关于带风险的保险风险模型的最优红利问题

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英文标题：
《On the Optimal Dividend Problem for Insurance Risk Models with
  Surplus-Dependent Premiums》
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作者：
Ewa Marciniak and Zbigniew Palmowski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper concerns an optimal dividend distribution problem for an insurance company with surplus-dependent premium. In the absence of dividend payments, such a risk process is a particular case of so-called piecewise deterministic Markov processes. The control mechanism chooses the size of dividend payments. The objective consists in maximazing the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the time of ruin and a penalty payment at the time of ruin, which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. We identify the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and find necessary and sufficient conditions for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of particular Gerber-Shiu functions. A number of concrete examples are analyzed.
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中文摘要：
本文研究了一类保险公司的最优股利分配问题。在没有股息支付的情况下，这种风险过程是所谓的分段确定性马尔可夫过程的特例。控制机制选择股息支付的规模。目标在于使破产前收到的预期累计贴现股息支付和破产时的罚金支付之和最大化，这是破产时短缺规模的递增函数。给出了相应的随机控制问题的完整解。我们确定了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并根据特定的Gerber-Shiu函数，找到了单红利带策略最优性的充分必要条件。分析了若干具体实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> On_the_Optimal_Dividend_Problem_for_Insurance_Risk_Models_with_Surplus-Dependent.pdf (239.61 KB)

2022-5-11 06:03:08 上传

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关键词：风险模型 Optimization Quantitative distribution performance

Noname手稿第号（将由编辑插入）关于具有额外相依保费的保险风险模型的最优红利问题Marciniak·Zbignie w PalmowskiReceived:date/Accepted:date摘要本文研究了具有剩余相依保费的保险公司的最优红利分配问题。在没有股息支付的情况下，这种风险过程是所谓的分段确定性马尔可夫过程的特例。控制机制选择股息支付的规模。目标在于最大化破产前收到的预期累计预期股息支付和破产时的罚款支付之和，这是破产时短缺规模的一个递增函数。对相应的随机控制问题给出了一个完整的解。我们确定了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并根据特定的Gerber-Shiu函数，找到了单红利带策略最优性的必要和充分条件。分析了若干具体实例。关键词最优策略 PDMP 障碍策略 积分微分HJB方程Gerber-Shiu函数 随机控制数学学科i类职位（2010）60G51、60G50、60K25、93E20Ewa Marciniakah科学技术大学克拉科夫PolandZbigniew Palmowski，相应作者Wroc LawRoc law大学，PolandE邮件：zbigniew。palmowski@gmail.com2Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski1引言在经典的集体风险理论中，保险公司的盈余是由Cram’erLundberg模型描述的。

在单位时间保费收入大于平均索赔额的假设下，克拉姆-隆伯格模型中的盈余具有正的第一时刻，因此具有不现实的性质，即它以概率1收敛。为了回应这一反对意见，德·费内蒂[1]引入了股息壁垒模型，在该模型中，所有高于a级的额外收益都被转移到了一个收益中，并提出了优化这一壁垒的问题。在数学金融和精算文献中，有大量关于分割障碍模型的工作，以及寻找支付股息的最优政策的问题。Gerber和Shiu[2]以及Jeanblanc和Shiryaev[3]考虑了布朗环境下的最优红利问题。Irb–ack[4]和Zhou[5]的研究一直存在障碍。Asmussen等人[6]在不同的背景下调查超额损失再保险和股息分配政策。Azcue和Muler[7]采用粘性方法，使用HamiltonJacobi-Be-llman（HJB）方程组，在Cram＠er-Lundberg模型中研究最优再保险和股息政策。Avram等人[8,9]、Kyprianou和Palmowski[11]、Loe ff en[12,13]、Loe ff en和Renaud[14]以及许多其他作者从概率的角度分析了Levy风险过程的设置。在本文中，我们将使用分段确定马尔可夫过程（PDMP）的理论来研究储备相关风险过程的红利问题。我们还考虑了破产的“严重性”，因此我们考虑了所谓的Gerber-Shiu惩罚函数（参见Schmidli[15]或Avram等人[9]及其参考文献）。对于这种设置，在没有交易成本的情况下，我们找到了正确的HJB系统。我们分析了障碍策略，对于该策略，超过给定水平的所有盈余都被转移到股息中。

特别是，我们发现了障碍策略优化的必要条件和充分条件。我们认为，PDMP模型可以更好地描述保险公司的情况，因为例如，他们可以将盈余投资到固定利率的债券中。这种情况由具有线性溢价的PDMP模型描述（见[10]）。关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，本文组织如下。在第2节中，我们将介绍基本符号，并描述我们处理的模型。第三部分专门讨论相关的单边和双边问题。在第4节中，我们给出了验证定理，以及屏障策略达到最优的必要条件和充分条件。在第6节中，我们给出了所有的证明。第5节和第7节介绍了一些例子和结论。2在本文中，我们假设初始资本为x的保险公司（不支付股息）的盈余R由以下微分方程描述：Rt=x+Ztp（Rs）ds-N（t）Xk=1Ck，（1）其中p是给定的确定性正溢价函数，{Ck}∞i=1是一系列i.i.d.正态变量，其中d.f.代表索赔，N是一个独立的泊松过程，强度λ模拟索赔发生的时间。我们假设→ ∞ a、 美国、欧盟∞ 对于一般索赔C，保险费率p是单调的、绝对连续的，并且满足以下“速度条件”：Z∞E-qtp（rxt）dt≤ 对于某些常数A，B，Ax+B（2）≥ 0和一个函数rx，使方程rxt=x+Ztp（rxs）ds满意。（3） 请注意，RxD描述了R的确定轨迹，沿该轨迹没有出现任何声明。备注2.1常数和线性保费函数满足上述假设。

对于恒常极值函数，我们得到了经典的克拉姆-伦德伯格模型。4 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowskit为了研究红利问题，我们考虑了满足以下随机微分方程的调节风险过程：Xπt=X+Ztp（Xπs）ds-N（t）Xk=1Ck- Lπt，（4）其中π表示从所有“可接受”股息控制的∏类中选择的策略，导致截至时间t的累计股息金额Lπt。请注意，破产可能是外生的，也可能是内生的（即，由索赔或股息支付引起）。如果破产总是外生的，或者更准确地说，是一个可容许的红利策略Lπ={Lπt，t，则红利策略y是可容许的∈ R+}是一个完全连续的随机过程，它适应于满足通常条件的风险过程R的自然过滤，因此，在破产纪元之前的任何时候，股息支付都小于可用准备金的规模（Lπt- Lπt-< Xπt-).利息对象是截至破产时间的贴现累计股息：D（π）：=ZTπe-qtdLπt，其中tπ：=inf{t≥ 0:Xπt<0}是破产时间和q≥ 0是给定的折扣率。注意，unlessit是必要的，我们将写T而不是Tπ来简化符号。目标是最大化eexd（π），其中Exis是关于Px（·）=P（·| Xπ=X）的期望。

我们将使用符号P=P和E=E。为了考虑破产的“严重性”，我们还考虑了所谓的Ger ber Shiu惩罚函数[E]-qTw（XπT）I{T<∞}]对于满足可积条件的一般非正惩罚函数≥0E[-w（y）- C） |C>y]<∞.请注意，对于q=0和w=-1我们推导了破产概率。关于具有剩余相依保费5的保险风险模型的最优红利问题，红利问题包括找到由v（x）：=supπ给出的所谓价值函数v∈其中vπ（x）：=Ex中兴通讯-qtdLπt+e-qTw（XπT）I{T<∞}（6） 以及最优策略π*∈ 使v（x）=vπ*（x） 为了所有的x≥ 0.3准备对于红利问题的解决，两个函数WQ和Gq，w是至关重要的。它们与R:Exhe的双边和单边退出问题有关-qτ+aI{τ+a<τ-}i=Wq（x）Wq（a），（7）Gq，w（x）：=Exhe-qτ-w（Rτ）-)I{τ-<∞}i、 （8）其中x∈]0，a[，τ+a:=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和τ-:= inf{t≥ 0:Rt<0}。从现在开始，我们将假设函数Wq的存在性，例如，它遵循以下极限的存在性：Wq（x）=limy→∞例如-qτ+yI{τ+y<τ-}]/E[E]-qτ+yI{τ+y<τ-}].

实际上，利用只有负跳跃的强马尔可夫性质，我们推导出wq（x）=limy→∞告密-qτ+aI{τ+a<τ-}哎呀-qτ+aI{τ+y<τ-}耶-qτ+yI{τ+y<τ-}i=Exhe-qτ+aI{τ+a<τ-}iWq（a），它给出了所需的标识（7）。关于Gq函数的性质，请读者参考[18]，其中研究了许多例子。6 Ewa Marciniak，Zbigniew Palmowski4主要结果为了证明dividendproblem（5）的所有可容许策略∏中一个特定策略∏的最优性，我们考虑以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）系统：max{Am（x）- qm（x），1- m′（x）}≤ 0表示所有x>0，m（x）=w（x）表示所有x<0，（9）其中A是r的完整生成器，Am（x）=p（x）m′（x）+λZ∞（m（x）- y）- m（x））dF（y），作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（Rσi）- m（Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0，其中{σi}i∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[16]和Rolski等人[17]）。在这种情况下，m′表示m的密度。请注意，任何绝对连续且最终由一个函数支配的函数都在完整生成器a的域中，这是假设EC<∞. 回想一下，对于A域中的任何函数m，pro c essE-qtm（Rt）-中兴通讯-qs（A）- q） m（Rs）ds，t≥ 0这是一个鞅。定理4.1（验证定理）假设π是一个可容许的红利策略，使得vπ是绝对连续的，最终由某个函数控制。

如果（9）对vπ成立，那么vπ（x）=v（x）对所有x成立≥ 这里给出的所有定理的证明将在第6节给出。引理4.1假设索赔额的分布函数（d.f.）f是绝对连续的。那么函数wqa和Gq对于所有x都是连续可差的≥ 0.关于具有剩余相依保费的保险风险模型的最优红利问题，从现在起，我们假设索赔额分布是密度为f的绝对连续的。我们将重点讨论所谓的壁垒政策π，即将高于给定a级的所有盈余转移到不同地区。定理4.2我们haveva（x）：=vπa（x）=Wq（x）W′q（a）（1）- G′q，w（a））+Gq，w（x），x≤ a、 x- a+va（a），x>a.（10）此外，对于所有x，VAI都是连续可微的≥ 0.LetH′q（y）：=1- G′q，w（y）w′q（y）。现在确定最佳股息基础bya的候选人*:= 啜饮A.≥ 0:H′q（a）≥ 所有x的H′q（x）≥ 0, （11） 其中H′q（0）=limx↓0H′q（x）。最后，利用上述两个定理，我们可以给出barr-ier策略最优的必要和充分条件。定理4.3势垒策略下的值函数πa*在全世代的范围内。壁垒政策πa*是最优的和va*（x） =v（x）表示所有x≥ 0当且仅当（A）- q） 弗吉尼亚州*（十）≤ 0表示所有x>a*. （12） 定理4.4假设H′q（a）≥ H′q（b）表示所有a*≤ A.≤ b、 （13）然后是在一个*是最优的，即v（x）=va*（x） 为了所有的x≥ 0.8 Ewa Marciniak，Zbigniew PalmowskiTheorem 4.5假设f是凸的，p是凹的。然后在一个*是最优的，即v（x）=va*（x） 为了所有的x≥ 定理4.6考虑没有罚函数（w）的问题≡ 0). 假设f是递减的，p′（x）≤ q+λ，x≥ A.*,其中p′是保险费率p的密度。

然后在一个*是最优的，即v（x）=va*（x） 为了所有的x≥ 0.5示例在本节中，我们将假设溢价函数p是可微分的，并且一般索赔规模是具有有理拉普拉斯变换的密度f。也就是说，存在m∈ N和常数{βi}m-1i=0，使密度f满足以下矿脉：Lddyf（y）=0，初始条件为f（k）（0）=0（k=0，…，m- 2） 式中，l（x）=xm+βm-1xm-1+ · · · + β.注意，根据定理4.5，如果我们取p凹，那么对于指数级的laim大小，势垒策略是最优的（在这种情况下，L（x）=x+u）。根据引理4.1及其证明，如果索赔规模分布是绝对连续的，那么Wq，Gq，wand va*是可区分的，并且对于x是可满足的wq（x）=qWq（x）≥ 0，Wq（x）=0表示x<0，（14）andAGq，w（x）=qGq，w（x）表示x≥ 0，Gq，w（x）=w（x）表示x<0。（15） 关于具有剩余相关保费的保险风险模型的最优红利问题9，我们的目标是找到几个保费函数示例的价值函数v。Gerber-Shiufunction Gq，WWA在Albrecher等人[18]中确定。我们可以证明，如果Gq，wis是可微的，那么实际上Gq，w∈ 厘米+1（见[17]）。Wq也是如此。Albr echer等人[18]证明，Gq，wsatis通过m+1阶可变系数确定了以下矿脉：TGq，w（x）=u（x）（16），使用不同的运算符：ddxQ- p（x）ddx+λ- λβ和右手边u（x）：=λLddxω（x），其中ω（x）：=R∞xw（x- z） dF（z）。一般来说，求解上述方程的主要思想是找到（16）的基本系统的稳定解Sk（即在单位消失的解），然后使用表示式Gq，w（x）=γs（x）+···+γmsm（x）+Gu（x），其中G是格林算子，常数γ可以从初始条件计算得出。此外，格林算子的形式见[18，Thm]。

3.4].如果索赔金额呈指数分布且强度为u，则我们可以证明Gq、Wsolvest的ODE如下：ddu+u+p′（x）p（x）-λ+qp（x）ddu-qup（x）Gq，w（x）=u（x），其中u（x）=-λp（x）（ddu+u）ω（x）。这让我们可以明确地找到Gq。此外，请注意（14）是一个Gerber-Shiu函数，带有z-ero惩罚函数。与（7）中的theone不同，我们现在有limx→∞Wq（x）=+∞. 这意味着，在10 Ewa Marciniak、Zbigniew Palmowskimild条件下的最优值函数是两个Ge-rber-Shiu函数的线性组合：一个不稳定的函数在负半直线上消失，并趋于一致（对应于股息支付，Wqinour符号），另一个稳定的函数，最终消失（对应于罚金支付、Gq、winour符号）。从[18]我们知道Wqequals是（16）基本系统的不稳定解。可以证明存在唯一的不稳定解（详见[18]）。在本节的其余部分中，我们将假设索赔规模具有指数分布，强度为u.5.1线性PremiumWe ta ke这里p（x）=c+x。根据定理4.5，在*这是最优的。在这种情况下（x）=Uq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux）和gu（x）=Γ（q/+1）Γ（（q+λ）/（1+））u（λ+q）/（x+c）（λ+q）/exp(-ux-uc）×- U（x）ZxM（v）U（v）dv- M（x）Z∞xU（v）u（v）dv+M（0）u（0）u（x）Z∞U（v）U（v）dv,其中U（U）和M（U）是Kummer函数。这就给出了q，w（x）=s（x）+Gu（x）代表u（x）=-λp（x）（ddu+u）ω（x）。此外，Wq（x）=CMq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux）+CUq+1，λ+q+1，ux+uc（x+c）（λ+q）/exp(-ux），由边界条件Wq（0）=1和W′q（0）=（λ+q）/c确定c。关于具有剩余相依保费11的保险风险模型的最优红利问题，因此我们可以找到最优屏障a*通过求解H′q（a*) = 0