SABR和Heston方程的半解析路径积分解：

以上允许计算选定市场的香草价格：CNumm（F，K，σ，T）=CBachelierV（F+Am，K，Bm，T）（A11）最终，我们对M个蒙特卡罗采样的波动率轨迹进行平均：CSABRβ=0V（F，K，σ，T）=Mm=MXm=1学士学位（F+Am，K，Bm，T）（A12）在Bachelier模型下，普通电话的价格如下：CBV（F，K，σ，T）=（F）- K） N[d]+Fσ√T√2πe-d（A13）d=K- FFσ√T（A14）SABRβ=1的香草定价对于SABRβ=1，我们得到：dSt=~St∑T{ρd∠Vt+p1- ρdWt}（A15）\'σt=σexp[ν\'Vt-νt]（A16）我们沿着类似的线进行，并部分求解等式A15:~St=Sexpnρν[？∑t- σ]-Zt′σsds+p1- ρZt′σsd′Wso（A17）=Sexpnρν[’σt- σ] -ρZt′σsds-(1 - ρ） Zt′σsds+p1- ρZt′σsdWso（A18）我们通过对两条维纳轨迹的离散化来求解上述方程的积分部分。必须通过获得Black-Scholes型公式来避免晶格误差：lnhSnSi=ABS-T B+√tb＠QW（A19）式中，bs=ρν[＠σn- σ]-ρj=nXj=1′σj√t（A20）B=p1- ρvuutj=nXj=1′σj（A21）单一波动轨迹的Black-Scholes价格为：CNumm（F，K，σ，T）=CBSV（F+ABSm，K，Bm，T）（A22）且SABR价格在波动轨迹上的平均值为：CSABRβ=1V（F，K，σ，T）=Mm=MXm=1CBSV（F+ABSm，K，Bm，T）（A23）SABRβ=0的亚洲期权我们为波动性变量选择一条轨迹，然后根据公式23:102103104105106108n得出结果-1-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8错误错误=（MC1,2-MC2,33m）/MC2,33mMC1MC2FIG。3.Monte Carlo方法的相对误差与MC2相比，有33（2）百万条轨迹，用于无需花费的普通选项（K=80%）。

与MC1相比，MC2误差更稳定，即使是对于少量模拟。■SSABRAS=1+j=12Xj=1fytj+p1- ρ√Tj=12Xj=1（n- 我们计算位移项：A′=j=12Xj=1ρν[？]σtj- σ] （A25）并将▄Fztii分解为基本变量：d▄fztj=i=NjXi=1▄gwi▄σi-i=Nj-1Xi=1<<gwi>>σi（A26）请注意，这种分解解释了波动性的动态方面。最后我们计算：B′=p1- ρvuutj=12Xj=1NjXi=1′σi-新泽西州-1Xi=1′σi（n）- j+1）（A27）~SSABRAS=1+A′+√这意味着亚式期权的价格形式为：102103104105106107108N10-710-610-510-410-310-210-1100Std。错误MC1MC2N-0.51031041051061071081.52.02.5速比MC2/MC1FIG。4.基于SABRβ=0动态的亚式期权Monte-Carlo1（MC1）和2（MC2）收敛性比较。插图：MC2的速度大约是MC1的两倍。CSABRβ=0Asian（F，K，σ，T）=Mm=MXm=1学士学位（F+A′m，K，B′m，T）（A29）60708090100110120130140Strike10-1110-1010-910-810-710-610-510-410-310-210-1100priceβ=0ρ=0θ=0.2MC1MC260 708090100120140Strike10-510-410-310-210-1100priceβ=0ρ=0.7MC1MC260 7080100110140Strike10-1710-1310-1110-910-710-710-510-310-110β=0ρ=0=-0.5θ=0.2MC1MC260 70 80 90 100 110 120 130 140罢工10-710-610-510-410-310-210-1100价格β=0ρ=-0.5θ=0.7MC1MC2FIG。5.基于SABRβ=0动态的蒙特卡罗1（MC1）和2（MC2）获得的货币外算术亚式期权。这两种方法很匹配。[1] [18]对亚洲期权的定价进行了广泛的回顾。[2] 相关对数正态分布的总和在电信等其他领域也很重要。[3] 安徒生。有效模拟赫斯顿随机波动率模型。http://ssrn.com/abstract=946405[4]D.贝茨。跳跃和随机波动：德国马克期权隐含的汇率过程。

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