脉冲控制下的非零和随机微分对策

显然，在大多数情况下，我们必须处理完整的8方程组（4.7）（4.8）-（4.9）（命题4.2中的解耦技术仅在对称支付的情况下才可能），并且必须通过数值方法找到解。立方付息。让我们考虑与第4.1节相同的设置，现在是立方付息：即，我们将（4.1）替换为f（x）=c（x）- s） ，f（x）=（s）- x） ，s<s，代表x∈ R、 这里是一个严格的正常数。为了找到纳什均衡的表达式，我们遵循前面章节介绍的程序，如下所示。首先，我们求解（4.4），其中fi替换为∧fi:x∈ R、 解的形式为▽~n（x）=Aeθx+Ae-θx+cρ（x）- s） +3cσρ（x）- s） ，°~n（x）=Aeθx+Ae-θx+ρ（s）- x） +3σρ（s）- x） 。然后，通过与第4.2节中相同的参数，一对（候选）平衡支付函数由（4.6）给出，其中，替换为，。为了有一个良好的定义，我们必须找到一个解决方案（Aij，’xi，x*i） 我，j∈{1,2}到8-方程组（4.7）-（4.8）-（4.9）。如果c=1，我们可以在命题4.2的证明中应用对称性参数，并考虑一个包含四个方程的约化系统。然而，总的来说，我们需要处理完整的8方程系统。在这两种情况下，都必须通过数值求解。最后，给出（4.7）-（4.8）-（4.9）的一个解决方案，我们必须验证候选人实际上满足验证理论3的所有假设。3.我们按照第4.3节的规定进行：在验证以下情况时，唯一的差异出现：-ρ~n（`x）- λ（`x）- 十）+~f（x）≤ 0, 十、∈ [-∞, \'x[，-ρ~n（`x）- λ（x）- \'\'x）+~f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[（4.30）事实上，在这里，我们不能在命题4.7的证明中使用单调性参数，因此（4.30）必须进行数字检查。如果（4.30）成立，我们可以得出结论，阿纳什均衡存在：当状态变量从]\'-x退出时，参和者1（分别为参和者2）介入+∞[（分别。

] - ∞, “\'x[）并将流程转移到x*（分别为x）*).作为一个例子，我们考虑以下值：ρ=0.1，σ=0.2，c=60，~c=20，λ=~λ=5，s=-3，s=3，c=1.2。（4.7）-（4.8）-（4.9）的解在数值上由A=-104.943，A=12.965，A=24.669，A=-56001，x*= 0.186，x*= -0.453，`x=-0.732，`x=0.464。请注意，延续区域]\'x，\'x[比s更接近s，这是合理的：由于CEC>1，与玩家2相比，玩家1经历了更高的得失，因此她比对手更愿意干预，这实际上转化为|x- s |<| x- s |。线性和立方支付。让我们考虑与第4.1节相同的设置，但现在玩家1有一个立方支付，玩家2有一个线性支付：即，我们用^f（x）=c（x）替换（4.1）- s） ，^f（x）=s- x、 s<s，代表x∈ R、 这里是一个严格的正常数。如上所述，一对候选平衡支付函数由（4.6）给出，其中由^а（x）=Aeθx+Ae代替-θx+cρ（x）- s） +3cσρ（x）- s） ，^^（x）=Aeθx+Ae-θx+ρ（s）- x） 。前提是解决方案（Aij，xi，x*i） 我，j∈系统（4.7）-（4.8）-（4.9）中存在{1,2}（用^^^、^^替代），并且-ρ^~n（\'x）- λ（`x）- 十）+^f（x）≤ 0, 十、∈ [-∞, \'x[，（4.31）则存在纳什均衡，如前一示例所述。请注意，在（4.31）中，我们不需要参与者2的符号条件，因为这是由（4.2）所暗示的，如在第4.7.位的证明中。作为示例，我们考虑以下值：ρ=0.1，σ=0.2，c=10，＠c=50，λ=＠λ=0，s=-0.5，s=0.5，c=1。（4.7）-（4.8）-（4.9）的解在数值上由A=-4.886，A=0.739，A=0.418，A=-0.713，x*= 0.752，x*= -0.814，`x=-1.319，`x=1.053。出于与上述相同的原因，我们认为，\'\'x，\'\'x[更接近于s.注4.17。

为了简单起见，在本节中，我们保持了与前一节相同的动态，即当没有参与者介入时，dXs=σdWs。然而，可以考虑不同的方程，因为这只会影响系数θ的定义。5结论在本文中，我们考虑了一个一般的两人非零和脉冲博弈，其状态变量遵循多维布朗运动驱动的不同动力学。设置问题后，我们提供了一个验证定理，给出了充分条件，以使合适的拟变分不等式组的解在某种纳什均衡下与两个参与者的支付函数一致。据我们所知，这个结果对脉冲博弈的文献来说是新的，它构成了本文的主要数学贡献。作为一个应用，我们提供了一个可解的一维脉冲博弈，其中两个具有线性运行支付的参与者可以移动实值布朗运动，以使其目标函数最大化。我们发现了一类纳什均衡，并明确地刻画了相应的均衡策略。我们还研究了theNash平衡点的一些渐近性质。作为最后的贡献，我们考虑了另外两个例子系列，三次付息，以及线性和三次付息，在这些例子中，可以通过数值方法找到解决方案。参考文献[1]C.D.Aliprantis，K.Border，有限维分析，斯普林格·维拉格，柏林海德堡，2006年。[2] A.Altarovici，M.Reppen，H.M.Soner，具有固定和比例交易成本的最优消费和投资，暹罗J.控制优化。51（2017），第3期，1673-1710页。[3] P.Azimzadeh，《具有冲动、预承诺和无限制成本函数的零和随机微分博弈》，预印本（2017），arXiv:1609.09092。[4] P.阿齐姆扎德，E。

Bayraktar，G.Labahn，HamiltonJacobi-Bellman拟变分不等式隐式格式的收敛性，预印本（2017），arXiv:1705.02922。[5] P.Azimzadeh，P.A.Forsyth，弱链矩阵，策略迭代和脉冲控制，暹罗J.Numer。肛门。54（2016），第3期，第1341-1364页。[6] M.Basei，随机控制和微分博弈论主题，及其在数学金融中的应用，帕多瓦大学数学博士论文（2016年）。[7] C.Belak，S.Christensen，F.T.Seifried，随机脉冲控制问题的一般验证结果，暹罗J.控制优化。55（2017），第2627-649号。[8] A.Bensoussan，A.Friedman，具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策，Trans。艾默尔。数学《社会》231（1977），第275-327号。[9] A.Bensoussan，J.L.Lions，Contr^ole Pulsionnel et in ` Equasitive Variationneles，第1卷，巴黎杜诺德，1982年。[10] G.Bertola，W.J.Runggaldier，K.Yasuda，关于汇率的经典和受限脉冲随机控制，Appl。数学擎天柱。74（2016），第2423-454号。[11] R.Buckdahn，P.Cardaliaguet，C.Rainer，非零和随机微分对策的纳什均衡支付，暹罗J.控制优化。43（2004），第2624-642号。[12] A.Cadenilas，F.Zapatero，《利用利率和储备对汇率的经典和脉冲随机控制》，数学。《金融学》第10卷（2000年），第2期，第141-156页。[13] D.Chang，H.Wang，Z.Wu.设计脉冲控制的非零和微分对策的最大值原理，第32届中国控制大会（CCC 2013），IEEE，1564–1569。[14] D.Chang，Z.Wu，具有脉冲控制的FBSDE非零和微分对策的随机最大值原理及其在金融中的应用，J.Ind.Manag。擎天柱。第11期（2015年），第1期，第27-40期。[15] 陈国强，戴明，X。

Wan，《可转换债券的非零和博弈方法：税收收益、破产成本和提前/延迟赎回》，数学。《金融》杂志第23期（2013），第1期，第57-93页。[16] A.Cosso，涉及脉冲控制和双障碍拟变分不等式的随机微分对策，SIAM J.控制优化。51（2013），第32102-2131号。[17] T.De Angelis，G.Ferrari，《随机非零和博弈：奇异控制和最优停止之间的新联系》，Adv.in Appl。Probab。50（2018），第2347-372号。[18] T.De Angelis，G.Ferrari，J.Moriarty，两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡，安。阿普尔。Probab。28（2018），第1112-147号。[19] B.El Asri，S.Mazid，涉及脉冲控制的有限视野中的零和随机微分对策，应用。数学擎天柱。(2018), 1–33.[20] R.J.Elliott，N.J.Kalton，《不同游戏中价值的存在》，Mem。艾默尔。数学Soc。（1972），第126页。[21]W.H.Fleming，P.E.Souganidis，关于两人零和随机微分对策的值函数的存在性，印第安纳大学数学。《J.38》（1989），第2期，第293-314页。[22]A.Friedman，随机博弈与变分不等式，Arch。理性机甲。肛门。51（1973），第5号，第321-346页。[23]B.K.Oksendal，随机微分方程，Springer Verlag，柏林海德堡，2003年。[24]B.K.Oksendal，A.Sulem，《跳跃差异的应用随机控制》，第二版，斯普林格·维拉格，柏林海德堡，2007年。[25]L.Stettner，具有停止和脉冲策略的零和马尔可夫对策，应用。数学擎天柱。第9期（1982），第1期，第1-24期。[26]Zhang，涉及脉冲控制的随机微分对策，ESAIM控制优化。计算变量17（2011），第3749-760号。引理2.3的附录证明。第一步。我们证明了（3.6）意味着（3.7）。唯一需要证明的性质是（3.7c）。我们考虑三个案例。首先，假设V=fMV。

从AV+f开始≤ 0和FMV- V=0，我们有max{AV+f，fMV- V}=0，这意味着从EHV开始（3.7c）- 五、≥ 0.那么，假设FMV<V<eHV。因为AV+f=0和FMV-V<0，我们有max{AV+f，fMV-V}=0，自EHV以来为（3.7c）-V>0。最后，假设V=eHV。从AV+f开始≥ 0和FMV- 五、≤ 0，我们有max{AV+f，fMV- V}≥ 0，这意味着（3.7c）自EHV以来-V=0。第二步。我们证明（3.7）意味着（3.6）。唯一需要证明的性质是（3.6c），（3.6d）和（3.6e）。我们假设FMV<eHV（病例FMV=eHV为直接感染），并考虑三个病例。首先，假设V=fMV。自从EHV以来-V>0，从（3.7c）可以得出max{AV+f，0}=0，这意味着AV+f≤ 0.那么，假设FMV<V<eHV。因为min{max{α，β}，γ}∈ {α，β，γ}对于每个α，β，γ∈ R、 还有sincefMV-V<0<eHV-V，从（3.7c）可以得出，AV+f=0。最后，假设V=eHV。从（3.7c）可以得出max{AV+f，fMV-V}≥ 0，这意味着av+f≥ 0 sincefMV- V<0。补充命题4.2的证明。（a） 让我们证明（4.7）和（4.9）中的条件等价于（4.12）中的系统。设η=（1）- λρ）/ρ和∧η=（1）-~λρ)/ρ. 根据（4.5）中的定义和（4.11）中变量的变化，订单条件（4.7）和系统（4.9）写入A（y）*)- 2ηy*- A=0，（A.1a）A\'y- 2ηy- A=0，（A.1b）A“y”-Y*+ A（\'y- Y*) - 2θc+2η对数（\'y/y）*) = 0，（A.1c）A（\'y- Y*) + A.“y”-Y*+ 2θc- 2η对数（y/y）*) = 0，（A.1d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, A（y）*)+ A.≤ 特别是关于（A.1e）中的条件，我们需要y*, y>0乘以（4.11），不等式y*< yand 1</yy*对应于（4.7），条件A（y*)+ A.≤ 0对应于φ（x*) ≤ 0.现在，注意A（y）*)+ A=2y*（啊*+ η） 根据（A.1a）中的方程式。

此外，通过（A.1a）和（A.1b），我们已经*=啊*-2ηA，\'y=AA\'y-2ηA，由于A6=0（实际上，A=0和（A.1a）-（A.1b）意味着*= 0或y=0，与（A.1e）相矛盾。因此，（A.1）中的系统可以重写为A（y）*)- 2ηy*- A=0，（A.2a）A\'y- 2ηy- A=0，（A.2b）A+AA（\'y- Y*) - 2θc+2η对数（\'y/y）*) = 0，（A.2c）A（\'y- Y*) + θc- η对数（y/y）*) = 0，（A.2d）y*> 0，\'y>0，y*< 是的，1年*, 嗯*- η ≤ 0.（A.2e）用（A.2c）和（A.2d）之和替换（A.2c），最终得到（4.12）。（b） 让我们证明（4.16）等同于（4.18）。通过定义ξ和（4.16b），我们得到pη+AA=ξ，这立即导致a=ξ- η= -M、 M>0，如（4.18）所示。请注意，η+AA>0总是被验证的。此外，通过使用（4.16b）重写对数，并通过关系spη+AA=ξ和AA=ξ- η、 （4.16a）中的方程可以改写为（A+A）ξ+AAθ（c）- ~c）+（λ-~λ）2ξ+θcη= 0.到（4.16c），我们得到A+A=-s（η）- ξ)θη（c）- ~c）+（λ-~λ）（2ξ+θc）ηξ= -2N，N>0，如（4.18）所示。请注意，A+A<0总是令人满意的。

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