局部分数引导

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（2017），当α<0时，κ=1有效，但当α小于0时，我们需要κ=3。因此，在模拟中，我们在α<0时选择κ=1，在α>0时选择κ=3。设δ=0.5。数字B*k=kα+1- （k）- 1)α+1α + 11/α，k=1，Nn是计算g的最佳点；见Bennedsen等人（2017）的命题2.2。我们参考Bennedsen等人（2017），了解在模拟σi/n时用于精确模拟（26）和（27）的算法的实现-k/n，i，k=0，1，对于随机波动过程σ=（σt）t∈R、 我们考虑三种不同的规格：（i）恒定波动性，标记为NoSV；（ii）单因素随机波动率，标记为SV1F；（iii）双因素随机波动率，标记为SV2F。对于NoSV模型，我们认为是t∈ R、 σt=1，在渐近均方误差的意义上。而我们在SV1F模型中，遵循Barndor ff-Nielsen等人（2008），σt=exp（β+βτt），dτt=ξτtdt+dBt，d[W，B]t=ρdt，其中B是标准布朗运动，β=0.125，ξ=-0.025, β=β2ξ= -0.3125和ρ=-0.3. 最后，对于我们采用的SV2F模型，继Huang和Tauchen（2005）和Barndor ff Nielsen等人（2008）之后，σt=s-exp（β+βτ1t+βτ2t），dτ1t=ξτ1dt+dBt，dτ2t=ξτ2dt+（1+φτ2t）dBt，d[W，B]t=ρdt，d[W，B]t=ρdt，其中B是标准布朗运动，函数s-exp由x给出=exp（x），x≤ 对数（1.5），p1- log（1.5）+x/log（1.5），x>log（1.5），参数设置为（β，β，β）T=(-1.20,0.040,1.50）T，（ξ，ξ）T=(-0.00137, -1.386）T，φ=0.250，ρ=ρ=-0.30.我们注意到，在NoSV情况下，过程X是高斯的，因此可以使用其方差-协方差矩阵的Cholesky分解进行精确模拟，这就是我们在模拟中所做的。可以使用Glasserman（2003）中的方法精确模拟SV1F和SV2F的随机过程，另见Barndor ff-Nielsen等人的模拟附录。

(2008).B∧p，λi，jp，n和u（p，Γ）的表达式在普通CLT（10）和自举CLT中，在实现这些方法时，需要推导各种术语。特别是，普通CLT需要∧p={λi，jp}1的重新计算≤i、 j≤而自举CLT需要计算{λi，jp，n}1≤i、 j≤2as以及u（p，ν）nt=E*五、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界对于Γ=1，2，见备注2。虽然所涉及的计算非常简单，但它们很乏味。为了方便读者，我们在此提供这些术语的表达方式。下面我们用n=bt表示/nc是观察的总数。回想一下规格λp，n=-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,N,λp，n=-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,N,λp，n=-1ncov\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,n、 \'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,N,λi，jp=limn→∞λi，jp，n。解析表达式仅适用于p=2，这在经验应用中是最相关的，因为它对应于计算功率变化时使用平方增量。因此，我们这里只考虑p=2。设ρHΓ，Γ为在滞后Γ时计算的具有赫斯特指数H的分馏布朗运动的二阶增量与在滞后Γ时计算的二阶增量之间的相关函数。

换句话说，ρHν，ν（H）：=CorrBHi+h- 2BHi+h-ν+BHi+h-2~n，BHi- 2嗨-ν+BHi-2υ, H∈ Z.我们需要组合（γ，γ）=（1,1），（2,2），（1,2），我们给出它们以供参考：ρH1,1（h）：=2（4）- 22小时）-|H- 2 | 2H+4 | h- 1 | 2H- 6 | h | 2H+4 | h+1 | 2H- |h+2 | 2H,ρH2,2（h）：=2（4·22H）- 42小时）-|H- 4 | 2H+4 | h- 2 | 2H- 6 | h | 2H+4 | h+2 | 2H- |h+4 | 2H,ρH1,2（h）：=-|H- 2 | 2H+2 | h- 1 | 2H+| h | 2H- 4 | h+1 | 2H+| h+2 | 2H+2 | h+3 | 2H- |h+4 | 2H√4.- 22小时√4·22小时- 42小时。蛮力计算将产生λ2，n=24HnnXi=2nXj=2ρH1,1（i- j） ，λ2，n=24HnnXi=4nXj=4ρH2,2（i- j） ，λ2，n=λ2，n=24HnnXi=2nXj=4ρH1,2（i）- j） 。在备注2中的可行实现中，我们实际上需要λij2的非规范化变体，nwhich areV ar五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,N= nλ2，n·（4）- 22H），V ar五、伯克希尔哈撒韦；p、 二,N= nλ2，n·（4·22H）- 42小时），冠状病毒五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,n、 五伯克希尔哈撒韦；p、 二,N= nλ2，n·（4）- 22H）（4·22H）- 42H）。为了得到λijpwe的表达式，可以采用上述限制条件，也可以使用inNourdin等人（2011年）的理论（见Barndor ff-Nielsen等人，2013年）得出λ=2+4∞Xh=1ρH1,1（h），λ=2+2-4H+2∞Xh=1ρH1,1（h- 2） +4ρH1,1（h- 1） +6ρH1,1（h）+4ρH1,1（h+1）+ρH1,1（h+2）,λ= λ= 23-2小时ρH1,1（1）+1+ 22-2小时∞Xh=0ρH1,1（h）+2ρH1,1（h+1）+ρH1,1（h+2）.最后，我们需要计算u（2,1）n和u（2,2）n。直接计算得到u（2，1）nt=（n- 1)2Hn4.- 22小时,u（2,2）nt=（n- 3)2Hn4·22小时- 42小时.命题2.1的证明。这些陈述的证据遵循Corcuera等人（2013）几乎一字不差地引用的证据，这反过来又依赖于Barndor ff-Nielsen等人（2013）的结果。我们注意到，在α=0的情况下，BSS过程的增量是渐近不相关的。事实上，我们通过假设2’（i）（参见。

Corcuera等人，2013）中的方程式（2.6）rn（j）：=corrG（j+1）N- 2Gjn+G（j）-1)n、 GN- 2G+G-NN→∞-→ ρ（j），j≥ 0，其中ρ（j）是布朗运动二阶增量的相关函数。因此，ρ（j）=0，j≥ 2.这种不相关简化了问题，例如当我们需要计算∧p时（见Barndor ff-Nielsen等人2013年的第85-86页）。命题2.1的证明有两个主要部分，参见巴恩多夫-尼尔森等人（2011年、2013年）的类似证明。首先，我们需要证明序列r（j）的存在性，比如| rn（j）|≤ Cr（j），∞Xj=1r（j）<∞, （28）如果C>0，关于α6=0的情况，参见Barndor ff-Nielsen等人（2013）的第75页。鉴于此（如巴恩多夫-尼尔森等人，2013年）rn（j）=-Rj+2n+ 4Rj+1n- 6Rjn+ 4RJ-1n- RJ-2n4RN- RN,使用假设2’（i）-（iii）和Barndor ff-Nielsen等人（2009）中引理1的证明方法，不难证明测序器（j）=（j- 1)-β、 j≥ 2，将与（28）中的序列相同，其中β是假设2’（ii）中的参数。我们现在转到证据的第二部分。定义πn（A）：=RA（g（x+2n）- 2g（x+n） +g（x））dxR∞（g（x+2）n）- 2g（x+n） +g（x））dx，A∈ B（R）。剩下要证明的唯一一件事是确保极限定理适用于随机σ，这是所有的极限定理 > 我们有πn((, ∞)) → 0作为n→ ∞. 使用Barndor ff-Nielsen等人（2013）第74页中的假设1’（ii）和参数，我们很容易推断出这个性质。这就是证据。引理3.1的证明。（i） 给出（1）、（13）和（14），结果如下。特别是，我们有*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界=|bσ（p，γ）nt | pu（p，γ）ntE*\'V伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界= |给定（1）、（13）和（14），我们可以写出*-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界= -1n|bσ（p，1）nt | pu（p，1）nt瓦尔*\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界.（iii）与引理3.1第（ii）部分的证明类似。

（iv）给定（14），我们可以写*-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界，-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界= -1n|bσ（p，1）nt | pu（p，1）nt|bσ（p，2）nt | pu（p，2）nt冠状病毒\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新台币伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界.（iv）这个结果紧随引理3.1的第（ii）、（iii）和（iv）部分，假设条件| bσ（p，Γ）nt |2pu。c、 p。→R |σs | 2pds和∧np的定义，t.定理3.1的证明。注意，我们可以写*n=bA*nS*n、 在哪里*这是我给你的*n=Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2(n）-1/2\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界- E*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界- E*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界,安德巴*n=b∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界1/2.因此，为了获得理想的结果*n、 我们可以分两步进行：第一步。展示给我看*钕*→ N（0，I）。第二步。给我看看吧*NP*→ I.对于步骤1，请注意我们可以编写*nas Follows*n=Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2D·TnwhereD=|bσ（p，1）nt | pu（p，1）nt | bσ（p，2）nt | pu（p，2）nt！，andTn=(n）-1/2\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界- E\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界\'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界- E\'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界.在我们的假设下，我们得到了（布鲁尔和梅杰，1983，定理1）Tnd→ N（0，∧p）。因此，如果我们能证明Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2D=D-1.Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界1/2-1P*→ Λ-1/2便士。为此，请注意，我们已经-1.Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界1/2=qλp，nλp，n√λp，nrλp，n-（λp，n）λp，n≡ Θp，n，我们过去-1=u（p，1）nt | bσ（p，1）nt | pu（p，2）nt | bσ（p，2）nt | p！，和Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界1/2=q（u（p，1）nt）-2λp，n | bσ（p，1）nt | 2p（u（p，2）nt）-1λp，n | bσ（p，2）nt | p√λp，nr（u（p，2）nt）-2λp，n | bσ（p，2）nt | 2p-（u（p，2）nt）-2（λp，n）| bσ（p，2）nt | 2pλp，n.结果如下，因为Θp，nΘTp，n=∧p，n=λp，nλp，nλp，nλp，n→ ∧p.对于第2步，必须证明b∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1.Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界=Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1.b∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1P*→ I.我们在这里利用这样一个事实，即Limplies中的收敛是概率收敛，以及inb∑和的等位基因*i、 jare非负（其中b∑）*i、 jis矩阵b∑的（i，j）-第元素*=b∑*i、 j1.≤i、 j≤2).

特别是，给出了（20）和（19），对于1≤ i、 j≤ 2.我们有*b∑*i、 j= E*b∑*i、 j= Σ*i、 因此，我们推导出b∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界- Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；PntP*→ 这就结束了第2步和定理3.1的证明。定理3.2的证明。给出定理3.1，结果来自德尔塔方法的应用。