局部分数引导

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英文标题：
《The Local Fractional Bootstrap》
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作者：
Mikkel Bennedsen and Ulrich Hounyo and Asger Lunde and Mikko S.
  Pakkanen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a bootstrap procedure for high-frequency statistics of Brownian semistationary processes. More specifically, we focus on a hypothesis test on the roughness of sample paths of Brownian semistationary processes, which uses an estimator based on a ratio of realized power variations. Our new resampling method, the local fractional bootstrap, relies on simulating an auxiliary fractional Brownian motion that mimics the fine properties of high frequency differences of the Brownian semistationary process under the null hypothesis. We prove the first order validity of the bootstrap method and in simulations we observe that the bootstrap-based hypothesis test provides considerable finite-sample improvements over an existing test that is based on a central limit theorem. This is important when studying the roughness properties of time series data; we illustrate this by applying the bootstrap method to two empirical data sets: we assess the roughness of a time series of high-frequency asset prices and we test the validity of Kolmogorov\'s scaling law in atmospheric turbulence data.
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中文摘要：
我们介绍了布朗半平稳过程高频统计的一个bootstrap过程。更具体地说，我们关注布朗半平稳过程样本路径粗糙度的假设检验，它使用基于已实现功率变化比率的估计。我们的新重采样方法局部分数bootstrap依赖于模拟一个辅助分数布朗运动，该运动模拟了零假设下布朗半平稳过程高频差的精细性质。我们证明了bootstrap方法的一阶有效性，并在模拟中观察到，基于bootstrap的假设检验比基于中心极限定理的现有检验提供了相当大的有限样本改进。这在研究时间序列数据的粗糙度特性时很重要；我们通过将bootstrap方法应用于两个经验数据集来说明这一点：我们评估了高频资产价格时间序列的粗糙度，并在大气湍流数据中检验了科尔莫戈罗夫标度定律的有效性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> The_Local_Fractional_Bootstrap.pdf (877 KB)

2022-5-11 06:49:38 上传

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关键词：Applications Econophysics Multivariate Improvements Quantitative

局部分数引导*Mikkel Bennedsen+Ulrich HounyoAsger Lunde§Mikko S.Pakkanen¨2021年11月8日摘要我们介绍了布朗半平稳过程高频统计的自举过程。更具体地说，我们专注于对布朗半平稳过程样本路径粗糙度的假设检验，该检验使用基于已实现功率变化比率的估计器。我们的新重采样方法——局部分数自举法，依赖于模拟辅助分数布朗运动，该运动模拟了零假设下布朗半平稳过程高频差的细微特性。我们证明了bootstrap方法的初始有效性，并在模拟中观察到，与基于中心极限定理的现有测试相比，基于bootstrap的假设测试提供了相当大的有限样本改进。这在研究时间序列数据的粗糙度特性时很重要；我们通过将bootstrap方法应用于两个经验数据集来说明这一点：我们评估了高频资产价格时间序列的粗糙度，并测试了大气湍流数据中Kolmogorov标度定律的有效性。关键词：布朗半平稳过程；粗糙度；分形指数；H–更老的规律性；分数布朗运动；独自创立随机波动；湍流JEL分类：C12、C22、C63、G12MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M07、62M09、65C051简介在研究连续随机过程的路径特性时，粗糙度是一个中心属性。理论上，粗糙度与样品所享受的H–older规则度有关*我们要感谢Solveig Sorensen对手稿的精益求精的校对。

我们的研究得到了CREATES（DNRF78）的支持，该项目由丹麦国家研究基金会、拜奥胡斯大学研究基金会（项目“商品市场的随机和计量经济分析”）和芬兰科学院（项目258042）资助丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dk——丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，富格桑斯阿勒4，8210Aarhus V。电子邮件：uhounyo@econ.au.dk§丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：alunde@econ.au.dk伦敦帝国理工学院数学系，南肯辛顿校区，伦敦SW7 2AZ，英国，丹麦奥胡斯大学。电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.ukpaths关于随机过程。分数布朗运动（fBm）由科尔莫戈罗夫（1940年）提出，后来由曼德尔布罗特和范内斯（1968年）推广，可能是一个过程中最著名的例子，可以表现出不同程度的粗糙度。具有赫斯特指数H的FBM∈ （0，1）是一个高斯过程，当H=1/2时，它与标准布朗运动一致。如果H<1/2（分别为H>1/2），则fBm的采样路径在H¨olderregularity方面比标准布朗运动的采样路径更粗糙（分别更平滑）。在这项工作中，我们关注的是在使用所谓的频率变化（COF）估计器估计α时，对astochastic过程的分形指数α进行推断，该估计器由Lang和Roue ff（2001）针对高斯过程引入，并由Barndorff-Nielsenet al.（2013）和Corcuera et al.（2013）扩展到非高斯设置。

在fBm的情况下，它保持α=H-1/2，而通常α<0表示相对于标准布朗运动的粗糙度，α>0表示相对于标准布朗运动的平滑度，如fBm。当α=0时，考虑的随机过程与标准布朗运动具有相同的粗糙度。几个有趣的经验时间序列显示出粗糙的迹象，即α<0。一些值得注意的例子包括：o湍流流速的时间测量（Corcuera等人，2013年），其中惯性时间尺度的粗糙度由科尔莫戈罗夫的标度定律（科尔莫戈罗夫，1941年）和泰勒的冻结场假设（泰勒，1938年）预测，o电力现货价格的时间序列（巴恩多夫-尼尔森等人，2013年；本内森，2017年），o资产价格已实现波动的度量（Gatherel等人，2014年；Bennedsen等人，2016年）。在这些应用中，指数α的估计和推断很重要。估计α的方法有很长的历史，主要集中在高斯过程，Gneiting等人（2012）对其进行了全面的调查。然而，在上面提到的时间序列数据中，非高斯特征非常普遍，这就是为什么我们关注一个特定但灵活的非高斯框架。布朗半平稳（BSS）过程（Barndor ff-Nielsen and Schmiegel，2007，2009）形成了一类随机过程，它适应了高斯性和不同粗糙度的各种偏离。Barndor ff-Nielsen等人（2013年）和Corcuera等人（2013年）研究了BSSP过程中α的COF估计量的性质。

特别是，他们推导出了一个中心极限定理（CLT），使得对α进行假设检验成为可能。在本文中，我们主要关注无漂移BSS过程（Xt）t的COF估计∈R、 给定byXt=Zt-∞g（t）- s） σsdWs，其中g:R+→ R是核函数（σt）t∈随机波动过程，和（Wt）t∈标准布朗运动。重要的是，我们假设核函数g（x）的行为类似于幂函数x7→ xα，当x接近零时；下面我们将发表一份声明。当这个假设成立，并且满足一些附加的（温和的）技术条件时，X的样本路径是指数α+1/2的H¨older连续- 任何ε>0的ε（Bennedsenet al.，2017，命题2.1）。此外，α=0是过程为无鞅的必要条件（Basse，2008；Bennedsen，2016）。直观地说，BSS过程是一个由波动性调制的布朗噪声驱动的移动平均过程，因此是非常普遍和灵活的。BSS框架还与fBm和卷积型高斯-沃尔特拉过程等过程密切相关；参见Bennedsen等人（2017）。因此，我们希望本文中提出的方法也适用于这些过程，但对具体问题的研究超出了本文的范围，留给未来的工作。本文的贡献是推导出一个bootstrap程序，该程序改进了零假设检验的有限样本性质：对于某些α，α=α∈-,, 当使用COF估计器估计分形指数α时。理论上，COF估计有两个区域：第一区域α∈-,, 估计器使用整个样本来估计α。

在这种情况下，我们提出了一种新的bootstrap方法，即局部分数bootstrap，它利用Hurst indexH=α+的辅助分数布朗运动的模拟，从而模拟H下基础BSSP过程的样本路径的精细特性。我们建立了局部分数bootstrap对于百分位t方法的一阶渐近有效性，即，当测试统计数据通过其（自举）标准偏差进行归一化时。如Corcuera等人（2013年，第4节）所述，在第二种情况下∈,, COF估计器的渐近行为可能受到不可忽略的偏差项的影响（取决于g的形式），导致CLT崩溃。出于这个原因，作者建议使用一种改进的COF估计器，该估计器在计算功率变化的增量之间实现逐渐增大的间隙。这些差距使得估计器中使用的增量渐近不相关，这为该机制中的野生自举方法打开了大门（例如Wu，1986；Liu，1988；Gon,calves and Meddahi，2009）。然而，由于本文提出的局部分数bootstrapmethod即使在α∈,, 为了简洁起见，我们将有关wild bootstrap方法的详细信息以及对其有限样本特性的模拟研究发布到单独的网络附录中（Bennedsen et al.，2017）。在一项蒙特卡罗模拟研究中，我们评估了局部分馏bootstrap程序的有限样本性质，并与基于Corcuera等人（2013）的CLT的推断方法进行了比较。

我们为所有人找到了这一点∈-,, 局部分数自举有助于改善H测试的大小，尤其是当样本大小从小到中等时。事实上，由于我们的方法模拟了H下的辅助自举观测，因此我们最小化了I型错误的可能性（Davidson和MacKinnon，1999），即在实际发生时拒绝H。当我们在实证部分应用该方法评估E-mini期货合约对数价格时间序列的粗糙度时，这一特征被证明是重要的。在这种情况下，无套利考虑表明α=0，我们发现，当应用于日内价格序列时，bootstrap程序对于实现H:α=0测试的正确大小至关重要。我们还将bootstrap方法应用于大气湍流的时间序列测量，以验证科尔莫戈罗夫标度定律的经验有效性（科尔莫戈罗夫，1941）。我们发现数据与标度定律非常一致，但在样本量较小的情况下，使用自举法对准确推断至关重要。本文的其余部分结构如下。第2节通过介绍BSS流程的数学定义以及我们工作的假设为基础。本节还简要回顾了与当前工作相关的现有结果。在第三节中，我们详细介绍了我们的bootstrap方法，局部分数bootstrap，并给出了它的实现细节。第4节介绍了bootstrap方法的有限样本性质的蒙特卡罗研究，第5节介绍了经验应用。第6节结束。附录A、B和C中给出了模拟设置、证明以及一些附加的技术推导。

aweb附录（Bennedsen et al.，2017）提供了wild bootstrap方法的详细信息，包括证明和模拟实验。2设置、假设和现有结果的回顾现在，我们介绍一些基本的符号。遵循bootstrap文献的惯例，P*（E）*还有V ar*) 表示bootstrap重采样产生的概率度量（期望值和方差），以原始时间序列的实现为条件。此外，对于引导统计序列Z*n、 我们写Z*n=op*（1） 概率，或Z*NP*→ 0，作为n→ ∞, 不概率，如果对于任何ε>0，δ>0，limn→∞P[P*（|Z）*n |>δ>ε]=0。同样，我们写Z*n=Op*（1） 作为n→ ∞, 在概率上，如果所有ε>0，则存在Mε<∞这样的→∞P[P*（|Z）*n |>Mε）>ε]=0。最后，我们写Z*钕*→ Z作为n→ ∞, 在概率上，如果以样本为条件，Z*n在P下突然转向Z*, 对于P-概率收敛为1的集合中包含的所有样本。2.1 BSS设置和假设我们遵循Barndorff-Nielsen等人（2013年），并考虑过滤概率空间Ohm, F、 （Ft）t∈R、 P,在此基础上，我们定义了一个布朗半平稳（BSS）过程X=（Xt）t∈R、 无漂移asXt=Zt-∞g（t）- s） σsdWs，t∈ R、 （1）其中（Wt）t∈Ris是一个双面标准布朗运动，g:R+→ R是满足g的确定权重函数∈ L（R+）和（σt）t∈瑞安（Ft）t∈R适应的c`adl`ag过程。我们假设ZT-∞g（t）- s） σsds<∞ a、 美国，尽管如此∈ R、 确保XT是任何t∈ R.我们引入一个中心平稳高斯过程g=（Gt）t∈Rhat与X相关，我们称之为X的高斯核，asGt=Zt-∞g（t）- s） dWs，t∈ R

（2） G的相关核r通过r（t）=corr（Gs，Gs+t）=r给出∞g（u）g（u+t）dukgkL（R+），t≥ 0.渐近理论中的一个关键对象是变差函数R，给定byR（t）=Eh（Gs+t）- Gs）i=2 kgkL（R+）（1- r（t）），t≥ 0.我们假设过程X是在等距离的时间点ti=i观察到的n、 i=0，1，英国电信/北卡罗来纳州N↓ 0作为n→ ∞. 这种渐近性被称为完全渐近性。本文所考虑的理论将要求使用不同的滞后间隔来计算BSS过程的二阶差∈ N.我们特别关注以下类型V（X；p，ν）nt的功率变化≡英国电信/ncXi=2~nxiN- 2X（i）-υ)n+X（i）-2υ)Np、 （3）其中p≥ 1，我们称之为观测之间的滞后。虽然这一理论对一般人来说是彻底的∈ N我们将主要考虑Γ=1，2，这将有助于我们的目的。对于渐近理论，Corcuera等人（2013）也引入了归一化功率变化：`V（X；p，ν）nt≡ nτn（Γ）-pV（X；p，Γ）nt，（4）式中τn（Γ）=rEhGiN- 2G（i）-υ)n+G（i）-2υ)NiI用滞后间距γ计算的高斯核二阶增量的标准偏差n、 我们的建议是使用bootstrap来近似这些统计数据的一类非线性变换的采样分布。这与Corcuera等人（2013）研究的BSS过程的粗糙度参数估计器的极限行为有关。为了调用Corcuera等人（2013）得出的“V（X；p，ν）nt”的一致性结果，我们需要引入一组假设。下面，α表示表中的一个数字-, 0∪0,函数lf被映射f索引，假设在零处缓慢变化，即limx↓0Lf（tx）Lf（x）=1表示所有t>0。

对于函数f，f（k）表示f的第k阶导数。假设1。（i） g（x）=xαLg（x）。（ii）g（2）（x）=xα-2Lg（2）（x）和任何 > 0，我们有g（2）∈ L((, ∞)) . 此外g（2）在间隔（a，∞) 对于一些人来说，a>0。（iii）对于任何t>0英尺=Z∞g（2）（s）σt-sds<∞几乎可以肯定。下一组假设涉及变异函数R。假设2。对于假设1中的粗糙度参数α，它认为（i）R（x）=x2α+1LR（x）。（ii）R（4）（x）=x2α-3LR（4）（x）。（iii）存在一个b∈ （0，1）使lim supx↓0supy∈[x，xb]LR（4）（y）LR（x）< ∞.最后，我们引入了一个关于过程σ光滑性的假设。假设3。对于任何q>0，它都认为e[|σt- σs | q]≤ Cq | t- s |γqf对于某些γ>1/2和Cq>0。注1：本文给出的方法和结果可以简单地推广到形式为x]t=Zt的过程-∞g（t）- （s）- g(-（s）σsdWs，t≥ 0，其中g与前面一样，g:R→ R是一个可测函数，使得对于所有x<0和zt，g（x）=0-∞g（t）- （s）- g(-（s）σsds<∞, 尽管如此，t≥ 0.我们特别注意到X]t-十] s=Xt-对于任何t>s≥ 0，这就是为什么依赖于下面给出的X增量的技术也适用于X]的原因。2.2假设1和2下BSS过程的功率变化及其渐近理论，Corcuera等人（2013，定理3.1和方程（4.5））表明∈ N′V（X；p，ν）ntu。c、 p。→ V（X；p）t=mpZt |σs | pds，（5）其中mp≡ E[|U | p]，U~ N（0，1），andu。c、 p。→ 表示P-概率在紧集上的一致收敛。Corcuera等人（2013年，定理3.2和4.5）也推导了向量的联合渐近分布-1/2n\'V（X；p，1）nt- V（X；p）t，\'V（X；p，2）nt- V（X；p）t.