密度预测和杠杆效应：来自

首先，我们有两个创新来源，即ε和ηt。其次，杠杆效应用这些扰动之间的相关性表示。第三，提前一步预测的密度（2.7）-（2.8）是连续混合分布p（yt | Ft）-1,θ) =^∞-∞p（yt | ht，Ft-1，θ）p（ht | Ft-1，θ）dht。（2.9）与观测驱动的模型相反，（2.9）考虑了过去观测的完整密度结构。此外，在（2.7）-（2.8）的上下文中，我们必须区分测量密度p（yt | ht，Ft-1，θ），这显然是高斯分布，预测密度p（yt | Ft）-1,θ). 原因是与p（yt | ht，Ft）相反-1，θ），（2.9）是leptokurtic，seeCarnero等人（2004年）和Koopman等人（2016年）。换句话说，与t-EGARCH（Beta-tEGARCH）类似，（2.9）具有肥尾，尽管ε和ηtin（2.7）-（2.8）遵循N（0，1）。然而，（2.9）不是以封闭形式提供的，因此我们必须求助于模拟，见第3.2.3节数据和模型。下面，我们概述了我们的数据集，并简要讨论了我们如何操作不同的模型。所有计算均在R中进行（R Core Team，2016）。为了减少计算时间，我们使用Sanderson（2010）的armadillo库在C++中编写了大多数例程，并使用Eddelbuettel等人（2016a）和Eddelbuettel等人（2016b）的Rcpp和RcppArmadillo包在R中提供。并行计算依赖于OpenMP API（OpenMP，2008）。观测驱动模型的似然函数的数值优化是使用Ye（1988）的通用非线性增广拉格朗日乘子优化方法进行的，该方法可从Ghalanos和Theussl（2016）的R包Rsolnp中获得。3.1数据我们将分析分为几个部分。

首先，我们使用了从1902年3月3日到2016年4月15日的道琼斯（DJ）每日收益的很长时间序列，总计30921次每日观察。我们的样本包含大量历史事件，如世界大战（我们删除了第一次和第二次世界大战期间丢失的观测）、经济萧条、石油和金融危机，如阿拉伯-以色列战争和2008年大衰退。我们还考虑了使用2004年1月5日至2014年12月31日的数据的较短数据集，包括2768个观察值，这些数据来自标准普尔500指数的432家公司的横截面尺寸。指数构成为2016年1月1日的指数。我们使用全球行业分类标准（GICS）对11个经济部门的企业群体进行分类，见表5。每个行业的企业数量在20到60家之间波动，除了电信服务部门仅显示5家企业和消费者自由裁量权部门显示70家企业。总体而言，我们的样本在资本化水平和债务使用方面都是异质的，见表5。我们使用100×ln（Pt/Pt）将价格序列转换为对数百分比收益序列-1） ，其中Pt（Pt-1） 是时间t（t）的价格吗- 1).截至2016年1月，根据Datastream提供的构成，标准普尔500指数中有504家公司。然后，我们删除了2007年1月没有可用数据的系列，总共有432家公司。3.2模型对于第2节中的模型，我们考虑有杠杆的版本和没有杠杆的版本，我们使用首字母缩写“NL”表示没有杠杆，以区分有杠杆的模型和没有杠杆的模型，更多详细信息请参见表1。t-EGARCH和Beta-tEGARCH（半参数EGARCH）模型的估计通常由（准）最大似然法ML（QML）进行。

Flury and Shephard（2011）的粒子边缘Metropolis Hastings（PMMH）采样器是一种计算有效的技术，用于获得非线性非高斯状态空间模型似然函数的无偏估计。在本文中，我们实现了与Flury和Shephard（2011）相同的粒子滤波算法。与其他技术（如最大模拟似然法）相比，MSL、PMMH有几个很好的特性：首先，估计似然的相对方差仅在时间上呈线性增加，这使得它在大时间序列中也能工作。第二，与MSL相反，在MSL中，粒子数M在确定θ的渐近性质中起着重要作用，在我们的上下文中，关于M的唯一关注点是选择M，以确保似然估计不太抖动，这样链就不会卡在特定值上，参见Flury和Shephard（2011）的图3。在本文中，我们发现M=100非常有效，为我们提供了合理的MH接受率。最后一个问题是，是否可以比较基于ML的观测驱动模型和基于Bayesian PMMH的参数驱动模型的估计输出。我们建议读者参考胡格海德等。（2012年），研究表明，在经典或贝叶斯框架下估计的模型所提供的密度预测确实具有可比性。4实证结果我们使用表1中的模型来获得和评估h=1、5和20天的预测。每次预测都基于对基础模型的重新估计，使用1000个观测值的滚动窗口，这相当于大约4年的数据。换言之，在每一步中，当新的观测值到达时，将重新估计模型，并使用递归预测方法计算未来h个周期的密度预测，见Marcellino等人（2006）。

对于DJ数据，样本外期包括从1905年7月7日到2016年4月15日的29921次观测。如前所述，在标准普尔500指数股票收益率的背景下（考虑到我们考虑的是432return系列），为了减少计算负担，我们每40天而不是每天重新估计一次模型。换句话说，参数在40天窗口内固定，只更新数据。样本外期包括从2007年12月24日到2014年12月31日的1768次观测。使用Diebold和Mariano（1995）的程序对不同预测之间预测能力相等的假设进行了检验。4.1预测评估方法我们根据Gneiting和Ranjan（2011）中介绍的加权连续排名概率分数（wCRPS）评估模型中的密度预测。wCRPS绕过了通常使用的对数分数（预测密度的对数）的一些缺点，因为对数分数不会奖励预测密度中接近但不等于实际实际值的值，有关详细信息，请参阅Gneiting和Raftery（2007）。日志分数对异常值也非常敏感，这是财务数据的一个常见特征。此外，Gneiting和Ranjan（2011）表明，使用加权对数分数强调分布的某些区域是无效的。模型i的wCRPS测量了yt+h的经验累积分布函数（CDF）和与模型i的预测密度相关的预测CDF之间的平均绝对距离（CDF是yt+h中的一个阶跃函数）。此外，经验CDF和预测CDF之间的比较也可以通过强调特定感兴趣区域的函数进行加权，例如预测密度的中心或尾部。

我们在时间t+h将wCRPS定义为模型i，条件是时间t的信息为WCRPSIT+h | t=^∞-∞w（z）^Fit+h | t（z）-I（y+h<z）dz，（4.1），其中w（z）是权重函数，而^Fit+h | t（z）是模型i的h阶前累积密度函数，在z处进行计算。最简单的情况是w（z）=1，我们称之为“均匀”。顾名思义，当w（z）=1时，我们对预测密度的每个区域施加相同的权重，另见片麻岩和Ranjan（2011）。此外，w（z）=1，我们还考虑了w（z）的不同替代配方，见表2。通过这种方式，我们也能够专注于分布的不同部分，更好地理解一个模型相对于另一个模型的最终改进来自何处。但是，（4.1）不以封闭形式提供。因此，我们使用近似值wcrpsit+h | t≈于- ylK- 1K∑k=1w（yk）^Fit+h|t（yk）-I（yt+h<yk）, （4.2）式中yk=yl+kyu- ylK。（4.3）在（4.2）中，yuand yla是上限和下限值，定义了积分范围。通过K，近似的精度可以提高到任何期望的水平。在本文中，我们设置为：-100、yu=100和K=1000，这对以百分比表示的每日回报率非常有效。通常首选平均WCRP较低的模型。换句话说，如果模型i与j的WCRP比大于1，则模型j优先于模型i，反之亦然。4.2道琼斯指数我们从两两模型比较开始分析，将杠杆模型与没有杠杆效应的模型进行比较。我们在表3中报告了没有杠杆效应的模型与有杠杆效应的模型的WCRP比率。例如，“t-EGARCH”列报告了各种w（z）选择下t-EGARCH对t-EGARCH-NL的平均WCRP，见表2，h=1、5和20。

显然，当w（z）=1（我们称之为均匀分布）时，w（z）在条件分布中的权重相等。在这种情况下，对于每种模型类型，考虑杠杆效应的版本能够比不考虑杠杆效应的版本生成统计上更准确的密度预测。在h=1时，平均而言，我们获得了约3%至5%的WCRP降低。在h=5和h=20时，考虑杠杆效应不会导致Beta-t-EGARCH和SV的任何重大变化。相反，在h=20时，Beta-t-EGARCH-NL显著优于Beta-t-EGARCH。相反，在h=20时，t-EGARCH和Spegarchd占其无杠杆对手的10%以上。接下来，我们用不同的w（z）进行实验，更多细节见表1。我们观察到，与没有杠杆效应的模型相比，具有杠杆效应的模型尤其能够更好地预测条件分布的尾部。这在h=1时非常明显。相反，我们从中心获得的改进较少。与SV NL相比，h=1时的SV尤其值得注意，当w（z）=1时，我们在尾部获得约8%的改善，而当我们关注条件分布的中心时，则获得5%或3%的改善。在h=5和h=20时，我们继续观察到类似的趋势，但改善幅度较小。对于Betat EGARCH和SV，趋势相反。与w（z）=1时类似，随着h的增加，t-EGARCH和SPEGARCHare能够预测条件回报分布的尾部和中心，显著优于t-EGARCH-NL和SPEGARCH-NL。商业周期和相对预测绩效之间的联系可能会揭示具有杠杆效应的模型的预测能力来源。

假设4wCRPS表示没有杠杆效应的模型的wCRPS与考虑杠杆效应的模型的wCRPS之间的差异。图1中的每个面板都报告了h=1时样本外期间的累积4WCRP。直线向上倾斜的时期代表具有杠杆效应的模型优于不具有杠杆效应的模型的时期，而向下倾斜的线段则表示相反的时期。蓝色竖线表示商业周期峰值，即根据NBER商业周期测定，经济扩张过渡到衰退的点。直观地说，随着与更重的参数化杠杆模型相关的额外估计误差增加了相对于没有杠杆效应的模型的WCRP，人们预计这些曲线图在平静期会稳定下降。当然，在高波动期，预期情况正好相反，因为忽略杠杆效应应该会在没有杠杆效应的情况下增加模型的WCRP。图1显示，具有杠杆效应的模型的收益通常集中在经济扩张结束和收缩开始（峰值）之间的最高点附近，以及经济活动下降和向扩张过渡（低谷）结束的时期。前者在2008年的大衰退期间非常明显，我们获得了非常显著的收益，支持具有杠杆效应的模型。后者在20世纪80年代初和21世纪中期经济衰退后的时期非常明显。有杠杆效应和无杠杆效应的模型在平静期产生类似的密度预测。例如，在21世纪初开始增长之前的大缓和期间，这些线会发生变化。

显然，在经济动荡时期估计更复杂的杠杆模型所带来的额外误差并不一定会导致更糟糕的密度预测。t-EGARCH和SPEGARCH表现出与Beta-tEGARCH相似的模式。我们还发现，考虑杠杆效应的模型与其相对绩效之间存在一些差异。除了大萧条和21世纪初，直到样本Beta-t-EGARCH和Beta-t-EGARCH-NL结束，都产生了类似的密度预测。因此，表3中Beta-t-EGARCH的更好性能主要是由于该模型能够在样本结束时生成更准确的密度预测。Beta-t-EGARCH预测条件分布左尾的能力也集中在大衰退期间。SV的故事有些不同。在这里，我们观察到SV在20世纪50年代和60年代取得了巨大的进步。其他有趣的结果来自不同模型之间的比较。在表4中，我们报告了相对于t-EGARCH-NL使用不同w（z）的WCRP。在h=1时，除SVNL和SPEGARCH-NL之外的所有模型生成的密度预测在统计学上比基准t-EGARCH-NL模型更准确。Beta-t-EGARCH表现最好，其次是SV和t-EGARCH。尤其是，Beta-t-EGARCH比其他模型能够更好地预测条件分布的尾部。在h=5时，Beta-t-EGARCH、SV和Beta-t-EGARCH-NL可生成比其他模型更精确的密度预测。SV-NL的表现也优于t-EGARCH和SPEGARCH。然而，与Beta-t-EGARCH-NL和SV-NL相比，对于Beta-t-EGARCH和SV，我们观察到的收益较少。此外，Beta-t-EGARCH-NL能够在h=5时生成与SV非常相似的密度预测，在h=20时甚至做得更好，尤其是对于尾部。

一般来说，与Beta-t-EGARCH和SV相比，t-EGARCH和SPEGARCH在生成更准确的密度预测方面是值得注意的。当w（z）=1时，t-EGARCH和SPEGARCHOUTP在h=1时的表现约为2%，在h=5时为4%，在h=20时为13%。在附录A.1中，我们重复我们的预测工作，然而，我们关注的是从1921年到2016年的每周DJ回报，h=1、4和12，即一周、一个月和一个学期，见表14。在h=1时，两两模型比较表明，具有杠杆效应的模型比没有杠杆效应的模型生成更准确的密度预测。当w（z）=1时，Beta-tEGARCH的表现最好，但与t-EGARCH、SPEGARCH和SV相比只有1%。在预测条件分布的中心和左尾时，t-EGARCH、Beta-t-EGARCH-NL、Beta-t-EGARCH和SV能够生成比t-EGARCH-NL更准确的统计预测。在h=4时，t-EGARCH-NL（SPEGARCH-NL）和t-EGARCH（SPEGARCH）生成相似的密度预测，而Beta-t-EGARCH-NL和SV-NL分别优于Beta-t-EGARCH和SV。因此，杠杆模型超越无杠杆对手的能力似乎取决于频率。我们在h=12时观察到这些模型的相同模式，其中ST EGARCH和SPEGARCH生成的密度预测比其非杠杆对应模型更准确。在h=4和12时，Beta-t-EGARCH-NL表现最佳，比Beta-tEGARCH高出约2%。最后，我们还计算了该规格的4WCRP，该规格与每种型号的杠杆效应无关。在这里，我们得到了杠杆效应和商业周期之间稍有不同的关系。事实上，在大缓和期间，我们实际上看到了一条向下倾斜的线。

除2008年外，在市场低迷和衰退时期，4WCRP的向上水平变化不太明显，见图2.4.3标准普尔500。如前所述，我们还考虑使用标准普尔500指数中企业的横截面维度，从2004年到2014年的较短数据集。我们考虑与前一节相同的模型，并在h=1、h=5和h=20时生成密度预测。样本期从2007年12月24日至2014年12月31日。在表6中，我们报告了具有杠杆效应的模型比没有杠杆效应的模型对每种模型类型生成更准确密度预测的百分比。根据Diebold和Mariano（1995年）的数据，在括号中，我们报告了这些改进静态显著的百分比。显然，对于每种模型类型，考虑杠杆效应的规范通常能够比没有杠杆效应的模型生成更准确的密度预测。与第4.2节类似，随着h的增加，考虑杠杆效应的改进对Beta-tEGARCH和SV的影响较小，而对t-EGARCH和SPEGARCH则相反。我们还根据表2通过改变w（z）进行了实验。在这里，我们观察到非常有趣的结果。当w（z）=φ（z）时，w（z）=1- φ（z）/φ（0）和w（z）=Φ（z），我们通常得到与w（z）=1时类似的结果。然而，当w（z）=1- Φ（z），即左尾，我们发现百分比高于其余病例。这主要是因为与DJ相比，股票收益率序列包含更频繁的负极端观察。考虑到考虑杠杆效应成对的模型优于非杠杆模型，我们继续比较杠杆模型之间的密度预测。