稳健定价——离散时间美式期权的套期保值对偶

我们在这里的目的是理解二元性失败的根本原因，并因此讨论如何以及为什么应该修改右手，以获得（1.5）中的平等。1.2美式期权是扩大空间上的欧式期权。本文的第一个关键思想提供了基本概率空间的一般扩大，将所有美式期权转换为欧式期权。根据具体的设置，可能需要或多或少的努力才能确定（1.4）的扩大空间，但这将困难转移回更好理解和研究的欧洲选项案例。我们的重组技术——从美国到欧洲的选择——可以很容易地推广到其他情况，比如连续时间案例。空间的扩大基于随机时间的构造，例如，在Jeanblanc和Song（2011a，b）中，研究给定生存概率下随机时间的存在性；在Karoui和Tan（2013）中，研究一般最优控制/停止问题；在Guo等人（2016a），K¨allblad等人（2015）中，研究最优Skorokhod嵌入问题。设T:={1，…，N}并引入概率空间Ohm := Ohm x T与标准时间T:Ohm → T由T（ω）：=θ给出，其中ω：=（ω，θ），过滤F:=（Fk）k=0,1，NwithFk=Fk θkandθk=σ（T∧ （k+1）），σ-场F=F θN.根据定义，T是F停止时间。我们将bth表示为一类F-可预测过程，并自然地扩展了S和gλ的定义Ohm 到Ohm 当S（ω）=S（ω）和gλ（ω）=gλ（ω）表示ω=（ω，θ）∈ Ohm. 设Υ为一类随机变量ξ：Ohm → R使得ξ（·，k）∈ Υ为了所有k∈ 我们让πEg（¨ξ）表示ξ的超复制成本。我们可以并且将把Υ与ΥNviaξ（ω）=Φθ（ω）等同起来。最后，我们介绍cep={P∈ P(Ohm) : P|Ohm∈ P} ，M={Q∈ P(Ohm) : Q<< P和EQ[Sk | Fk-1] = 0 K∈ T} ，Mg={Q∈ M:EQ[gλ]=0λ ∈ ∧}（1.6）定理1.3。

不管怎样∈ 我们有πAg（Φ）=πEg（Φ）：=inf{x: （H，H）∈ H×H s.t.x+（Ho S） N+hg≥ ξP-q.s.}。（1.7）特别是，如果欧洲定价——对冲二元性Ohm 保持Φ然后πAg（Φ）=πEg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ]。（1.8）证据。首先注意H={H=（H（·1），…，H（·N））∈ HN:Hi（·，j）=Hi（·，k）1.≤ 我≤ J≤ K≤ N} 因此，在πA和πE中用于超边缘的动态策略是相同的。现在的质量取决于观察到∈fn是P-极的当且仅当其k-截面Γk={ω：（ω，k）∈ Γ}对所有k都是P极的∈ 实际上，对于一个蕴涵，假设P（Γ）=0∈ 对于任意的P∈ P和k∈ T我们可以定义P=P δkwhichbelongs到P，因此P（Γk）=0。为了显示相反的含义，假设P（Γk）=0表示每个P∈ P和k∈ T.观察，无论如何∈ PP（Γ）=Xk∈TP（Γk×{k}）≤Xk∈总磷|Ohm（Γk）=0sinceP|Ohm∈ 这就完成了证明。备注1.4。如果定价-对冲二元性适用于w.r.t.过滤F，则任何过滤H也适用 F，使得H和F的极性集的差值仅为Mg。这种变化不会影响MG，而且可能只会降低超边缘成本，因为有更多的交易策略可用。二元性不受备注1.2的影响。备注1.5。我们注意到setMgin（1.8）或其在Ohm, 可能比Mg更大。事实上，它不是相对于F的停止时间，而是允许我们考虑任何随机时间，这些随机时间可以在一些校准的鞅测度下成为停止时间。我们可以重新表述为，MG相当于（1.5）的r.h.s.的初始问题的弱公式。

为了精确起见，让我们把弱停止项α称为集合α=Ohmα、 Fα，Qα，Fα=（Fαk）0≤K≤N、 （Sαk）0≤K≤N、 （gλ，α）λ∈∧，（Φαk）k∈T、 τα具有Ohmα、 Fα，Qα，Fα一个过滤概率空间，ταa T值Fα-停止时间，anRd值（Qα，Fα）-鞅Sα和一组随机变量gλ，α，Φαk，因此存在一个可测满射映射iα：Ohmα→ Ohm Q=Qαo 我-1α∈ 我是安迪-1α（Fk） Fαk，i-1α（F） Fα和最终LQα（Sα，gα，Φα）=LQ（S，g，Φ）。用Ag表示所有弱停止项α的集合gλ，α= 每个λ为0∈ Λ. 因此，任何α∈ a引导一个概率度量∈ Mg和EQα[Φατα]=EQ[Φ]。反过来，任何问题∈ Mg和空间(Ohm, F、 F）和（S，g，Φ），在Ag中提供了一个薄弱的术语。因此，supα∈AgEQαΦτα= supQ∈MgEQ[Φ.总之，与其他语境的数量类似，参见Pham和Zhang（2014）中的引言，弱公式（而非强公式）提供了计算问题价值的正确框架。事实上，SETMG足够大，可以使问题再次成为静态问题，或者说是欧洲问题。然而，虽然它提供了（1.5）的解决方案和修正版本，但它并不能从根本上洞察（1.5）可能失败的原因，以及扩大RHS上的对象以保持平等的最小方式是什么。这些问题将在下一节中讨论。备注1.6。Neuberger（2007年）和Hobson and Neuberger（2017年）在马尔可夫环境中研究了相同的超边缘问题，其中基本过程S在adiscrete晶格X中取值。通过考虑弱公式（这相当于我们的公式，如上面备注1.5所示），他们获得了类似的对偶结果。此外，他们只考虑Φk=φ（Sk），其中φ：Rd→ 然后作者证明了在优化问题supQ中∈（1.7）中给出的MgEQ[Φ]可以只考虑马尔可夫鞅测度。

然后，原问题和对偶问题变成了线性约束下的线性规划问题，可以用数值方法求解。他们的论点也倾向于更一般的背景，即S在R+中取值。与Neuberger（2007）相比；Hobson和Neuberger（2017），我们对弱公式的想法与他们非常相似。然而，我们的设置更一般，当考虑第2节和第3节中的特定设置时，我们依靠完全不同的参数来证明二元性。1.3动态规划原理的丧失和恢复以及美式期权的自然二元性（1.5）中的二元性是以美式期权的经典定价为模型的，它依赖于包含某种动态一致性的最优停止技术，或动态规划原理，如下所述。我们在本文中的第二个关键观察是，如果美式期权的定价-对冲二元性（1.5）失败，那是因为在t=0时引入欧洲期权g的静态交易破坏了动态规划方法，即贝尔曼最优性原则。实际上，πEg（ξ）通常会低于t=0时的超级套期保值价格，即t=1时所需资本的价格。为了恢复这种动态一致性，我们需要扩大模型，并考虑g中的动态期权交易。这将产生比F更丰富的过滤，并且根据（1.5）的精神，这将带来足够的停止时间，以获得正确的自然二元性。特别是，如果g=0（或等效∧=), 然后（1.5）应该保持不变。现在，我们首先证明这一说法，然后在g非平凡时给出必要的扩展。设Υ是一类F-可测r.v.，我们表示E（ξ）：=supQ∈MEQ[ξ]，并假设存在一个算子族Ek:Υ→ Υ代表k∈ {0，…，N- 1} 使得Ek（ξ）isFk对所有ξ都是可测量的∈ Υ.

我们说，族（Ek）提供了E ifE（ξ）=E的动态编程表示o Eo ... o EN-1(ξ) , ξ ∈ Υ. （1.9）家庭（Ek）延伸到家庭（Ek）的k∈ {0，…，N-1} 为任何ψ定义∈ Υ=ΥNbyE（ψ）（ω）：=E（ψ（·1））（ω），对于所有ω=（ω，θ），（1.10）Ek（ψ）（ω）：=（Ek（ψ（·θ））（ω）如果θ<kEk（ψ（·k））（ω）∨ Ek（ψ（·k+1））（ω）如果θ≥ k、 一个人≤ k<N.（1.11）假设f∨ f′∈ Υf，f′时∈ Υ，然后将泛函从Υ映射到Υ。让我们来介绍美式期权ψ的M-Snell包络过程∈ ΥbyEk（ψ）：=Eko ... o EN-1(Ψ). （1.12）我们说族（Ek）提供了E（ψ）：=supQ的动态规划表示∈MEQ[ψ]ifE（ψ）=E（ψ），Ψ ∈ Υ. （1.13）通常我们会认为EK是条件期望w.r.t.Fk的上确界，参见下面的示例1.10和1.11。在这些设置中，EKQ自动满足要求∈MEQ[ψ]≤E（ψ），ψ∈ Υ. （1.14）定理1.7。假设∧=, Eksatis fies（1.9），这（1.14）是真的∨ f′∈ Υ对于所有f，f′而言∈ Υ. 那么，无论如何∈ ΥN=Υ，supQ∈MEQ[Φ]=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]。（1.15）进一步说，如果欧洲定价-对冲二元性继续存在Ohm 对于类Υ，则πA（Φ）=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]。第二个论断紧随第一个论断和定理1.3之后，而第二个论断紧随命题1.8之后，命题1.8断言（1.9）和（1.14）暗示了类比一致性Ohm (1.13). 这也允许我们确定（1.15）的最佳停车时间。我们有以下代表提议1.8。假设∧= 和f∨ f′∈ Υ对于所有f，f′而言∈ Υ. 然后，动态编程表示法（1.13）成立，当且仅当（1.9）和（1.14）成立。此外，在条件（1.13）下，F-停止时间τ*（ω） ：=infnk≥ 1:Ek（Φ（·k））（ω）=Ek（Φ）（ω，k）o（1.16）为Φ提供了最佳的运动策略∈Υ：supQ∈MEQ[Φ]=supQ∈Msupτ∈T（F）EQ[Φτ]=supQ∈MEQ[Φτ*] =E（Φ）。（1.17）备注1.9。

第4节将提供命题1.8的证明。OREM 1.7和命题1.8中的结果在(Ohm, F） ，其中只有绝对多的动态交易风险资产。然而，它的证据并不依赖于风险资产的数量是确定的这一事实，如果存在确切数量的动态交易风险资产，同样的结果仍然成立。接下来我们给出两个算子（Ek）k的例子≤因此，通过命题1.8，也就是命题1.13，使（1.9）和（1.14）满意。例1.10。设P={P*}. 然后，取Υ为所有F-可测随机变量的集合，andEk（ξ）=ess supQ∈MgEQ[ξ| Fk]（1.18），其中ess sup为w.r.t.P*, 导致一系列运算符满足（1.9），（1.14），因此也满足（1.13）。有关进一步的讨论，请参阅动态一致性风险度量的文献（如Acciaio和Penner（2011）的概述）。如果我们特别假设∧= 然后，定理1.7恢复了美式期权的经典超边缘定理（参见Myneni（1992））。例1.11。让(Ohm, d） 是一个波兰空间，F为其Borelσ-fi域，P为一组给定的概率测度(Ohm, F） 。我们得到了过滤F:=（Fk）k≤确保F={, Ohm} 每个σ场都是可数生成的。为了k∈ T和ω∈ Ohm 用Mk（ω）表示由Mk（ω）给出的度量集：={Q<< P:Q（[ω]Fk）=1和等式[Sn | Fn-1] = 0 N∈ {k+1，…，N}其中[ω]Fk表示Fk的原子，其中包含ω，即[ω]Fk=\\F∈Fk：ω∈FF。（1.19）注意[ω]Fk∈ 因为后者是可数生成的。在这个设置中，我们需要（ξ）（ω）=supQ∈Mk（ω）EQ[ξ]。如果我们进一步假设Ek（ξ）∈ Υ对于任何ξ∈ Υ然后是家庭（Ek）k≤Nsatis文件（1.14），将在提案4.1中予以证明。我们将在适当的假设下证明(Ohm, F、 P）和Υ也适用于这个家族。

这尤其适用于Bouchard和Nutz（2015）的设置，如图所示，参见Bouchard和Nutz（2015）中的（4.12）。让我们考虑一下静态交易期权的情况：∧6=. 我们在示例0.1中看到，这可能会破坏动态一致性，因为交易资产的范围在时间t=0和时间t之间存在差异≥ 1.为了解决这个问题，我们必须将市场嵌入一个更大的实际市场，其中S和所有选项gλ，λ∈ ∧是动态交易的。让我们考虑一个更大的概率空间（bOhm,bF）满足以下特性。首先，存在一个满射映射i:bOhm → Ohm, 它定义了S，g和Φ的自然延伸，即S（bω）=S（i（bω）），gλ（bω）=gλ（i（bω））对所有λ的延伸∈ ∧和Φ（bω）=Φ（i（bω））。其次，存在一系列过程Y=（Yλ）λ∈∧onbOhm, 使得Yλ=0，YλN（bω）=gλ（i（bω））。让usdenote bybS=（S，Y）现在对应于动态交易的资产。我们假设有一个过滤器bF:=（bF）k=0,1，确保我-1（Fk）bFkandbS是bf适应的，让bh成为bf可预测过程的集合。最后，我们考虑以下几组可能性度量bP:={bP∈ P（b）Ohm) :英国石油公司o 我-1.∈ P}cM:={bQ<<bP:bS=（S，Y）是（bQ，bF）-鞅}。观察到鞅度量incM是通过定义校准到g中期权的市场价格。我们进一步假设映射I:cM→ MG定义byI（bQ）=bQo 我-这是满溢的。收藏（b）Ohm,bF，bF，i，Y）满足上述性质称为(Ohm, F、 F，P，S，g），简而言之就是BOhm 是对Ohm. 请注意，对于任何动态扩展BOhm 它包含slbq（S，Y）=LI（bQ）（S，YI（bQ）），其中Yλ，I（bQ）=（EQ[gλ| Fk]）k≤N.对于anybQ∈cM让I（bQ）=bQo我-1.∈ Mg。相反，从给定的Q∈ Mgwe可能会恢复其“父”度量∈厘米

我们考虑一类函数bΥonbOhm 假设ΥbΥ在这个意义上，对于f∈ Υ，f（bω）：=f（i（bω））属于tobΥ。然后，NCM和MGQ之间的对应关系产生tosupQ∈cMEQ[ξ]=supQ∈任意ξ的MgEQ[ξ]∈ Υ.正如第1.2节开头介绍的，可以在SpaceB上应用放大技术Ohm 为了得到Cm，其中一个有一个类似的等式：supQ∈cMEQ[Φ]=supQ∈任意Φ的MgEQ[Φ]∈Υ. （1.20）因为在动态扩展中（bOhm,bF，bF，i，Y）的(Ohm, F、 F，P，S，g）我们允许动态交易inbS=（S，Y）让我们介绍一类交易策略bh，这是一组bF可预测的Rb∧值过程，其中b∧={（i，S）：i∈ {1，…，d}∪ {（λ，y）：λ∈ ∧}，即bH={bH=（bHbλk:bλ∈b∧k≤N:bF可预测Rb∧值过程s.t。 有限子TB∧b∧s.t.bHbλk=0，Kbλ/∈b∧}。因此，自我融资策略对应于选择BH∈伯克希尔哈撒韦公司，并产生（伯克希尔哈撒韦）的最终收益obS）N=dXj=1NXk=1bH（j，s）kSjk+Xλ∈∧NXk=1bH（λ，y）kYλk.（1.21）注意，适当选择交易策略可确保金额是确定的。欧洲期权bξ和美国期权bψ=（bψk）k的上升成本≤诺布Ohm 由bπE（bξ）=inf{x给出：伯克希尔哈撒韦∈bH s.t.满足x+（bHob）N≥bξbP-q.s.}，bπA（bψ）=inf{x：（bH，…，bHN）∈伯恩斯。t、 bHji=bHki 1.≤ 我≤ J≤ K≤ 满足x+（bHkob）N≥bψkk=1。。。，NbP-q.s.}。备注1.12。ClearlybF比F丰富得多。除了标的资产的价格过程之外，它还捕捉了所有可能的普通期权价格过程。因此不等式bπA（Φ）≤πAg（Φ）holds，注意到买入持有策略是动态交易策略的特例，P=bPo 我-1.我们现在可以把定理1.7应用到现在的情况：推论1.13。让（b）Ohm,bF，bF，i，Y）是(Ohm, F、 F，P，S，g）与运算符bek:bΥ→bΥ（1.9）和（1.14）。

假设欧式定价——享乐二元性适用于ΥNon类Ohm. 那么无论如何∈ ΥNπAg（Φ）=bπA（Φ）=supbQ∈cMsupτ∈T（bF）EbQ[Φτ]。（1.22）证据。注意πAg≥ bπ因为买入持有策略是动态阅读策略的特例，P=bPo 我-1.使用（1.7）两次，我们得到πEg（Φ）=πAg（Φ）≥ bπA（Φ）=bπE（Φ）≥ supQ∈cMEQ[Φ]=supQ∈MgEQ[Φ]，其中倒数第二个不等式始终由注释1.2表示，最后一个等式后跟（1.20）。假设的定价——对冲二元性Ohm 这意味着我们在整个过程中是相等的，并且我们通过在B上应用定理1.7（注1.9）得出结论Ohm 代表supQ∈cMEQ[Φ]。备注1.14。请注意，如果定价–套期保值Ohm 持有然后动态或静态交易普通期权，不会对超额成本产生影响。例1.15。我们给出了一个动态扩展的例子Ohm 在许多静态交易期权的情况下，即我们假设∧={1，…，e}对于一些e∈ N.考虑概率空间Ohm = Ohm ×R（N）-1） ×e.元素bωinbOhm 可以写成bω=（ω，y），其中y=（y，…，ye）∈ R（N）-1） ×ewith yi=（yi，…，yiN）-1). 定义a映射i:bOhm → Ohm由i（bω）=ω，这显然是满射的。我们还将过程Y引入k的Yk（bω）=Yk=（Yk，…，yek）∈ {1，…，N- 1} Y（bω）=0和YN（bω）=g（bω）=g（ω）。让过滤系数bF:=（bF）k=0,1，Nbe由bfk=Fk给出 Yk，Yk=σ（Yn:n≤ k） 。在这种情况下，它也保持I:cM→ mgi（bQ）=bQo 我-1=bQ|Ohm是满射的。在第2节中，基本设置取自Bouchard和Nutz（2015），因此（1.9）保持不变Ohm 如例1.11中的RecalledBove所示，我们证明（1.9）也适用于BOhm.备注1.16。让我们考虑一下Hobson和Neuberger（2016）的两个时期（N=2）的例子，见图1.16。为了简单起见，我们只引入一个静态交易期权，在t=2时支付11{S=8}，在t=0时价格为2/5。

这已经破坏了美式期权的定价——对冲二元性。在Hobson和Neuberger（2016）中，通过考虑（校准的）鞅测度的混合来恢复对偶性。值得注意的是，他们的混合模型不过是一个鞅测度，用于动态交易的增强设置，根据推论1.13，它恢复了美式期权的动态规划和定价——对冲二元性。为了说明这一点，让Y表示选项g的价格过程：Y=2/5，Y=g。图1.16说明了amartingale测度Q以及中间价格Y，例如过程S和S是鞅。τ=11{S=1，Y=0}+211{S=1，Y=1/4}∪{S=3}我们发现等式[Φτ]=18/5，这是超级套期保值价格，二元性得到恢复。（2,2/5）（1,1,0）（0,0,0）0.5（2,0,0）0.5（4,8,1）0.4（1,1,1/4）（0,0,0）0.75（2,0,0）（4,8,1）0.250.1（3,0,3/4）（0,0,0）0.25（2,0,0）（4,8,1）0.750.5图2:onb模型Ohm 这与Hobson和Neuberger（2016）中的混合模型相对应，达到了超级套期保值价格。股票价格用常规字体书写，美国期权价格用粗体书写，欧洲期权价格用斜体书写。1.4伪停止时间根据定理1.3，我们通常希望看到πAg（Φ）=supQ∈MgEQ[Φ]≥ supQ∈Mgsupτ∈T（F）EQ[Φτ]，其中最后一个不等式可能是严格的。我们在上面展示了，这与在τ之外使用随机时间的必要性有关∈ T（F）。为了总结我们的一般结果，我们从另一个角度来探索这个性质，并确定G的子集，它导致了质量而不是上面的不等式。简介：=Q∈ P(Ohm) : Q<< P、 等式[gλ]=0，λ∈ 对于所有有界（F，Q）-鞅M，∧S是（F，Q）-鞅，EQ[MT]=EQ[M], （1.23）使S成为F-鞅，T成为F-伪停止时间的测度集。