脉冲控制下的非零和随机微分对策

对于第二个任期，让我们考虑任何k∈ N和ω∈ Ohm τ1，k（ω）<τS（ω）。通过（3.3b）和MVin（3.2）的定义，我们已经X（τ1，k）-≥ MVX（τ1，k）-= supδ∈Z五、ΓX（τ1，k）-, δ+ φX（τ1，k）-, δ≥ 五、ΓX（τ1，k）-, δ1，k+ φX（τ1，k）-, δ1，k= 五、Xτ1，k+ φX（τ1，k）-, δ1，k. （3.13）至于第三个任期，让我们考虑任何k∈ N和ω∈ Ohm τ2，k（ω）<τS（ω）。到（3.8华氏度）我们已经（毫伏）-V）X（τ2，k）-= 0; 因此，（3.3c）中的条件、HVin（3.2）的定义和δ2，kin（3.8d）的表达暗示着X（τ2，k）-= 高压X（τ2，k）-= 五、ΓX（τ2，k）-, δX（τ2，k）-)+ ψX（τ2，k）-, δX（τ2，k）-)= 五、ΓX（τ2，k）-, δ2，k+ ψX（τ2，k）-, δ2，k= 五、Xτ2，k+ ψX（τ2，k）-, δ2，k. （3.14）由（3.11）和（3.12）-（3.14）中的估计值得出≥ 前任Zτr，`e-ρsf（Xs）ds+Xτ1，k<τr，`e-ρτ1，kφX（τ1，k）-, δ1，k+Xτ2，k<τr，`e-ρτ2，kψX（τ2，k）-, δ2，k+ E-ρτr，`VX（τr，`）-.由于（2.7），（2.8）中的条件和Vin（ii）的多项式增长，我们现在使用优势收敛定理并传递到极限，首先是r→ ∞ 然后作为`→ ∞, 所以停止时间τr，`收敛到τSby（2.9）。特别地，对于第四项，我们注意到通过（ii）和（2.8）我们有v（X（τr，`）-) ≤ C（1+| X（τr，`）-|p）≤ C（1+kXkp）∞) ∈ L(Ohm), （3.15）对于合适的常数C>0和p∈ N在τS<∞ 在τS=∞ （作为（2.8）的直接结果，我们有kXkp∞< ∞ a、 美国）。因此，我们最终得到v（x）≥ 前任ZτSe-ρsf（Xs）ds+Xτ1，k<τSe-ρτ1，kφX（τ1，k）-, δ1，k+Xτ2，k<τSe-ρτ2，kψX（τ2，k）-, δ2，k+ E-ρτSh（XτS）{τS<+∞}= J（x；k，а）*).第2步：V（x）=J（x；~n*, φ*).

我们在第1步中进行了讨论，但这里所有的不等式都是由φ的性质决定的等式*.正如在备注3.1中已经注意到的，我们强调，与单人脉冲控制问题不同，在我们的验证定理中，候选人不需要在任何地方都是两次可微的。例如，考虑玩家1的情况：就像在证明中一样，我们总是考虑形式为（ν，ν）的策略对*), 到（3.8b）时，受控过程永远不会从D={MV退出-V<0}，这是唯一一个函数V需要（几乎所有地方）两次微分才能应用^o公式的区域。在本节结束时，我们将考虑如何典型地使用上述定理。首先，在解决QVIs系统时，我们将处理仅在典型情况下定义的功能，这将在下一节中明确。然后，VerificationTheorem中的正则性假设将为我们提供合适的平滑粘贴条件，从而形成一个代数方程组。如果正则性条件太强，系统的方程比参数多，使得定理的应用更加困难。因此，在说明验证定理时，一个关键点是设置正则性条件，给出一个可解的方程组。在第四节中，我们展示了在一维脉冲博弈的例子中，正则性条件实际上导致了一个适定代数系统。4可解一维脉冲博弈的例子在第4.1-4.4节中，我们将验证定理3.3应用于脉冲博弈，其中一维状态变量由（标度）布朗运动建模，这可能是由于两个具有线性支付的参与者的干预而改变的。我们为这种博弈找到了一系列纳什均衡，并为支付函数和最优策略提供了明确的表达式。

在第4.5节中，我们将求解程序改编为另外两个例子系列，分别是立方付息和线性付息和立方付息，在这两个例子中，可以通过数值方式找到解决方案。4.1问题的表述我们考虑一个一维实过程X和两个目标相反的参与者：参与者1更喜欢过程X的高值，而参与者2的目标是迫使X取低值。更准确地说，如果x表示过程的当前值，我们假设两个参与者的运行支付由f（x）=x给出- s、 f（x）=s- x、 s<s，（4.1），其中s为固定（可能为负）常数。我们假设每个玩家都可以进行干预，并将X从状态X转移到状态X+δ，δ∈ R在每次干预中可能有所不同。此外，当没有参与者介入时，我们假设X遵循（缩放的）布朗运动。因此，如果x表示初始状态andui={（τi，k，δi，k）}k≥1收集playeri的干预时间和相应的脉冲∈ {1，2}，我们有xs=Xx；u、 us=x+σWs+Xk：τ1，k≤sδ1，k+Xk：τ2，k≤sδ2，k，s≥ 0，其中W是标准的一维布朗运动，σ>0是固定参数。当玩家2的目标是降低水平时，我们可以假设她的冲动是负的：δ2，k≤ 0，每k∈ N.类似地，我们假设δ1，k≥ 0，每k∈ N

影响这一过程对介入的玩家来说是有代价的，我们还假设对手也有相应的收益。在我们的模型中，干预惩罚和收益都包含在固定成本和可变成本中，假设与脉冲的绝对值成正比：如果φide表示参与者i的干预惩罚，ψjdenotes表示参与者j的相应收益，我们假设φi（δ）=-C- λ|δ|，ψj（δ）=c+~λ|δ|，其中δ∈ R是对应于参与者i和c的干预的脉冲，~c，λ，~λ是c≥ ~c≥ 0, λ ≥~λ ≥ 0，（c，λ）6=（c，λ）。顺序条件有这样的合理性：如果我们有c<~c或λ<~λ，那么，对于合适的脉冲δ，两个参与者可以通过（几乎）瞬时的双重干预实现互利；通过在有限的时间间隔内多次迭代，两个支付函数将发生分歧（这种现象类似于[18]中已经出现的停止游戏的现象）。注释4.5和第4.4节将解释条件（c，λ）6=（~c，~λ）。最后，我们假设- λρ>0，（4.2），其中ρ是贴现率，两个参与者的贴现率相同。这个问题显然属于第2节中描述的类别，d=1，S=R，Γi（x，δ）=x+δ，ρi=ρ，Z=[0，∞[，Z=]- ∞, 0]和上面的fi，φi，ψias。简而言之，如果φi=（Ci，ξi）表示参与者i的策略，则目标函数areJ（x；φ，ν）：=ExZ∞E-ρs（Xs）-s） ds-Xk≥1e-ρτ1，k（c+λ|δ1，k |）+Xk≥1e-ρτ2，k（~c+~λ|δ2，k |）,J（x；~n，~n）：=ExZ∞E-ρs（s）-Xs）ds-Xk≥1e-ρτ2，k（c+λ|δ2，k |）+Xk≥1e-ρτ1，k（~c+~λ|δ1，k |）,式中{（τi，k，δi，k）}k≥1取消玩家i与策略和相关的冲动控制。如前所述，参与者有不同的目标：我们将调查这样一个问题是否存在纳什均衡。事实上，由于两个玩家在区间[s，s]中都有收益，因此似乎存在纳什配置的空间。

如果存在纳什均衡，则用V（x），V（x）表示相应的均衡收益与初始状态x∈ R.作为对刚才描述的游戏的可能解释，让X表示两种货币之间的汇率。相应国家的央行（参与者）对利率有不同的目标：参与者1更喜欢X的高值，而参与者2的目标是产生低值。为了建立一个易于处理的模型，我们假设两个参与者的报酬分别由byX给出-沙粒-十、 式中，s是s>s的固定常数，这导致了本节中定义的一维algame。这种解释对应于[10]和[12]中介绍和研究的模型的两人版本。4.2在平衡点寻找支付函数的候选者目标是使用验证定理3.3。我们首先寻找问题（3.3）的一个解决方案，以获得支付函数V，V的两个候选者V，V。首先，考虑QVI问题（3.3）中的两个方程，即-~Vi=0，单位为{Mj~Vj-~Vj=0}，最大值A~Vi- ρVi+fi，Mi~Vi-~Vi}=0，单位为{Mj~Vj-~Vj<0}，对于i，j∈ {1,2}，其中i6=j；这意味着Vi的以下表示：Vi（x）=米六（x），在{米六-~Vi=0}，~ni（x），在{Mi ~Vi-~Vi<0，Mj~Vj-~Vj<0}，Hi~Vi（x），in{Mj~Vj-对于i，Vj=0}，（4.3）∈ {1,2}和x∈ R、 其中，а为аi提供了解决方案- ρφi+fi=σφi- ρφi+fi=0。（4.4）请注意，对于每一个x∈ R、 我们有φ（x）=φA，A（x）=Aeθx+Ae-θx+（x- s） /ρ，ν（x）=ПA，A（x）=Aeθx+Ae-θx+（s）- x） /ρ，（4.5），其中Aijare实参数和参数θ由θ=r2ρσ定义。为了继续，我们需要猜测干预区域的表达式。由于player1的目标是为流程保持较高的价值，因此可以合理地假设她的干预区域在表单中]- ∞, 对于某些阈值x。

出于类似的原因，我们预计玩家2的干预区域为[\'\'x+∞[，对于其他一些阈值\'x。由于s<s，我们猜测\'x<\'x；因此，实线被启发式地划分为三个区间：]- ∞, \'x]=-~V=0}，其中玩家1介入，]\'x，\'x[={M~V-~V<0}∩ {M}V-在没有人干预的情况下，[\'x+∞[={M~V-~V=0}，玩家2介入。根据表示法（4.3），这导致了以下关于<<Vand>>V的表达式：<<V（x）=M~V（x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，HV（x），如果x∈ [x]+∞[，V（x）=HV（x），如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，MV（x），如果x∈ [x]+∞[.现在让我们来研究Mi-Via和Hi-Vi的形式。回想一下，玩家1（和玩家2）的冲动是正的（和负的）；然后，我们有m)V（x）=supδ≥0{V（x+δ）- C- λδ}=supy≥x{V（y）- C- λ（y）- x） }，M~V（x）=supδ≤0{V（x+δ）- C- λ(-δ） }=supy≤x{V（y）- C- λ（x）- y） 哦。可以合理地假设函数y7的最大点→■V（y）- λy（分别为y 7→~V（y）+λy）存在，是唯一的，并且属于公共连续区域]\'x，\'x[，其中我们有~V=~n（分别为~~V=~n）。因此，如果我们用x表示*i、 我∈ {1，2}，这样的极大点，也就是φ（x）*) = 麦克西∈]\'x，\'x[{~n（y）- λy}，即φ（x）*) = λ、 ~n（x）*) ≤ 0，`x<x*< \'-x，~n（x）*) = 麦克西∈]\'x，\'x[{~n（y）+λy}，即。

~n（x）*) = -λ、 ~n（x）*) ≤ 0，`x<x*< \'x，函数MiVi，HiVi有以下（启发性的，目前）表达式：MV（x）=~n（x*) - C- λ（x）*- x） ，M~V（x）=*) - C- λ（x）- 十、*),HV（x）=ψ（x）*) + ~c+~λ（x）- 十、*), HV（x）=ψ（x）*) + ~c+~λ（x）*- x） 。对于＠V，＠V中涉及的参数，必须选择它们，以满足验证定理中的正则性假设，这里写的是＠V∈ C] - ∞, \'x[∪ ]\'x，\'x[∩ C] - ∞, \'x[∩ CR,~V∈ C]\'x，\'x[∪ ]\'x+∞[∩ C]\'x+∞[∩ CR.自VandVare以来，从定义上讲，光滑]- ∞, \'x[∪ ]\'x，\'x[∪ ]\'x+∞[，我们必须设置参数，以使![Vi]在![x]处连续，在![x]处可微分（我们强调![V]在![x]和![x]处不可微分）。最后，为了总结前面的所有论点，我们对一些纳什均衡的支付函数的候选定义如下。定义4.1.对于每个x∈ R、 我们设置了V（x）=~n（x）*) - C- λ（x）*- x） ，如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，~n（x*) + ~c+~λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，V（x）=~n（x）*) + ~c+~λ（x）*- x） ，如果x∈ ] - ∞, \'\'x]，如果x∈ ]\'x，\'x[，~n（x*) - C- λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，（4.6）式中，其中=A，A，=A，A以及涉及的八个参数（A，A，A，A，\'x，\'x，x*, 十、*)满足订单条件\'x<x*< \'x，\'x<x*< \'x，（4.7）和以下条件：~n（x）*) = λ和ν（x）*) ≤ 0，（x的最优性）*) （4.8a）~n（\'x）=λ，（C-粘贴在\'x）（4.8b）~n（\'x）=~n（x）*) - C- λ（x）*- \'x\'（C-粘贴在\'x\'（4.8c）~n（\'x）=~n（x*) + ~c+~λ（`x）- 十、*), （C-粘贴在“x”中）（4.8d）~n（x）*) = -λ和ν（x）*) ≤ 0，（x的最优性）*) （4.9a）~n（\'x）=-λ、 （C-粘贴在“x”中）（4.9b）~n（\'x）=~n（x）*) + ~c+~λ（x）*- \'x\'（C-粘贴在\'x\'（4.9c）~n（\'x）=~n（x*) - C- λ（`x）- 十、*). （C-pasting in’x）（4.9d）为了有一个适定的定义，我们需要证明（4.7）-（4.8）-（4.9）中的条件实际上允许一个解。

事实上，我们可以在这里证明（4.7）（4.8）-（4.9）存在一系列解决方案，即我们有很多纳什均衡（候选）和相应的支付方案4.2。存在一个8-uple（a，a，a，a，\'x，\'x，x）族*, 十、*) 满足（4.7）-（4.8）-（4.9）中的条件。此外，对于每一个这样的8-uple，都存在x∈]十、*, \'x[例如，φ<0英寸]\'x，~x[和φ>0英寸]~x，\'x[.证明。首先，我们减少了方程的数量。注意，对于任何∈ R和x∈ R、 运行成本（f，f）满意度f（x）=f（2s- x） +2秒- （s+s）。我们猜测（ν，ν）有一个对应关系，即（x）=（2s）- x） +2秒- （s+s）ρ，我们寻找夫妇（\'x，\'x），（x）*, 十、*) 对称于s。因此，我们关注的候选者是\'x=2\'s- \'x，x*= 2~s- 十、*, A=Ae-在条件（4.10）下，（4.8）和（4.9）中的系统是独立和等效的：即4个耦合（A，A，\'\'x，x）*) 解（4.8）当且仅当（A，A，\'x，x）*), 由（4.10）定义，是（4.9）的解决方案。因此，我们只需要解两个方程组中的一个：我们决定关注（4.9），以及顺序条件（4.7）。通过变量y=eθ（`x）的变化-)s），y*= eθ（x）*-~s），A=2θAeθs，A=2θAe-θ~s（4.11）和一些代数运算，（4.7）和（4.9）中的条件读取（详情见附录A，我们设置η=（1- λρ）/ρ，注意η>0）A（y）*)- 2ηy*- A=0，（4.12a）A\'y- 2ηy- A=0，（4.12b）（A+A）（y）- Y*) + 2Aθ（c）- ~c）+（λ-■λ）对数（y/y）*)= 0，（4.12c）A（\'y- Y*) + θc- η对数（y/y）*) = 0，（4.12d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, 嗯*- η ≤ 0.（4.12e）我们现在证明存在唯一解（a，a，\'y，y）*) 至（4.12）。给定一对固定的（a，a）∈ A、 在哪里=（A，A）：A>0，A<0，A+A<0，η+AA>0, （4.13）对于（4.12a）-（4.12b）-（4.12e）存在一个唯一的解，由y（a，a）=η+pη+AAA，y给出*（A，A）=η-pη+AAA。

（4.14）总之，我们只需要证明存在一个唯一对（a，a），这样（a，a）∈ A和A、 A，\'y（A，A），y*（A，A）是（4.12c）-（4.12d），（4.15）的解，也就是说，通过（4.14）中的表达式（A+A）pη+AA+AA“θ（c- ~c）+（λ-■λ）对数η+pη+AAη-pη+AA！#=0，（4.16a）pη+AA+θc- ηlogη+pη+AAη-pη+AA！=0，（4.16b）A>0，A<0，A+A<0，η+AA>0。（4.16c）即，（4.16a）-（4.16b）对应于（4.12c）-（4.12d），而（4.16c）中的不等式对应于条件（A，A）∈ A.对于x∈ （0，η），定义函数f（x）=2x+θc- η对数η+xη- 十、. （4.17）由于F（0+）=θc>0，F（η）-) = -∞ F<0时，存在唯一的ξ∈ （0，η）使得f（ξ）=0。因此，（4.16）相当于（详见附录A）AA=-M、 A+A=-2N，A>0，A<0，M=η- ξ和N=s（η）- ξ)θη（c）- ~c）+（λ-~λ）（2ξ+θc）4ηξ（4.18），它有一个唯一的解（注意N+M>0），namelyA=-N+pN+M，A=-N-pN+M.（4.19）最后，立即可以看到а<0 in]- ∞, x[和大于0英寸]x+∞[，以获得合适的x∈ R.通过变量的变化，魟（`x）>0（分别为魟（x*) < 0）当且仅当- η>0（分别为*- η<0），这是非常正确的；因此，~x∈]十、*, “\'x[.备注4.3.从命题4.2的证明中，我们看到（4.9）中的系统有多个解，但只有一个解满足顺序条件（4.7）。特别是，我们注意到（4.9）中的另一个解对应于A=-A、 §A=-A、 ~y*= 1/y，y=1/y*.备注4.4。系统（4.7）-（4.8）-（4.9）有很多解决方案，通过参数s进行索引∈ R.为了简化表示法，我们通常会忽略对此类参数的依赖性，并编写例如“xi”而不是“xi（~s）”。

通过组合（4.10），（4.11），（4.14）和（4.19），我们可以得到8个耦合（A，A，A，\'x，\'x，x）的（半）显式公式*, 十、*) 它解（4.7）（4.8）-（4.9）：即，对于任何∈ R我们有“xi=”s+(-1） iθlogsη+ξη- ξ√Γ + 1 +√Γ#,十、*i=~s+(-1） iθlogsη- ξη + ξ√Γ + 1 +√Γ#,Aij=e(-1） jθ~spη- ξ2θ(-1） i+j+1√Γ + 1 -√Γ,（4.20）对于i，j∈ {1，2}，其中ξ=ξ（c，θ，η）∈ （0，η）是（4.17）中函数F的唯一零，系数由θ=r2ρσ，η=1定义- λρρ，Γ=θ（c- ~c）4ξ+θc（λ）-~λ)4ηξ+λ -~λ2η. （4.21）另外，请注意（4.10）表示V（x）=V（2)s- x） +2秒- x的（s+s）ρ（4.22）∈ R.特别是，当<<s=（s+s）/2函数>>相对于>>s对称。备注4.5。让我，j∈{1，2}，当i6=j时，从（4.20）中，我们注意到\'xi=x*当Γ=0时，当且仅当（c，λ）=（Γc，λ）时发生。这种情况产生了一种退化的解决方案，玩家经常在每一瞬间进行完全干预。我们在第4.4节中对此进行了更详细的分析，其中我们研究了λ=～λ和c的情况→ ~c+.4.3验证定理的应用我们现在应用验证定理3.3，并证明候选者~V，Vin定义4.1实际上与第4.1节所述问题的支付函数V，VO一致。我们请读者参考第3.1节，了解以下引理中对δ、δ、M函数的定义。引理4.6。如定义4.1中所述，设V，Vbe。每x∈ 我们有δ（x）=（x*- x、 [in]- ∞, 十、*],0，in]x*, +∞[，δ（x）=（0，in]- ∞, 十、*[，x*- x、 在[x]中*, +∞[4.23]此外，我们还有-~V≤ 0，{M~V-~V<0}=]x+∞[，{M/V-~V=0}=]-∞, \'x\'，M/V-~V≤ 0，{M~V-~V<0}=]-∞, \'x[，{M)V-~V=0}=[`x+∞[（4.24）证据。