随机目标问题的随机Perron

为了自相矛盾，我们假设对于某些x∈ Rd和~n∈ C（Rd）满足0=u+（T-, 十）- ν（x）=maxx∈Rd（u+（T-, 十）- ~n（x）），它保持着- g（x）>2η和δ*对于某些η>0的情况，η（x）>2η。让{wk}∞k=1是U+中的一个序列，因此10二汉贝拉克塔尔，佳奇LiwkU+。设置（t，x）=（x）+ι| x-x | n+ι√T- t表示ι>0，其中ι将在稍后确定，nsatis则为0≤T≤T（kа（T，x）- w（t，x））→ ∞ as | x |→ ∞ 对于任何ι>0的情况。通过δ的下半连续性*对于g的上半连续性，我们可以找到ι>0和ε>0，使得ι（t，x）- g（x）>η和（9）δ*（t，x，y，D)≥ η表示（t，x）∈ [T]- ε、 T]×cl（Bε（x））和| y- ~n~n（t，x）|≤ ε. （10） 根据假设2.4，δ≥ δ*, （8） （10）我们可以找到一个局部L-ipschitz映射，使得∈ N0，η（t，x，y，（t，x），）表示所有（t，x，y）∈ D×R s.t.（t，x）∈ [T]- ε、 T]×cl（Bε（x））和| y- ~n~n（t，x）|≤ ε.（11） 在（11）中，我们可能需要选择ε、ι和η的较小值。修理ι。自从t~n（t，x）→ -∞ 作为t→ T，通过uY，uX，σX和ν，uY的连续性（T，X，Y，^ν（T，X，Y，DT，X）））-L^ν（t，x，y，Dа（t，x））а（t，x）≥ η、 所有人（t，x，y）∈ D×R s.t.（t，x）∈ [T]- ε、 T]×cl（Bε（x））和| y- ~n~n（t，x）|≤ ε.（12） 这里我们可能需要再次收缩ε>0。因为u+是USC，而~n（T，x）=u+（T-, x） ，存在α>0，因此▽~n>u+-[T]上的2α-ε、 T[×cl（Bε/2（x））在另一次可能收缩ε之后。由于wku+，存在n∈ N使得- [T]上的α- ε、 T[×cl（Bε/2（x））（13）自min0≤T≤T（kа（T，x）- w（t，x））→ ∞ as | x |→ ∞, 我们可以找到R>ε，使得O:=- ε、 T]×（Rd\\cl（BR（x）））。（14） 随机目标问题的随机Perron 11请注意~n~n（T，·）- u+（T-, ·) 在紧集T上是严格正的*:= cl（BR（x））- Bε/2（x）。因此，由u+（T）的上半连续性-, ·), 存在ζ>0，使得▽（T，·）>u+（T-, ·) + 4ζo n T*.

（15） 从（15）中，我们得出结论，存在σ>0，使得[T]上的▽>u++2ζ- σ、 T[×T*. （16） 更准确地说，如果（16）对任何σ>0都不成立，则存在一个序列（tn，xn）∈ 迪希茅草→ T，xn∈ T*和~n（tn，xn）≤ u+（tn，xn）+2ζ。T的紧性*这意味着对于某些x′，存在一个子序列f（tn，xn）收敛到（T，x′）∈ T*. 通过在子序列上取上述方程的lim sup，我们得到|（T，x′）≤ u+（T-, x′）+2ζ。这与（15）相矛盾。因此，（16）成立。在（16）中，我们选择σ<ε。通过Dini类型的参数，存在n≥ n确保[T]上的~n~n>wn+ζ-σ、 T[×T*. （17） 设置w=wn。对于κ∈ ]0, ε ∧ α ∧ζ[，定义新κ：=( ~φ - κ) ∧ w on[T]- σ、 T]×cl（Bε（x）），w在[T]之外- σ、 T]×cl（Bε（x））。自w（T，x）≥ g（x）和（9）成立，我们得到wκ（T，x）≥ g（x）表示所有x∈ 我们还注意到Wκ（T，x）≤ ~n（x）-κ<u+（T-, 十）≤ u+（T，x）。（18） 以类似于定理3.1证明中步骤1的方式使用（11）、（12）、（13）、（14）和（17），我们可以证明wκ是一个随机超解，这与（18）相矛盾。第2步（DT上的超级溶液属性）。我们将把证明分为两步：第2步。A.我们将向你展示-（T）-, ·) 是一种粘度超高的溶液（φ（x）-g（x））{H*~n（x）<∞}≥ 路0号，让x∈ Rd和~n∈ C（Rd）为0=（u-（T）-, 十）-ν（x））=minx∈Rd（美国）-（T）-, 十）-~n（x））。假设12二汉贝拉克塔尔，佳奇利特*ν（x）=C<∞ g（x）>u-（T）-, x） =~n（x），我们将朝着一个矛盾的方向努力。让{wk}∞成为U中的一个序列-这样wnu-. 设~n（t，x）=~n（x）- ι| x- x | n- （C+2）（T）- t） 和′（x）=（x）-ι| x-x | nι大于0，其中ι将在稍后修复，n≥ 2令人满意的Max0≤T≤T（kа（T，x）- w（t，x））→ -∞ 还有max0≤T≤T~n（T，x）→ -∞ as | x |→ ∞ 对于任何ι>0的情况。（19） 请注意，Dāā′（x）=Dā（t，x）和Dā′（x）=Dā（t，x）。

从g（x）>~n（x）＝（T，x）=u-（T）-, x） g和u的下半连续性-, 我们可以找到ε>0和η∈ ]0，1[g（x）- 对于（t，x）εφ（t，x）>∈ c l（Bε（T，x）），а<u-+ 2ηon[T- ε、 T[×cl（Bε/2（x））（20）由ux、σx、uY、B和β以及H的有界性决定*ι（x）=C，存在ι>0，使得uY（t，x，Y，u）-uX（t，X，u）D~n（t，X）-Tr[σXσX（t，X，u）D~n（t，X）]≤ C+1代表所有（t、x、y、u）∈ D×R×实用化（t，x）∈ [T]- ε、 T]×cl（Bε（x）），|y- ~n~n（t，x）|≤ ε和u∈ Nε，-η（t，x，y，Dаа（t，x），аа′）。这里，我们可能需要选择较小的ε和η值。因此，根据u、 e，uY（t，x，Y，u）-Lut，x≤ C+1- C- 2.≤ -η表示所有（t，x，y）∈ D×R×我们。t、 （t，x）∈ [T]- ε、 T]×cl（Bε（x）），|y- ~n~n（t，x）|≤ ε和u∈ Nε，-η（t，x，y，D)。修理ι。自wku以来-, 存在n∈ N使得[T]上的~n~n<wn+η- ε、 T[×cl（Bε/2（x））由（20）引起。由（19）产生，存在R>ε，使得~n（T，x）<wn（T，x）+ε≤ n的O上的wn（t，x）+ε≥ n、 式中：=[T- ε、 T]×（Rd\\cl（BR（x）））。自~n（T，x）≤ ~n（x），u-（T）-, ·) - 在紧集T上，ā（T，·）是非常正的*:= cl（BR（x））- Bε/2（x）。因此，由u的下半连续性-, α>0的存在使得▽（T，·）<u-（T）-, ·) - T上的4α*. 与本证明中的步骤1类似，我们可以找到σ∈ ]0，ε[和n≥ n确保~n~n<wn- [T]上的α- σ、 T[×T*. 设置w=wn。对于κ∈ ]0, ε ∧ δ ∧ α[，定义新的κ：=( ~φ + κ) ∨ w on[T]- σ、 T]×cl（Bε（x）），w在[T]之外- σ、 T]×cl（Bε（x））。随机目标问题的随机Perron正如定理3.1证明的第2步，我们可以证明wκ∈ U-, 这就产生了矛盾。第二步。在这一步中，我们证明了-（T）-, ·) 是δ的粘度超解*~n（x）≥ 0.让x∈ Rd和~n∈ C（Rd）为0=（u-（T）-, 十）- ν（x））=minRd（u-（T）-, 十）-~n（x））。设（sn，ξn）为不满足（sn，ξn）的序列→ （T，x）和u-（sn，ξn）→ U-（T）-, x） =~n（x）。

为了所有人∈ N、 k≥ 0和ι≥ 0，定义ιk，ιn（t，x）=ι（x）- ι| x- x |+kT- t（t- sn），ι（x）=ι（x）- ι| x-x |。注意Limι→0limk→0lim supn→∞助理（t，x）∈[sn，T]×cl（B（x））|k，ιn（T，x）-ν（x）|=0。设（tk，ιn，xk，ιn）为u的极小值--ιk，ιnon[sn，T]×cl（B（x））。我们认为，对于任何k>0和ι>0，都存在Nk，ι∈ N就这样≤ tk，ιn<T表示所有n≥ Nk，ι和xk，ιn→ xas n→ ∞. 我们现在证明。自（sn，ξn）→ （T，x），我们可以找到Nk，ι∈ N以至于N≥ Nk，ι（u）-- ιk，ιn）（sn，ξn）=u-（sn，ξn）-ψ（ξn）+ι|ξn- x|-K≤ -2k<0。（22）另一方面，lim inft↑T、 x′→x（u）-- ιk，ιn）（t，x′）=u-（T）-, 十）- ν（x）+ι|x- x|≥ 0代表| x-x|≤ 1.（23）通过（22）和（23），第（21）部分的第一部分成立。通过一个类似于定理3.1在[9]中证明的步骤4的论证，我们知道（21）的第二部分也成立。从（21）和ιk，ιn的定义中，我们还可以看到ιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn）→ U-（T）-, x） =~n（x）作为n→ ∞, 然后k→ 0, ι → 0 . （24）根据（21）、（24）以及以下事实：-（tk，ιn，xk，ιn）≤ ιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn）和lim-inf（t<t，x）→（T，x）u-（t，x）=u-（T）-, x） 它认为-（tk，ιn，xk，ιn）→ U-（T）-, x） =~n（x）作为n→ ∞ 然后k→ 0 , ι → 0.因为所有的k>0，ι>014二汉贝拉克塔尔，嘉奇联≥ Nk，ι，（tk，ιn，xk，ιn）是u的局部极小值-- ιk，ι和tk，ιn<T，我们得到-ιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn）+H*（tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn））≥ 0来自Theo rem 3.1。对于任何k>0、ι>0和n≥ 从H的定义来看*, 存在一个序列{（εm，ηm，tm，xm，ym，pm，Am，νm）} R+×[-1,1]×D×R×Rd×Md×C（D），使得（εm，ηm）→ （0,0），ν亩。C-→ ιk，ιn，（tm，xm，ym，pm，Am）→ （tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn））和（25）Hεm，ηm（tm，xm，ym，pm，Am，ιm）→ H*（tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn））>-∞.这意味着Nεm，ηm（tm，xm，ym，pm，~nm）6= 自下午起 = -∞.

根据δ的定义，它认为δ（tm，xm，ym，pm，~nm）≥ -pεm+ηm.来自（25）和δ的定义*, 我们得到δ*（tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ιk，ιn）≥ 林苏普→∞δ（tm，xm，ym，pm，~nm）≥ 0.根据u、 在集值映射N中，上面的方程意味着δ*（tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ι=δ*（tk、ιn、xk、ιn、u）-（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ιk，ιn）≥ 0.（26）请注意。-→ ιasι→ 0.此外，对于ι>0，u-（tk，ιn，xk，ιn）→ ι（x）和Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn）→ D~n（x）asn→ ∞ 然后k→ 0.通过首次发送获得（26）的lim sup n→ ∞ 然后k→ 0和ι→ 0，我们有δ*Д（x）=δ*~n（T，x，а（x），Dа（x），а）≥ δ的上半连续性为0*, 5对比验证我们现在根据[9]中的比较原则对非光滑函数进行验证。随机目标问题的随机Perron假设15.5.1设H=H*. 假设H=H*关于s{H<∞} 并且存在一个lsc函数G:D××R×Rd×Md×C（D）→ R使（a）H（t，x，y，p，a，~n）<∞ ==> G（t，x，y，p，A，~n）≤ 0，（b）G（t，x，y，p，A，~n）<0==> H（t，x，y，p，A，~n）<∞.提议5。1在假设2.1-2.4（分别为2.1-2.3）和5.1下，u+（分别为u-) 是最大粘度的USC（分别为LSC）粘度子溶液（分别为超级溶液）{-在Di上，tа（t，x）+Hа（t，x），Gа（t，x）}=0。此外，ifg是USC，u+（T-, ·) 是最小{max{~n（x）的USC粘度子解- g（x），g~n（x）}，δ*~n（x）}≤ 路0号。如果G是LSC，u-（T）-, ·) 是最小{max{~n（x）的LSC粘度超溶液- g（x），g~n（x）}，δ*~n（x）}≥ 证明（1）Di中的子解性质。支持0=（u）+- ν）（t，x）=maxDi（u）+- 对于某些（t，x）∈ 戴安·尼翁∈ C1,2（D）。然后-tа（t，x）+Hа（t，x）=-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≤ 定理3.1中的0。从假设5.1中的（a）开始，G~n（t，x）≤ 0

因此，抛物线内部u+的子解性质成立。（2） Di中的超解性质。假设0=（u）-- ν）（t，x）=minDi（u）-- 对于某些（t，x）∈ 戴安·尼翁∈ C1,2（D）。如果Hа（t，x）<∞, -tа（t，x）+Hа（t，x）=-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≥ 0来自假设5.1和定理m 3.1。另一方面，如果H~n（t，x）=∞, G~n（t，x）≥ 0来自消费5.1中的（b）。因此，粘度超溶液性质适用于u-在抛物线内部。（3） DT上的子解性质。根据定理4.1，我们知道u+（T-, ·) 是最小{~n（x）的粘度-g（x），δ*~n（x）}≤ 因此，必须证明Gu+（T-, ·) ≤ 粘滞感为0。让x∈ Rd和~n∈ C（Rd）为0=（u+（T-, 十）-ν（x））=maxx∈Rd（u+（T-, 十）-~n（x））。设（sn，ξn）是非理想化（sn，ξn）中的一个序列→ （T，x）和u+（sn，ξn）→ u+（T-, x） 。为了所有人∈ N、 k≥ 0和ι≥ 0，定义ιk，ιn（t，x）=ι（x）+|x- x|- kT- t（t- sn），ι（x）=ι（x）+ι|x-x |。让（tk，ιn，xk，ιn）成为u的最大化者+-ιk，ιnon[sn，T]×cl（B（x））。类似于REM 4.1证明中步骤2B的论点，我们可以证明limk→0,ι→0limn→∞u+（tk，ιn，xk，ιn）=（x）。我们还知道，对于anyk>0和ι>0，存在Nk，ι∈ N这样sn≤ tk，ιn<T表示所有n≥ Nk，ι和xk，ιn→ xas n→ ∞.因此，对于所有k>0、ι>0和n≥ Nk，ι，（tk，ιn，xk，ιn）是u的最大化者+- ιk，ιnon[sn，T]×cl（B（x））。从理论M3.1开始，-tι（tk，ιn，xk，ιn）+H*（tk，ιn，xk，ιn，u+（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ιk，ιn）≤ 因此，H*-上述方程中的项小于∞.

从一开始u、 e，我们到了*（tk，ιn，xk，ιn，u+（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ι）∞, 这进一步意味着gι（tk，ιn，xk，ιn，u+（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），Dιk，ιn（tk，ιn，xk，ιn），ι≤ 假设为0.5.1。使用一个类似于定理4.1的证明步骤2B的论点，我们得出如下结论：Gа（x）≤ 0.（4）DT上的超解性质。它必须表明-（T）-, ·) 是一种粘度超高的溶液Fmax{~n（x）-g（x），g~n（x）}≥ 0.（27）让x∈ Rd和~n∈ C（Rd）为0=（u-（T）-, 十）- ν（x））=minx∈Rd（美国）-（T）-, 十）- ~n（x））。根据定理4.1，以下两种场景中的一种必须保持：≥ g（x），H*ν（x）<∞ 或（28）小时*ν（x）=∞. （29）（28）暗示（27）；另一方面，如果（29）成立，则Hа（x）=∞, 也就是说Gа（x）≥ 假设5.1中（b）的0。因此，（27）成立。假设5.2假设δ*= δ*, g是连续的，并且USCsub解和LSC super解formin{max{~n（x）之间的比较原理成立- 在Rd.（30）上，g（x），gа（x）}，Δа（x）}=0。在存在跳跃的情况下，检验这一假设是非常重要的。当受控过程中没有跳跃时，可以在某些函数类中证明比较原理（参见[6]中关于随机目标问题的随机Perron假设2.2的讨论）。此外，在第6节中，δ在相应的偏微分方程中消失，并且对于具有跳跃的完全非线性方程，有可用的比较结果（参见[13]）。假设5.1、5.2和2.1-2.4下的引理5.1，u-（T）-, ·) = u+（T-, ·) = ^g（·），其中^g是（30）的唯一连续粘度溶液。从他们的定义可以证明-≤ u+。

因为u+是USC和u-那是LSC吗-（T）-, x） =lim-inf（t<t，x′）→（T，x）u-（t，x′）≤ lim-sup（t<t，x′）→（T，x）u+（T，x′）=u+（T-, x） 。此外，u+（T-, ·) 是粘度子溶液，u-（T）-, ·) 由于OREM 4.1，是（30）的粘度超级溶液。因此，根据假设5.2，索赔成立。定理5.1假设存在一个比较原理formax{-在Di（31）上，tа（t，x）+Hа（t，x），Gа（t，x）}=0，假设2.1-2.4，5.1和5.2成立。然后存在一个非唯一的连续粘性溶液Vto（31），其终端条件为V（T，·）=^g（·），u（T，x）=u-（t，x）=u+（t，x）=V（t，x）表示（t，x）∈ 迪。验证定义^u+（t，x）：=u+（t，x），（t，x）∈ Di^g（x），t=t，x∈ Rdand^u-（t，x）：=U-（t，x），（t，x）∈ Di，^g（x），t=t，x∈ 第5.1号提案第3条，^u-是LSC粘度超溶液，^u+是（31）的USC粘度亚s溶液。因为^u+（T，·）=^u-（T，·），^u+≤ ^u-相比之下，这是一个很好的例子。因此，^u+=^u-从第（7）节开始。定义：=^u+=^u-. 它是（31）的连续粘性解，满足V（T，x）=^g（x）。唯一性直接来源于比较原则。6随机控制作为一个随机目标问题在本节中，我们将展示如何从一个随机目标问题推导出与标准形式的最优控制问题相关的HJB方程。给定一个有界连续函数g:Rd→ R、 we18 Erhan Bayraktar，Jiaqi Lide通过u（t，x）：=infν定义了一个最优控制问题∈UtE[g（Xνt，X（t））]。

我们遵循第2节的设置，但有一个例外：UTI是L中所有Ft可预测过程的集合(Ohm ×[0，T]，FB[0，T]，PλL；U） ，你在哪里 rdx和X遵循SDEdX（s）=uX（s，X（s），ν（s））ds+σX（s，X（s），ν（s））dWs+ZEβ（s，X（s-), ν（s），e）λ（ds，de）。为了将控制问题转化为随机目标问题，我们使用了下面的引理，它是[11]中结果的一个改编。引理6.1假设假设假设2.1和2.2成立。定义一个随机目标问题如下：u（t，x）：=inf{y∈ R:(ν, α, γ) ∈ Ut×At×Γts.t.Yα，γt，Y（t）≥ g（Xνt，X（t））}，其中yα，γt，y（·）：=y+Z·tα（s） dWs+Z·tZEγ（s，e）~λ（ds，de）和AtandΓtar分别是满足第2节容许性条件的Rd值和L（e，e，^m；RI）值过程的集合。然后u=D.证明由于A和Γt满足可采性条件，这个随机目标问题得到了很好的定义。鉴于[11]中的引理2.1，必须检查g（Xνt，X（t），ν∈ 美国犹他州 {M（T），M∈ M} ，其中M：=Yα，γt，Y（·）：Y∈ R、 α∈ 至少，γ∈ Γt. （32）事实上，根据鞅表示定理，对于任何∈ 对于某些α，可以用Yα，γt，Y的形式表示∈ 阿坦德γ∈ Γt，其中Γ是L（E，E，^m；RI）值过程的集合，满足除（2）之外的所有可采性条件。特别地，g（Xνt，X（t））=Yα，γt，Y（t）。与（32）相反，假设存在ν∈ 使e[g（Xνt，X（t））|Ft·]=y+Z·tα（s） dWs+Z·tZEγ（s，e）~λ（ds，de）对于某些y∈ R、 α∈ 阿坦德γ∈ Γt，但（2）不成立。在上面的等式中，由于[14]中的定理1.3.13，E[g（Xνt，X（t））|Ft·]可以被选择为c`adl`a g。当K>2kgk时∞, 存在τ∈ TTRandom Perron对随机目标问题的求解稀土γ（τ，e）λ（{τ}，de）> K> 0.假设P稀土γ（τ，e）λ（{τ}，de）>K> 0 .LetM（·）=Eg（Xνt，X（t））| Ft·.

因此，M（τ）- M（τ）-) =泽γ（τ，e）λ（{τ}，de）>K，具有正概率。因为| M |是以kgk为界的∞< K/2，我们得到一个矛盾。让H*是LSC地图的USC包络线H:D×Rd×Md×C（D）→ 定义为：（t，x，p，A，洎）→ 苏普∈U{-I[~n]（t，x，u）-uX（t，X，u）p-Tr[σXσX（t，X，u）A]}，式中i[~n]（t，X，u）=P1≤我≤IRE（φ（t，x+βi（t，x，u，e））- ~n（t，x））mi（de）。定理6.1在假设2.1和2.2下，u+是-tа（t，x）+Hа（t，x）≤ 0对D和u+（T-, 十）≤ g（x）表示所有x∈ 另一方面，美国-是LSC粘度的超级溶液-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≥ 0关于黛安·u-（T）-, ·) 是一种LSC粘度超高的溶液（φ（x）-g（x））{H*~n（x）<∞}≥ 证明随机目标问题的假设2.4很容易检验。由于g是有界的，我们可以检查附录A中的所有假设是否满足，这意味着假设2.3成立。根据定理3.1，u+是-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≤ 0 o n Diand u-这是一个超级解决方案-t~n（t，x）+H*~n（t，x）≥ 在Di上为0。根据[11]中的命题3.1，H*≤ H*安德*≥ H.这意味着抛物线内部的粘度特性保持不变。如果不成立，则积分小于-K的正概率。注意到这一点，当这个假设不成立时，我们可以以类似的方式进行证明。20 Erhan Bayraktar，Jiaqi LiAlso，根据定理4.1，u+（T-, ·) 是最小{~n（x）的USC粘度子溶液- g（x），δ*~n（x）}≤ RDU上的0-（T）-, ·) 是一种LSC粘度的超溶液- g（x））{H*~n（x）<∞}, δ*~n（x）}≥ Rd上的0，其中δ=距离（0，Nc）-距离（0，N）和距离（t，x，y，p，φ）={（q，s）∈ Rd×R：（u，a，r）∈ U×Rd×L（E，E，^m；RI）s.t.q=a- σX（t，X，u）和s≤ min1≤我≤I{ri（e）- ~n（t，x+βi（t，x，u，e））+~n（t，x）}m-a、 东南∈ E}。显然，N=Rd×R，因此δ=∞ 边界条件成立。