密度预测和杠杆效应：来自

在表7和表8中，我们报告了当w（z）=1和w（z）=1时，每个杠杆模型能够比其他杠杆模型生成更准确密度预测的时间百分比- Φ（z）。当w（z）=φ（z），w（z）=1时的结果- φ（z）/φ（0）和w（z）=Φ（z）在附录A.1的表15至17中报告。在这里，我们发现Beta-t-EGARCH显然是赢家。与其他leveragemodels相比，Beta-t-EGARCH能够生成更准确的密度预测。当w（z）=1时- Φ（z）是一个有趣的例子，结果再次证实了Beta-t-EGARCH的优越性能，见表8。然而，选择第二好的模型更加困难。在h=1时，t-EGARCH和SV产生相似的百分比。同时，他们都倾向于跑赢斯佩加什。随着h的增加，我们发现SV的表现往往优于tEGARCH和SPEGARCH。例如，在h=5时，SV在大多数情况下都优于t-EGARCH和SPEGARCHin。当h=20时，这个百分比分别增加到76和73。接下来，我们将根据表5中报告的行业对股票进行分解，分析考虑杠杆效应的模型与不考虑杠杆效应的模型之间的差异。在表9和表10中，我们报告了w（z）=1和w（z）=1的结果- Φ（z）。当nw（z）=φ（z），w（z）=1时的结果- φ（z）/φ（0）和w（z）=Φ（z）见附录A.1。总体而言，我们观察到与表6类似的趋势，即使我们在行业层面考虑股票。与没有杠杆效应的模型相比，平均考虑杠杆效应的模型能够生成更准确的密度预测。Beta-t-EGARCH和SV生成的密度预测比Beta-t-EGARCH-NL和SV-NL更准确，百分比非常高。然而，百分比随着h的增加而减少。对于t-EGARCH和SPEGARCH，情况正好相反。

我们还观察到行业和预测范围内的一些变化。例如，在房地产和电信领域，Beta-t-EGARCH和SV的支持率通常较低，而在金融和医疗领域，这一比例较高。当w（z）=1时- Φ（z），我们再次观察到，与没有杠杆效应的模型相比，考虑杠杆效应的模型能够更好地预测条件回报分布的左尾。在表11至表13中，我们报告了标准普尔500指数中h=1、h=5和h=20相对于t-EGARCH的20种股票（与inKoopman等人（2016）的股票完全相同）的WCRP。为了节省空间，我们报告了w（z）=1的结果，其他情况下的结果类似。一般来说，对于每种模型，具有杠杆效应的规格往往优于不具有杠杆效应的规格。也有一些情况下，没有杠杆效应的规范能够比有杠杆效应的模型产生更准确的密度预测，例如，波音和卡特彼勒在h=1时的SV。然而，与t-EGARCH、SPEGARCHand SV相比，Beta-t-EGARCH提供了最一致的模式，即Beta-t-EGARCH始终比Beta-t-EGARCH-NL生成更准确的密度预测。与第4.2节中报告的结果类似，通过模型类型之间的比较也获得了其他有趣的结果。在这里，我们发现Beta-t-EGARCH的表现最好。在h=1时，Beta-t-EGARCH的表现优于其他考虑杠杆效应的模型，约为4%至10%。例如，雪佛龙Beta-t-EGARCH的表现优于SV 6%，而t-EGARCH的表现优于SV 4%。另一方面，与SV和t-EGARCH相比，Beta-t-EGARCH有利于通用电气的收益约为10%。在h=1时，在大多数情况下，第二好的模型是Betat EGARCH NL。

事实上，在我们的20个收益系列中，Beta-t-EGARCH-NL的表现优于tEGARCH、SPEGARCH和SV模型。与t-EGARCH-NL相比，t-EGARCH能够生成统计上更准确的预测，而SV和SV-NL生成类似的预测。在h=5和h=20时，我们发现Beta-t-EGARCH仍然是表现最好的，紧随其后的是Beta-t-EGARCH-NL。同时，与t-EGARCH和SV相比，改善的幅度增加。例如，雪佛龙Beta-t-EGARCH在h=5时的表现比SV好8%，比tEGARCH好6%。对于通用电气，在h=5时，与SV和T EGARCH相比，增益分别约为10%和14%。我们还发现，随着h的增加，SV和SV-NL都能够生成比t-EGARCH和t-EGARCH-NL更精确的密度预测。最后，SPEGARCH倾向于生成与t-EGARCH类似的预测。4.4总结那么，我们从第4.2节和第4.3节报告的结果中学到了什么对于每种模型类型：（2.1）-（2.2），（2.3）-（2.4），（2.5）-（2.6）和（2.7）-（2.8），具有杠杆效应的规范能够比没有杠杆效应的规范生成更准确的密度预测。与h=20相比，Beta-t-EGARCH和SV在h=1和h=5时的表现相对优于无杠杆的同类产品，而我们观察到t-EGARCH和SPEGARCH的相反趋势。因此，参数规格和我们如何选择合并杠杆效应会影响不同预测视野下的样本外绩效。此外，我们发现，与无杠杆模型相比，说明杠杆效应的规范能够预测条件回报分布的尾部，在某些情况下，还能够预测条件回报分布的中心。

当我们考虑标准普尔500指数中的股票时，后一点非常明显，对于每种模型类型，考虑杠杆效应的规范能够预测收益有条件分布的左尾，远远好于没有杠杆效应的模型商业周期和杠杆效应之间存在关系。具有杠杆效应的模型的预测收益集中在经济扩张结束和收缩开始（峰值）之间的最高点附近，以及经济活动下降和扩张过渡（低谷）结束的时期。在每日频率上，有杠杆效应和无杠杆效应的模型在平静期产生类似的密度预测。显然，与在平静期估计更复杂的杠杆模型相关的额外估计误差不一定会导致更差的密度预测，这意味着我们可以不太担心偏差方差的抵消。当我们将数据频率降低到每周观察时，在平静期增加杠杆效应会产生负面影响。此外，累积的WCRPSSASSO还表明，随着数据频率的降低，考虑杠杆效应的好处会减少。换句话说，考虑杠杆效应的影响取决于数据的频率。与每日频率相比，在大多数情况下，无杠杆模型能够预测左尾，就像具有杠杆效应的模型一样结果表明，Beta-t-EGARCH的表现最好。我们还发现，在某些情况下，Beta-t-EGARCH-NL的表现也优于t-EGARCH、SPEGARCH和SV。

换句话说，除了考虑杠杆效应外，我们如何选择指定参数规格和条件波动过程的演变，与杠杆效应在生成准确的密度预测方面同样重要从业者感兴趣的是能够（i）：确定哪个模型生成了最精确的密度预测，（ii）：以相当节省的方式执行递归模型估计，即能够获得每个样本外观测的参数估计，同时保持合理的计算时间。考虑到（i）和（ii），结果表明Beta-t-EGARCH是首选模型。5结论在本文中，我们使用著名的观察和参数驱动的波动率模型来检验杠杆效应在生成准确的收益密度预测方面的作用。这些模型在以下方面的假设有所不同：参数规格、条件波动过程的演变以及杠杆效应如何纳入模型。考虑到每日道琼斯指数和标准普尔500指数中的400多只股票，我们发现，与没有杠杆效应的模型相比，具有杠杆效应的模型通常会产生更准确的密度预测。具有杠杆效应的模型的预测收益集中在经济衰退开始时，以及经济活动衰退和扩张过渡结束时。两种可用性模型之间的比较表明，无论预测范围如何，Beta-t-EGARCH都是表现最好的。我们还发现，在某些情况下，Beta-t-EGARCH-NL的表现也优于t-EGARCH、SPEGARCHand SV。

换句话说，除了考虑杠杆效应外，我们如何选择指定参数规格和条件波动过程的演变对于生成准确的密度预测也很重要。总体而言，我们推荐Beta-t-EGARCH，因为它在保持合理计算时间的同时表现最佳。参考文献[1]布莱克，1976年出版。股票价格波动变化的研究。1976年商业和经济统计科会议记录，第177-181页。美国统计协会，华盛顿特区[2]布莱克，F.和斯科尔斯，M.1973。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》81637-654。[3] Bollerslev，T.1986。广义自回归条件异方差。经济计量学杂志31307-327。[4] 克里斯蒂，A.A.1982年。普通股方差的随机行为：价值、杠杆和利率效应。《金融经济学杂志》第10期，407-432页。[5] Carnero，M.A.，Pe~nA，D.，和Ruiz，E.2004。GARCH和随机波动率模型中的持续性和峰度。金融计量经济学杂志2319-342。[6] Choi，J.和Richardson，M.2016。企业资产的波动性和杠杆效应。《金融经济学杂志》121254-277。[7] 考克斯，1981年。时间序列的统计分析：一些最新进展。斯堪的纳维亚统计杂志8，93-115。[8] 克雷恩，生于1959年。《老练的投资者：股市保护者指南》。西蒙和舒斯特。[9] Creal，D.，Koopman，S.J.，和Lucas，A.2013。广义自回归评分模型及其应用。应用计量经济学杂志28777-795。[10] 迪博尔德，F.X.和马里亚诺，R.S.1995年。比较预测准确性。

商业与经济统计杂志13，134-144。[11] Eddelbuettel，D.，Francois，R.，Allaire，J.，Ushey，K.，Kou，Q.，Bates，D.，和Chambers，J.2016a。Rcpp：R和C++的无缝集成。R软件包版本0.12.7。[12] Eddelbuettel，D.，Francois，R.，和Bates，D.2016b。RcppArmadillo：Armadillo模板线性代数库的Rcpp集成。R软件包版本0.7.400.2.0。[13] 恩格尔，R.F.1982。自回归条件异方差与英国通货膨胀方差估计。计量经济学50987-1007。[14] Figlewski，S.和Wang，X.2000。“杠杆效应”是杠杆效应吗？电话：256109。[15] T.Flury和Shephard，N.2011。仅基于模拟可能性的贝叶斯推断：动态经济模型的粒子滤波分析。计量经济学理论27933-956。[16] 格拉诺斯，A.和图塞尔，S.2016年。Rsolnp：使用增广拉格朗日乘子法的一般非线性优化。R软件包版本1.16。[17] 格尼廷，T.和拉弗瑞，A.E.2007。严格正确的评分规则、预测和评估。《美国统计协会杂志》102359-378。[18] 格尼廷，T.和兰扬，R.2011。使用阈值和分位数加权评分规则比较密度预测。商业和经济统计杂志29411-422。[19] P.R.汉森和A.伦德，2005年。波动率模型的预测比较：有什么东西能打败GARCH（1,1）吗？《应用计量经济学杂志》20873-889。[20] 哈维，A.C.2013年。波动性和重尾的动态模型：应用于金融和经济时间序列。剑桥大学出版社。[21]Hoogerheide，L.F.，Ardia，D.，和Corre，N.2012。使用GARCH模型预测股票指数收益的密度：频率估计还是贝叶斯估计？《经济学快报》116322-325。[22]赫尔，J.和怀特，A.1987年。

随机波动资产的期权定价。《金融杂志》42281-300。[23]Jacquier，E.，Polson，N.G.，和Rossi，P.E.1994。随机波动模型的贝叶斯分析。商业和经济统计杂志12371-389。[24]Kim，S.，Shephard，N.，和Chib，S.1998。随机波动率：似然推断和与ARCH模型的比较。经济研究回顾65361-393。[25]Koopman，S.J.，和Uspensky，E.H.2002。均值模型中的随机波动：来自国际股票市场的经验证据。《应用计量经济学杂志》，17667-689。[26]Koopman，S.J.，Lucas，A.，和Scharth，M.2016。利用参数驱动和观测驱动模型预测时变参数。经济与统计回顾98,97-110。[27]马里克，S.和皮特，M.2011。利用杠杆和跳跃模拟随机波动率：通过粒子滤波的模拟最大似然方法。可从SSRN 1763783获得。[28]Marcellino，M.，Stock，J.，和Watson，M.2006。“预测宏观经济时间序列的直接和迭代多步AR方法的比较。计量经济学杂志135499-526。[29]麦克尼尔，A.J.，弗雷，R.，和Embrechts，2015页。定量风险管理：概念、技术和工具：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社。[30]纳尔逊，哥伦比亚特区，1991年。资产收益的条件异方差：一种新方法。计量经济学59347-370。[31]OpenMP，A.2008。OpenMP应用程序接口，3.0版。[32]Pascual，L.，Romo，J.，和Ruiz，E.2006。ARCH模型中收益率和波动率的自举预测。计算统计和数据分析502293-2312。[33]潘世华和格兰杰，约2003年。金融市场波动预测：综述。《经济文献杂志》41478-539。[34]Psarakis，S.和Panaretoes，J.1990。折叠t分布。

统计学理论与方法中的沟通19，2717-2734。[35]桑德森，约2010年。Armadillo：一个开源的C++线性代数库，用于快速原型设计和计算密集型实验。技术报告，妮卡。[36]斯特劳曼和米科什。，T.2006。条件异方差时间序列中的拟极大似然估计：一种随机递推方程方法。《统计学年鉴》342449-2495。[37]泰勒，S.J.1986。模拟金融时报系列。威利。[38]R核心团队2016。R：用于统计计算的语言和环境。R统计计算基金会，奥地利维也纳。[39]叶，Y.1988。线性、二次和线性约束凸编程的内部算法。斯坦福大学博士论文。表1：模型和描述模型描述EGARCH t-EGARCH模型。t-EGARCH-NL t-EGARCH不存在杠杆效应，即估算程序中的γ=0。Beta-t-EGARCH Beta-t-EGARCH模型。β-t-EGARCH-NLβ-t-EGARCH无杠杆效应，即在估算程序中γ=0。SPEGARCH半参数EGARCH模型。SPEGARCH-NL SPEGARCH不存在杠杆效应，即在估算过程中γ=0。SV随机波动模型。不考虑杠杆效应的SV-NL随机波动率模型，即估算过程中的ρ=0。此表列出了模型标签以及模型的简要说明。首字母缩写“NL”表示“noleverage”。表2：加权连续排名概率得分的权重函数，wCRPSEmphasis权重函数均匀w（z）=1中心w（z）=φ（z）尾部w（z）=1- φ（z）/φ（0）右尾（尾-r）w（z）=Φ（z）左尾（尾-l）w（z）=1- Φ（z）该表报告了WCRP的权重函数。

φ（z）和Φ（z）表示N（0，1）分布的pdf和cdf。表3.表3.表3.表3.表3.表3.表3.两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两0.996（a）0.999（b）0.995（a）0.999（a）中心0.997（a）1.000 0.997（a）0.999（a）（a）尾）0.985（a）0.985（a）0.985（a）0.995（a）0.999（c）0.999（c）0.999（c）0.995（a）0.995（a）0（a）0.995（a）0.995（a）0.995（a）0（a）0.995（c）0（c）0（a）0.995（a）0（a）0（a）0.995（a）5（a）0（a）0（a）0（a）0（a）0（a）0（a）0.995）0（a）0（a）0（a）0（a）0）0（a）0（a）0（a）0（a）0（a）0（a）0）0（a）0（a）0（a）中心0.987（a）0（a）0.987（a）0.（a）0.999（b）Tail-l 0.986（a）1.001（a）0.984（a）1.000（c）此表根据不同的车型报告了每种车型的平均WCRP考虑杠杆效应的版本相对于不考虑杠杆效应的版本的权重w（z）（见表2）。例如，“t-EGARCH”列报告了t-EGARCH相对于t-EGARCH-NL的平均WCRP。根据Diebold和Mariano（1995）的测试结果，a、b和C分别为1%、5%和10%，表明否定了预测能力相等的零假设。