脉冲控制下的非零和随机微分对策

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英文标题：
《Nonzero-sum stochastic differential games with impulse controls: a
  verification theorem with applications》
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作者：
Ren\\\'e A\\\"id, Matteo Basei, Giorgia Callegaro, Luciano Campi, Tiziano
  Vargiolu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a general nonzero-sum impulse game with two players. The main mathematical contribution of the paper is a verification theorem which provides, under some regularity conditions, a suitable system of quasi-variational inequalities for the value functions and the optimal strategies of the two players. As an application, we study an impulse game with a one-dimensional state variable, following a real-valued scaled Brownian motion, and two players with linear and symmetric running payoffs. We fully characterize a Nash equilibrium and provide explicit expressions for the optimal strategies and the value functions. We also prove some asymptotic results with respect to the intervention costs. Finally, we consider two further non-symmetric examples where a Nash equilibrium is found numerically.
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中文摘要：
我们考虑一个一般的两人非零和脉冲博弈。本文的主要数学贡献是一个验证定理，它在某些正则条件下，为两个参与者的值函数和最优策略提供了一个合适的拟变分不等式组。作为一个应用，我们研究了一个一维状态变量的脉冲博弈，它遵循一个实值的标度布朗运动，以及两个具有线性和对称运行收益的博弈者。我们充分刻画了纳什均衡，并给出了最优策略和价值函数的显式表达式。我们还证明了关于干预成本的一些渐近结果。最后，我们考虑另外两个非对称的例子，其中一个纳什均衡在数值上被发现。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Nonzero-sum_stochastic_differential_games_with_impulse_controls:_a_verification_.pdf (727.44 KB)

2022-5-11 06:31:19 上传

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关键词：随机微分 Verification Applications Differential Contribution

脉冲控制下的非零和随机微分对策：一个验证定理及其应用*Matteo Basei+Giorgia CallegaroLuciano Campi§Tiziano Vargiolu2018年11月9日摘要我们考虑一个有两名玩家的一般非零和冲动博弈。本文的主要数学贡献是一个验证定理，该定理在某些正则条件下，为两个参与者在某些纳什均衡下的支付和策略提供了一个合适的拟变分不等式系统。作为一个应用，我们研究了一个一维状态变量的脉冲集，它遵循实值标度布朗运动，以及两个具有线性和对称运行支付的参与者。我们充分刻画了一系列非均衡，并给出了相应的均衡策略和支付的显式表达式。我们还证明了关于干预成本的一些渐近结果。最后，我们考虑另外两个非对称的例子，其中纳什均衡是在数值上找到的。关键词：随机微分博弈，脉冲控制，纳什均衡，拟变量不等式。AMS分类：91A15、91B70、93E20。1简介在本文中，我们研究了一个具有脉冲控制的一般二人非零和随机微分对策。简单地说，在建立了一般框架之后，我们重点讨论了纳什均衡的概念，并确定了相应的拟变分不等式组（QVIs）。作为一个应用，我们考虑了一个一维状态变量的脉冲博弈，并对QVIs系统进行了完全求解，得到了均衡报酬和相应策略的显式表达式。这篇论文是对博士论文结果的延伸。

论文[6]。更具体地说，我们考虑一个博弈，其中两个参与者可以通过离散时间干预影响一个连续时间随机过程X，包括将X转移到一个新的状态。当没有参与者介入时，我们假设X根据标准的随机微分方程进行微分。每一次干预都对应于参与者的成本和对手的收益。玩家i的策略∈ {1，2}由一对φi=（Ci，ξi）确定，其中Ciisa固定开子集和ξiis是一个连续函数：即，当且仅当*巴黎多芬大学经济系（LEDa）和能源市场金融研究中心（FiME）。+加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系（IEOR）。电子邮件：basei@berkeley.edu——帕多瓦大学数学系。§伦敦经济与政治学院统计系。进程X退出Ciand，当这种情况发生时，她将进程从状态X转移到状态ξi（X）。如果两个玩家都想干预，我们假设玩家1的优先级高于玩家2。一旦策略φi=（Ci，ξi），i∈ 已经选择了{1,2}和一个起点x，一对脉冲控制{（τi，k，δi，k）}k≥1是唯一定义的：τi，kis是参与者i的第k次干预时间，δi，kis是相应的脉冲。每个参与者都以最大化自己的收益为目标，定义如下：属于某些固定子集的外汇 Rd和每两种策略（ν，ν），我们设置ji（x；~n，ν）：=ExZτSe-ρisfi（Xs）ds+Xk≥1：τi，k<τSe-ρiτi，kφiX（τi，k）-, δi，k+Xk≥1：τj，k<τSe-ρiτj，kψiX（τj，k）-, δj，k+ E-ρiτShi（XτS）{τS<+∞}, （1.1）式中i，j∈ {1,2}，i6=j，τ是X从S的退出时间。

这对夫妇*, φ*) 是一个纳什均衡ifJ（x；~n）*, φ*) ≥ J（x；k，а）*), 和J（x；ψ）*, φ*) ≥ J（x；ψ）*, Д），（1.2）对于每对策略Д，Д。我们论文的第一个贡献是验证定理3.3，它将（1.1）中的游戏与合适的QVIs系统联系起来。据我们所知，以前从未从QVI的角度考虑过脉冲控制的非零和博弈。也就是说，在定理3.3中，我们考虑以下QVIs系统：Vi=hi，inS、 MjVj- Vj≤ 0，在S，HiVi- Vi=0，单位为{MjVj- Vj=0}，最大值阿维- ρiVi+fi，MiVi- Vi}=0，单位为{MjVj- Vj<0}，（1.3）式中i，j∈ {1,2}，i6=j，A是非受控状态过程的最小生成器，mi，hia是第3.1节中定义的合适的干预运算符。如果两个函数为Vi，则为i∈{1，2}是（1.3）的一个解，具有多项式增长且满足正则性条件vi∈ C（Dj）Di）∩C（Dj）∩C（S），（1.4）其中j∈ {1,2}，其中j6=i和Dj={MjVj- Vj<0}，则它们与一些纳什均衡收益一致，并且相应均衡策略的特征化是可能的。我们对这一研究流的第二个贡献在于提供了可解脉冲博弈的例子。使用上述验证定理3.3并求解QVIS（1.3）系统，我们能够刻画纳什均衡。第4.1-4.4节描述了主要示例，其中（1.3）进行了解析求解，并提供了显式公式。在第4节。5我们考虑进一步的问题族，其中（1.3）是数值求解的。据我们所知，这些是可解非零和脉冲博弈的第一个例子。在第4.1节中，我们考虑了一个由实值（标度）布朗运动建模的具有一维状态变量X的两人脉冲博弈。

这两个参与者有对称的线性破坏支付，他们可以通过将X从当前状态（比如X）转移到另一个状态X+δ来干预X∈ R.当一名球员介入时，她将面临处罚，而她的对手将获得收益，包括固定部分和可变部分，假设这与冲动的大小成正比。因此，参与者的目标函数areJ（x；Д，Д）：=ExZ∞E-ρs（Xs）-s） ds-Xk≥1e-ρτ1，k（c+λ|δ1，k |）+Xk≥1e-ρτ2，k（~c+~λ|δ2，k |）,J（x；~n，~n）：=ExZ∞E-ρs（s）-Xs）ds-Xk≥1e-ρτ2，k（c+λ|δ2，k |）+Xk≥1e-ρτ1，k（~c+~λ|δ1，k |）,式中{（τi，k，δi，k）}k≥1取消玩家i与策略和相关的冲动控制。（1.3）中关于QVIs的一些初步启发让我们考虑函数Vi的一对候选函数。然后，仔细应用验证定理表明，这些候选函数实际上与某些纳什均衡的支付函数一致。特别是，相关纳什均衡的实际特征是可能的：当状态X小于‘X（或大于‘X）时，参与者1（或参与者2）进行干预，并将过程移动到X*（分别为x）*),适用于“xi，x”*i、 我们提供了Payoff函数和参数“xi，x”的明确表达式*i、 最后，我们研究了干预区域在某些极限情况下的行为。特别地，我们注意到，在c=~c和λ=~λ的情况下，博弈不具有可容许的纳什均衡。最后，在第4.5节中，我们考虑了另外两个例子系列，三次付息和线性和三次付息。

我们采用上述技术，通过数值求解QVIs系统来描述纳什均衡。在控制器通过离散时间干预作用于基础过程的应用中，脉冲控制相对于标准连续时间控制提供了更现实的模型，尽管其代价是更具挑战性的技术框架。然而，相当令人惊讶的是，带有脉冲控制的非零和博弈的情况到目前为止还不值得足够的关注。对于脉冲控制和相应的单人控制问题的全面介绍，请参阅[24]。在最近关于单人脉冲控制问题的研究中，我们引用[7]作为一般验证结果，引用[4,5]作为HamiltonJacobi-Bellman QVIs的计算方案，引用[2]作为具有固定和比例交易成本的Merton问题的计算方案。对于用QVI技术处理的停止游戏，我们引用了开创性的著作[22]，用于零和情况，以及[8]，用于非零和情况。有关最近的示例，请参见[15,18]，以及其中的参考文献。还值得一提的是[17]，它提供了最优停止的两人非零和博弈与奇异控制的两人非零和博弈之间的联系。关于带有脉冲控制的随机博弈，以及带有混合脉冲和连续控制的博弈，现有文献几乎完全关注零和情况。我们参考[3,26]中的零和游戏，其中一个玩家使用连续控制，而对手使用Simpulse控制。对于两个玩家都使用脉冲控制的零和游戏，我们引用[25]作为延迟情况，引用最近的著作[16,19]作为粘性方法。

特别是，我们注意到[16]中提出的零和脉冲博弈的QVIs系统可以作为我们框架的一个特例获得，见下文第2节。只有这两篇论文[13,14]使用基于倒向随机微分方程和最大值原理的方法，讨论了一些具有脉冲控制和有限视界的非零和随机微分对策。请注意，在这两篇文章中，给出了施加脉冲的停止时间序列，因此玩家只能选择脉冲的大小。据我们所知，非零和脉冲博弈首次以一般形式被考虑。论文的概要如下。在第二节中，我们严格地描述了广义脉冲博弈，并给出了可容许策略和纳什均衡的概念。第3节提供了相关的QVIs系统和相应的验证定理。在第4节中，我们解析地计算了一维脉冲博弈的纳什均衡族，并提供了两个进一步的数值解例子。最后，第5节得出结论。致谢。作者要感谢杰罗姆·雷诺、法比恩·根斯比特和匿名裁判的宝贵意见和建议。

作者还感谢SID研究项目“金融和能源市场随机方法的新视角”、帕多瓦大学访问科学家项目以及巴黎能源市场金融研究中心（FiME）的资助。2非零和随机脉冲博弈在本节中，我们将介绍一类具有脉冲控制的两人非零和随机微分博弈。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其过滤满足右连续性和P-完备性的通常条件，且{Wt}t≥0be是k维{Ft}t≥0-适应布朗运动。每一个t≥ 0和ζ∈ L（Ft），我们用Yt表示，ζ={Yt，ζs}s≥问题的解决方案，ζs=b（Yt，ζs）ds+σ（Yt，ζs）dWs，s≥ t、 （2.1）初始条件为Yt，ζt=ζ，其中b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×kare给定的函数。在整篇论文中，我们假设系数b和σ是全局Lipschitz连续的，即存在常数K>0，因此对于所有y，y∈ 我们有| b（y）- b（y）|+|σ（y）- σ（y）|≤ K|y- y |，因此（2.1）允许满足经典先验估计的唯一强解（参见[23，第5.2节]等）。我们考虑两名球员，他们将被我索引∈ {1, 2}. 让我们成为RDI的一个开放子集，让ZI成为Rli的一个固定的非空子集，带有li∈ N.方程（2.1）模拟了没有参与者干预的潜在过程。如果我一时冲动介入∈ Zi，进程从当前状态x转移到新状态Γi（x，δ），其中Γi:S×Zi→ S是一个给定的连续函数。

每一次干预都对应于介入玩家的成本，也对应于对手的成本，这两者都取决于状态x和脉冲δ。玩家的动作是通过离散时间控制来建模的：playeri的脉冲控制是一个序列（τi，k，δi，k）K≥其中{τi，k}kis是一个非递减的停止时间序列（干预时间）和{δi，k}kare Zi值Fτi，k-可测随机变量（相应的脉冲）。为了便于操作，我们假设由PulseControl建模的玩家行为由策略驱动，策略定义如下。定义2.1。玩家i的策略∈ {1，2}是一对φi=（Ci，ξi），其中Ci是S的固定开子集，ξiis是从S到Zi的连续函数。策略从以下意义上决定了玩家的行动。让x∈ S是状态变量的初始值。一旦有了一些策略，i=（Ci，ξi），i∈ {1,2}已被选择，一对脉冲控制{（τx；ν，k i，k，δx；k，k i，k）}k≥1由以下程序唯一定义：-当且仅当过程退出Ci时，参与者i进行干预，在这种情况下，冲量由ξi（y）给出，其中y是状态；-如果两个玩家都想行动，玩家1有优先权；-当进程退出S.（2.2）时，游戏结束。（2.2）中的第二个条件解决了两个玩家希望同时将进程转移到不同状态的冲突情况。在这种情况下，玩家1拥有优先权。注意，如果新状态在C之外，这并不能阻止玩家2在玩家1之后立即进行干预。但是，我们将禁止连续多次同时干预。

我们将在本节后面的部分对此进行进一步评论，见定义2.5和备注2.8。在以下定义中，我们提供了与一系列策略和相应的受控过程相关的严格形式化控制，我们用Xx表示；φ,φ. MoreoverO表示S的一个通用子集，最后，我们采用了 = ∞ 及[∞, ∞[= .定义2.2。让x∈ S，并让φi=（Ci，ξi）成为玩家i的策略∈ {1, 2}. 为了k∈{0，\'k}，其中\'k=sup{k∈ N∪ {0}:eτk<αSk}，我们通过归纳法定义eτ=0，x=x，eX=Yeτ，x，αS=∞, αOk=inf{s>eτk-1:eXk-1s/∈ O} ，[O的退出时间 S] eτk=αCk∧ αCk，[干预时间]mk={αCk≤αCk}+2{αCk<αCk}，[eτk]eδk=ξmk时的游戏者区间指数eXk-1eτk{eτk<∞}, [脉冲]xk=ΓmkeXk-1eτk，eδk{eτk<∞}, [下一步的起点]eXk=eXk-1[0，eτk[+Yeτk，xk[eτk，∞【第k次interv之前的控制流程】让“kibe”为参与者i的干预次数∈ 在游戏结束前，{1，2}，在`ki6=0的情况下，让η（i，k）作为她的第k次干预（1）的指数≤ K≤\'ki:\'ki=X1≤H≤\'k{mh=i}，η（i，k）=minnl∈ N:X1≤H≤l{mh=i}=ko。现在假设时间{τk}0≤K≤knever在αS k之前严格累积，也就是说，我们假设在{k=+∞} 我们有limk→\'k＠τk=αS\'k（按照约定αS∞= supkαSk）。受控过程Xx；和退出时间τx；由（与conventioneX一起）定义∞= 林克→+∞eXk）Xx；ψ，ν：=exk，τx；~n，~nS:=αS\'k=inf{S≥ 0:Xx；~n，~ns/∈ S} 。最后，脉冲控制{（τx；~n，~ni，k，δx；~n，~ni，k）}k≥1.和我一起∈ {1,2}由τx定义；ψ，νi，k:=（eτη（i，k），k≤\'ki，τx；ψ，ФS，k>ki，δx；ν，νi，k:=（eΔη（i，k），k≤\'ki，0，k>\'ki。（2.3）当上下文清晰时，为了缩短符号，我们只需写X，τS，τi，k，δi，k。定义2.2值得一些评论。