稳健定价——离散时间美式期权的套期保值对偶

根据普罗霍罗夫定理，对于每一个ε>0，就足以找到一个紧集Dε rdqm[Sk/∈ Dε]≤ ε对于allk=1，···，N.那么，对于每一个ε>0，就足够找到一个常数Kε>0，这样qm|锡克|≥ Kε≤ ε对于所有i=1，··，d和k=1，··，N。接下来，根据鞅性质，我们有EQm[|Sik |]≤ EQm[|SiN |]。然后，对于每一个ε>0，我们可以选择Kε>0，这样SUPM≥1EQmPdi=1 | SiN|≤ Kε。因此Qm|锡克|≥ Kε≤EQm[| Sik |]Kε≤ ε、 因此（Qm）m≥它相对紧凑。（b） 看看序列（SN，Qm）m≥1是一致可积的，注意| xi | 1 | xi就足够了|≥2Kn≤ 2 | xi |- Kn）1 | xi|≥Kn，其中后者是序列（fk）k中包含的支付函数≥1.（c）设为（Qm）m的累积点≥1.自序列（fk）k≥假设Rd1上所有Lipschtiz函数的空间都是稠密的，在一致收敛拓扑下，很容易得到o s-1N=u。（d） 最后，证明极限测度的鞅性质是保持不变的就足够了。通过抽象一个子序列，我们假设Qm→ 我们将证明，对于所有1≤ k<k≤ N、 对于任何有界连续函数φ：（Rd）k×T→ R、 一个哈塞克φS、 ···，Sk，T∧ （k+1）（Sk）- （Sk）= 0.（6.48）设K>0，且χK:Rd→ 当kxk满足χK（x）=x时，由K一致有界的Rda连续函数≤ K、 当kxk时，χK（x）=0≥ K+1。那么每m=0≥ 1.一个人有EQm~n（S，T）（Sk）- （Sk）≤EQm~n（S，T）χK（Sk）- χK（Sk）+|^1|∞EQm|Sk | 1 | Sk|≥K+| Sk | 1 | Sk|≥K, （6.49）在这里我们简化了φ（S，··，Sk，T）∧ （k+1）至а（S，T）。对于每一个ε>0，通过（SN，Qm）m的一致可积性≥1，存在Kε>0，使得|∞EQm|Sk | 1 | Sk|≥Kε+| Sk | 1 | Sk|≥Kε≤ ε、 对于所有m=0，1，··（6.50），此外，对于m≥ qm是鞅测度，然后是EQm~n（S，T）（Sk）- （Sk）= 0，因此EQm~n（S，T）χK（Sk）-χK（Sk）≤ ε.

然后以m为极限→ ∞, 接下来情商~n（S，T）χK（Sk）- χK（Sk）≤ ε. （6.51）结合（6.49），（6.50）和（6.51），通过ε>0的任意性，可以得出（6.48）成立，因此我们得出结论。定理3.2的证明。我们注意到，根据定理2.2，supQ∈Mu，mEQΦ= πAu，m（Φ）≥ πAu（Φ）。让（Qm）m≥1是一系列概率度量，如Qm∈ Mu，mF每M≥ 1.和Lim supm→∞EQmΦT（S）= 林苏普→∞supQ∈Mu，mEQΦ.根据引理6.1，这里有someQ∈ Mu和子序列Qmk→qunder弱收敛拓扑。利用Φ的上半连续性和Fatou引理，得出ΦT（S）≥ 林苏普→∞EQmΦT（S）. 它导致了不平等的SUPQ∈MuEQΦ≥ 情商Φ≥ 林苏普→∞supQ∈Mu，mEQΦ= 林苏普→∞πAu，m（Φ）≥ πAu（Φ），因此我们通过弱对偶性（5.41）得出结论。参考文献：萨基奥，B.，贝格尔博克，M.，彭克纳，F.，沙切迈耶，W.（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233-251。阿齐亚奥，B.和佩纳，I.（2011）。动态风险度量。《金融高级数学方法》，迪努诺和Oksendal主编，斯普林格，第1-34页。Aksamit，A.和Li，L.（2016）。投影、伪停止时间和浸入特性。在S\'eminaire de Probabilit\'es XLVIII中，第459-467页。斯普林格。Bayraktar，E.，Huang，Y.-J.，和Zhou，Z.（2015）。在模型不确定性下对美式期权进行套期保值。暹罗金融数学杂志，6（1）：425-447。Bayraktar，E.和Zhou，Z.（2016）。模型不确定性下半静态交易策略的超套期保值美式期权。贝格尔博克，M.，亨利·劳德埃，P.，和彭克纳，F.（2013）。期权价格的模型独立边界：一种大众运输方法。《金融与圣奥喀斯特》，17（3）：477-501。Blanchet Scalliet，C.、Jeanblanc，M.和Romero，R.R.（2016）。在离散时间内扩大过滤。布查德，B。

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