稳健定价——离散时间美式期权的套期保值对偶

这是很自然的，因为斯内尔包络的鞅部分可以在零期望的伪停止时间停止。提议1.17。假设Mg6=. 然后是SUPQ∈MgEQ[Φ]=supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]. （1.24）证据。乐透∈ MG使得等式[|gλ|]<∞ 和EQ[|Φk |]<∞ 总而言之λ∈ λ和k=1，··，N。接下来我们考虑最优停止问题supτ∈T（F）EQΦτ. 定义其SNell信封（Zk）0≤K≤NbyZk:=esssupτ∈T（F），τ≥凯克ΦτFk,这是一个（F，Q）-超鞅。它的Doob–Meyer分解由byZk=Z+Mk给出- Ak，其中A=（Ak）0≤K≤Nis是一个F-可预测的增长过程，A=M=0。这就是情商Φ= 情商ΦT≤ EQ[ZT]≤ Z+EQ[MT]=Z.（1.25），因此我们得到了supQ∈MgEQ[Φ]≤ supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]. 则（1.24）自每次停止时间τ起保持不变∈ T（F）是一个伪停止时间，因此逆不等式是重要的。备注1.18。以上内容让我们看到，仅使用随机停止时间来恢复（1.5）中的相等值是不够的。这样的时间对应于一个F适应的递增过程V，V=0，VN=1。它可以被看作是在所有可能的映射时间上的分布，在我们的设置中，分布η在ts.T.η（{k}）上：Vk=Vk- Vk-1.每个k∈ T.对于任何伪停止时间τ，过程的双重可选投影[[τ，N]]是随机停止时间。相反，对于给定的V，如果我们取一个独立于V的均匀分布的随机变量，可能会扩大概率空间，那么τ：=inf{t:Vt≥ Θ}是F-伪停止时间，产生V。设R为此类随机停止时间的集合。然后，根据命题1.17和双可选投影的定义，supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQΦτ]=supQ∈MgsupV∈要求“XkΦkVk#。备注1.19。

Nikeghbali和Yor（2005）表明，在伪停止时间τ的渐进放大下，较小过滤的所有鞅在较大过滤的τ剩余部分停止。我们可以把这与一种更为严格的情况联系起来，即较小过滤的所有鞅仍然是较大过滤的鞅，这被称为过滤放大的浸入性。很明显，每一个随机的时间特性都是一个伪停止时间。因此，在保持等式（1.24）为真的情况下，上述MG定义中的伪停止时间属性可以被表征浸入属性Q[T>k | Fn]=Q[T>k | Fk]的astronger条件替换，所有0≤ K≤ N≤ N.（1.26）参见Blanchet Scalliet et al.（2016）的第3.1.2节，了解逐步扩大过滤的离散时间背景，以及Aksamit和Li（2016）的伪停止时间、浸入特性和投影之间的联系。2.对布查德和努茨（2015）的非主导设置的详细研究在本节中，我们在布查德和努茨（2015）中介绍的非主导设置中工作，这是示例1.11的一个特例。我们让Ohm= {ω} 做一个单身汉Ohm做一个抛光面。每k∈ {1，··，N}，我们定义Ohmk:={ω}×Ohmkas是k次笛卡尔积。对于每个k，我们用Gk:=B表示(Ohmk） 通过它的普遍完成。特别是，我们注意到Gis微不足道，我们表示Ohm := OhmN、 G:=GNand F:=FN。我们经常会看到Fk和Gkas子σ域FN，因此得到两个过滤F=（Fk）0≤K≤Nand G=（Gk）0≤K≤不Ohm. 回想一下，波兰空间的一个子集Ohm is Analytical ifit是另一个波兰空间的Borel子集在Borel可测映射下的图像。我们认为Υ是一类上半解析函数f：Ohm →R:=[-∞, ∞], 即

比如{ω∈ Ohm : f（ω）>c}对所有c都是解析的∈ R.价格过程S是一个G-适应的Rd-值过程，期权集合G=（G，…，ge）是e的一个G-可测量的重值向量∈ N（因此∧={1，…，e}）。让k∈ {0，··，N-1} ω∈ Ohmk、 给出了一个非空凸集Pk（ω） P(Ohm)概率测度，表示（k+1）-thperiod，给定状态ω在时间0，1，···，k的所有可能模型集。我们假设对于每个k，图（Pk）：={（ω，P）：ω∈ Ohmk、 P∈ Pk（ω）} Ohmk×P(Ohm) 是分析型的。（2.27）给定一个普遍可测量的内核Pk：OhmK→ P(Ohm) 每k∈ {0,1，··，N- 1} 我们定义了一个概率测度POhm 根据富比尼定理：P（A）：=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，ω··，ωN）PN-1（ω，ω，ωN）-1.dωN）·P（dω）。然后我们可以引入集合P P(Ohm) 截至目前，多期市场的可能模型N:P：=P P · · ·  PN-1:Pk（·）∈ Pk（·），k=0，1，··，N- 1.. （2.28）请注意，条件（2.27）确保Pk始终有一个通用的可测量选择器：Pk:OhmK→ P(Ohm) 使得Pk（ω）∈ 所有ω的Pk（ω）∈ Ohmk、 那么（2.28）中定义的集合P是非空的。我们还用Mk，k+1（ω）表示以下集合Mk，k+1（ω）={Q∈ P(Ohm) : Q<< Pk（ω）和EΔωkQ[Sk+1]=0}，其中ΔωkQ:=δ（ω，·ω，ωk） Q是一个Borel概率测度Ohmk+1:=Ohmk×Ohm.Bouchard和Nutz（2015）引入了以下无套利NA（P）概念。NA（P）对所有（H，H）都适用∈ H×Re（H）o S） N+hg≥ 0 P-q.s==> （H）o S） N+hg=0p-q.S.类似地，我们会说NA（P）对所有（H，H）都成立if∈ H×Re（H）o S） N+hg≥ 0 P-q.s==> （H）o S） N+hg=0 P-q.S.（2.29）召回率也在（1.3）和（1.6）中定义。如Bouchard和Nutz（2015）所述，条件NA（P）等同于P和MG具有相同的极集合的陈述。下面的引理将这个结果推广到Ohm.引理2.1。

NA（P）<==> NA（P）<==> P和MGP具有相同的极性集。证据NA（P）和NA（P）这两个条件通过与改进（1.7）相同的参数是等价的。当且仅当ifP和MG具有相同的极性集时，就足以证明P和MG具有相同的极性集。这可以归结为证明一个集合Γ∈ Ohm 是Mgpolar集当且仅当k-截Γk={ω：（ω，k）∈ Γ}是每个k的一个MG极坐标集∈ 这是一个类似的陈述，涉及P和P，在定理1.3.2.1对偶性的证明中被证明Ohm我们的第一个主要结果是无套利条件下的二元性（2.29）。定理2.2。让NA（P）保持真实。那么集合mgn是空的，对于任何上半解析Φ：Ohm → R、 一个有πEg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ, （2.30），尤其是定价对冲二元性（1.8）。此外，还存在（H，H）∈H×结果是πEg（Φ）+（Ho S） N+hg≥ Φ，P-q.s.证明委托给第5节，并使用以下引理。让我们使用示例1.11中介绍的运算符。注意那一点o ... o EN-1（ξ）（ω）=Ek，k+1o ... o EN-1，N（ξ）（ω），ξ∈ 式中Ek，k+1（ξ）（ω）=supMk，k+1（ω）EQ[ξ]。根据Bouchard和Nutz（2015）中的命题1.8，（4.12），并利用上半解析函数的最大值仍然是上半解析函数，我们得出引理2.3的结论。考虑e=0的情况，即∧=. 让ψ∈Υ. （1.11）中的Ek（ψ）也是上半解析和SUPQ∈MEQ[ψ]=E（Φ）：=Eo · · · o EN-1（ψ）.2.2动态规划原理Ohm回想一下，泛函上的算子族（Ek）在Ohm 在例1.11中进行了定义，在此基础上，我们得到了函数onb上的算子族（bEk）Ohm 如例1所示。15.定理2.4。Letbξ：bOhm → Rn可以是上半解析泛函。ThenbEk（bξ）也是偶合半解析和supbq∈cMgEbQ[bξ]=bE（bξ）：=bEo · · · o本-1（bξ）。特别是，NA（P）意味着（1.22）成立。证据

引理2.1NA（P）<==> NA（P），然后根据定理2.2定价——Hedging对偶Ohm 在（2.30）舱内。然后，根据推论1.13，（1.22）由动态规划原理onb暗示Ohm 因此，有足够的理由认为，thecM满足与P或M相同的分析性属性，Bouchard和Nutz（2015）中的断言将紧随其后（4.12）。假设k=0，··，N- 1和ω∈ Ohm, 与（2.28）类似，我们定义了‘，k（ω）：={Q:=ωkQk+1 · · ·  QN-1:齐∈ Mi，i+1（ω）}。集合M′，k（ω）诱导一个集合cm′，k（ω，y）onbOhm bycM′，k（ω，y）：={bQ:=Qo （X，YQ）-1，Q∈ M′，k（ω），YQk=y}。通过考虑其在k+1时的边际定律，我们定义了mk（ω，y）：={Qo （Xk+1，YQk+1）-1，Q∈ M′，k（ω），YQk=y}。我们认为图{（ω，y，bQ）}∈cMk（ω，y）}是解析的。（2.31）然后问题简化到引理2.3中的相同上下文，我们立即得到supbQ的动态规划表示∈cMgEbQ[·]如上所述。为了总结证据，就足以证明索赔（2.31）。首先，因为图{（ω，Q）：Q∈ Mk，k+1（ω）}是解析的，根据Dellacherie（1985）中的定理2，图{（ω，Q）：=M′，k（ω）}也是解析的。（请注意，Dellacherie（1985）中的结果是在马尔可夫背景下给出的，通过考虑整个路径，我们可以很容易地将问题简化为马尔可夫背景。）接下来，根据Neufeld和Nutz（2014）的引理3.1，我们可以选择一个家族（YQ）的版本∈b比如（ω，Q）7→ YQ（ω）是Borel可测的。因此，图{（ω，y，Q）：Q∈cM′，k（ω，y）}是解析的，因此{（ω，y，Q）：Q∈cM′，k（ω，y）}也是解析的。2.3与Bayraktar等人（2015年）和Bayraktar等人（2016年）的比较。

（2015），作者考虑了有限集∧={1，…，e}的同一超边问题πAg（Φ），并建立了对偶πAg（Φ）=infh∈Resupτ∈T（F）supQ∈MEQ[Φτ- hg]，（2.32），在某些正则条件下（见Bayraktar等人（2015）中的命题3.1）。定理2.2中的对偶性更一般、更完整，而且与引理2一起。3.它导致了上述二元性（2.32）。作为交换，Bayraktar等人（2015年）还研究了其他子边缘问题supτ∈T（F）infQ∈我们这里不考虑的MEQ[Φτ]。最近，Bayraktar和Zhou（2016）考虑了“随机”停止时间，并获得了πAg（Φ）的更完整对偶性。Bayraktar和Zhou（2016年）以及我们的研究结果中的双重配方或多或少具有相同的精神（如Neuberger（2007年）；霍布森和纽伯格（2017）。然而，Bayraktar和Zhou（2016）中的对偶性是在强可积条件和在正则条件下检验的抽象条件下建立的（见他们的假设2.1和备注2.1）。特别是，whenP是关于Ohm, 他们的假设2.1中的可积条件等价于Φkand giare一致有界。在本文中，我们只假设giare-Borel可测，Φkare上半解析和均为R值。从技术上讲，Bayraktar和Zhou（2016）使用Bouchard和Nutz（2015）中的对偶结果以及极小极大定理来证明他们的结果。我们的第一个主要结果是引入一个扩大的规范空间（以及一个扩大的规范过滤），将主要问题重新表述为欧式期权的超边缘问题。然后，通过调整Bouchard和Nutz（2015）中的论点，我们建立了Bouchard和Nutz（2015）中的对偶次一般条件。

此外，我们不假设ΦkisFk是可测量的，这允许我们研究包含美式期权和一些欧式期权的投资组合的超边缘问题。最后，我们的设置允许使用近似参数来研究一类新的鞅最优运输问题，并获得Kantorovich对偶。3鞅（最优）运输模型在本节中，我们研究了一大类静态交易的欧式期权中美式期权的对偶性。我们假设市场上的静态交易期权均为普通期权，且无套利（见Cox和Ob l\'oj（2011）和Cox et al.（2016）），且数量足够多，因此可以在某些到期时间T={T，·tM}恢复基础过程S的边际分布 T、 其中tM=N。更准确地说，我们得到了边际分布的向量u=（u，···，uM）。我们写u（f）：=（Rf（x）u（dx）。。。，Rf（x）uM（dx）），我们假设u（|·|）<∞ 和ui（f）≤ uj（f）表示所有i≤ j、 我，j≤ M、 凸函数f:Rd→ R.（3.33）我们在这里工作Ohm := {s} *Rd×NWS在哪里∈ 这是一个关于OhmP:=P(Ohm). 因此Ohm := Ohm x T，P=P(Ohm). 条件（3.33）确保校准鞅测度的存在，即以下集合为非空μ：=Q∈ P(Ohm) : LQ（Sti）=ui，i≤ M、 S是（Q，F）-鞅,Mu：=Q∈ P(Ohm) : LQ（Sti）=ui，i≤ M、 S是（Q，F）-鞅.设∧是所有Lipschitz函数的类λ：Rd→ R、 并表示∧：=M。静态交易期权g=（gλ）λ∈λ由gλ（ω）给出：=λ（ω）- 其中λ（ω）：=PMi=1λi（ωti）和u（λ）：=PMi=1uti（λi）。回想一下，Mg=Mu。由于∧是一个线性空间，使用第1.1小节中定义的半静态策略πAg（Φ）的美式期权Φ的超边际成本可以重写为πAg（Φ）=πau（Φ）：=inf{u（λ）：（H，…，HN）∈ HNs。T

Hji=Hki1.≤ 我≤ J≤ K≤ Nandλ∈ 满足λ（ω）+（Hk）oS） N（ω）≥ 所有k的Φk（ω）∈ T、 ω∈ Ohm}.同样，我们用πEu（Φ）表示支付Φ定义为Ohm, 根据定理1.3，我们得到πAu（Φ）=πEu（Φ）。例3.1。构造一个类似于例0.1的例子，强调在（1.5）中我们可能有一个严格的不等式。考虑N=2，T=T={1,2}，u=δ{0}和u=δ{-2}+ δ{-1}+ δ{1}+ δ{2}. 设Φ（{S=0}）=1，Φ（{S}=1}）=2和Φ（{S}=2}）=0。那么Mu只包含一个概率度量Q，通过直接计算，一个hasEQ对于所有τ，Φτ]=1∈ T（F）。现在我们构造一个鞅测度qbyq（dω，dθ）：=δ{1}（dθ）δ(0,1)+ δ(0,-1)（dω）+δ{2}（dθ）δ(0,2)+ δ(0,-2)（dω）。然后你可以检查一下∈ Mu然后是supq∈MuEQ[Φ]≥ 等式[Φ]=>1=supQ∈Musupτ∈T（F）EQΦτ].由于Φ的超边际价格等于3/2，因此可以考虑超边际策略，包括持有3/2现金和示例0.1中的一个选项g。类似于0.1的例子，二元性可以通过允许动态交易期权来恢复。3.1扩大空间的对偶性Ohm下面的定理说明了Ohm. 其证据被委托给第6节。定理3.2。假设Φ：Ohm → R从上到上半连续有界。然后存在一个最优鞅测度Q*∈ Mu和定价–对冲双重风险：EQ*Φ= supQ∈MuEQΦ=πEu（Φ）。尤其是（1.8）保持不变。备注3.3。注意，在上述配方中，每个uiI都是P（Rd）的元素。相反，可以将其视为（P（R））d的一个元素。具有类似证明的相同陈述将继续有效。

这种替代公式具有更透明的财务解释，因为它只对应于每种股票价格终值的边际规律，而不是完全分布，相关讨论另见Lim（2016）。3.2动态规划原理OhmEldan（2016）和Cox and K–allblad（2015）利用测度值鞅研究了Skorokhod嵌入问题和连续时间的鞅最优运输。由于终端约束转化为初始约束，这一观点允许获得具有边际约束的动态规划原理。我们采用了这个观点，这被证明是非常有用的。与之前一样，我们使用边际时间T={T，…，tM}的集合 {1，…，N}这样Tm=N，边际孔雀度量u=（u，…，uM），其中每个u都是Rd上的概率度量。我们让P（Rd）={η∈ P（Rd）：η（|·|）<∞} 是一组具有有限第一时刻的概率度量，我们配备了1-Wasserstein距离，即ηn→ η当且仅当ifZRdf（x）ηn（dx）→ZRdf（x）η（dx），F∈ C、 其中Cdenotes线性增长的所有连续函数集，使sp（Rd）成为波兰空间。继续示例1.15中的构造，bOhm 必须在有限维空间中进行，并且可以方便地将其参数化为度量值过程的规范空间bOhm := {u}×（P（Rd））M×Nand表示bx=（bXk，…，bXMk）0≤K≤标准过程Ohm. LetbG=（bGk）0≤K≤NBE标准过滤和BF=（bFk）0≤K≤Nits通用完成。用T（bF）表示所有bF停止时间的总和。

为了f∈ Cwe表示它对Bx asbXk（f）=（bXk（f），…）的积分过程。。。，其中bXik（f）：=ZRdf（x）bXik（dx）和bXk（id）=（bXk（id）。。。，bXMk（id）），其中bxik（id）=ZRdxbXik（dx）。定义一：bOhm → Ohm 由i（bω）=（bXM（id）（bω）。。。，bXMN（id）（bω））是满射的，自然地将过程扩展到Ohm 到onbOhm. 特别地，价格过程扩展了viaSk（bω）=Sk（i（bω））=bXMk（id）（bω）和静态交易期权，通过gλ（bω）=gλ（i（bω））=λ（i（bω））- u(λ). 定义一系列过程Y=（Yλ）λ∈λ乘Yλ=PMi=1Yλi其中λik=（bXik（λi）- ui（λi）0≤ K≤ 钛- 1gλi=λi（bXiti（id））- ui（λi）ti≤ K≤ 注意Yλi=0。定义3.4。（a） （b）上的概率测度Ohm,如果过程（bXk（f））为0，则bF）称为测度值鞅测度（MVM测度）≤K≤nisa（bQ，bF）-所有f的鞅∈ C.（b）MVM测量结果BQ正在终止ifbXiti∈  := {η ∈ P（Rd）：η=δx，x∈ Rd}，bQ-a.s.（c）如果k的Sk=bXik（id），则MVM度量是一致的≤ tiandi=1，··，M，bQ-a.s.让我们用cmu={bQ表示∈ P（b）Ohm} :bQ是终止的，一致的，MVM测量s.t。 我≤ 嗯。下面的引理表明，S在tiequals的边际分布为ui、cMu-q.S和hencebQo 我-1.∈ Mu代表anybQ∈厘米u。引理3.5。为了衡量∈cMu以下内容适用：（a）LbQ（Sti | bFk）=bXikbQ-a.s.代表k≤ ti，尤其是LbQ（Sti）=ui（b）表示k≤ tj≤ ti，bXjkbXikbQ-a.s.，即对于任何凸函数fZRdf（x）bXjk（dx）≤ZRdf（x）bXik（dx）bQ-a.s.证明。（a） 让我们 记住Sk=bXik（id）bQ-a.s.然后我们有zrda（x）LbQbXiti（id）bFk（dx）=EbQh{bXiti（id）∈A}bFki=EbQhbXiti（11A）bFki=bXik（11A），其中第二个等式自bq终止起成立，第三个等式asbQ为MVMmeasure。因此，第一个断言得到了证实。（b） 让j≤ i、 k≤ tjand f是一个凸函数。