脉冲控制下的非零和随机微分对策

我们只给出了δ和M~V的证明，δ和M~V的参数是相同的。每x∈ R、 我们有m~V（x）=最大δ≤0{V（x+δ）-C-λ(-δ） }=maxy≤x{V（y）-C-λ（x）-y） }=maxy≤x{Γ（y）}-C-λx，（4.25），其中每个y∈ R我们设置了Γ（y）=V（y）+λy。通过定义ΓV，我们得到了Γ（x）*) = Γ（\'x）=0。此外，我们注意到：-Γ=λ-~λ ≥ 0英寸]- ∞, \'x[，通过定义为\'V；-Γ>0英寸]\'x，x*[，asΓ（x）*) = 0和Γ在]x，x中减少*[（因为，根据命题4.2，我们有Γ=Γ<0 in]\'x，x*[）；-Γ<0英寸]x*, \'x[，asΓ（x*) = Γ（\'x）=0，在区间内]x*, “\'x[，Γ首先递减，然后递增（因为根据命题4.2，Γ=Γ在]x中为负值*, ~x[和正in]~x，\'x[）；-Γ=0 in]\'x+∞[，通过ΓV的定义。因此，函数Γ在x上有一个唯一的全局最大点*, 所以Maxy≤xΓ（y）=（Γ（x），in]- ∞, 十、*],Γ（x）*), in]x*, +∞[；因此，通过（4.25）中的计算，我们得到了mV（x）=（V（x）- c、 [in]- ∞, 十、*],~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*), in]x*, +∞[，作为)V（x）*)=~n（x）*), 自从x*∈]\'x，\'x[。通过定义\'V\'，这可以写为asM\'V（x）=（V（x）- ξ（x），in]- ∞, \'x[，V（x），in[\'x+∞[，其中，每x∈] - ∞, \'x[，我们设置了ξ（x）=（c，in]- ∞, 十、*[，~n（x）- ~n（x）*) + c+λ（x）- 十、*), 在[x]中*, \'\'x[.让我们证明ξ>0.通过（4.9）回忆起（\'x）=（x*)-C-λ（`x）-十、*). 那么，如果x∈ [x]*, \'\'x[我们有那（x）- ~n（x）*) + c+λ（x）- 十、*) = ~n（x）- ~n（`x）- λ（`x）- x） =Γ（x）- Γ（\'x）>0，因为Γ在[x]中减少*, 因此，ξ是严格正的，所以（4.24）成立。最后，通过前面的参数，arg maxδ是明确的≤0{V（x+δ）- C- λ|δ|}=（{0}，in]- ∞, 十、*[，{x*- x} ，in]x*, +∞[，这意味着（4.23）。命题4.7.用于∈ R、 让x*i=x*i（~s）和“xi=”xi（~s），带i∈ {1,2}，如定义4.1所示。然后，第4.1节中问题的纳什均衡由策略（C）给出*, ξ*), （C）*, ξ*)定义byC*= ]\'x+∞[, ξ*（y） =x*- y、 C*= ]-∞, \'x[，ξ*（y） =x*- y、 和y∈ R

此外，函数V，V定义4.1与平衡支付函数V，V:V一致≡■Vand V≡五、备注4.8。我们强调（C）*, ξ*), （C）*, ξ*) 取决于自由参数s，即C*i=C*i（~s）和ξ*i=ξ*i（·s）（为了简化符号，我们经常忽略强调依赖性）。特别是，存在大量的纳什均衡，通过参数s进行索引∈ R.请注意，相应的最佳干预区域和干预功能包含在固定区间的转换中：C*i（~s）=~s+C*i（0）和ξ*i（·s）=s+ξ*i（·；0），对于任何∈ R.备注4.9。回想一下该策略的实际特征：如果x是进程的当前状态，则当x出现时，玩家1（即玩家2）进行干预≤ \'x（分别为x≥ “\'x”）并将流程移动到新状态x*（分别为x）*).证据我们必须检查候选者是否满足定理3.3的所有假设。我们证明了V的主张，V的论点是相同的。为了方便读者，webrie fly报告了我们必须检查的条件：（i）~V∈ C（]x+∞[\\{x}）∩ C（]x+∞[) ∩ C（R）具有多项式增长；（ii）M~V-~V≤ 0;（iii）在-~V=0}我们有~V=H~V；（iv）在-~V<0}我们有maxAV- ρV+f，M~V-~V}=0；（v） 对于每x，均衡策略是x-容许的（见定义2.5）∈ R.条件（i）和（ii）。第一个条件通过定义V而成立，而第二个条件已在（4.24）中得到证明。条件（iii）。让x∈ {M}V-~V=0}=]- ∞, \'\'x]。通过定义HVin（3.2），通过（4.23）和定义Vwe haveHV（x）=V（x+δ（x））+~c+~λ|δ（x）|=V（x*) + ~c+~λ（x）*- x） =V（x），我们在这里使用了*) = ~n（x）*), 自从x*∈]\'x，\'x[条件（四）。

我们必须证明麦克斯AV- ρV+f，M~V-~V}=0，单位为{M~V-~V<0}=]x+∞[In]\'x，\'x[这个说法是正确的，因为M)-~V<0乘以（4.24）和A~V-定义为ρV+f=0（in）`x，`x[我们有`V=~n，这是ODE（4.4）的解决方案]。在[`x，∞【我们已经在（4.24）中知道，MV-V=0。然后，为了得出结论，我们必须检查aV（x）- ρV（x）+f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.AsV（x）=~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*) 通过定义V（x），不等式可以写成-ρ~n（x）*) - C- λ（x）- 十、*)+ f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.自（\'x）=（x）*) - C- λ（`x）- 十、*) 通过（4.9），我们可以将声明改写为-ρ~n（`x）- λ（x）- \'\'x）+ f（x）≤ 0, 十、∈ [x]，∞[.函数x7→ λρx+f（x）=（λρ-1） x+sis减少，因此足以证明claimin x=`x：-ρφ（\'x）+f（\'x）≤ 0.自A~n（`x）- ρφ（\'x）+f（\'x）=0，我们可以重写为-σа（`x）≤ 0，这是真的，因为≥ 第4.2条提案中的0。条件（五）。设x为过程的初始状态。通过构造，受控进程从不退出]\'x，\'x[∪{x} ，所以条件（2.8）成立。很容易检查定义2.5的所有其他条件是否满足。唯一不平凡的证明是干预成本的可积性：让我们证明∈ {1，2}我们有（对于＠c，＠λ的结果紧随其后，如＠λ<λ和＠c<c）ExXk≥1e-ρτ*i、 k（c+λ|δ）*i、 k |）< ∞, （4.26）式中{τ*i、 k，δ*i、 k}是与平衡策略相对应的控制。首先，假设初始状态x为*或者x*. 这里我们考虑x=x*, 在x=x的情况下，参数是相同的*. 因为玩家i将进程转移到x*当状态“xi”被击中时，我的想法是写τ*i、 kas是独立退出时间的总和。首先，我们重新标记索引并写入{τ*i、 k}i，kas{σj}j，每个j的σj<σj+1∈ N

用ui表示进程x的退出时间*i+σW from]\'x，\'x[，其中W是一个真正的布朗运动；然后，每次σj都可以写成σj=Pjl=1ζl，其中ζ是以u或u分布的自变量。我们现在可以估计（4.26）。作为δ*i、 k∈ {x- 十、*, 十、*- 我们有*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k（c+λ|δ）*i、 k |）≤ （c+λmax{x- 十、*, 十、*- \'x}）Ex*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k.通过{σj}的定义和σj的分解*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k=前任*Xj≥1e-ρσj=前任*Xj≥1e-ρPjl=1ζl=前任*Xj≥1Yl=1，。。。，日本脑炎-ρζl.通过Fubini-Tonelli定理和变量ζj的独立性，我们得到*Xj≥1Yl=1，。。。，日本脑炎-ρζl=Xj≥1Yl=1，。。。，杰克斯*[e]-ρζl]≤Xj≥1.前任*[e]-ρmin{u，u}]j、 这是一个收敛的几何级数，因为u，u>0（uis严格地为正，因为¨x<x*i</x）。总而言之，我们有shownEx*xi∈{1,2}Xk≥1e-ρτ*i、 k（max{c，~c}+λ|δ）*i、 k |）< ∞,这显然意味着（4.26）。初始状态为x的一般情况∈ R可以类似地处理：我们有σj=η+Pjl=1ζl，其中η是x+σW从[\'\'x，\'\'x]的退出时间，并且参数可以很容易地调整。4.4注释和一些极限性质为了理解上一节描述的纳什均衡的定性行为，我们在这里研究了相应的连续区域和Payoff函数的一些渐近性质。首先，为了方便读者，我们回顾前面几节中的一些公式。areV（x）之前描述的一些纳什均衡的支付函数=~nA，A（x）*) + ~c+~λ（x）*- x） ，如果x∈ ] - ∞, \'\'x\'，νA，A（x），如果x∈ ]\'x，\'x[，~nA，A（x*) - C- λ（x）- 十、*), 如果x∈ [x]+∞[，V（x）=V（2)s-x） +2秒-（s+s）ρ，（4.27），其中（4.5）中定义了函数ДA，Ais和参数“xi，x*i、 Aijare的定义见（4.20）。特别是，我们回忆起对称关系：\'\'x=2\'s- \'x，x*= 2~s- 十、*.此外，回想一下，如果状态小于“x”（分别为），则播放器1（分别为播放器2）会进行干预。

大于x）并将流程移动到x*（分别为x）*).最后，我们注意到，参数ξ=ξ（c，θ，η），定义为（4.17）中函数f的唯一零，满足以下性质：对于给定的参数θ和η，函数c 7→ξ（c，θ，η）=：ξ（c）属于c∞(]0, ∞[）我们有ξ（c）=θη- ξ（c）ξ（c），ξ（c）=-θηξ（c）ξ（c）=-θηη- ξ（c）ξ（c）；（4.28）特别是，以下限制适用：limc→0+ξ（c）=limc→0+cξ（c）=limc→0+cξ（c）=limc→+∞c（η）- ξ（c））=0，limc→+∞ξ（c）=η。（4.29）我们现在重点讨论连续区域“\'x，\'x[和目标态x]的性质*I关于参数c。所有其他参数均假定为固定参数。为了强调对这个参数的依赖性，我们将写下\'xi=\'xi（c），x*i=x*i（c），Aij=Aij（c）和Vi=Vci，fori，j∈ {1, 2}. 对于极限，我们将写出V+i=limc→0+Vci，x*我(+∞) = 极限→+∞十、*i（c）等等。限制为c→ 0+. 因为我们要考虑极限c→ 0+，因为假设我们需要c>~c，在固定的情况下，我们假设c=0。如果固定干预成本消失，则为c→ 0+，我们期望参与者持续干预，以使过程保持一种满足他们两人的状态（即，出于对称性原因，s）：换句话说，我们期望延续区域]-x（c），-x（c）[崩溃为单态{s}，如c→ 0+. 实际上，如果初始状态为x，则玩家1（如果x<s）或玩家2（如果x>s）会将进程切换到s；从那时起，我们一直有Xs≡ 因此，我们猜测玩家2的均衡支付函数isV+（x）=ExZ∞E-ρs（s）- ~s）ds- λ（x）- ~s）{x<~s}+~λ（~s）- x） {x>~s}=s- ~sρ- （)λ{x>~s}+λ{x<~s}）（x- )s）。请注意，就我们的框架而言，这种极限情况在形式上是退化的，从某种意义上说，它需要连续时间的单一干预。

现在，我们通过考虑（4.20）中提供的干预区域的显式表达式，严格证明了这些启发式论证。事实上，极限情况并不像看上去那么简单：参数λ、~λ起着重要作用。提案4.10。假设c=0，λ=λ。那么我们有了，因为我∈ {1,2}和x∈ Rāxi（0+）=x*i（0+）=s，V+（x）=s- sρ+λ（x）- ~s），V+（x）=s- ~sρ- λ（x）- )s）。证据由（4.20）和（4.29）得出，x（c）→ ~s为c→ 0+. 同样的结果适用于“xbysymmetry”，因此也适用于x*i、 自从x*我∈]另外，通过（4.20）和（4.29），我们得到a（0+）=e-θ~sη2θ，A（0+）=-eθ~sη2θ；因此，在证明的第一部分，对于每个x∈ R我们有（回忆一下λ=～λ）V+（x）=A（0+），A（0+）（～s）- λ（x）- ~s）=s- ~sρ- λ（x）- )s）。Vfollows的相应结果是对称的。提案4.11。假设c=0，λ>λ。那么我们就有了x（0+）=x*（0+）=s-ζ<~s+ζ=x*（0+）=\'x（0+），ζ=θ对数sλ-λλ2η+1+sλ-~λ2η> 0.证明。结果紧接着是（4.20）和（4.29）。λ=＠λ的情况对应于上述直觉，其中“xi（0+）=x”*i（0+）=s，对于i∈ {1, 2}.相反，在λ>λλ的情况下，我们得到x（0+）=x*（0+）和¨x（0+）=x*（0+），但令人惊讶的是，这两个值并不一致。我们注意到这里有一个非平凡的相互连续区域]\'x，\'x[=]s- ζ、 ~s+ζ[.实际上，当进程从这样一个区域退出时，其中一个玩家将进程移动到两个边界中的一个，然后她继续干预，使进程保持在该状态，直到布朗运动指向延续区域。然后，游戏继续。限制为c→ +∞. 如果干预成本增加，参与者很少干预。在c的情况下→ +∞, 他们从不干预，我们期望，\'\'x（c），\'x（c）[与R一致。

相应地，状态变量diff的使用不受参与者的影响，即Xs=x+σWs，foreach s≥ 因此，我们猜测玩家2的均衡支付函数为isV+∞（x） =前Z∞E-ρs（s）- 十、- σWs）ds=s- xρ。此外，介入方显然补偿了成本c+λ| x*我-x |将进程移动到一个状态，在该状态下，她的收益大于对手的收益。在案例c中→ +∞, 介入方必须补偿分散的成本，因此我们猜测x*i（c）也会出现分歧。我们现在严格证明我们的猜测。提案4.12。以下限制适用：`x(+∞) = 十、*(+∞) = +∞, \'x(+∞) = 十、*(+∞) = -∞,五+∞（x） =x- sρ，V+∞（x） =s- xρ。证据由（4.20）和（4.29）可以很容易地得出‘x(+∞) = +∞ 还有x*(+∞) = -∞. 根据对称性，相应的结果适用于‘x，x*. 此外，通过（4.20）和（4.29）我们得到(+∞) = A(+∞) = 0;因此，在本证明的第一部分，对于每个x∈ 我们有+∞（x） =~nA(+∞),A(+∞)（x） =s- xρ。Vfollows的相应结果是对称的。xi，x的单调性*i、 如果干预成本c增加，我们预计公共连续区域]\'x（c），\'x（c）[会扩大，因为参与者不太愿意干预。命题4.13使这一猜测变得严格。命题4.13.函数C7→ \'x（c），带c∈]~c+∞[，正在增加，功能C 7→ \'\'x（c）正在减少。证据让我们证明C7→ \'x（c），带c∈]~c+∞[，正在增加。到（4.20）时，需要检查C 7→η+ξ（c）η- ξ（c）θ（λ）-λ+η）4ηcξ（c）-θ~cξ（c）+λ-~λ2η!是一个递增函数。由于ξ>0，一个有效条件是C7→cξ（c），c>~c在增加，即isH（c）=ξ（c）- cξ（c）≥ 0, c>c，这是正确的，因为在（4.29）之前，我们有H（~c+）=0（分别考虑~c=0和~c>0）和H（c）>0。x（c）的结果遵循对称性。至于x的单调性*i、 猜测并不容易。

（4.20）中的公式不允许进行简单的估算；然而，单调性结果可以在c=0的情况下得到证明。稍后我们将通过一些数值模拟看到，在一般情况下，函数x*它不是单调的。提案4.14。假设c=0。然后，函数C7→ 十、*（c） ，带c∈]0, +∞[，正在递减，函数C7→ 十、*（c） 越来越多。此外，我们还有x*< ~s<x*对于每个c>0。证据让我们证明C7→ 十、*（c） ，带c∈]0, +∞[，正在减少。增加（4.20）有助于证明→θ(λ -λ+η）4ηc（η- ξ（c））ξ（c）（η+ξ（c））+λ-~λ2ηη - ξ（c）η+ξ（c）是一个递减函数。由于ξ>0，一个有效条件是C7→c（η）- ξ（c）ξ（c）（η+ξ（c））在减小，即isK（c）=ξ（c）-θc（η）- ξ（c））ξ（c）- θηcξ（c）≤ 0, c>0，这是正确的，因为在（4.29）之前，我们有K（0+）=0和K（c）<0。x的结果*（c） 其次是对称性。最后，我们通过（x）得到不等式*)< 0<（x*)还有x*（0+）=x*（0+）=s.限值为c→ ~c+。我们以c的行为结束本节→ ~c+，在λ=~λ的情况下，即每次干预实际上成为干预玩家向对手的资金转移。很难猜测在这种情况下会发生什么，结果非常令人惊讶：限制策略是不可接受的。提案4.15。假设λ=λ。对我来说，j∈ {1,2}当i6=j时，以下限制成立：\'\'xi（~c+）=x*j（~c+）=s+(-1） i2θ对数η+ξ（~c）η- ξ（c）.证据结果紧接着是（4.20）和（4.29）。基本上，极限情况如下。让我，j∈ {1,2}，其中i6=j；当进程到达“xi”时，玩家i将进程移动到x*i=’xj，这是参与者j的干预区域的边界，参与者j将过程移回‘xi’，从而导致参与者i的另一次干预，依此类推。我们得到了一个同时干预的有限序列，这意味着这些策略是不可接受的。数值模拟。

在这里，我们给出了一些数值模拟的结果（使用Wolfram Mathematica获得），这些模拟是在我们描述的游戏中进行的。我们关注玩家2并考虑以下两组参数：问题1：ρ=0.02，σ=0.15，s=-3，s=3，~c=0，λ=~λ=15。问题2：ρ=0.02，σ=0.15，s=-3，s=3，~c=50，λ=~λ=0。我们在这里考虑对应于∧s=（s+s）/2=0的纳什均衡。图4.1表示平衡支付函数x7→ Vc（x）表示问题1，c=100（虚线对应于函数的三个组成部分）。类似地，在图4.2中，我们绘制了函数x7→ 问题2的Vc（x）和c=100。在这两种情况下，我们都注意到了C-pastingin\'x，而正如第2节所注意到的，函数在\'x\'中是不可微分的。此外，当λ为非零时，函数是无界的。图4.3（对于问题1，使用c∈ ]~c，∞[ = ]0, ∞[）和图4.4（对于问题2，使用c∈]~c，∞[ = ]50, ∞[）显示延续区域和目标状态：即，我们绘制C7→ \'x（c）（蓝色实线）、\'x（c）（绿色实线）、x*（c） （蓝色虚线）和x*（c） （绿色虚线）。如上所述，延拓区域随着c的增长而扩大，随着c的增长而发散→ ∞. 考虑极限情况c→ ~c+：如果~c=0，四个参数收敛到相同的状态~s；相反地，在c>0的情况下，我们看到x*（分别为x）*) 收敛到‘x（resp.’x），这对应于一个可接受的博弈。另外，我们注意到x*（分别为x）*) 当▄c=0时，为递减（相应递增），而在▄c>0的情况下，此类函数不是单调的。最后，我们考虑问题1和X7的演变→ 随着c的增长，Vc（x）：图4.5对应于c=0，图4.6对应于c=250，图4.7对应于c=500。

在极限情况c中，平衡支付函数是一条直线→ 0+，则出现钟形曲线；随着c的增长，局部最大值向左移动，钟的右侧越来越像一条斜率为1/ρ的直线，这实际上是c的极限→ +∞.- 4-202450100150200250图4.1:x7→ 图4.2:x7→ 第2部分的Vc（x）和c=100102050-2-112图4.3:C7→ \'xi（c），x*i（c）问题160708090100-2-112图4.4:C7→ \'xi（c），x*问题2-15-10-551015-600-400-200400600图4.5：问题。1，c=0-15-10-551015-600-400-200400600图4.6：概率。1，c=250-15-10-551015-600-400-200400600图4.7：概率。1，c=4.16。回想一下，命题4.7中的纳什均衡族由s参数化∈ R.在本节中，我们重点讨论了V，Vw在成本参数C>0时的性质，假设s为固定值。根据备注4.4中的公式，我们还得到了在s变化且其他参数固定的情况下，平衡支付函数的一些性质。为了强调对<<s的依赖，我们现在写>>xi=\'xi（<<s）和Vi=V>>si。作为∈ R增加（4.20）公共连续区域]\'x（~s），\'x（~s）[向右移动，这与玩家2的较小值相对应，因为fis减少。事实上，从定义4.1和（4.20）中很容易看出，对于任何x∈ R函数s 7→ V~s（x）在减小，极限为V+∞（x） =-∞ 安德夫-∞（x） =+∞. 类似的结果适用于Vs.4.5进一步的例子第4.2节和第4.3节中的论点可以很容易地适用于其他问题：我们这里提供了一些进一步的例子。