SABR和Heston方程的半解析路径积分解：

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英文标题：
《Semi-analytic path integral solution of SABR and Heston equations:
  pricing Vanilla and Asian options》
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作者：
Jan Kuklinski and Kevin Tyloo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We discuss a semi-analytical method for solving SABR-type equations based on path integrals. In this approach, one set of variables is integrated analytically while the second set is integrated numerically via Monte-Carlo. This method, known in the literature as Conditional Monte-Carlo, leads to compact expressions functional on three correlated stochastic variables. The methodology is practical and efficient when solving Vanilla pricing in the SABR, Heston and Bates models with time depending parameters. Further, it can also be practically applied to pricing Asian options in the $\\beta=0$ SABR model and to other $\\beta=0$ type models.
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中文摘要：
我们讨论了一种基于路径积分求解SABR型方程的半解析方法。在这种方法中，一组变量通过解析积分，而第二组变量通过蒙特卡罗数值积分。这种方法在文献中被称为条件蒙特卡罗，可以得到三个相关随机变量的紧致泛函表达式。该方法在求解含时变参数的SABR、Heston和Bates模型中的一般定价时是实用有效的。此外，它还可以实际应用于$\\beta=0$SABR模型和其他$\\beta=0$类型模型中的亚洲期权定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Semi-analytic_path_integral_solution_of_SABR_and_Heston_equations:_pricing_Vanil.pdf (292.22 KB)

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关键词：SABR sto SAB Est Quantitative

SABR和Heston方程的半解析路径积分解：定价Vanilla和亚洲期权Jan Kuklinski和Kevin Tyloofault’e des HEC，瑞士洛桑大学CH-1015（日期：2018年9月14日）。我们讨论了基于路径积分解SABR型方程的半解析方法。在这种方法中，一组变量通过蒙特卡罗进行解析积分，而第二组变量通过蒙特卡罗进行数值积分。这种方法在文献中被称为条件蒙特卡罗，可以得到三个相关随机变量的紧致泛函表达式。该方法在求解SABR、Heston和Bates模型中具有时间依赖性参数的香草定价时是实用且有效的。此外，它还可以实际应用于β=0 SABR模型和其他β=0模型中的亚式期权定价。关键词：SABR/Heston半解析解，带偏斜和smileI的亚式期权。简介Hagan等人[10,20]提出的SABR模型是一种典型的随机波动率模型：dSt=S~StSβ|σt{ρd|Vt+p1- ρdWt}（1）dσt=νσtdVt（2）该框架提供了Bachelier/Normal、Black-Scholes模型和移位对数正态方程的自然扩展。正如[15,17]中所讨论的，设置β=0和ρ=±1会导致移位对数正态模型。ABR动力学的一个非常重要的特征是随机过程中的线性。这遵循了早期建立的赫斯顿方程[12]和斯坦-斯坦模型[26]的结构。SABR模型的作者使用近似/渐近解[10]对普通期权进行了非常精确的定价。这些解决方案在大多数应用中都很有用，但在选定的问题中需要更高的精度。

文献[11]讨论了多重积分形式的解析解的概念，Korn等人[14]最终掌握了β=0SABR的概念。与移位对数正态模式l不同，这些“基本”解没有为随机轨迹提供明确的解析表达式，这是依赖路径的合同（如亚式期权和结构性产品）所需的。还缺少的是β=0 SABR方程的推广和解决方案，这是一个逆转的情况。这项工作的目标是双重的。首先，我们使用具有时间相关参数的SABR方程的路径积分解来定价普通期权（β=0或1）以及β=0亚洲期权。我们证明了期权价格与三个相关的随机变量有关。其次，我们讨论了将同样的方法应用于均值回复模型，而对于β=1SABR，则有Heston和Sch¨obel-Zhu[24]模型。102103104105106107108N10-710-610-510-410-310-210-1100Std。错误MC1MC2N-0.51021031041051061071082.02.53.03.5速比MC2/MC1FIG。1.比较Monte-Carlo1（MC1）和2（MC2）对于香草期权的收敛性。插图：MC2大约和MC1一样快。我们强调，我们使用的方法只需要一个维度进行蒙特卡罗积分，因为第二个维度可以进行分析积分。这种半解析积分技术（我们称之为MC2积分）在文献中被称为条件蒙特卡罗[31]。我们发现，半解析蒙特卡罗积分（也称为MC2）一词非常有用，并且具有解释性，因为它表明通过分析手段减少了数值积分。当使用MC2方法时，计算任务更小。虽然误差仍在平方根范围内收敛，但即使对于少数路径，误差也比经典方法小（见图1）。

值得一提的是，在不需要模拟大量路径的情况下，可以对大量缺钱的期权进行定价。文献中对算术亚式期权的定价问题进行了广泛的讨论。许多作者试图求解或近似算术亚式期权的定价，包括数值求解Hestondynamics[23][1]。然而，最大的影响在于发现或近似对数正态分布随机变量的分布。在Black-Scholes模型下，由于支付的平均值，算术亚式期权自然会出现这种情况。Milevsky和Posner[19]通过反伽马分布近似对数正态分布的最终总和，如果s um在最终值[6,33,34]中，则该分布为真实密度。Levy[16]和Turnbulland Wakeman[29]也应用了类似的想法，但使用了对数正态分布[2]。然而，为黑人斯科尔斯·德尔卡所做的努力并不能解释市场的扭曲和微笑。与Black-Scholes模型中对亚洲期权进行的相当复杂的计算相比，本文给出的亚洲期权β=0 SABR定价的半解析方法非常简单有效，据我们所知，文献中之前没有讨论过。应该强调的是，适用于其他β=0模型的方法，以及这种框架可以被视为赫斯顿、贝茨[4]和舍伯朱模型的推广。与普通定价不同，亚洲期权定价的简单性不能在SABRβ=0模型之外复制。对于一般定价，半解析MC2方法可适用于β=0和β=1。这种类型的计算可用于检查SABR模型的Hagansolutions的准确性。值得强调的是，就我们所知，对于β=1，Korn等人讨论的解决方案是不可用的。

最重要的是，MC2计算为具有时间相关参数的随机方程提供了可靠的解。最后但并非最不重要的一点是，它也可以作为一个比较工具来校准一般的蒙特卡罗定价方案。本文的计算过程是，它可以扩展到包含跳跃的均值回复模型。Webrie fly讨论了它在Heston、Bates和Sch–obel-Zhu模型中的应用。二、β=1和β=0 SABR方程的路径积分解我们从β=1 SABR模型开始：dSt=~Stσt{ρdVt+p1- ρdWt}（3）~σt=σexp[νVt-νt]（4）我们使用对数变量＠Φt:＠Φt（＠St，t）=ln[＠St/S]（5）d＠Φt=-（)σt）dt+)σt{ρd)Vt+p1- ρdWt}（6）我们将三个部分进行积分：√Φt={-（fxt）+fyt++fzt}（7）式中：~fxt=σsZte2νVs-νsds（8）~fyt=σρν{e~nVt-νt/2- 1} （9）~fzt=σp1- ρZte~nVs-νs/2d~Ws（10）我们可以使用时变积分τ（t）=νt进一步重写变量fzt，例如：~fzt=σνp1- ρsZθ=νteVτ-τdτQW（11）和qwb是一个单位高斯变量（E[~QW]=0和E[~QW]=1），与维纳过程Vτ无关。最后，β=1 SABR溶液的形式为：~St=Sexp[-（fxt）+fyt+-fzt]（12）同样的模式适用于β=0 SABR:d)St=S)σt{ρd)Vt+p1- ρdWt}（13）~σt=σexp[νVt-νt]（14）得出以下解：St=S{1+~fyt+~fzt}（15）SABR方程的形式路径积分解，如等式所示。12和15有一个简单的形式，取决于三个参数θ=νt，σ√T和ρ。此外，对于ρ=0，SABR解仅取决于两个参数θ和‘∑=σ√T对于β=0和ρ=±1，我们仅根据fyt恢复移位对数标准模型。文献[18,25,31]对SABR解决方案的这种通用形式进行了部分讨论。三、

当考虑基于固定时间范围t=t的随机问题时，重新构造解和半解析积分，例如香草定价，我们可以使用另一组随机变量（θ=νt）：~yθ=exp[~Vθ- θ/2] -1（16）~zθ=sZθdτexp[2~Vτ- τ] （17）然后解的形式为：~fxt=σνθzθ（18）~fyt=σρνθyθ（19）~fzt=σνp1- ρzθQW（20）EQ.20提供的解决方案遵循了布杰罗[5]首先引入的形式主义逻辑，以及其他[30,32,33]的形式主义逻辑。根据公式20，我们可以看到，对于t=t，轨迹上的双数值蒙特卡罗积分可以替换为包含轨迹vt和单个高斯变量QW的蒙特卡罗积分。在下一步中，遵循等式10，对于可以解析地进行qw变量积分的Pricing问题。我们通过蒙特卡罗生成VT轨迹，并对每个波动轨迹解析地解决线性扩散/定价问题，最终在轨迹集上精确平均香草价格。附录中讨论了计算细节和数值计算。我们称之为半解析蒙特卡罗计算，而文献在RaoBlackwell-Kolmogo-rov定理[21]的背景下使用了条件蒙特卡罗[18,31]或Rao Blackwellization的名称。四、 与HAGAN等人的症状解决方案相比，MC2解决方案可以评估HAGAN等人近似解决方案的准确性。这种近似的控制参数是：θ=ZTνtdt（21）。对于常数ν，我们得到θ=νT。通过两种蒙特卡罗方法MC1和MC2获得的ABR方程的解在图2中重新比较。如我们所见，对于θ=0.2，哈根解与现实期权价格非常匹配。对于θ=0.7，货币期权的展期不匹配是非常重要的。

从实践的角度来看，差异在10以上-2材料，因为期权的报价高达美分。当相关性（ρ）不同于0时，也可以得出相同的结论。V.使用SABRβ=0方程为亚式期权定价大多数关于亚式期权的文献回顾了Black-Scholes模型的案例。众所周知，通过使用这种动力学，我们可以假设一个不能根据市场调整的刚性偏斜。为了适应更广泛的歪斜和微笑，需要考虑SABR模型等框架。我们重点讨论β=0 SABR模型。对于算术亚式期权，在Bachelier模型下，我们可以使用高斯变量之和来描述其潜在现货价格的平均值。基于月价格和年平均值的亚式期权的公式与普通形式相当，但波动率现在已经调整（β=0，ν=0，ρ=0）。~SBachelierAverage=S1+σ（~fzt+~fzt+·fzt+·fzt）（22）=Sn1+σj=12Xj=1（n- j+1）[-~Wtj-1] o（23）=S{1+σAQB}（24）σA=σvutj=12Xj=1N- j+1~=σ√（25）最终：CBachelierAsian（F，K，σ，T=1）=CBachelierV anilla（F，K，σA，T=1）（26）对于SABRβ=0，需要做两个调整：波动率σtis变量，我们有Fyterms移动每个复合高斯分布。然而，我们可以很容易地生成一组波动轨迹，并解决具有可变波动性的Bachelier问题。最终我们能够实现半解析蒙特卡罗计算。~SSABRAsian=Sn1+j=12Xj=1（~fytj+~fztj）o（27）=Sn1+j=12Xj=1ρν[＠σtj）- σ] +j=12Xj=1（n- j+1）d)fztjo（28）d)fztj=p1- ρZtjtj-1σsdWs（29）与σtjare相关的术语通过Monte CarloonVt遵循。合并术语dFzTjr要求对时间增量进行进一步的时间离散化，并分解为独立的高斯变量（详情见附录）。六、

均值回复模型的扩展在Heston/Bates和Sch¨obelZhu模型中，MC2计算可以有效地应用于普通定价（因此，我们可以用time60 70 80 90 100 110 120 130 140删除10-610-510-410-310-210-1100priceβ=0ρ=0θ=0.2HaganMC1MC260 70 80 90 100 110 130 140删除10-710-610-510-410-310-210-1100priceβ=1ρ=0.2HaganMC1MC60 70 80 90 100 110 130删除110-710-610-510-410-310-210-1100priceβ=0.2HaganMC1MC260 70 80 90 110 110 130删除10-910-610-610-510-510-410-410-210-11000ρ==-0.5θ=0.2哈根MC1MC260 70 80 90 100 120 130 140罢工10-810-710-610-510-410-310-210-1100价格β=1ρ=-0.5θ=0.2HaganMC1MC260 70 80 90 100 110 120 130罢工10-210-1100priceβ=0ρ=0θ=0.7HaganMC1MC260 70 80 90 100 110 120 130罢工10-310-210-210-1100priceβ=1ρ=0.7HaganMC1MC260 70 80 90 100 120 130罢工10-410-210-1100priceβ=0ρ=-0.5θ=0.7HaganMC1MC260 70 80 90 100 120 130 140罢工10-310-210-1100价格β=1ρ=-0.5θ=0.7HaganMC1MC2FIG。2.Hagan等人获得的货币外香草期权。渐近解（Hagan）、蒙特卡罗1（MC1）和2（MC2）。依赖系数）。如附录所述，期权价格的形式为布莱克-斯科尔斯价格的直接平均值。[3]中介绍了模拟赫斯顿动力学的各种方法。为了解决亚式期权的定价问题，我们需要考虑这些模型的β=0基因化。在这种情况下，随机方程为（~wt=0=w，β=0）：d~St=S~StSβp~wt{ρd~Vt+p1- ρd~Wt}+d~Jt+udt（30）dwt=κ（wL- 其中，jt是复合泊松跳跃过程，u是校正漂移因子。另一个类似的模型与Sch¨obel-Zhus模型（ζt=0=σ，β=0）dSt=S有关~StSβζt{ρd＠Vt+p1- ρd~Wt}+d~Jt+udt（32）d)ζt=κ（ζL）-§ζt）dt+νd＠Vt（33）上述模型允许MC2集成用于期权定价。

虽然技术上随机积分很简单，但在撰写本文件时，作者并不清楚这些模型在确定市场期权价格方面的选择和特别适用性。七、结论在本文中，我们讨论了在类似于SABR和Heston模型的框架下期权定价的方法。这些动力学以线性二次随机驱动为特征。这种线性与β参数相结合，允许在Bachelier或Black-Scholes模型之间切换。或者，这些模型基于移位对数正态基础（“移位对数正态主干”）。计算方法基于对一组随机变量的解析积分，而第二组是数值积分。这种方法在文献中被称为条件蒙特卡罗，我们称之为半解析蒙特卡罗或MC2。MC2方案可用于计算所有SABR/Heston模式ls的期权价格，包括随时间衰减系数。这些解在某种程度上组织得更好，因为只模拟了一个变量，并且它依赖于封闭形式的公式（取决于β的Bachelier或Black-Scholes解）。半解析方法也比基本蒙特卡罗方法有更好的收敛性。半解析MC2计算香草期权价格超出了Hagan等人的渐近解的范围。另外，我们可以使用β=0SABR在有倾斜和微笑的市场上为算术亚洲期权定价。后者似乎比在布莱克-斯科尔斯模型范围内进行的标准计算更有优势。MC2计划仅限于普通和非特殊选项。

对于具有障碍条件的选项的定价，其适用性仅限于ρ=0。附录A:SABRβ=0的数值MC2计算对于SABR模型，我们可以明确地求解布朗运动模式下波动变量泛函的轨迹。对于SABRβ=0，我们给出了：dSt=S′σt{ρd′Vt+p1- ρdWt}（A1）\'σt=σexp[ν\'Vt-νt]（A2）式A1的解可以部分积分，并写成：~St=Sn1+ρν[？∑t- σ] +σp1- ρZt′σsdWso（A3）为了计算第二部分，我们进行时间离散化tn=n定义两组独立增量aluni-Gaussian变量（E[\'gvjgwj]=δjiδvw）上的两个布朗运动函数：\'Vtn=\'Vn=√tj=nXj=1＠gvj（A4）~Wtn=Wn=√tj=nXj=1gwj（A5）我们生成了一个高斯随机数向量¨gvjan，这为我们提供了一个等式给出的波动率轨迹。A2。对于这种依赖于时间的波动性，我们可以解决Bachelier扩散问题，如：~Sn=Sn1+σρν[°σn- σ] +√Tp1- ρj=nXj=1＠gwj＠σjo（A6）上述变量可以以独立高斯变量之和的形式重新写入：＠SnS=1+a+√Tp1- ρj=nXj=1gwjσj（A7）~SnS=1+A+√tb＠QW（A8）式中=ρν[＠σn- σ] （A9）B=p1- ρvuutj=nXj=1′σj（A10）我们恢复了Bachelier过程的解，但具有可变的挥发性（B项）和校正的S（Aterm）。