稳健定价——离散时间美式期权的套期保值对偶

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英文标题：
《Robust pricing--hedging duality for American options in discrete time
  financial markets》
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作者：
Anna Aksamit and Shuoqing Deng and Jan Ob\\l\\\'oj and Xiaolu Tan
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We investigate pricing-hedging duality for American options in discrete time financial models where some assets are traded dynamically and others, e.g. a family of European options, only statically. In the first part of the paper we consider an abstract setting, which includes the classical case with a fixed reference probability measure as well as the robust framework with a non-dominated family of probability measures. Our first insight is that by considering a (universal) enlargement of the space, we can see American options as European options and recover the pricing-hedging duality, which may fail in the original formulation. This may be seen as a weak formulation of the original problem. Our second insight is that lack of duality is caused by the lack of dynamic consistency and hence a different enlargement with dynamic consistency is sufficient to recover duality: it is enough to consider (fictitious) extensions of the market in which all the assets are traded dynamically. In the second part of the paper we study two important examples of robust framework: the setup of Bouchard and Nutz (2015) and the martingale optimal transport setup of Beiglb\\\"ock et al. (2013), and show that our general results apply in both cases and allow us to obtain pricing-hedging duality for American options.
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中文摘要：
我们研究了离散时间金融模型中美式期权的定价对冲对偶性，其中一些资产是动态交易的，而另一些资产，例如一系列欧式期权，只是静态交易。在本文的第一部分中，我们考虑了一个抽象环境，其中包括具有固定参考概率测度的经典情况以及具有非支配概率测度族的鲁棒框架。我们的第一个洞见是，通过考虑空间的（普遍）扩大，我们可以将美式期权视为欧式期权，并恢复定价对冲的双重性，这可能会在最初的公式中失败。这可能被视为对原始问题的一种软弱表述。我们的第二个洞见是，缺乏二元性是由缺乏动态一致性造成的，因此，具有动态一致性的不同扩张足以恢复二元性：考虑（虚构的）市场扩展就足够了，在该市场中，所有资产都是动态交易的。在论文的第二部分中，我们研究了鲁棒框架的两个重要例子：Bouchard和Nutz（2015）的设置和Beiglb \\“ock等人（2013）的鞅最优运输设置，并表明我们的一般结果适用于这两种情况，并允许我们获得美式期权的定价对冲对偶性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Robust_pricing--hedging_duality_for_American_options_in_discrete_time_financial_.pdf (429.74 KB)

2022-5-11 05:43:27 上传

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关键词：离散时间 套期保值 美式期权 Mathematical Differential

稳健定价——离散时间金融市场中美式期权的对冲双重性*Anna Aksamit+Shuoqing DengJan Ob l\'oj+Xiaolo Tan2017年4月11日摘要我们研究了离散时间金融模型中美式期权的定价-对冲对偶性，其中一些资产是动态交易的，而另一些资产，例如一系列欧式期权，只是静态交易。在本文的第一部分中，我们考虑了一个抽象环境，其中包括具有固定参考概率测度的经典案例，以及具有非支配概率测度族的鲁棒框架。我们的第一个洞见是，通过考虑空间的（普遍）扩大，我们可以将美式期权视为欧式期权，并恢复定价-对冲二元性，这可能会在最初的公式中失败。这可能被视为对原始问题的一种软弱表述。我们的第二个见解是，缺乏二元性是由缺乏动态一致性造成的，因此，具有动态一致性的不同扩张足以恢复二元性：考虑所有资产动态交易的市场（有效）扩展就足够了。在论文的第二部分中，我们研究了稳健框架的两个重要例子：Bouchard和Nutz（2015）的设置和Beiglb–ock等人（2013）的鞅最优运输设置，并表明我们的一般结果适用于这两种情况，使我们能够获得美式期权的定价-对冲对偶性。关键词。超级复制、美式期权、非支配模型、弱公式、动态规划原理、随机停止时间、鞅最优运输、Kantorovich对偶、测度值鞅。理学硕士（2010年）。初级：60G40，60G05；中学：49M29。简介近年来，稳健的定价和套期保值方法一直是数学金融领域的一个活跃研究领域。

在这种方法中，不是选择一个模型，而是考虑在一系列模型下同时进行过对冲，或者在一组可行的轨迹上进行路径对冲。它推广了经典方法，即只考虑相对于固定参考概率测度P绝对连续的模型。在这种情况下，无套利被认为等同于存在一个等价的可替代测度，其结果被称为资产定价的第一基本定理，参见*我们感谢布鲁诺·布查德、达维德·霍布森、侯昭旭和莫妮克·珍布兰科提供的有用评论和建议。SD和XT衷心感谢ERC 321111公司、ANRIsotace和财务风险主席（风险基金会，由Soci’et’e G’en’erale赞助）和可持续发展基金（由EDF和CA赞助）的财务支持。AA和JO感谢ERC和欧盟FP7/2007-2013（ERC批准号335421）的支持。JO感谢圣约翰学院的支持。+牛津大学aksamit@maths.ox.ac.uk和obloj@maths.ox.ac.uk巴黎多芬大学、巴黎科学院研究大学、法国国家科学研究院、法国统一市场研究院[7534]，Ceremed。deng@ceremade.dauphine.fr还有晒黑。多芬。弗雷。g、 Delbaen和Schachermayer（2006），F¨ollmer和Schied（2004）。当市场完全时——即当每个未定权益都可以通过自融资交易策略完全复制时——等价鞅测度Q是唯一的，期权价格由其复制成本给出，其等于Q下贴现支付的预期值。在不完全市场中，当不存在完美复制策略时，一种安全的定价方式是使用该选项的最低超级复制成本。

使用对偶技术，这个最小的超级复制价格可以与定价问题相关，并表示为所有等价于P的鞅测度的贴现支付预期的上确界。稳健方法的挑战之一是将这种对偶关系扩展到非支配（稳健）环境。在波动不确定性下的连续时间模型中，Denis和Martini（2006）、Soner等人（2013）、Neufeld和Nutz（2013）、Possamai等人（2013）等获得了这样的定价-对冲双重结果。在离散时间内，Bouchard and Nutz（2015）和Burzoni等人（2016b）等中显示了一般定价-套期保值的双重性。重要的是，在一个稳健的环境中，人们通常希望包括更多可供交易的市场工具。在一个可以追溯到霍布森（Hobson，1998）的最终工作的框架中，人们通常会考虑基础和静态交易中的动态交易，即在时间零点的买入和持有策略，在一些欧洲期权中，通常是具有固定到期日的买入或卖出期权。当然，这种额外的资产约束了我们可以用来定价的鞅测度集。一般定价——在连续时间和离散时间内，这种设置的变量的套期保值双重性结果可以在例如Acciaio等人（2016）、Burzoni等人（2016a）、Beiglb¨ock等人（2013）、Dolinsky和Soner（2014）、Hou和Ob l\'oj（2015）、Guo等人（2016b）、Tan和Touzi（2013）中找到，我们参考了霍布森（2011）的调查论文；Ob l\'oj（2004）了解更多细节。到目前为止，文献中的主要焦点一直是（可能是异国情调的）欧洲支付的二元性。然而，最近，一些焦点放在了美国的选择上。Cox和Hoegrel（2013）研究了无套利情况下美式看跌期权价格的必要条件（在某些情况下是有效的）。

Dolinsky（2014）研究了非主导离散时间市场中的期权（包括美式期权），但没有允许超级复制的静态交易期权。Neuberger（2007）考虑了离散时间、离散空间市场，存在静态交易的欧洲Vanilla期权。他观察到，美式期权的超高价格可能严格大于所有止损时间和所有（相关）鞅测度下预期（贴现）收益的上限。我们把这种情况称为二元差距。在Neuberger（2007）中，通过使用弱对偶公式来恢复定价-套期保值二元性。Hobson和Neuberger（2017）进一步利用了这种方法，并得出了更普遍的结果。Bayraktar等人（2015年）在Bouchard和Nutz（2015年）的设置中研究了相同的超边缘问题，但在他们的对偶公式中只考虑了强停止时间，这通常会导致对偶间隙。最近，与本文的早期版本平行，Bayraktar和Zhou（2016）通过考虑随机模型，在Payoff函数的某些正则性和可积性条件下，证明了一个对偶结果。受上述工作的启发，我们在这里努力理解定价的根本原因——美式期权的套期保值二元性持有或失败，并为后一种情况下的修复提供系统的理由。我们得出了两个主要的一般结果，然后将其应用于各种特定环境，包括经典和稳健。我们的第一个洞见是，通过考虑空间的（普遍）扩大，即时间-空间产品结构，我们可以将美式期权视为欧洲期权，并恢复定价-对冲二元性，这可能会在最初的公式中失败。这可能被视为对偶（定价）问题的弱公式，并导致考虑大量停止时间。

双重问题的这种表述在精神上与Neuberger（2007）相似；霍布森和纽伯格（2017）；Bayraktar和Zhou（2016），但我们的方法导致了二元性结果，导致更一般的设置，和/或在更一般的条件下，见备注1.6和2.3小节，以及alsoHobson和Neuberger（2016）。我们的第二个主要观点是，二元性差距是由动态规划原理的失败造成的。为了恢复对偶性，在具有强停止时间的公式下，有必要且有效地考虑（0,0）（0,1）（-2,0，-0.5）q的放大-2（-1,2,0.5）q-1（1,2,0.5）q（2,0，-0.5）q（0,0）（0,1，-1/2）（-2,0，-1/2）0.5（2,0，-1/2）0.50.5（0,1,1/2）（-1,2,1/2）0.5（1,2,1/2）0.50.5图1：股票价格以常规字体书写，美式期权价格以粗体书写，欧洲期权价格以斜体书写。期权g中没有动态交易的模型在左边。具有动态交易的g模型允许恢复二元性。恢复动态一致性：考虑所有资产动态交易的市场（实际）扩展就足够了。作为一个副产品，我们发现期权的动态交易策略和经典的半静态策略在不同的情况下会导致相同的超级套期保值成本。论文第一部分第1节在一个非常普遍的离散时间框架中介绍了上述两个主要观点，该框架涵盖了经典（主导）和稳健（非主导）环境。在本文的第二部分中，我们将我们的一般结果应用于稳健框架的两个重要例子：第2节中Bouchard和Nutz（2015）的设置和Beiglb¨ock等人（2013）第3节中的鞅最优运输设置。

我们获得了合适的定价——在这两种设置中对美式期权进行套期保值。在后一种情况下的鞅最优运输，有一个完整的资产要考虑，我们使用测度值鞅优雅地描述这个设置。例0.1。我们以一个激励性的例子来结束这篇介绍，说明在存在静态交易工具的情况下，定价-套期保值二元性可能会失败，以及当允许动态交易这些工具的设置得到增强时，它是如何被恢复的。图1总结了这个例子。我们考虑一个股票价格过程由S=S=0和S驱动的两阶段模型∈ {-2.-1, 1, 2}. 美式期权过程Φ定义为Φ（{S=0}）=1，Φ（{S∈ {-2,2}=0和Φ（{S∈ {-1, 1}}) = 2. Φ的（路径）超边缘价格可以很容易地计算出来，等于2。四条可能路径空间上的概率测度P通过选择qi=P（S=i）来唯一描述≥ 0福里∈ {-2.-1,1,2}满足q+q+q-1+q-2= 1. 鞅条件等价于2q+q-Q-1.-第二季度-2= 0. 注意，只有两个停止时间大于0，τ=1和τ=2，市场模型价格作为所有停止时间τ和等式[Φτ]的所有鞅测度Q的双上确界也等于2，且两个价格一致。假设现在我们加上一个欧式期权g，它的付息为g=11{S=|1}- 1/2和初始价格0，可以用作静态对冲工具。有了g和S，Φ的超边际价格下降到3/2（例如，持有3/2现金，购买一个选项g）。在g的存在下，我们需要对鞅测度施加一个校准约束：q+q-1= 1/2. 因此，任何校准的曼廷格尔测度都可以用（q，q，q）表示-1，q-2） =（q，3/4）- 2q，2q- 1/4, 1/2 - q） 和q∈ （1/8，3/8），市场模型价格等于1。

因此，我们看到，增加无条件交易期权打破了定价-对冲二元性。现在让我们证明，当我们允许g中的动态交易时，对偶性被恢复。我们可以通过一个过程Y=（Yt:t=0，1，2）来建模，Y=g，Y=1/2，Y=-1/2在{S=|2 |}上，Y=0。注意，存在一个（唯一的）度量Q，使得S和Y都是鞅w.r.t，它们的联合自然滤波bf，特别是Q被校准，等式[g]=0。过滤BF比单独的自然过滤更丰富，并允许额外的停止时间τ=11{Y=-1/2}+211{Y=1/2}然后恢复身份。1定价——美式期权的套期保值二元性我们在本节给出了一般结果，解释了定价——美式期权的套期保值二元性何时成立以及为什么成立。我们在一个通用的离散时间设置中工作，我们现在使用这个设置。让(Ohm, F） 是一个可测空间，F:=（Fk）k=0,1，Nbe a filtrationf:=（Fk）k=0,1，N、 N在哪里∈ N是时间范围。我们用H表示一类可预测过程。我们用P表示(Ohm) 上的所有概率测度集(Ohm, F） 。我们考虑一个子集P P(Ohm). 我们会说，一个给定的属性，如果它对所有P都几乎肯定地持有P，那么它就持有P-准肯定∈ P.我们将F中的一个集合称为P-极集合，如果它是一个空集合w.r.t.所有P∈ 我们将写Q<< 如果存在P∈ P如此Q<< P.给定一个随机变量ξ和一个子σ场G F、 我们定义了条件期望EP[ξ| G]：=EP[ξ+|G]- EP[ξ-|G] 与公约∞ - ∞ = -∞, 式中ξ+：=ξ∨ 0和ξ-:= -(ξ ∧ 0). 我们考虑的是一个没有交易成本、有金融资产的市场，有些是动态交易的，有些是静态交易的。前者由一个带d的自适应Rd值过程S建模∈ N.我们认为后者是欧洲期权，在t=0时交易，但不一定在未来交易。

我们设g=（gλ）λ∈λ，其中∧是一组任意基数，是其支付的向量，假设为F-可测且R-值。在支付不变的情况下，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设所有选项gλ的初始价格为零。用H表示所有F-可预测Rd值过程的集合，用H={H∈ R∧： 有限子集β ∧s.t.hλ=0λ /∈ β}. 自我融资策略在S中动态交易，在gλ、λ中静态交易∈ ∧，因此对应于H的一个弦∈ H和H∈ h、 其相关最终收益由（h）给出o S） N+hg=dXj=1NXk=1HjkSjk+Xλ∈λhλgλ，（1.1）其中Sjk=Sjk- Sjk-1.定义了交易策略后，我们可以考虑在时间N:πEg（ξ）：=inf{x: （H，H）∈ H×H s.t.x+（Ho S） N+hg≥ ξP-q.s.}。（1.2）要求不等式保持P-q.s.，即它保持任何P的P-a.s∈ P.尤其是ifP=P(Ohm) 是F和{ω}上所有概率测度的集合∈ F表示所有ω∈ Ohm, 然后（1.2）中的超级复制将按路径打开Ohm.为了建立一个对偶关系，我们需要由有理pricingrules或鞅测度给出的对偶元素：M={Q∈ P(Ohm) : Q<< P和EQ[Sk | Fk-1] = 0, k=1。。。，N}Mg={Q∈ M:EQ[gλ]=0，λ ∈ Λ}. （1.3）定义1.1。设Υ为定义在Ohm, 我们说，如果Mg6= πEg（ξ）=supQ∈MgEQ[ξ]，ξ∈ Υ，（1.4）备注1.2。请注意，“不平等”≥ ” 在（1.4）中，被称为弱定价——套期保值二元性，从Mgin（1.3）的定义开始自动成立。许多论文，包括Bouchard和Nutz（2015）；Burzoni等人。

（2016a），证明上述定价-对冲二元性（1.4）适用于Ohm, F、 P和Υ，尤其包括适当的无套利条件。在这里，我们认为上述二元性是理所当然的，我们的目标是研究美国期权的类似二元性。由于我们的结果将适用于任何此类进一步的规范，因此我们首先在上述一般设置中工作，而不指定Υ。此外，本节中的许多抽象结果也适用于其他设置，例如连续时间交易。1.1美式期权的超级边缘美式期权可在任何时候行使∈ T:={1，··，N}（在不丧失一般性的情况下，我们排除了时间0时的运动）。它由其支付函数Φ=（Φk）1描述≤K≤N、 其中Φk：Ohm → R属于Υ，如果在k时间行使期权，则是在N时间交付的报酬。通常Φkis被认为是Fk可测量的，但这里我们仅假设Φkto是F可测量的，以获得更大的通用性，包括，例如，包含美式和欧式期权组合的情况。我们注意到，当我们对美国选择的风险敞口进行评估时，我们应该被允许调整我们的策略，以应对早期的行动。因此，采用半静态策略的美式期权Φ的超边际成本由πAg（Φ）=inf给出x:（H，…，HN）∈ HNs。t、 Hji=Hki1.≤ 我≤ J≤ K≤ N和h∈ H满足x+（香港）o S） N+hg≥ Φkk=1。。。，NP-q.s。经典地，美式期权的定价被重新描述为一个最优停止问题，（1.4）的自然扩展为πAg（Φ）=supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQ[Φτ]，（1.5），其中T（F）表示F-停止时间的集合。然而，正如引言中的simpleexample所示，这种二元性可能会失败。“数字”原因是RHSin（1.4）可能太小，因为设定值太小。