局部分数引导

由于引导测试的大小似乎对所有n都是正确的，因此没有对大小进行更正。通过使用bootstrap测试的实际大小（而不是标称的5%）来计算基于CLT的测试的大小调整临界值，两个测试的功率特性变得具有可比性。表1:HPanel A下的拒收率：NoSVnα=-1/3 α = -6.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0528320 0.0568 0.0556 0.0540 0.0530 0.05620.0526 0.0610 0.0582 0.0548 0.0516面板B:SV1Fnα=-1/3 α = -6.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0590320 0.0564 0.0558 0.0508 0.0546 0.05020.0492 0.0532 0.0536 0.0528 0.0512面板C:SV2Fnα=-1/3 α = -1.cococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococococo0.0602320 0.0562 0.0562 0.0572 0.0554 0.05120.0508 0.0550 0.0574 0.0624 0.0602使用CLT和局部分数自举法，对试验H:α=α与备选H:α6=α的有限样本特性进行模拟研究。模拟是在H下进行的，即。

我们考虑测试的规模。标称大小为5%，显示的数字是Hover 5000 Monte Carlo模拟的投影率，每个模拟的B=999个引导复制。我们设定p=2和λ=1。表2:HPanel A下的拒收率：NoSVnα=-1/3 α = -1）vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv：SV1Fnα=-1/3 α = -1.cocovvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv：SV2Fnα=-1/3 α = -1）vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv有限样本属性使用CLT和局部分数引导法，测试H：α=0与交替的H：α6=0的比较。模拟是在另一种情况下进行的，即我们考虑测试的威力，模拟中使用的α的真实值为相应列中所示的α。

对于bootstrap，标称尺寸为5%，而CLT已经按照文本中的解释进行了尺寸调整：使用的临界值是导致CLT具有与bootstap测试相同尺寸的临界值（见表1）。显示的数字是Hover 5000 Monte Carlo模拟的拒绝率，每个模拟的B=999引导应用。我们设定p=2和λ=1.5.1高频期货价格数据。在这里，我们考虑测试金融资产E-mini S&p 500 futurescontract的价格H：α=0。请注意，至少在理论上，基于无套利的理由（Delbaen和Schachermayer，1994，定理7.2），人们会认为Hto为真，因为α6=0意味着BSS过程不是半鞅（例如Corcuera et al.，2013；Bennedsen，2016）。我们的数据包括2013年1月2日至2014年12月31日期间在CME Globex电子交易平台上交易的E-mini标准普尔500期货合约的高频观察数据，周末和节假日除外。这导致516个交易日，其中18个是非完整交易日；我们去掉了这些，在样本中总共有498天。虽然迷你标准普尔500指数合约几乎是24小时交易，但我们将注意力限制在纽约证券交易所开盘的最快时间段，即美国东部时间上午9点30分至下午4点的6.5小时。我们以不同的频率对价格进行重新采样， ∈ {2,5,10,15}分钟，结果inn分别为196,79,40,27日价格。然后，我们每天使用CLT和局部分数自举测试H:α=0，对照双侧备选方案H:α6=0。在我们的样本中，498天的平均结果如图1所示。我们看到，当我们经常取样时( = 2分钟），这两种方法都经常被拒绝（分别为16.5%和14.1%），这表明H:α=0被拒绝的天数是显著的。

这一结果可能令人惊讶，但可能是由于市场微观结构（MMS）噪声的影响：在很短的时间尺度上，高频数据往往表现出与交替假设α<0相一致的负自相关。当以较低频率采样时，即。 至少5分钟后，MMSe的影响可以忽略不计，H的拒绝率应以名义速率发生。图1 Indeed显示，在这些情况下，我们经常拒绝Hless；我们还观察到，bootstrap方法比CLT方法更容易拒绝。事实上，bootstrap更接近我们在H下预期的标称5%拒绝率 = 15分钟，我们每天只有27次观测；考虑到上面的蒙特卡罗证据，我们预计在这种情况下CLT会过大。如图所示，CLT确实经常拒绝Hmore（11.4%），而Bootstrapes主要保留名义尺寸，拒绝率为4.6%。这是令人鼓舞的，因为在这个时间尺度上，任何MMSe影响都应该可以忽略不计。5.2湍流数据在我们的第二个应用中，我们研究了大气边界层中湍流速度场纵向分量的一维热线风速计测量时间序列，测量距离地面35米。时间序列由2×10个观测值组成，以5 kHz的频率采样。

换言之，有2000万次观测，是在一秒钟的时间戳精度下记录的数据。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 2分钟拒绝率，CLT:16.5%拒绝率，LFB:15.1%两种拒绝仅CLT仅LFB无拒绝0 50 100 150 200 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 5分钟拒绝率，CLT:9.0%拒绝率，LFB:6.2%0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 10分钟拒绝率，CLT:9.6%拒绝率，LFB:6.0%0 50 100 150 200 250 300 350 400 450天-1-0.500.51^α = 15分钟拒绝率，CLT:11.4%拒绝率，LFB:4.6%图1：从E-mini数据集中的498个日内对数价格系列中估计α和检验H:α=0与H:α6=0，每周一次采样 时期这些图描绘了某一天α的估计值。CLT和LFB均拒绝HWA的特定日期用红色方框表示；只有CLT而不是LFB被拒绝的日子是绿宝石时代；只有LFB而不是CLT被拒绝的日子是洋红色星号；在那些没有办法拒绝兔子蓝色圆圈的日子里。我们使用B=999引导复制，黑色水平线表示空值α=0。T=4000秒，每秒记录5000次观察。Corcuera等人（2013年）和Barndorff-Nielsen等人（2014年）也对这一时间序列进行了研究，我们参考了Dhruva（2000年）了解其记录方式的更多细节。当湍流的时间数据使用BSS过程建模时，其核函数满足假设1（i），科尔莫戈罗夫的5/3标度律（科尔莫戈罗夫，1941）适用于充分发展的湍流，假设泰勒的冻结场假设（泰勒，1938）与参数值α兼容-1/6的中间时间刻度对应于所谓的惯性范围；另见M\'arquez和Schmiegel（2016）。

通过分析时间序列的频谱密度，发现该数据的惯性范围约在0.1 Hz和200 Hz之间（Corcuera等人，2013年，第5节）。与之前的应用一样，我们在不同频率f下对数据进行重新采样，改变f，以研究不同时间尺度下时间序列的粗糙度特性。更具体地说，我们在1 Hz和200 Hz之间改变f，以包括惯性范围内和惯性范围边界上的时间标度。时间增量 在重采样中使用的与f有关 = 1/f.受科尔莫戈罗夫标度定律的激励，我们推导出H:α=-1/6，并根据双面备选方案H进行测试：α6=-1/6. 在我们的分析中，我们将采样周期（4000秒）划分为M=400个10秒的子周期。我们分别对每个子周期进行测试，将它们视为同一现象的单独测量，考虑到时间序列的假定平稳性，这似乎是合理的。请注意，在频率f下重新采样后，覆盖每个子周期的观测数为n=10f。图2给出了H的拒收率的结果，H是M=400子周期内拒收的相对频率。正如预期的那样，当采样率处于惯性范围的边界时，His通常会被拒绝（参见f=200 Hz的结果）。当完全在惯性范围内（f=20 Hz）时，两种方法在大约4%的子周期内都会拒绝零假设。在这些采样频率下，基于CLT和bootstrap的测试基本一致；这是意料之中的，因为有大量的观察结果。随着采样频率的降低，结果会发生变化，从而导致观察次数减少。

事实上，我们看到，基于CLT的测试在采样频率1和2 Hz时产生的拒绝率分别为10.8%和17.3%，而基于自举的测试在标称5%的拒绝率下产生的拒绝率大致相同，正如我们从正确大小的测试中所预期的那样，当其为真时。正如在之前的应用中所看到的，在低采样频率下（此处为1Hz，导致n=10个观测值），COF估计器似乎存在严重偏差（α的估计平均值约为-0.475). 在这种情况下，基于CLT的测试开始以不可使用的高比率（约17%）拒绝Hat，而基于Bootstrap的测试更保守，拒绝率约为6%。正如我们仍然期望的那样，零假设H：α=-1/6在这个采样频率下，事实上是正确的，在这个可以说是极端的情况下，基于自举的测试非常接近标称率5%。然而，这需要注意的是，n=10的观测值可能太少，无法得出任何明确的结论。6结论提出了一种利用频率估计量的变化对布朗半平稳过程的粗糙度指数α进行推断的bootstrap方法。虽然我们的模拟研究表明，基于CLT和自举的测试的性能通常都很好，但当观察次数适中或较小时，自举方法改善了H:α=α测试的大小属性。作为一个应用，我们使用该方法对E-mini S&P 500期货合约的日内价格时间序列进行H:α=0测试，并测试H:α=-1/6的大气湍流测量时间序列。

对于这两个数据集，我们观察到了模拟结果已经表明的情况：CLT拒绝了各自的零假设，我们期望在理论基础上是正确的，在观察数量有限的情况下，这种假设太常见了，而局部分数引导保留了正确的大小。我们的结论是，在对粗糙度指数α进行推断时，局部分数自举是CLT的有力替代方法，在较低的观测频率下，它似乎是必不可少的。最后，我们注意到，虽然在本文中我们关注的是BSS过程，但局部分馏bootstrap方法应该适用于其他“分馏”过程，如分数布朗运动（fBm）、分数Ornstein-Uhlenbeck过程等。我们把这些扩展留给以后的工作。0 50 100 150 200 250 300 350 400试验编号-0.3-0.2-0.100.1^αf=200 HZrExtraction rate，CLT:17.8%拒收率，LFB:18.0%两种拒收仅CLT仅CLT LFB无拒收0 50 100 150 200 250 300 350 400试验编号-0.6-0.4-0.200.2^αf=20 HZrExtraction rate rate，CLT:3.8%拒收率，LFB:4.0%0 50 100 150 200 200 250 300 300 400试验编号-0.500.51^αf=20 HZrExtraction rate rate，CLT:10.8%排斥率，LFB:3.8%0 50 100 150 200 250 300 350 400实验编号-4-3-2-101^αf=1 HZr排斥率，CLT:17.3%排斥率，LFB:5.8%图2：α估计值和H检验：α=-1/6对抗H:α6=-使用文中所述湍流数据进行的400次实验中的1/6，另见Dhruva（2000）。数据以频率f采样。图中描绘了给定实验中α的估计值。

CLT和LFB均拒绝HWA的具体试验用红色方框表示；只有CLT而不是LFB被拒绝的实验是绿色钻石；只有LFB而不是CLT被拒绝的实验是洋红色星号；以及任何方法都无法拒绝兔子蓝圈的实验。我们使用B=999引导复制，黑色水平线表示空值α=-1/6.参考巴恩多夫-尼尔森，O.E.（2012）。关于gamma内核的注释。蒂勒中心研究报告，第03期，2012年5月。巴恩多夫-尼尔森，O.E.（2016）。评估伽马核和BSS/LSS过程。创建2016-09年度工作报告。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，F.E.本思和A.E.D.维拉特（2013）。通过波动性调制的L’evy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利19（3），803-845。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2009）。平稳增量高斯过程的功率变化。随机过程及其应用119（6），1845-1865。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2011）。布朗平稳过程的多功率变化。伯努利4（17），1159-1194。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，J.M.科尔奎拉和M.波多尔斯基（2013）。布朗半平稳过程高阶微分泛函的极限定理。在安第斯山脉瓦拉丹的A.N.Shiryaev，S.R.S.Varadhan。普雷斯曼（编辑），《普罗霍罗夫与当代概率论》，第69-96页。柏林：斯普林格。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，P.R.汉森，A.伦德和N.谢泼德（2008）。设计实现的内核，以测量存在噪声时股票价格的事后变化。《计量经济学》76（6），1481-1536。巴恩多夫-尼尔森，O.E.，M.S.帕克卡宁和J.施密格尔（2014）。评估相对波动性/间歇性/能量耗散。电子统计杂志8（2），1996-2021。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和J。

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