关于带风险的保险风险模型的最优红利问题

在没有幂函数的情况下，即当w（x）=0时，我们可以对a的值进行一些数值分析*.在表1、2和3中，我们给出了a的一些值*对于不同的参数。表1 q对a的依赖性*.u = 0.3,  = 0. 02，λ=0.1，c=1q 0.025 0.03 0.04 0.05 0.06a*17.82 13.42 8.42 5.33 3.18表2u与*.q=0.05，=0.02，λ=0.1，c=1u0.25 0.30.40.50.6 1.1a*3.97 5.33 5.92 5.7 5.3 3.72表3λ对a的依赖性*.u=0.3，q=0.05，=0.02，c=1λ0.05 0.12 0.15 0.17 0.2a*4.84 5.03 4.08 3.1 1.075.2合理保费在本小节中，我们考虑p（x）=c+1/（1+x）的合理保费。可以解方程（14）并找到函数Wq。如果我们拿w≡ 然后，为了使用REM 4.6获得屏障策略的最优性，我们将使用≤ q+λ。因此，在没有惩罚函数的情况下，我们可以找到*对于不同的参数。在表4、表5和表6中，我们给出了在合理溢价的情况下的一些结果。表4 q对a的依赖性*.u=0.3，λ=0.1，c=1q 0.005 0.01 0.015 0.02a*37.03 23.98 17.16 12.77表5 q对a的依赖性*.q=0.01，λ=0.1，c=1u0.15 0.20.25 0.3a*0 23.98 22.39 20.05表6λ对a的依赖性*.q=0.01，u=0.3，c=1λ0.05 0.12 0.15 0.2 0.25a*17.73 20.55 20.8 19.16 13.29注意*似乎在线性保费和理性保费示例中都具有类似的属性。12埃瓦·马西尼亚克，兹比格纽·帕尔莫夫斯基6号职业选手。1验证定理的证明4.1证明基于v作为HJ B方程一类“受控”超解的逐点最小值的表示。

我们认为价值函数满足动态规划方程。引理6.1当x<0时，将v t扩展到负半轴v（x）=w（x）后，对于任意停止时间τ，v（x）=supπ∈πExE-qτ∧Tv（Xπτ）∧T） +Zτ∧Te-qtdLπt.接下来是对经典论点的直接改编（参见[7，第276-277页]）。我们将证明v是HJB方程的上解。引理6.2过程vπt:=e-q（t）∧ T）v（XπT∧T） +Zt∧Te-qsdLπs（17）是一致可积（UI）超鞅。任意π的证明∈ π，x≥ 0和s，t≥ s<t时为0。过程Vπ为Ft可测量，且为isUI。实际上，通过引理6.1，我们得到了[Vπt]≤ supπ∈πExE-q（t）∧ T）v（XπT∧T） +Zt∧Te-qsdLπs= v（x）。现在通过部分积分，w a的非正性和非外生破产假设V（x）≤ 前任Z∞量化宽松-QSRXSD≤ x+Z∞E-qtp（rxt）dt≤ （A+1）x+B，（18）其中（3）中给出的函数Rx满足（2）。关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，设Wπt为以下值过程：Wπs:=ess sup)∈πsJπs，Jπs:=EZT∧πe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）财政司司长, （19） πs：=π=（π，π）={Lπ，πu，u≥ 0} :π ∈ Π, Lπ，πu：=Lπu，u∈ [0，s[，Lπs+Lπu]-s（Xπs），u≥ s、 其中，Lπ（x）表示与初始资本x相对应的策略π的累积红利过程。Vπ是超鞅的事实是以下P-a.s.关系的直接结果：（a）Vπs=Wπs，（b）Wπs≥ E[Wπt|Fs]，其中Wπ是（19）中定义的过程。点（b）后面是经典参数，因为{J!πt，!π∈ 随机变量的∏t}是向上的；详见Neveu[19]和Avram等人[9，Lem.3.1（ii）]。为了证明（a），需要注意的是，由于Xπ的马尔可夫性质，它也遵循了条件on Xπs，{X∧πu- Xπs，u≥ s} 独立于Fs。

作为一个推论e，以下恒等式适用于集合{s<T!π}:ZT∧πe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）财政司司长= E-qsEXπsZTπe-qudLπu+e-qTπw（XπTπ）+Zse-qudLπs=e-qsvπ（Xπs）+Zse-qudLπu，然后我们有下面的表示：Jπs=e-q（s）∧T）vπ（Xπs）∧T） +Zs∧Te-qudLπu，它完成了对相关策略族取本质上确界的证明。14 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski我们证明了值函数v是HJB方程的解。我们将用G表示函数G的族，其中，TI:={e-q（t）∧ TI）g（Rt）∧TI），t≥ 0}，TI:=inf{t≥ 0:Rt/∈ 一} ，（20）是任何闭区间I的超鞅 [0, ∞[，诸如此类的g（x）- g（y）x- Y≥ 1代表所有x>y≥ 0，g（x）≥ 对于x<0（21）和g，w（x）通常由一些线性函数控制。引理6.3我们有v∈ G.证明采用不支付任何股息的策略，通过引理6.2，我们发现G=v的过程（20）是一个超鞅。我们将证明v（x）- v（y）≥ 十、- y代表所有x>y≥ 0.设x>y，对于xπ=y的情况，用π（y）表示一个-最优策略。然后我们采用支付x的策略- y立即并随后遵循策略π（y）（注意，这样的策略是可接受的），因此以下情况成立：v（x）≥ 十、- y+vπ（y）≥ v（y）- +x- y、 由于该不等式适用于任何>0的情况，因此规定的下限如下。v由某些函数的线性控制遵循m（18）。现在我们给出了闭区间I上的值函数的对偶表示。假设hi是一个函数族k，对于它，πt:=e-q（t）∧ τπI）k（Xπt∧τπI）+Zt∧τπIe-剩余相依保费保险风险模型最优红利问题的qsdLπs（22）是τπI:=inf{t的一个UI超鞅≥ 0:Xπt/∈ 一} andk（x）≥ v（x）代表x/∈ I.Thenv（x）=水貂∈HIk（x）代表x∈ I.（23）的确，le tπ∈ π，k∈ HIand x∈ 我

然后将可选停止定理应用于UI Dynkinmartingale yieldsk（x）≥ 极限→∞前任E-q（τπI）∧t） k（XπτπI）∧t） +ZτπI∧te-qsdLπ（s）≥ 前任E-qτπIv（XπτπI）+ZτπIe-qsdLπ（s）,大会在哪里举行{-∞} = 使用0。在所有π上取上确界∈ πk（x）是怎样的≥ v（x）。自从k∈ 他是武断的，这就是INFK∈HIk（x）≥ v（x）。这个不等式实际上是一个等式，因为v是HIby引理6.2的成员。价值函数是验证定理4.1的一个更重要的表示形式。建议6.1我们有v（x）=ming∈Gg（x）。（24）自v.以来的证据∈ 根据引理6.3，由（23）证明 H[0，∞这个事实的证明类似于移位引理的证明[9，Lem.5.5]。为了完整性，我们给出了ma脚背。固定套利y g∈ G、 π∈ π和s，t≥ 注意，fmg，π是由引理6.2证明中的线性增长条件和参数以及[9，第8节]调整和使用的。此外，16个Ewa Marciniak、Zbignew Palmowski的等式都是正确的：EfMg，πt财政司司长∧T（a） =林→∞EfMg，πnt财政司司长∧T（b）≤ 画→∞fMg，πns∧T（c）=fMg，πs∧T（d）=fMg，πs，其中序列（πn）n∈Nof策略由πn={Lπnt，t定义≥ 0}带Lπn=Lπ和Lπnu：=sup{Lπv:v<u，v∈ Tn}，0<u<T，LπnT-, U≥ T、 Tn:=tk:=s+（t- s） kn，k∈ Z∪ {0}∩ R+，其中上述T是针对策略π计算的。由于s和t是任意的，因此，fMg，π是超鞅，这将完成证明。点（a）、（c）和（d）遵循单调收敛和支配收敛定理。

为了证明（b），让Ti:=T∧ ti，表示fmg，πn=M，Lπn=L，并观察- Ms=nXi=1Yi+nXi=1Zi，其中yi=e-qTigXTi-- E-qTi-1g（XTi）-1） ，Zi:=e-qTi（g（XTi）- g（XTi）-) + LTi）我{LTi>0}。R的强Markov性质与Xπ内隐[Yi | FTi]的定义-1] =e-qTi-1EE-q（Ti）-钛-1） g（XTi）-) - g（XTi）-1)FTi-1.= E-qTi-1EXTi-1[e]-qτig（Rτi）- g（R）]，（25），其中τi:=Tio θTi-1，其中θ表示移位运算符。（25）的右侧是非正的，因为∈ G.此外，从（21）可以看出，所有的Zi都是非正的。具有条件经验的剩余相依保费17的保险风险模型的最优红利问题的塔性质[Mt]- Ms | Fs]≤ 这建立了不等式（b），证明是完整的。验证定理4.1的证明。由于vπ是绝对连续的，并且由一个函数控制，因此vπ在R的完全生成元的域中。这意味着过程vπ（Rt∧TI）e-Rt∧TIAvπ（Rs）vπ（Rs）ds是任意闭区间I的鞅∈ [0, ∞由（9）可知vπ∈ G、 这就完成了屋顶。6.2引理的证明4.1取任意x≥ 0.然后fix a>0，使得x<a。根据（7）中给出的wq定义，在第一次索赔到达时间σ的条件下，我们得到wq（x）=e-（λ+q）hWq（rxh）+λZhZrxtWq（rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，（26）对于足够小的h，使得rxh<a.作为h↓ 0我们发现WQI在x处是连续的。此外，重新排列（26）中的项会导致toWq（rxh）- Wq（x）rxh- x=1- E-（λ+q）hhhrxh- xWq（rxh）-hrxh- xλhZhZrxtWq（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们得出结论，WQI的右可微性与导数ew′q，+（x）=p（x）（λ+q）Wq（x）- λZxWq（x- z） dF（z）. （27）18 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiNow取任意x>0。方程（26）可以改写为Wq（~rx）=e-（λ+q）hWq（x）+λZhZ~rxtWq（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，式中rxis是向后方程drxt=p（rxs）ds，~rxh=x的解。

我们把h取得足够小，所以≥ 因此我们得到了左连续性和wq（x）- Wq（~rx）x- ~rx=1- E-（λ+q）hhx- ~rxWq（x）-hx- ~rxλhZhZ~rxtWq（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们看到WQI与导数ew′q是可微分的，-（x） =p（x）（λ+q）Wq（x）- λZx-Wq（x）- z） dF（z）. （28）由于F是绝对连续的，（27）和（28）意味着WQI持续可区分和可满足（14）。使用相同的论据和定义（8），我们可以证明函数Gq是连续可微分和可满足的（15）。这就完成了证明。6.3关于势垒策略的值函数，注意，对于势垒策略，直到第一次击中势垒a，受调节的过程Xπ与过程R类似。通过PDMP RTA的强马尔可夫性，对于X为（7）∈ [0，a]我们有va（x）=Wq（x）Wq（a）va（a）+ExE-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<τ+a}.此外，我们再次证明了强马尔可夫性，我们可以导出E-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<τ+a}= Gq，w（x）- Gq，w（a）Wq（x）Wq（a）。亨塞瓦（x）=Wq（x）Wq（a）（va（a）- Gq，w（a））+Gq，w（x）。（29）关于具有剩余相依保费19的保险风险模型的最优红利问题，我们将证明v′a（a）=1，（30），定理4.2的断言紧随其后。注意，对于障碍策略y a，我们有va（x）=x- a+va（a）表示x>a.（31）取任意a>0和x∈ [0，a[.根据（6）和固定a中对vagiven的定义，以首次索赔到达时间σ为条件，我们得出Va（x）=e-（λ+q）hva（rxh）+λZhZrxtva（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+λZhZ∞rxtw（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，（32），其中h足够小（因此rxh∈]0，a[）。让h↓ 0我们发现VAI在所有x上都是右连续的∈ [0，a[。

此外，重新排列（32）中的术语会导致Va（rxh）- va（x）rxh- x=1- E-（λ+q）hhhrxh- xva（rxh）-hrxh- xλhZhZrxtva（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+hrxh- xλhZhZ∞rxtw（rxt- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 我们得出结论，Vai在[0，a]上是右可微的，导数满足p（x）v′a，+（x）=（λ+q）va（x）- λZxva（x- z） dF（z）- λZ∞xw（x- z） dF（z）。（33）现在取任意一个x∈]0，a]。方程（32）可以重写为asva（~rx）=e-（λ+q）hva（x）+λZhZ~rxtva（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+λZhZ∞~rxtw（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt，20 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski，其中rxis是后向方程drxt=p（rxs）ds，rxh=x的解。我们把h取得足够小，所以rx≥ 因此我们得到[0，a]和va（x）的左连续性- va（~rxh）x- ~rxh=1- E-（λ+q）hhx- ~rxhva（~rxh）-hx- ~rxhλhZhZ~rxtva（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt+hx- ~rxhλhZhZ∞~rxtw（~rxt）- z） dF（z）e-（λ+q）tdt。让h↓ 0我们推断vais在[0，a]上是可微的，有导数ep（x）v′a，-（x） =（λ+q）va（x）- λZx-va（x）- z） dF（z）- λZ∞十、-w（x）- z） dF（z）。（34）在假设F是绝对连续的情况下，函数va在[0，a]上是可微分的。[现在我们将证明它在x=a时是可微分的。取x=a。然后从va的定义出发，对于x=a，以我们获得的第一次索赔到达时间va（a）=e为条件-（q+λ）hva（a）+e-λhZhe-qtp（a）dt+λZhZava（a）- z） dF（z）e-（q+λ）tdt+λZhZ∞啊（a）- z） dF（z）e-（q+λ）tdt+λp（a）ZhZte-qse-λtds dt。（35）区分（35）分辨率为h，设置h=0 g ives0=-（λ+q）va（a）+λZav（a）- z） dF（z）+λz∞啊（a）- z） dF（z）+p（a）。（36）通过在（34）中设置x=a，并使用（36）得到v′a，-（a） =1。这与（31）一起证明了a和（30）处的vahasa导数成立。6.4障碍策略最优性的必要和充分条件证明定理4.3的证明。为了证明效率，我们需要证明va*满足验证定理4.1的条件。

从定理4.2可以看出*最终是线性的。此外，通过选择最佳屏障a*我们知道v\'a*（十）≥ 1.最后，通过定义wqa和Gq，讨论了具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，并证明了风险过程R的强马尔可夫性质-q（t）∧ T）Wq（Rt）∧T∧τ+a*), E-q（t）∧ T）Gq，w（Rt）∧T） 是鞅。亨西-q（t）∧ T）弗吉尼亚州*（Rt）∧T∧τ+a*)这是一杯马丁酒。这意味着弗吉尼亚*在退出[0，a]时停止的R的完整ge发电机的域中*] 那（A）- q） 弗吉尼亚州*（x） =0代表x≤ A.*.为了证明必要性，我们假设函数X 7的连续性不满足条件（12）→ （A）- q） 弗吉尼亚州*（x） 存在一个开且有界的区间J]A.*, ∞例如：（A）- q） 弗吉尼亚州*（x） >0表示所有x∈ J.如果储备过程sxπ取J中的一个值，则设π为不支付任何费用的策略，并遵循策略πa*否则如果我们延长va*到负半轴*（x） =w（x）当x<0时，我们有vπ（x）=例如-qTJva*（RTJ）]，x∈ J、 弗吉尼亚州*（x） ，x 6∈ J、 其中TJI由（20）定义。通过应用于过程e的可选停止定理-qtva*（Rt），对于所有x∈ J、 我们得到vπ（x）=Ex[e-qTJva*（RTJ）]=va*（x） +前ZTJ（A）- q） 弗吉尼亚州*（Rs）ds> 弗吉尼亚州*（x） 。这导致了与s策略πa的最优性相矛盾*证据是完整的。定理4.4的证明。在第一步中，我们将展示Limy↑x（A）- q） （弗吉尼亚州）*- vx）（y）≤ 0表示所有x>a*. （37）22 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiLet x>a*. 利用支配收敛定理，我们得到↑x（A）- q） （弗吉尼亚州）*- vx）（y）=p（x）（v′a*- v′x）（x）- q（va）*- vx）（x）+Z∞[（弗吉尼亚州）*- vx）（x- z）- （弗吉尼亚州）*- vx）（x）]λF（dz）。到（10）时，我们有：i.（v′a）*- v′x）（x）=0。二、（v′a*- v′x（b）=W′q（b）H′q（a）*) - H′q（x）≥ 0代表b∈ [0，a]*] 通过定义*.iii.（v′a）*- v′x（u）=W′q（u）H′q（u）- H′q（x）≥ 0代表你∈ [a]*, x] 根据假设（13）。四、

（弗吉尼亚州）*- vx）（a）*) ≥ 0，因此由iii（va）得出*- vx）（x）≥ 0.v.（弗吉尼亚州）*- vx）（x- z）≤ （弗吉尼亚州）*- vx）（x）代表所有z≥ 由ii和iii得出的0。因此，我们已经展示了（37）。现在假设（12）不成立。然后存在x>a*以致于- q） 弗吉尼亚州*（x） >0。通过（A）的连续性- q） 弗吉尼亚州*我们推断出limy↑x（A）- q） vx（y）>0，这与（37）相矛盾。定理4.5的证明。根据定理4.3，证明va的最优性*我们需要验证g（x）≤ 0代表x>a*, 式中g（x）：=Ava*（十）- qva*（x） 。（38）回想一下G（x+a）*) = p（x+a）*) - qva*（a）*) - qx+λZ∞（弗吉尼亚州）*（x+a）*- y）- 弗吉尼亚州*（x+a）*))f（y）dy.一旦验证了以下三个事实，期望的断言就会出现：（i）g在R+\\{0}上是凹的，（ii）g（a）*) = 0和（iii）g′（a）*) = 0.关于剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，证明（i）对于所有x，g（x）=0≤ A.*（见第4.3款的证明）。此外，表示k（x，y）：=va*（x+a）*- y）- 弗吉尼亚州*（x+a）*) 注意到xk（x，y）=yk（x，y），我们有xZ∞k（x，y）f（y）dy=Z∞yk（x，y）f（y）dy=yk（x，y）f（y）|∞- k（x，y）|∞+Z∞k（x，y）f′（y）dy≤ 自弗吉尼亚州以来*（x+a）*- y）- vx+a*（a）*) ≤ 0，f′（y）≥ 0,yk（x，0）=v′a*（x+a*) = 1和f（0）=0。第（ii）点很简单，第（iii）点来自于任意x<a的g′（x）=0这一事实*g是连续可微分的。定理4.6的证明。让g定义为（38）。回想一下，通过定义*我们有g（a）*) = 0.对于x≥ A.*我们有g′（x）=p′（x）+λZxva*（y） f′（x）- y） dy- （q+λ）。注意，在w的情况下≡ 0，vx≥ 0代表所有x≥ 因此，假设g′（x）≤ 0代表x≥ 0和定理4.3策略πa*这是最优的。7结论在本文中，我们解决了破产时带有惩罚函数的红利问题。我们发现了一些使屏障策略达到最优的充分条件和必要条件。不幸的是，其中一些，如（12）和（13），可能很难验证。

此外，我们只分析了d单障碍策略。因此，可以考虑“多波段战略”（见[9]）。考虑增加支付股息时必须支付的固定交易成本的影响也很有趣。下一步，我们有理由研究所谓的“双重模型”，即负溢价函数和正跳跃。在这种模型中，保费被视为成本，索赔被视为利润。这种模型可能适用于专门从事发明和发现的公司（见[20]）。然而，我们将这些观点留给未来的研究。24 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowskia承认这项工作部分得到了国家科学中心2013/09/B/ST1/01778号拨款的支持。第二作者衷心感谢第七届欧洲共同体框架计划中的玛丽·居里·伊尔斯研究金项目REVER-318984的部分支持。参考文献1。德费内蒂，B.，苏恩·恩帕塔齐奥·德拉特奥里亚·科莱蒂瓦·德尔里希奥，Trans。实习医生。《国会法案》，2433–443（1957）2。《最优股息：布朗运动分析》，北美精算杂志，8，1-20，（2004）3。Jeanblanc，M.和Shiryaev，A.N.，股息流动的优化，俄罗斯数学。调查，50257-277（1995）4。Irb–ack，J.，《具有高红利壁垒的风险过程的渐近理论》，Scand。精算杂志，297-118（2003）5。Zhou，X.，关于具有恒定股息壁垒的经典风险模型，北美精算杂志，9,1–14（2005）6。Asmussen，S.，Hojgaard，B.和Taksar，M.，最优风险控制和股息分配政策。保险公司Finance Stoch的超额损失再保险示例。，4, 299–324 (2000)7. 阿兹库，P。