局部分数引导

特别是在假设1-3下（Corcuera等人，2013年，定理3.2），-1/2n’V（X；p，1）nt- mpRt |σs | pds | V（X；p，2）nt- mpRt |σs | pds！圣→ N（0，∑p，t），（6）其中→ 表示稳定收敛，∑p，t≡ λpZt |σs | 2pds，矩阵∧p=λijp1.≤i、 j≤2由λp=limn驱动→∞-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,N, λp=limn→∞-1nvar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,N,λp=limn→∞-1ncov\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,n、 \'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,N,BH是一个分数布朗运动，Hurst参数H=a+1/2。注意，统计数据V（X；p，Γ）的计算需要了解因子τn（Γ），这是不可行的，因为它取决于，关于BSS过程的粗糙度参数α，X.Basedon（5）和（6）Corcuera等人（2013）在附录B中给出了λij表达式的一致和渐近正态估计量。这种方法可以通过首先估计因子τn（Γ）来实现，见Barndor ff-Nielsen等人（2014年，附录B）。然而，这种方法的缺点是中心极限定理不再成立。粗糙度参数α。在假设1和假设2下，Corcuera等人（2013年，等式4.2和4.5）表明Bα（p）nt=hp（COF（p）nt）u.c.p。→ α、 其中hp（x）=log（x）p-, x>0，（8）以对数表示以2为底的对数，其中cof（p）nt=V（x；p，2）ntV（x；p，1）nt。（9） Corcuera等人（2013，Propositions4.2和4.6）利用delta方法和稳定收敛特性，推导出了粗糙度参数α的可行CLT。假设CLT的条件为（6），α∈-, 0∪0,那么对于任何p≥ 我们有p log（2）V（X；p，1）nt（bα（p）nt）- α） qm-12pV（X；2p，1）nt(-1,1）λp(-1,1）Td→ N（0，1）。（10） 如引言中所述，当α∈,. 这促使Corcuera等人（2013年）开发了一种改进的估计器，用以计算功率变化（3）。

通过让差距快速有效地扩大，估计器满足CLT，相关增量变得渐近独立。在这种情况下，可以基于野生引导的思想开发一种引导方法。虽然我们也研究出了这种方法的细节，但出于两个原因，我们将其归入了网络附录（Bennedsen等人，2017年）：第一，案例∈,似乎实际兴趣有限。其次，下面的理论结果表明，本文提出的局部分数bootstrap方法适用于整个α范围∈-,.Corcuera等人（2013）的结果没有明确考虑α=0。然而，我们可以证明，在稍加修正的假设下，为COF估计器开发的LLN和CLT在这种情况下仍然有效。事实上，只有假设1（ii）和2（ii）需要更改。在本文的其余部分，当α=0时，我们在上述假设1-3下工作，并对1（ii）和2（ii）进行以下修改：假设1。（ii’’g（2）（x）=Lg（2）（x）以及 > 0，我们有g（2）∈ L((, ∞)) . 此外g（2）在间隔（a，∞) 对于一些人来说，a>0。假设2。（ii’）R（4）（x）=f（x）LR（4）（x），其中函数f是| f（x）|≤ Cx-对于某些常数，β>0和β>1/2。我们现在得到以下结果，这在附录C中得到了证明。假设假设假设1-3成立，命题2.1。然后LLN（7）和CLT（10）保持α=0。例2.1 Ornstein-Uhlenbeck核g（x）=e-λx，λ>0，满足假设1和假设2，α=0。事实上，假设1通常被认为是成立的，sinceR（x）=λ-1.1.- E-λx= 卡侬（x），其中lr（x）=x-1λ-1.1.- E-λx是一个缓慢变化的函数，假设2（i）也成立。我们还有r（m）（x）=(-1） m-1λm-1e-λx，m≥ 假设2（ii\'）成立，f（x）=e-λx和LR（4）=-λ-3.

最后，limx↓0LR（x）=1，所以假设2（iii）显然也成立。3局部分数bootstrap在这一节中，我们介绍了一类向量非线性变换的bootstrap方法\'V（X；p，1）nt，\'V（X；p，2）nt. 然后，我们使用该方法来近似粗糙度参数估值器bα（p）nt的抽样分布。特别地，我们考虑一个假设测试，其中对于某些α，零假设isH:α=α∈-,, 而另一种假设是：α6=α。我们的想法是对（3）中定义的BSS过程X的高频二阶差进行重采样。为了有效，该方法应该模拟X增量的依赖性。正如Corcuera等人（2013）所指出的，在假设2下，高斯核G的短期行为类似于分数布朗运动，Hurst参数H=α+1/2。更准确地说，对于任何t∈ R、 Gεt+t- GtpV ar（Gε）- G） !！T≥0d→ （BHt）t≥0英寸C（R+）为ε→ 现在考虑以下恒定波动性玩具模型，~Xt=σGt=σZt-∞g（t）- s） dWs，t≥ 0，（11）通过为所有t设置σt=σ>0从X获得∈ R.上述讨论表明，在X的上下文中，bootstrap方案应该能够复制分数布朗运动增量与赫斯特参数H=α+1/2的相关结构。为此，我们提出了以下局部分数引导算法：步骤1。通过定义α，指定一个空假设H:α=α∈-,.第二步。生成bt/nc随机变量NBHbt/nc，它独立于原始过程X，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数H=α+1/2。第三步。最后，返回observationsX*我n=bσ·BHin、 i=2~n，英国电信/nc，（12）式中，bσ=bσ（p，Γ）是波动率σ的一致估计量。这个引导算法值得一提。

首先，我们在零假设H下生成bootstrap观测：α=α；这一特征不仅是自然的，而且重要的是要将I型错误的概率降至最低，见戴维森和麦金农（1999）。第二，尽管（12）是由非常简单的模型（11）驱动的，正如我们将在下面展示的，但这并不妨碍引导方法在更普遍的情况下有效。特别是，它的有效性扩展到了波动率并非如（1）所示恒定的情况。bσ的选择可能会根据感兴趣的统计数据而改变。我们很快就会看到，例如，当我们考虑向量时-1/2n\'V（X；p，1）nt，\'V（X；p，2）nt, 我们可以简单地使用bσ=bσ（p，Γ）nt=M-1p′V（X；p，ν）nt1/p，参照方程式（5）。分别定义（3）和（4）的自举功率变化类似物，如下v*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界≡|bσ（p，Γ）nt|pu（p，Γ）ntV（BH；p，Γ）nt，（13）V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界≡ nτn（Γ）-pV*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 νnt=|bσ（p，Γ）nt | pu（p，Γ）nt\'V伯克希尔哈撒韦；p、 νnt，（14）式中u（p，ν）nt=nτn（Γ）-pu（p，Γ）nt与u（p，Γ）nt=E*五、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界.引理3.1考虑（1）、（13）和（14），其中BH是一个分数布朗运动，Hurstparameter H=α+1/2。

因此，即*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界= |bσ（p，ν）nt|p（ii）V ar*-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界= -1nV ar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，1）nt | 2p（u（p，1）nt），（iii）V ar*-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界= -1nV ar\'V伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，2）nt | 2p（u（p，2）nt），（iv）Cov*-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界，-1/2n’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界= -1nCov\'V伯克希尔哈撒韦；p、 一,新台币伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界| {z}≡λp，n | bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu（p，1）ntu（p，2）nt，（v）If | bσ（p，Γ）nt | 2pu。c、 p。→Rt |σs | 2pd和| bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu。c、 p。→Rt |σs | 2pd，然后p limn→∞Σ*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-e∑np，t=0，式中∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界≡ 瓦尔*-1/2n\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新台币*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界, ande∑np，t≡ ∧np，tZt |σs | 2pds，使得∧np，t=（u（p，1）nt）-2λp，n（u（p，1）nt）-1（u（p，2）nt）-1λp，n（u（p，2）nt）-1（u（p，2）nt）-1λp，n（u（p，2）nt）-2λp，n.引理3.1的第（v）部分表明，自举方差∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P在一般模型（1）下，如果以下三个条件成立，则nt仅为∑p的一致估计量：|bσ（p，Γ）nt |2pu。c、 p。→Zt |σs | 2pd，| bσ（p，1）nt | p | bσ（p，2）nt | pu。c、 p。→Zt |σs | 2pd（15）和∧np，t→ ∧p（即u（p，ν）nt→ 1). （16） 很容易看出，让bσ（p，Γ）nt=M-12p′V（X；2p，ν）nt1/2小时即可满足（15）。然而，可能无法满足（16）。例如，对于p=2（这是实践中最重要的情况），可以证明（见附录B）u（2，1）nt=（bt/北卡罗来纳州- 1) 2Hn4.- 22小时.然而，尽管∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P由于∑p，t不一致，我们仍然可以为学生化分布实现渐近有效引导。为此，我们需要找到∑的一致估计值*十、 伯克希尔哈撒韦；P基于引导观测。在下文中，在不丧失一般性的情况下，我们将使用由bσ（p，γ）nt给出的bσ（p，γ）nt的两种选择=M-1p′V（X；p，ν）nt1/p，对于p=1，2，和γ=1,2（17）和bσ（p，γ）nt=M-1βp′V（X；βp，γ）nt1/βp，对于β>0，p=1，2，Γ=1，2。

（18） 我们提出了∑的下列一致性估计*十、 伯克希尔哈撒韦；PNTB定义∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界=λp，n | bσ（p，1）n*t | 2p（u（p，1）nt）λp，n | bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）ntλp，n | bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）ntλp，n | bσ（p，2）n*t | 2p（u（p，2）nt）（19） 式中| bσ（p，Γ）n*t|p=\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界。（20） 定理3.1假设假设假设1-3适用于α∈-,. 假设bootstrap观测由（12）给出，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+1/2。因此，n→ ∞,学士学位*n=b∑*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界-1/2-1/2n\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界- E*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界- E*\'V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界D*→ N（0，I），在prob-P中。因此，我们可以推导出bootstrap光滑度参数估计器bα的bootstrap-CLT结果*（p） bα（p）nt的n分析。为此，letbα*（p） nt=马力（COF）*（p） nt），其中hp（·）由（8）定义，而*（p） nt=V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,ntV*（X，BH；p，1）新界。（21）了解COF的渐近行为*（p） nt，我们可以写*（p） nt=τn（2）τn（1）！p/2’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新台币*（X，BH；p，1）新界。从假设2中，我们得到了τn（2）τn（1）！p/2→ 2（2α+1）p，因此，通过引理3.1的定理3.1，第（i）部分，结合（17）和（18），并通过使用方程（5）和Γ=1，2，我们可以推导出*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新台币*（X，BH；p，1）ntP*→ 1，在prob-P中，通过对定理3.1的CLT结果应用delta方法，我们可以刻画bα的分布*（p） 新界。这些结果总结在下面的定理中。定理3.2假设假设假设1-3适用于α∈-,. 假设bootstrap观测由（12）给出，其中bh是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+1/2。

因此，对于任何p≥ 2，作为n→ ∞,T*bα，n≡ -1/2n（bα）*（p） 新界- eα（p）nt）qbV*（bα）td*→ N（0，1），在prob-P中，其中eα（P）nt=hp^COF（p）nt, （22）使得^COF（p）nt=τn（2）τn（1）！p/2 | bσ（p，2）nt | p | bσ（p，1）nt | p=V（X；p，2）ntV（X；p，1）nt，如果bσ（p，Γ）nt由（17）给出，V（X；βp，2）ntV（X；βp，1）nt1/β，如果bσ（p，Γ）nti由（18）给出，以及渐近方差bv的估计*（bα）定义为*（bα）t=（p log（2））b*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界，（23）与b*十、 伯克希尔哈撒韦；Pnt=λp，nE*\'V*（X，BH；p，1）新界（| bσ（p，1）n）*t | p）（u（p，1）nt）+λp，nE*\'V*（X，BH；p，2）新界（| bσ（p，2）n）*t | p）（u（p，2）nt）- 2λp，nE*\'V*（X，BH；p，1）新界E*\'V*（X，BH；p，2）新界|bσ（p，1）n*t | p | bσ（p，2）n*t | pu（p，1）ntu（p，2）nt。备注2注意，引导统计T*bα，nis可行：它只是观测数据{Xi的原始样本的函数n} ，步骤2中生成的分数布朗运动，BHiN,他们的绝对时刻BHiN- 2BH（i）-υ)n+BH（i）-2υ)N阿宝。要看到这一点，请写下*（p） nt=马力（COF）*（p） nt），其中hp（·）和COF*（p） n分别在（8）和（21）中给出。

考虑到（21）和（13），接下来是*（p） nt=τn（2）τn（1）！p/2’V*十、 伯克希尔哈撒韦；p、 二,新台币*（X，BH；p，1）新界=u（p，1）ntu（p，2）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，1）ntV（X；p，2）ntV（X；p，1）nt，如果bσ（p，Γ）nt由（17）给出，u（p，1）ntu（p，1）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，2）ntV（BH；p，1）ntV（X；βp，2）ntV（X；βp，1）nt1/β，如果bσ（p，ν）nti由（18）给出。（24）同样地，当bσ（p，Γ）nTi由（17）或（18）给出时，我们可以写出bV*（bα）t在定理3.2中给出*（bα）t=（p log（2））b*十、 伯克希尔哈撒韦；P新界，有B*十、 伯克希尔哈撒韦；Pnt=A+B+C，其中=-1n（u（p，1）nt）-4.五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界瓦尔五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界,B=-1n（u（p，2）nt）-4.五、伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界瓦尔五、伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界,C=C·C，和C=-2（u（p，1）nt）-2（u（p，2）nt）-2V伯克希尔哈撒韦；p、 一,ntV伯克希尔哈撒韦；p、 二,nt，C=-1nCov五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界，V伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界.V-ar的表达式五、伯克希尔哈撒韦；p、 ν新界, 冠状病毒五、伯克希尔哈撒韦；p、 一,新界，V伯克希尔哈撒韦；p、 二,新界p=2的u（p，Γ）可在附录B.3.1引导实施中找到。我们可以使用上面提出的引导方法来测试关于BSS过程样本路径粗糙度的假设。考虑以下情况，其中零假设为H：对于某些α，α=α∈-,, 而另一种假设是H：α6=α。我们让p=2。对于给定的时间段[0，t]，步长为n=t我们假设有n+1∈ N观测X=（X，XNXnn） BSS流程的一部分。下面，B是引导复制的数量（例如，B=999）。使用局部分数Bootstrap1的假设检验算法。根据数据X，计算由bα（2）nt=h（COF（2）nt）给出的粗糙度参数α的估计值，其中hp（·）和COF（2）nt分别在（8）和（9）中给出。然后，计算渐近方差V（bα）nt=limn的估计量→∞V ar（bα（2）nt），由bV（bα）t=nm给出-12pV（X；4，1）nt(-1, 1) Λ(-1,1）T（2对数（2）V（X；2,1）nt）。模拟n+1个观测值BH，BHNBHn对于Hurstparameter H=α+1/2且与数据X.3无关的分数布朗运动。使用模拟样本（BH，BH。

，BHn），计算自举粗糙度参数bα的估计值*（2） nt，由bα给定*（2） nt=h（COF*（2） nt），其中hp（·）和COF*（p） n分别在（8）和（24）中给出。4.实际测试依赖于bootstrap学生化统计。因此，computeT*bα，n=-1/2n（bα）*（2） 新界- eα（2）nt）qbV*（bα）t，其中eα（2）nti由（22）给出，而bα*（2） 第3步中获得的NTI和BV*（bα）在（23）中定义。重复步骤2–4 B次，并存储T的值*bα，n，j，j=1，B.6。拒绝H：α=α，当α/∈ IC*珀克-t、 一,-γ=bα（2）nt- N-1/2季度*1.-γ/2qbV（bα）t，bα（2）nt- N-1/2季度*γ/2qbV（bα）t,q在哪里*γ/2和q*1.-γ/2是γ/2和1- T的bootstrap分布的γ/2分位数*n、 分别。4蒙特卡罗模拟研究在本节中，我们评估了基于局部分馏bootstrap的测试的有限样本性能，并将其与基于CLT的测试进行了比较。在我们的模拟中，我们将gto作为伽马核，即g（x）=xαe-λxf或x>0且λ=1。有关伽马核理论性质的深入分析，请参见巴恩多夫-尼尔森（2012、2016）。我们考虑α∈ {-1/3, -1/6, 0, 1/6, 1/3}; 回想一下，当α∈ [1/4，1/2）。我们对λ和α的几个不同值进行了实验，但结果在所有情况下都与我们下面的发现非常相似。我们考虑了随机波动过程的三个具体情况：o恒定波动率（NoSV），o单因素随机波动率（SV1F），o双因素随机波动率（SV2F）附录A中解释了这些规范的详细信息以及模拟程序。我们的调查涉及试验H:α=α的有限样本量，与（标称）5%水平的双面备选方案H:α6=α相比。

我们还计算了5%水平下（现在为假）无效假设为H:α=0的测试的大小调整功率。零假设：α=0特别有趣，因为α=0是x的半鞅性的必要条件。此外，在伽马核g（x）=xαe的情况下-λx我们在这里考虑的α=0意味着BSS过程实际上是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。表1和表2包含了我们的蒙特卡罗研究结果，并详细说明了CLT和局部分数引导的有限样本特性。表1显示了H为真时的拒绝率（即尺寸），而表2显示了H为真时的拒绝率（即功率）。可以得出一些明确的结论。首先，当观察数n很小时，bootstrap方法在测试规模上有明显的增益。其次，当α<0时，CLT的功率稍微好一点，而α则相反≥ 最后，SV的存在或不存在不会对结果产生很大影响，除了SV2F的情况下，该方法会消耗一些能量。5实证应用在本节中，我们将上述局部分数bootstrap方法应用于两个相关的实证数据集。正如我们在上一节中所看到的，bootstrap方法对于实现假设检验H的正确经验大小至关重要：α=α，尤其是当观测次数n很小时。在我们的两个应用中，理论论证表明特定的假设是正确的，我们研究了CLT和bootstrap在确认或拒绝这些假设方面的表现。通过以下方式获得尺寸调整后的功率：使用蒙特卡罗模拟，我们发现临界值将导致CLT获得与引导相同的尺寸（这些尺寸数字见表1）；然后使用这些临界值来确定基于CLT的测试的能力。