随机目标问题的随机Perron

以下两个公式表明，u是其关联HJB方程的唯一粘度解。我们省略了这一点，因为它与命题5.1和定理5.1的证明是一样的。推论6.1假设假设假设2.1和2.2成立，H=H*关于{H<∞} 并且存在一个lsc函数G:D×R×Rd×Md×C（D）→ R使（a）H（t，x，y，p，M，~n）<∞ ==> G（t，x，y，p，M，~n）≤ 0，（b）G（t，x，y，p，M，~n）<0==> H（t，x，y，p，M，~n）<∞.然后是u+（分别是u-) 是最大粘度的USC（分别为LSC）粘度子溶液（分别为超级溶液）{-tа（t，x）+Hа（t，x），Gа（t，x）}=0-, ·) （分别为-（T）-, ·)) 是最大{~n（x）的USC（分别为LSC）粘度子溶液（分别为超级溶液）- 推论6.2假设推论6.1中的所有假设都成立。此外，假设PDEmax{~n（x）的USC子解和LSC超解之间存在比较原则-g（x），g~n（x）}=0（33）随机目标问题的随机Perron，然后u+（T-, x） =u-（T）-, x） =^g（x），其中^g是（33）的唯一粘度溶液。此外，如果比较原则适用于formax{-在Di（34）上，存在唯一的连续粘度解V到（34），其终端条件为V（t，x）=^G（x）和u（t，x）=u（t，x）=u（t，x）=u+（t，x）=u-（t，x）=V（t，x）表示（t，x）∈ 迪。7结论本文利用最近发展起来的分析经典随机控制问题的随机Perron方法，分析了跳跃扩散装置中的随机目标问题。事实上，我们利用普通的随机控制问题可以嵌入到随机目标问题中这一事实，将这种分析扩展到了同时控制微分和跳跃的过程。我们未来的研究重点是将分析扩展到随机目标博弈。

在制定此类问题时，战略玩家试图找到一种策略，使受控过程达到给定目标，无论对手的控制是什么。特别重要的是，其中一名球员是一名后卫，他的目标是在一个停站时间而不是固定的水平线到达目标。附录A为U+和U+的非空性提供了充分条件-.假设A.1 g是有界的。假设A.2存在u∈ 使σY（t，x，Y，U）=0，b（t，x，Y，U（e），e）=0表示所有（t，x，Y，e）∈ D×R×E.备注A.1在数学金融中的超级套期保值背景下，上述假设相当于限制无风险资产的交易。命题A.1在假设2.1、2.2、A.1和A.2下，U+不是空的。证明步骤1。在这一步中，我们假设uy在其y变量中是非递减的。我们将证明w（t，x）=γ- 对于某些k和γ的选择，ektis是一个非常好的超解。根据uYin假设2.2的线性增长条件，存在L>0使得|uY（t，x，Y，u）|≤ L（1+| y |），其中U是假设A.2中U的元素。选择k≥ 2L和γ-ekT+γ≥ 克格勃∞. 然后w（T，x）≥ g（x）。对于任何（t，x，y）都必须证明这一点∈ D×R，τ∈ Tt，ν∈ Utandρ∈ Tτ，Y（ρ）≥ w（ρ，X（ρ））P-a.s.{Y（τ）≥ w（τ，X（τ））}，其中X:=Xντut，x，Y:=Yντut，x，y.（35）22二汉贝拉克塔尔，嘉齐里莱A={y（τ）>w（τ，x（τ））}，V（s）=w（s，x（s））和Γ（s）=V（s）- Y（s））A。

因此，对于≥ τ、 dY（s）=uY（s，X（s），Y（s），u）ds，dV（s）=-keksds，Γ（s）=AZsτ（ξ（q）+（q） ）dq，其中（36）（s） ：=-酒桶- uY（s，X（s），Y（s），u）≤ -酒桶- uY（s，X（s），-（美国）≤ -keks+L（1+eks）≤ 0，ξ（s）：=uY（s，X（s），V（s），u）- uY（s，X（s），Y（s），u）。因此，从（36）中，它认为Γ（s）≤AZsτξ（q）dq和Γ+（s）≤s的AZsτξ+（q）dq≥ τ.根据假设2.2中uYin y变量的Lipschitz连续性，Γ+（s）≤AZsτξ+（q）dq≤s的ZsτLΓ+（q）dq≥ τ、 其中，Lis是关于y.N的uy的Lipschitz常数。注意，我们使用假设uy是非递减的i N itsy变量来获得第二个不等式。由于Γ+（τ）=0，应用Gr–onwall不等式意味着Γ+（ρ）≤ 0，这意味着（35）成立。第二步。通过遵循类似于[12]和[15]中的证明，我们摆脱了步骤1中关于uy的假设。当c>0时，deneeyνt，x，yas是dy（s）的强解=Y（s，xνt，x（s），eY（s），ν（s））ds+σY（s，Xνt，X（s），eY（s），ν（s））dWs+ZEeb（s，Xνt，X（s）-),eY（s）-), 初始数据为y（t）=y的ν（s），ν（s，e），e）λ（ds，de），其中euy（t，x，y，u）：=cy+ectuy（t，x，e）-cty，u），eσY（t，x，Y，u）：=ectσY（t，x，e）-cty，u），eb（t，x，y，u（e），e）：=ectb（t，x，e）-cty，u（e），e）。因此，eYνt，x，y（s）e-cs=Yνt，x，ye-ct（s），t≤ s≤ T.设u（T，x）=inf{y∈ R: ν ∈ Ut，s.t.eYνt，x，y（t）≥ ~g（Xνt，X（t））-a.s.}，其中~g（X）=ecTg（X）。因此，~u（t，x）=猜想（t，x）。由于μy是y中的Lipschitz，我们可以选择c>0，因此eμy:（t，x，y，u）7→ cy+ectuY（t，x，e-cty，u）在y中不递减。此外，假设2.2中euy，eσYandeb的所有性质仍然成立。我们用euY，eσYandeb替换第2节中的所有等式和定义，我们得到*安第斯*. LeteU+是-tИ（t，x）+eH*~n（t，x）≥ 在Di上为0。很容易看出w∈ U+当且仅当ew（t，x）：=ectw（t，x）∈欧盟+。从步骤1开始，eU+不是空的。

因此，U+不是空的。假设A.3有C∈ R使得所有（t，x，y，u，e）∈ D×R×U×E，uY（t，x，Y，u）+ZEb（t，x，y，u（e），e）m（de）≤ C（1+| y |）。假设2.1、2.2、A.1和A.3下的命题A.2，U-不是空的。证明假设uY（t，x，Y，u）+ZEb（t，x，y，u（e），e）m（de）在其y变量中不递减。我们可以用前面命题中的论点来消除这个假设。选择k≥ 2C（C是假设A.3中的常数）和γ>0，使得ekT- γ < -克格勃∞. 设w（t，x）=ekx- γ.注意，w是连续的，在x和w（T，·）上有多项式增长≤ g（·）。对于任何（t，x，y）都必须证明这一点∈ D×R，τ∈ t和ν∈ 对于所有ρ，它认为P（Y（ρ）<w（ρ，X（ρ））|B）>0∈ Tτ和B 满足B的{Y（τ）<w（τ，X（τ））}∈ Ftτ和P（B）>0，其中X:=Xνt，X和Y:=Yνt，X，Y。定义（·）=Y（·）-Z·τK（s）ds，V（s）=w（s，X（s）），A={Y（τ）<w（τ，X（τ））}，Γ（s）=（Y（s）- V（s））A，其中k（s）：=uY（s，X（s），Y（s），ν（s））+ZEb(s,X)-), Y（s）-), ν（s），ν（s，e），e）m（de），eK（s）：=uY（s，X（s），V（s），ν（s））+ZEb(s,X)-), V（s）-), ν（s），ν（s，e），e）m（de）。随机目标问题23的随机Perron很容易看出M是τ之后的鞅。由于∈ Ftτ和dV（s）=keksds，我们进一步了解Y（·）- V（·）+Z·τkeks- K（s）ds是τ之后的超鞅。（37）假设A.3成立，且uY（t，x，Y，u）+REb（t，x，y，u（e），e）m（de）在y，eK（s）中不递减≤ uY（s，X（s），eks，ν（s））+ZEb(s,X)-), eks，ν（s），ν（s，e），e）m（de）≤ 2Ceks。因此，它由（37）和高于该Fm（·）的不等式得出：=AY（·）- V（·）-Z·τξ（s）ds）是τ之后的超鞅，其中ξ（s）：=K（s）-埃克（s）。（38）当B上的m（τ）<0时，存在一个非空集F B使得F上的fm（ρ）<0。通过（38）中的定义，我们得到F（39）上的Γ（ρ）<AZρτξ（s）ds，因此，Γ+（ρ）≤AZρτξ+（s）ds≤F上的ZρτLΓ+（s）ds。

（40）根据Gr–onwall不等式，Γ+（τ）=0意味着F上的Γ+（ρ）=0。更准确地说，对于ω∈ F（P- a、 Γ+（s）（ω）=0∈ [τ (ω), ρ(ω)]. 这意味着我们可以用（40）中的等式代替不等式。因此，通过（39），F上的Γ（ρ）<0，这将产生P（Y（ρ）<w（ρ，X（ρ））|B）>0。附录B定理3.1步骤1的证明（u+是粘度子解）。相反，假设对于某些（t，x）∈ 戴安·尼翁∈ C1,2（D）令人满意的0=（u）+- ν）（t，x）=maxDi（u）+- η），我们有4η：-t~n（t，x）+H*ν（t，x）>0。（41）引理3.2中存在一个非递增序列U+ wku+。修正这样一个序列{wk}∞k=1和任意

在紧致集T:=[0，T]×cl（BR（x））\\Bε/2（T，x）上，我们知道>u+和的最小值- 因为u+是USC，所以u+是获得的。因此，对于某些α>0的情况，T上的~n>u++2α。通过一个Dini类型的参数，对于足够大的n，我们在T上有~n~n>wn+α，并且~n~n>wn- cl（Bε/2（t，x））上的ε。为了简单起见，fix选择n并设置w=wn。简言之，O上的>w+ε，T上的>w+α和>w- cl（Bε/2（t，x））上的ε。（45）由于我们将在后面定义nandι，因此我们仍然在没有歧义的情况下使用ι符号，尽管函数依赖于nandι。24 Erhan Bayraktar，Jiaqi LiForκ∈ ]0, ε ∧ α[，定义新的κ：=( ~φ - κ) ∧ w在cl（Bε（t，x））上，w在cl（Bε（t，x））外。观察到wκ（t，x）=а（t，x）- κ<u+（t，x），如果我们能证明wκ∈ U+。显然，wκ是连续的，在x和wκ（T，x）上有多项式增长≥ g（x）表示所有x∈ 第三修正（t，x，y）∈ Di×R，ν∈ Utandτ∈ Tt。现在我们的目标是构造一个可容许的控制eν，使得wκ和过程（X，Y）由ν控制τeνs满足了定义随机超解的性质。设A={wκ（τ，Xνt，X（τ））=w（τ，Xνt，X（τ））}。在A上，设eν为eν，这对于从τ开始的w是“最优的”。我们从w开始就得到了eν的存在∈ U+。在Ac上，通过一个类似于[12]中的论点（参见定理3.1证明的步骤1.1），我们可以构造一个容许控制ν∈ 使ν（s）：=s、 Xντνt，x（s），Yντνt，x，y（s），D~nτνt，x（s）对于τ≤ s<θ，其中θ=θ∧ θ和θ：=infns∈ [τ，T]：（s，Xντνt，x（s））/∈ Bε/2（t，x）o∧ T、 θ：=infns∈ [τ，T]：Yντνt，x，y（s）- ~n（s，Xν）τνt，x（s））≥ εo∧ T.在v的构造中，我们利用了As-sumption 2.2和^v的Lipschitz连续性来保证Xν的存在τνt，x和Yντνt，x，y.自xντνt，x和Yντνt，x，是c`adl`ag，很容易检查θ∈ Tτ。

我们还看到（θ，Xν）τνt，x（θ））/∈ Bε/2（t，x），Yντνt，x，y（θ）- ~n~n（θ，Xν）τνt，x（θ））≥ ε、 （46）（θ，Xν）τνt，x（θ）-)) ∈ cl（Bε/2（t，x）），Yντνt，x，y（θ）-) - ~n~n（θ，Xν）τνt，x（θ）-))≤ ε. （47）设eνθ为w从θ开始的“最优”控制。我们定义了Acbyνθeνθ。简而言之，eν：=Aeν+Ac（ν[t，θ[+[θ，t]eνθ）[τ，T]。检查eν并不困难∈ 美国犹他州。为了证明上述构造是有效的，我们接下来展示Y（ρ）≥ wκ（ρ，X（ρ））P-a、 关于{Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}，其中X:=Xντνt，x和Y:=Yντνt，x，y。对应于A和Ac上eν的构造，我们考虑以下两种情况：（i）在集合A上∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。我们有Y（τ）≥ w（τ，X（τ））。从A上的ν的定义和W∈ U+，我们知道Y（ρ）=Yντeνt，x，y（ρ）≥ w（ρ，Xν）τeνt，x（ρ））≥ wκ（ρ，X（ρ））P- a、 这是一个∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。（二）现场交流∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。Γ（s）：=Y（s）- Γ（s，X（s）），我们使用It^o公式和ν的定义来获得Γ（·∧ θ） =Γ（τ）+Z·∧θτZEJν（s），e（s，Z（s-), ~φ)λ（ds，de）+Z·∧θτuY（s，Z（s），ν（s））- Lν（s）~~n（s，X（s））dson A∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。因此，通过（43）、（44）、（47）和θ的定义，我们知道∧ θ） 在[τ，T]上是非递减的。这意味着y（θ）- ~n~n（θ，X（θ））+κ≥ Y（τ）- ~n~n（τ，X（τ））+κ≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。（48）因为（θ，X（θ））/∈ Bε/2（t，x），我们知道0≤ Y（θ）- ~n~n（θ，X（θ））+κ≤ Y（θ）- w（θ，X（θ））在{θ）上≤ θ} ∩ 交流电∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}（49）来自（45）。另一方面，它认为Y（θ）- ~n~n（θ，X（θ））≥ ε在{θ>θ}上∩ 交流电∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}由（46）和（48）引起。因此，由于- cl（Bε/2（t，x））和（47）上的ε保持，Y（θ）- w（θ，X（θ））≥ ε+а（θ，X（θ））- w（θ，X（θ））>0在{θ>θ}上∩ 交流电∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。（50）结合（49）和（50），我们得到Y（θ）- w（θ，X（θ））≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。

因此，从eνθ的定义，Y（ρ∨ θ) - wκ（ρ）∨ θ、 X（ρ）∨ θ)) ≥ Y（ρ）∨ θ) - w（ρ）∨ θ、 X（ρ）∨ θ)) ≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。（51）还有，Γ（·的单调性∧ θ） 意味着Y（ρ∧ θ) - ~φ(ρ ∧ θ、 X（ρ）∧ θ)) + κ ≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。这意味着{ρ<θ}（Y（ρ）- wκ（ρ，X（ρ）））≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。（52）从（51）和（52）中，我们得到Y（ρ）- wκ（ρ，X（ρ））≥ 交流0∩ {Y（τ）≥ wκ（τ，X（τ））}。这里我们选择（t，x）∈ 撤销案件（t，x）∈ 这是微不足道的。随机目标问题的随机Perron 25步骤2（u）-是一种高粘度溶液）。Let（t，x）∈ 不满意0=（u）-- ν）（t，x）=minDi（u）-- 对于一些人来说∈ C1,2（D）。为了自相矛盾，假设-2η := -t~n（t，x）+H*ν（t，x）<0。（53）让{wk}∞k=1是U中的一个序列-这样的话，wku-. 设~n（t，x）：=~n（t，x）- ι| x- x | n，我们选择n的地方≥ 2使所有ι>0，最大≤T≤T（kа（T，x）- w（t，x））→ -∞ 还有max0≤T≤T~n（T，x）→ -∞ as | x |→ ∞.（54）乘（53），H的上半连续性*事实上。-→ ιasι→ 0，我们可以找到ε>0，η>0和ι>0，使得uY（t，x，Y，u）- Lut，x≤ -η为所有u∈ Nε，-η（t，x，y，D~n（t，x），和（t，x，y）∈ Di×R.t.（t，x）∈ Bε（t，x）和| y- ~n~n（t，x）|≤ ε.（55）修复ι。注意，（t，x）仍然是u的极小值-- ~φ. 由于（54）成立，因此存在R>ε，使得~n~n<w- ε ≤ 工作- O上的ε：=D\\[0，T]×cl（BR（x））。在紧集s et T:=[0，T]×cl（BR（x））\\Bε/2（T，x）上，我们知道-最大值为- U-从那时起-是LSC。因此，**<u-- T上的2α对于某些α>0。通过一个Dini类型的参数，对于足够大的n，我们有- T上的α和cl（Bε/2（T，x））上的▽。为了简单起见，将这样的n乘以x，并设置w=wn。简言之，а<w- O上的ε，ā<w- T上的α和cl（Bε/2（T，x））上的|<w+ε。

（56）对于κ∈ ]0, α ∧ ε[，定义新κ：=( ~φ + κ) ∨ w在cl（Bε（t，x））上，w在cl（Bε（t，x））外。注意到wκ（t，x）≥ ~n~n（t，x）+κ>u-（t，x），如果我们证明wκ∈ U-. 显然，wκ是连续的，在x和wκ（T，x）上有多项式增长≤ g（x）f或全部x∈ 第三修正（t，x，y）∈ Di×R，ν∈ Utandτ∈ Tt。我们的目标是证明所有ρ的p（Y（ρ）<wκ（ρ，X（ρ））|B）>0∈ Tτ和B 满足B的{Y（τ）<wκ（τ，X（τ））}∈ Ftτ和P（B）>0，其中X:=Xνt，X和Y:=Yνt，X，Y。LetA={wκ（τ，X（τ））=w（τ，X（τ））}和setE={Y（τ）<wκ（τ，X（τ））}，E=E∩ A、 E=E∩ Ac，G={Y（ρ）<wκ（ρ，X（ρ）}，G={Y（ρ）<w（ρ，X（ρ）}。然后E=E∪ E、 E∩ E= 和G G.证明wκ∈ U-, 必须证明P（G∩ B） >0。如[12]和[3]所示，我们将显示P（B）∩ E） >0==> P（G）∩ B∩ E） >0和P（B）∩ E） >0==> P（G）∩ B∩ E） >0。这与事实P（B）=P（B）一起∩ E） +P（B）∩ E） >0和P（G）∩ B） =P（G）∩ B∩ E） +P（G）∩ B∩ E） ，意味着P（G∩ B） >0。（i） 假设P（B）∩ E） >0。自从B∩ E {Y（τ）<w（τ，X（τ））}和B∩ E∈ Ftτ，P（G | B）∩ E） 从U的定义来看>0-. 这进一步意味着P（G∩ B∩ （E）≥ P（G）∩ B∩ E） >0。（ii）假设P（B）∩ E） >0。设θ=θ∧ θ、 式中θ：=infs∈ [τ，T]：（s，X（s））/∈ Bε/2（t，x）∧ T、 θ：=inf{s∈ [τ，T]：|Y（s）- |~n（s，X（s））|≥ ε} ∧ 由于X和Y是c`adl`ag过程，我们知道θ∈ Tτ。下列公式也成立：（θ，X（θ））/∈ Bε/2（t，x），|Y（θ）- k（θ，X（θ））|≥ ε、 （57）（θ，X（θ）-)) ∈ cl（Bε/2（t，x）），|Y（θ）-) - ~n~n（θ，X（θ）-))| ≤ ε. （58）Letcei（s）=Ju，ei（s，X（s）-), Y（s）-), )~n，di（s）=ZEcei（s）mi（de），d（s）=IXi=1di（s），a（s）=uY（s，X（s），Y（s），ν（s））- Lν（s）（s，X（s）），π（s）=Nν（s）（s，X（s），Y（s），D（s，X（s）），A={s∈ [τ，θ]：|π（s）|≤ ε} ，A3，i={（s，e）∈ [τ，θ]×E:cei（s）≤ -η/2}，A={s∈ [τ，θ]：cei（s）≥ -η表示^m- a、 美国。

E∈ 对于所有的i=1，···，i}，A=（A）c，我们然后设置l（·）：=EZ·∧θtZEXδei（s）～λi（ds，de）+Z·∧θtα（s） dWs,nfollows的存在如步骤1所示。26 Erhan Bayraktar，Jiaqi Li，其中E（·）表示Dol’eans Dade指数和x+：=max{0，x}，x-:= 最大{0，-x} ，α（s）：=-a（s）+d（s）|π（s）|π（s）Ac（s），Mi（s）：=REA3，i（s，e）Mi（de），Ki（s，e）：=（A3，i（s，e）Mi（s）如果Mi（s）=00，则δei（s）：=η2（1+| d（s）|）- 1+A（s）·2a（s）++ηη·Ki（s，e）A（s）。如果是∈ A、 然后，根据假设2.1以及A和A3的定义，对于一些i∈ {1,2，···，I}。（59）显然，L是[t，t]上的非负局部鞅。因此，它是一个超鞅。设Γ（s）：=Y（s）- ~n（s，X（s））- κ.应用^o公式，我们得到Γ（·）∧ θ） L（·）∧ θ） =Γ（τ）L（τ）+Z·∧θτL（s）（a（s）+d（s））a（s）+ZEXcei（s）δei（s）mi（de）dsZ·∧θτZEXL（s）{cei（s）+Γ（s）δei（s）+cei（s）δei（s）}λ（ds，de）+Z·∧θτL（s）（π（s）+Γ（s）α（s））dWs。根据δEi的定义和[τ，θ]上A+A=1的事实，上述方程中的第一个积分是z·∧θτL（s）a（s）+ηd（s）2（|d（s）|+1）A.∩A（s）+A∩A（s）×a（s）+ηd（s）2（|d（s）|+1）+2a（s）+ηZEXcei（s）Ki（s，e）mi（de）ds。截至（55），a（s）≤ -η在A上∩ A.然后，a（s）+ηd（s）2（|d（s）|+1）A.∩甲(s)≤-η +ηA.∩甲(s)≤ 0.（60）根据A3，iand（59）的定义，它认为∩甲(s)a（s）+ηd（s）2（|d（s）|+1）+2a（s）+ηZEXcei（s）Ki（s，e）mi（de）≤A.∩甲(s)a（s）+η-2a（s）+ηη·η= -A.∩A(s)A(s)-.（61）因此，（60）和（61）意味着ΓL是[τ，θ]上的局部上鞅。注意Γ（θ）- Γ (θ-) =ZEJν（θ），e（θ，X（θ）-), Y（θ）-), ~φ)λ（{θ}，de）。自从∈ C（D）和（54）保持，从上面看是局部有界和全局有界的。这与（58）和容许条件（2）一起，意味着Γ（θ）- Γ (θ-) ≥ -对于某些K>0（K可能取决于（t，x）、ε、ν和）。因为Γ（s）=Y（s）- ~n（s，X（s））- κ ≥ -[τ，θ[，ΓL]上的（ε+κ）由一个子鞅从下方限定-[τ，θ]上的（ε+κ+K）L。