密度预测和杠杆效应：来自

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英文标题：
《Density Forecasts and the Leverage Effect: Some Evidence from
  Observation and Parameter-Driven Volatility Models》
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作者：
Leopoldo Catania and Nima Nonejad
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The leverage effect refers to the well-established relationship between returns and volatility. When returns fall, volatility increases. We examine the role of the leverage effect with regards to generating density forecasts of equity returns using well-known observation and parameter-driven volatility models. These models differ in their assumptions regarding: The parametric specification, the evolution of the conditional volatility process and how the leverage effect is accounted for. The ability of a model to generate accurate density forecasts when the leverage effect is incorporated or not as well as a comparison between different model-types is carried out using a large number of financial time-series. We find that, models with the leverage effect generally generate more accurate density forecasts compared to their no-leverage counterparts. Moreover, we also find that our choice with regards to how to model the leverage effect and the conditional log-volatility process is important in generating accurate density forecasts
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中文摘要：
杠杆效应指的是回报率和波动率之间的既定关系。当回报率下降时，波动性增加。我们使用著名的观察和参数驱动的波动率模型，研究杠杆效应在生成股票收益密度预测方面的作用。这些模型在以下方面的假设有所不同：参数规格、条件波动过程的演变以及杠杆效应的解释方式。利用大量金融时间序列，对模型在是否考虑杠杆效应时生成准确密度预测的能力以及不同模型类型之间的比较进行了研究。我们发现，与没有杠杆效应的模型相比，具有杠杆效应的模型通常能生成更准确的密度预测。此外，我们还发现，我们在杠杆效应和条件对数波动过程建模方面的选择对于生成准确的密度预测非常重要
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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PDF下载：
--> Density_Forecasts_and_the_Leverage_Effect:_Some_Evidence_from_Observation_and_Pa.pdf (2.76 MB)

2022-5-11 06:38:55 上传

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关键词：杠杆效应 密度预测 Applications Quantitative epidemiology

密度预测和杠杆效应：来自观测和参数驱动的证据*摘要杠杆效应是指收益率和波动率之间建立的良好关系。当回报率下降时，波动性增加。我们使用著名的观察和参数驱动的波动率模型，通过Regards生成股票收益的密度预测来检验杠杆效应的作用。这些模型在以下方面的假设各不相同：参数规格、条件波动过程的演变以及杠杆效应的计算方式。利用大量的金融时间序列，对模型在是否考虑杠杆效应时生成准确密度预测的能力以及不同模型类型之间的比较进行了研究。我们发现，与没有杠杆效应的模型相比，具有杠杆效应的模型通常能生成更准确的密度预测。此外，我们还发现，我们在杠杆效应和条件对数波动过程建模方面的选择对于生成准确的密度预测非常重要。关键词：条件波动率、密度预测、杠杆效应、wCRPS（JEL:C11、C22、C51、C53）*b:奥尔堡大学数学科学系。Fredrik Bajers Vej，7G，9220，丹麦奥尔堡东部。电子邮件：nimanonejad@gmail.com.答：罗马大学托弗加塔分校经济与金融系。途经哥伦比亚，200133，意大利罗马。电子邮件：leopoldo。catania@uniroma2.it.本论文的前一版本以“波动率模型的密度预测比较”为题分发。1简介如何对波动率进行建模是金融计量经济学中一个非常重要的问题。波动过程的行为在衍生品定价和投资组合优化中具有重要意义。

它还受到政策制定者、中央银行和市场参与者的极大关注，因为它可以作为衡量风险的指标。债券、商品、汇率和股票价格的变化对金融市场的稳定性以及价格变化对经济的影响提出了重要问题。例如，对于依赖石油的国家来说，原油波动性的意外变化可能意味着巨大的损失（收益），从而降低收入（更高的收入），对经济产生负面（积极）影响。由于这些原因，多年来已经开发了大量的波动率模型，参见Poon和Granger（2003）的综述。然而，尽管波动性在金融计量经济学中扮演着非常重要的角色，但使用它存在一个固有的问题：波动性是潜在的，无法直接观察到。此外，没有独特或普遍接受的方式来定义它。到目前为止，最流行的模型波动性方法是广义自回归条件异方差（GARCH）框架，由Engle（1982）和Bollerslev（1986）引入。GARCH属于Cox（1981）定义的观察驱动模型。在GARCH框架内，条件波动率是滞后观测和条件波动率的确定函数。这一简单的规范能够捕捉金融时间序列的重要程式化事实，如对数收益率的重尾、均值回归和波动率聚类。此外，通过预测误差分解，GARCH的似然函数是封闭形式的。这反过来又导致通过最大似然法进行简单而快速的估计，并部分解释了GARCHmodels在应用计量经济学中的流行。最近，Hansen和Lunde（2005）在描述条件方差的能力方面比较了三百多个拱型模型。

样本外比较没有证据表明，在汇率方面，简单的GARCH（1,1）比更复杂的模型表现更好。另一方面，GARCH（1,1）模型明显低于能够在股票数据背景下适应杠杆效应的模型。最近，Creal等人（2013年）和Harvey（2013年）提出了一类新的观测驱动模型，称为广义自回归评分（GAS），或等效的动态条件评分（DCS）模型。与GARCH类似，使用最大似然技术对气体模型进行估计非常简单。然而，与GARCH相反，更新参数的机制是通过可观测变量的条件分布的标度分数来实现的。Creal等人（2013年）证明，该方法提供了一个统一且一致的框架，用于在一大类非线性模型的模型参数中引入时间变化。在观测驱动的波动率模型中，条件波动率使用滞后观测和条件波动率的确定函数进行更新。在参数驱动的波动率模型中，条件波动率被建模为具有特殊创新的动态过程。包含GARCH框架。Harvey（2013）和Koopman等人（2016）认为，GASP提供了与非线性非高斯状态空间模型相同的通用性，与GAS相比，后者通常更难估计。库普曼等人使用蒙特卡罗模拟。（2016）表明，当数据生成过程是一个非线性状态空间模型时，（错误指定的）气体模型的预测精度（就点预测而言）与（正确指定的）非线性状态空间模型的预测精度相似。

对于九个时变参数模型，大多数情况下，来自气体而非正确状态空间模型的均方误差损失小于1%，且从未超过2.5%，有关更多详细信息，请参见Koopman等人（2016）。替代GARCH和GAS模型的是inTaylor（1986）引入的随机波动率（SV）模型，它代表了本文中参数驱动波动率模型的示例。在这个框架中，条件对数波动率被建模为一个不可观测的过程，具有特质创新。通常，我们假设条件对数波动率遵循orderone AR（1）的自回归，这是期权定价中使用的扩散过程的离散时间方法，参见Hull and White（1987）。一般来说，SV已被证明比GARCHtype模型更具吸引力。例如，Jacquier等人（1994）发现，与GARCH相比，SV对平方收益的自相关模式有更好、更稳健的描述。Kim等人（1998年）表明，基本SV模型比GARCH模型提供了更好的样本函数。然而，SV模型没有封闭形式的似然函数。因此，在大多数情况下，我们必须借助模拟技术来估计它，更多细节请参见Kim等人（1998）、Koopman和Uspensky（2002）、Fluryand Shephard（2011）和Koopman等人（2016）。自Black（1976）和Christie（1982）以来，收益率和波动率之间的关系一直备受关注。价格的变化及其与波动性的关系可能意味着金融市场投资者的巨大损失或收益。杠杆在微观层面也发挥着重要作用，如企业的资产波动性，参见Choi and Richardson（2016）。可以追溯到Crane（1959）的通常说法是，收益率和波动率的变化是负相关的。

这种关系背后的理论背景是由金融经济学家根据著名的莫迪利亚尼-米勒框架（见Black and Scholes（1973））开发的。该理论表明，股权价值的下降会增加负债与股权比率（杠杆率），从而增加企业的风险，进而转化为更高的波动水平。如今，众所周知，这一理论并不适用于真正的单词，参见Figlewski和Wang（2000）。然而，收益率和波动率之间的负相关仍然是金融时间序列中一个公认的典型事实，见McNeil等人（2015）。观察和参数驱动的波动率模型以不同的方式纳入杠杆效应。对于前者，杠杆效应直接包含在条件波动率方程中。负收益和正收益创新对条件波动率的影响是不对称的。对于后者，杠杆效应通过收益率和对数波动率创新之间的相关系数来表示。显然，观测和参数驱动模型的一个重要目的是生成样本外预测。考虑到这些模型的不同性质，评估这些方法的相对优点非常有趣。一般而言，大多数研究侧重于条件波动性预测，例如，见Hansen和Lunde（2005）和Koopman等人（2016）。然而，考虑到从业者对获得条件回报分布（回报密度）的完整描述的兴趣，因此，比较不同效用模型之间的密度预测似乎是正确的。此外，正如Koopman等人所述。

（2016年），不同波动率模型的比较分析通常不包括参数驱动的模型，因为与观察驱动的模型相比，它们在计算上更残酷。据我们所知，关于著名观测的能力以及参数驱动模型生成准确密度预测的能力，我们知之甚少。因此，使用大量不同的时间序列进行大规模分析似乎是正确的。本文的目的就是要解决这一点。特别是，继Koopman等人（2016年）之后，我们考虑了四个波动率模型（三个观察和一个参数驱动），每个模型都有和没有杠杆效应（总共八个模型），并使用400多个金融时间序列进行了样本外密度预测比较。首先，我们考虑了从1902年到2016年道琼斯指数日（周）收益的很长时间序列。然后，我们关注标准普尔500指数的个人收益序列，涵盖2004年至2014年的能源、金融、电信和公用事业等行业。通过这种方式，我们可以（a）：确定杠杆效应在多大程度上使模型能够生成准确的密度预测，（b）：哪种模型在给定的预测范围内表现最好，以及（c）：结果如何在预测范围和回报之间变化。本文的剩余内容如下：第2节讨论了模型框架。第3节介绍了数据和模型。第4节讨论了结果，最后一节总结。论文附带的补充材料包含额外的结果。2计量经济学框架，。。。，yt表示T×1的收益序列。在本文中，我们感兴趣的是在所有可用信息的条件下，对收益率分布的波动性进行建模。

我们的一般表示法假设，在时间t，yt观察到的收益率是由yt=∧（ht）εt生成的，其中，t时的条件对数波动率，∧（·）是一个非线性链接函数，ε是一个独立于∧（ht）的白噪声。然后，我们预测了yt，p（yt+h | Ft，θ）的h（h>0）阶跃条件密度，其中ftt表示时间t的信息集，θ是控制ht的模型参数的向量。使用片麻岩和Ranjan（2011）的加权连续RankedProbability Score（wCRPS）标准进行模型比较。wCRPS还用于评估模型预测条件分布特定部分的能力，如中心和尾部。2.1观察驱动模型在观察驱动模型中，HTC依赖于其自身的滞后值和ytin的滞后值。在本文中，我们最简单的描述是Nelson（1991）引入的t-EGARCH（p，q）模型。我们设定p=1和q=1。因此，我们的t-EGARCH（1,1）被给出asyt=exp（ht/2）εt，εt~ St（v）（2.1）ht+1=ω+α（|εt）|- E[|εt |]+γεt+βht，（2.2），其中St（v）代表v>2自由度的学生t分布。（2.1）中学生t分布的选择是因为财务回报往往表现出过度峰度（即峰度>3），这不是高斯分布的正确解释，例如，见Conero等人（2004）和McNeil等人（2015）。在（2.2）中，ω是条件对数波动率的水平，α和β决定了过去观测和条件波动率对Ht的影响，γ控制着杠杆效应。术语E[|εt |]是折叠学生t分布的平均值，seePsarakis和Panaretoes（1990年）。包含该术语意味着εt- E[|εt |]是关于Ft的鞅差序列-1.因此，无条件对数波动率水平h表示为ω/（1）- β).

此外，his被视为与ω、α、γ、β和v一起估计的附加参数。由于（2.1）中的指数链接函数，条件波动率始终为正，并且在估计过程中施加的唯一约束是确保HTI |β|<1的平稳性，另见Nelson（1991）。当εt>0时，α+γ决定了对过去观测的响应。当εt<0时，响应的大小为α- γ. 显然，当γ<0时，我们有杠杆效应，因此收益的减少增加了波动性。最近，Harvey（2013）介绍了Beta-t-EGARCH（p，q）模型，该模型属于分数驱动模型，另见Creal等人（2013）。与（2.1）-（2.2）类似，我们设置p=1和q=1。按照与Harvey（2013）相同的符号，我们的Beta-t-EGARCH（1,1）模型给出了asyt=exp（ht）εt，εt~ St（v）（2.3）ht+1=ω+αut+sgn(-εt）γ（ut+1）+βht，（2.4），其中在（2.4）中，sgn（x）返回变量x的符号，utis是yt相对于htut的分布的分数=（v+1）εt/（五）-2） +εt- 1.如Harvey（2013）所述，（2.3）-（2.4）与更简单的tEGARCH模型相比，具有对极端观测的鲁棒性。通过比较httoεt的响应，可以很容易地看出Beta-t-EGARCH相对于t-EGARCH的鲁棒性。事实上，除去控制的杠杆效应，我们发现p=1和q=1通常运行良好，增加p或q并不会增加生成密度预测的任何显著改善。同样的结论也适用于Beta-t-EGARCH和SPEGARCH。根据γ，对于t-EGARCH，HTF的响应在εt中是分段线性的，而对于Beta-t-EGARCH，它是一个以v为界的mooth函数。对于Beta-t-EGARCH模型，杠杆效应的包含比对于t-EGARCH更直观。

事实上，由于ut+1总是正的，如果εt<0，那么t+1时的波动性水平在γ>0时增加γ（ut+1）。因为ut，是关于Ft的鞅差-1，Ht的无条件平均值由ω/（1）给出- β ). 与tot EGARCH类似，his估计了模型参数θ。t-EGARCH和Beta-t-EGARCH都假设εt的参数规格相同，即εt~ St（v）。为了研究杠杆效应在半参数框架中的作用，我们还考虑了半参数EGARCH模型，我们将其命名为SPEGARCH（1,1）。特别是，我们遵循Pascual等人（2006）的观点，假设Yt=exp（ht/2）εt，εtiid~ （0,1）（2.5）ht+1=ω+α|εt |+γεt+βht，（2.6）式中，εtiid~ （0,1）表示ε是白噪声冲击的iid序列，平均值为0，方差为1。与t-EGARCH类似，在最大化过程中施加的唯一约束是|β|<1。请注意，与（2.1）-（2.2）相反，（2.6）不包括E[|εt |]，因为εtin（2.5）明显缺乏参数化分类，类似方法另见Straumann和Mikosh（2006）。2.2参数驱动模型在参数驱动模型的背景下，我们考虑了随机波动率（SV）模型，seeKim等人（1998），Malik和Pitt（2011）以及Flury和Shephard（2011）。SV模型为asyt=exp（ht/2）εt，εt~ N（0,1）（2.7）ht+1=u+φht+σηtηt~ N（0,1），（2.8），其中u是条件波动水平，φ和σ分别表示波动的持续性和条件波动性。我们遵循Kim等人（1998）的观点，并将|φ|<1与初始条件h结合起来~ Nu, σ/1.-φ. 在（2.7）-（2.8）中纳入杠杆的通常方法是假设ε和ηt之间存在相关性，即[εtηt]=ρ和|ρ|<1。因此，负冲击时间t增加了时间t+1的波动性。此外，（2.7）-（2.8）在重要方面与第2.1节中的模型不同。