiaqi@umich.edu2Erhan Bayraktar，Jiaqi Li1引言随机目标问题是一类新的最优控制问题，由开创性的文献[1]、[2]和[3]介绍。其目的是通过选择合适的容许控制，在预先指定的终点对给定目标进行受控扩散。上述论文及其推广[4,5]（跳变微分）、[6]（无界控制）使用[2]中证明的几何动力学编程原理，提供了非线性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程粘性解的相关值函数的特征。在本文中，我们的目标是使用随机Perron方法对这个问题进行分析。该方法在[7,8,9]中介绍了经典控制问题。

该方法是一种验证方法（不需要平滑度），因为它不使用动态规划原理来证明值函数是粘度解。其思想是建立两类函数，分别在最小化和最大化条件下，分别封装值函数和足够稳定的函数。这种构造有助于我们证明，第一类上确界是下半连续粘性超解，而第二类上确界（大于值函数的函数）是上半连续粘性子解。假设一个比较原理成立，我们证明了第二类上的上确界和第一类上的上确界（包含值函数）相等，因此，值函数是唯一的粘度解。因为我们只处理信封，而不是值函数本身，所以我们从不使用动态规划原理（以及可测量选择定理）。事实上，动态规划原理是我们结果的推论。正如[10]和其中的参考文献所指出的，对受控差分过程的动态规划原理的严格证明是困难的，并且包含微妙的技术问题。我们的结果可以被看作是一个仅基于It^o引理和比较原理的初等替代性结果，这也证明了将值函数识别为Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程（PDE）的唯一粘性解。我们选择使用[5]中最常见的随机目标设置。我们的控制是无限的，受控的过程是跳跃式的差异。

使用无界控制的主要原因是它允许我们使用[11]的嵌入结果，该结果将普通控制问题转化为随机目标问题的随机随机Perron 3具有无界容许控制的目标问题。利用这个结果，我们将[9]推广到控制跳跃的设置。与文献[9]相比，本文分析了随机目标问题。主要贡献是构造了适用于随机目标问题的随机半解集。这使得对价值函数的粘度性质的证明有所不同。我们还将[12]中的早期结果一般化，因为我们考虑了无界控制和受控跳跃。跳跃和无界控制集的存在带来了新的技术难题：与[12]相比，PDE表征引入了松弛的EMI极限，这对相关PDE的公式化和使用随机佩龙方法推导值函数的粘度特性，尤其是在边界处，有着非平凡的影响。特别重要的是关于测试函数的再松弛，这是因为我们考虑了跳跃。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了问题的设置、相关的HJB方程和随机半解的定义。在第3节和第4节中，我们分别证明了抛物线内部和边界处的粘度特性。在第5节中，我们使用比较原理来缩小粘性超解和子解之间的差距，并证明了相关HJB方程粘性解的唯一性。在第6节中，我们将看到如何将最优控制问题转化为随机目标问题。一些技术成果被记录在附录中。

我们的主要结果是定理3.1、4.1、5.1和6.1.2。为了引入（3）中的随机目标问题，我们需要引入一些符号并做出适当的假设。在本文中，上标表示转置，|·|表示Rn中向量的欧几里德范数，k·k表示matr ix的Frobenius范数。对于Rn中O的子集，我们用int（O）表示其内部。我们还表示半径r>0，以x为中心的开放球∈ Rnby Br（x）和n×n矩阵集by Mn。除非另有说明，否则随机变量和随机集之间的不等式和包含性几乎是确定无疑的。4二汉·贝拉克塔尔，佳奇·李根一个完全概率空间(Ohm, F、 P），设{λi（·，de）}Ii=1是定义在该空间上的独立整数值E-标记右连续点过程的集合。这里，E是Borel sigma字段E所需的Borel子集。设λ=（λ，λ，···，λI）和W={Ws}0≤s≤定义在相同概率空间上的d维布朗运动，使得W和λ是独立的。给定t∈ [0，T]，设Ft={Fts，T≤ s≤ T}P-由W生成的已完成过滤·- wt和λ（[0，·]，de）- λ（[0，t]，de）。SetFts=ftt对于0≤ s<t。我们将使用ttt来表示[t，t]中的Ft停止时间集。给定τ∈ Tt，[τ，T]中的Ft停止时间集将用Tτ表示。假设2.1λ满足以下条件：1。λ（ds，de）具有内敏核m（de）ds，使得对于任何i=1，···，i和^m（E）<∞, 式中m=（m，··，mI）^m=PIi=1mi。2.E=supp（mi）对于所有i=1，2，··，i.这里，supp（mi）：={E∈ E:E∈ 氖∈ TE==> mi（Ne）>0}，其中E上的拓扑由欧几里德拓扑诱导。3.

存在一个常数C>0，这样pn^λ（{s}，E）≤ C代表所有人∈ [0，T]o= 1，其中^λ=IXi=1λi。上述假设意味着在任何特定时间间隔内都有一定数量的跳跃。设λ（ds，de）：=λ（ds，de）- m（de）ds是相关的补偿随机度量。让UT成为L中所有Ft可预测过程的集合(Ohm ×[0，T]，FB[0，T]，PλL；U） ，其中λLis是R和U上的Leb-esgue测度 RQforsome q∈ N.定义为所有材料的集合：Ohm ×[0，T]×E→ 哪些是Pt E可测量，使得kνkUt:=E“ZTtZE |ν（s，E）| m（de）ds#！”∞,PTI在哪里Ohm ×[0，T]。ν = (ν, ν) ∈ Ut:=Ut×Uttakes集合U:=U×L（E，E，^m；Rn）中的值。设D=[0，T]×Rd，Di=[0，T[×Rd，DT={T}×Rd.随机目标问题的Giventochastic Perron 5z=（x，y）∈ Rd×R，t∈ [0，T]和ν∈ 我们考虑随机微分方程dX（s）=uX（s，X（s），ν（s））ds+σX（s，X（s），ν（s））dWs+REβ（s，X（s-), ν（s），ν（s，e），e）λ（ds，de），dY（s）=uY（s，Z（s），ν（s））ds+σY（s，Z（s），ν（s））dWs+REb（s，Z）-), ν（s），ν（s，e），e）λ（ds，de），（1）与（X（t），Y（t））=（X，Y）。她的e，Z=（X，Y）。In（1），uX:D×U→ Rd，σX:D×U→ Rd×d，β：d×U×Rn×E→ Rd×I，uY:D×R×U→ R、 σY:D×R×U→ Rd，b:D×R×U×Rn×E→ 里。除了Ut的可测性和可积性条件外，我们还对容许控制集施加了另一个条件。设Ut为容许控制集，它由所有ν组成∈ 对于任何紧集C Rd×R，存在常数KC，ν>0，使得泽布（τ，x，y，ν（τ），ν（τ，e），e）λ（{τ}，e）≤ KC，ν表示所有（x，y）∈ C和τ∈ Tt。（2） 假设2.2设z=（x，y）和u=（u，u）∈ U=U×L（E，E，^m；Rn）。在本文的其余部分，我们使用符号kuku:=|u |+kuk^和u（e）：=（u，u（e））。1.uX、σX、uy和σy都是连续的；2.

uX，σX，uY，z中的σYare-Lipschitz和其他变量中的局部Lipschitz。此外，|uX（t，X，u）|+|σX（t，X，u）|≤ L（1+|x |+kukU），|uY（t，x，Y，u）|+|σY（t，x，Y，u）|≤ L（1+| y |+kukU）。b和β是Lipschitz，在除e之外的所有变量中线性增长，但在e中是一致的。备注2.1假设2.1和2.2保证存在一个唯一的强解（Xνt，X，Yνt，X，Y）到（1）对于任何ν∈ 美国犹他州。此外，过程（Xνt，X，Yνt，X，Y）是c`adl`ag。备注2.2在假设2.1和2.2下，Ut包含Ut中的所有有界过程。界限可能取决于过程。6 Erhan Bayraktar，Jiaqi LiWe现在定义随机目标问题的值函数。让g:Rd→ R是多项式增长的可测函数。目标问题的值函数由u（t，x）：=inf定义y:ν ∈ Uts。t、 Yνt，x，Y（t）≥ g（Xνt，X（t））P-a、 美国。. （3） 2.1汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程表示b=（b，b，·bI）β=（β，β，··，βI）。对于给定的ψ∈ C（D），我们定义了重新松弛的半无限鱼*（Θ，Θ）：=lim supε0，Θ′→ηη0，ψu.c。-→ψHε，η（Θ′，ψ）和H*（Θ，Θ）：=lim-infε0，Θ′→ηη0，ψu.c。-→ΘHε，η（Θ′，ψ）。（4） 这里，forΘ=（t，x，y，p，A）∈ D×R×Rd×Md，ν∈ C（D），ε≥ 0和η∈ [-1,1]，Hε，η（Θ，Θ）：=supu∈Nε，η（t，x，y，p，Θ）Fu（Θ），wher e，Fu（Θ）：=uy（t，x，y，u）-uX（t，X，u）p-Tr[σXσX（t，X，u）A]，Nu（t，X，y，p）：=σy（t，X，y，u）-σX（t，X，u）p，u、 e（t，x，y，~n）：=min1≤我≤I{bi（t，x，y，u（e），e）-ν（t，x+βi（t，x，u（e），e））+~n（t，x）}，Nε，η（t，x，y，p，ν）：={u∈ U:| Nu（t，x，y，p）|≤ ε和u、 e（t，x，y，~n）≥ η表示^m-a、 美国。

E∈ E} 。为了以后的使用，我们还定义了以下内容：Ju，ei（t，x，y，~n）：=bi（t，x，y，u（e），e）- Д（t，x+βi（t，x，u（e），e））+Д（t，x），Ju，e（t，x，y，Д）：=（Ju，e（t，x，y，Д），····，Ju，eI（t，x，y，Д））, Ju（t，x，y，）：=infe∈艾米娜1≤我≤IJu，ei（t，x，y，~n），Luа（t，x）：=аt（t，x）+uX（t，X，u）D~n（t，X）+Tr[σXσX（t，X，u）D~n（t，X）]。备注2.3为简单起见，我们表示H*（t，x，а（t，x），Dа（t，x），Dа（t，x），а）*ν（t，x）表示∈ C1,2（D）。为了∈ C（Rd），我们表示H*（T，x，а（x），Dа（x），Dа（x），а）*~n（x）。我们将对h使用类似的符号*以及以后的操作人员。收敛ψu.c。-→ 从某种意义上讲，ψ在紧子集上一致收敛于ψ。随机目标问题的随机Perron 7稍后，我们将产生粘性超解和子解，分别用于-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≥ 0英寸黛安（5）-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≤ 在Di中为0。（6） 2.2随机半解在引入随机半解的定义之前，我们定义了容许控制的串联。定义2.1（串联）设ν，ν∈ Ut，τ∈ Tt。τ处的ν和ν的串联被定义为ντν：=ν[0，τ[+ν[τ，T]∈ 美国犹他州。定义2.2（随机超解）连续函数w:D→ R被称为随机支持解if1。w（T，x）≥ g（x）和一些C>0和n∈ N、 |w（t，x）|≤ C（1+| x | n）表示所有（t，x）∈ D.2。给定（t，x，y）∈ D×R，对于任意τ∈ t和ν∈ 但是，存在∈ 使得Y（ρ）≥ w（ρ，X（ρ））P-a、 关于{Y（τ）≥ 所有ρ的w（τ，X（τ））}∈ Tτ，其中X:=Xντνt，x和Y:=Yν定义2.3（

给定（t，x，y）∈ D×R，对于任意τ∈ t和ν∈ 对于所有ρ，我们有P（Y（ρ）<w（ρ，X（ρ））|B）>0∈ Tτ和B 满足B的{Y（τ）<w（τ，X（τ））}∈ Ftτ和P（B）>0。这里，我们使用符号X:=Xνt，X和Y:=Yνt，X，Y。用U+和U表示随机超解和子解的集合-, 分别地假设2.3 U+和U-它们不是空的。这很容易检查。C和N可能取决于w和T。这也适用于定义2.38二汉贝拉克塔尔，加齐里备注2.4 Let u+：=infw∈U+w。对于任意随机超解w，选择τ=t和ρ=t。然后就有了∈ uT，使得Y/t，x，Y（t）≥ WT、 X/T，X（T）≥ GX/t，X（t）P- a、 美国如果是≥ w（t，x）。因此，y≥ w（t，x）意味着y≥ u（t，x）来自（3）。这意味着w≥ u和u+≥ u、 通过对u+的定义，我们知道u+（T，x）≥ g（x）表示所有x∈ 备注2.5让我们-:= 苏普∈U-w、 对于任意

U-) 作为（6）（5）的粘度子溶液（分别为supe r溶液）。边界条件将在定理4.1中讨论。引理3.1U+和U-分别在成对极小化和极大化下是封闭的。也就是说，1。如果w，w∈ U+，然后是w∧ W∈ U+；2.如果w，w∈ U-, 然后w∨ W∈ U-.引理3.2存在一个非递增序列{wn}∞n=1 U+使得wnU+和一个非递增序列{vn}∞n=1 U-使vnu-.随机目标问题的随机Perron定理3.1在假设2.1-2.4下，u+是（6）的上半连续（USC）粘性子解。另一方面，在假设2.1-2.3下，u-是（5）的下半连续（LSC）粘度上解。证据见附录B。4边界条件在本节中，我们将讨论T处的边界条件。从值函数u的定义来看，它对所有x都保持u（T，x）=g（x）∈ 然而，u+和u-可能不满足此边界条件。定义（t，x，y，p，ψ）：={（r，s）∈ Rd×R：U∈ U、 s.t.r=Nu（t，x，y，p）和s≤ u、 e（t，x，y，ψ）^m- a、 和δ：=dist（0，Nc）- dist（0，N），其中dist表示欧几里得距离。它认为∈ int（N（t，x，y，p，ψ））i ffδ（t，x，y，p，ψ）>0。（8） δ的上（和下）半连续包络用δ表示*（分别为δ*). 乐土+（T）-, x） =lim sup（t<t，x′）→（T，x）u-（t，x′），u-（T）-, x） =lim-inf（t<t，x′）→（T，x）u-（t，x′）。下面的定理是对[2,3,4,11]中结果的改编。定理4.1在假设2.1-2.4下，如果g是USC，那么u+（T-, ·) 是Min{~n（x）的USC粘度子溶液-g（x），δ*~n（x）}≤ 另一方面，在假设2.1-2.3下，如果g是LSC，u-（T）-, ·)是一种LSC粘度的超溶液-g（x））{H*~n（x）<∞}, δ*~n（x）}≥ 证明步骤1中的0（DT上的su b-解属性）。