具有结构突变的奇异谱时间序列预测

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英文标题：
《Forecasting time series with structural breaks with Singular Spectrum
  Analysis, using a general form of recurrent formula》
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作者：
Donya Rahmani, Saeed Heravi, Hossein Hassani, Mansi Ghodsi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This study extends and evaluates the forecasting performance of the Singular Spectrum Analysis (SSA) technique using a general non-linear form for the re- current formula. In this study, we consider 24 series measuring the monthly seasonally adjusted industrial production of important sectors of the German, French and UK economies. This is tested by comparing the performance of the new proposed model with basic SSA and the SSA bootstrap forecasting, especially when there is evidence of structural breaks in both in-sample and out-of-sample periods. According to root mean-square error (RMSE), SSA using the general recursive formula outperforms both the SSA and the bootstrap forecasting at horizons of up to a year. We found no significant difference in predicting the direction of change between these methods. Therefore, it is suggested that the SSA model with the general recurrent formula should be chosen by users in the case of structural breaks in the series.
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中文摘要：
本研究利用回流公式的一般非线性形式，扩展并评估了奇异谱分析（SSA）技术的预测性能。在这项研究中，我们考虑了24个系列，衡量德国、法国和英国经济体重要部门经季节性调整的月度工业生产。通过将新提出的模型与基本SSA和SSA bootstrap预测的性能进行比较，尤其是在样本期内和样本期外都存在结构性中断的情况下，验证了这一点。根据均方根误差（RMSE），在长达一年的时间范围内，使用通用递归公式的SSA优于SSA和bootstrap预测。我们发现这些方法在预测变化方向方面没有显著差异。因此，建议用户在序列中出现结构突变的情况下，选择具有通用递推公式的SSA模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Forecasting_time_series_with_structural_breaks_with_Singular_Spectrum_Analysis,_.pdf (588.08 KB)

2022-5-11 07:12:09 上传

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关键词：时间序列预测 时间序列 结构突变 Econophysics Quantitative

用奇异谱分析预测具有结构突变的时间序列，使用通用的当前公式，如Donya Rahmania、Saeed Heravib、Hossein Hassanic、Mansi GhodsicaFaculty of Science and Technology、伯恩茅斯大学商学院、卡迪夫大学商学院、，伯恩茅斯大学摘要这项研究扩展并评估了奇异谱分析（SSA）技术的预测性能，该技术使用了通用的非线性回归公式。在这项研究中，我们考虑了24个系列，用于衡量德国、法国和英国经济体重要部门经季节调整的月度工业生产。通过将新提出的模型与基本SSA和SSA自举预测的性能进行比较，尤其是在样本期内和样本期外都存在结构性断裂的情况下，验证了这一点。根据均方根误差（RMSE），使用通用递推公式的SSA在高达一年的水平上优于SSA和bootstrapforecasting。我们发现在预测这些方法之间的变化方向方面没有显著差异。因此，建议用户在序列中出现结构突变的情况下，选择具有通用递推公式的SSA模型。关键词：状态相关模型，奇异谱分析，预测，工业生产。2010 MSC:37M10，91B84电子邮件地址：drahmani@bournemouth.ac.uk.（多尼亚·拉赫马尼）1。引言奇异谱分析（SSA）是一种非参数时间序列分析和预测的有效方法。在过去的20年里，这项技术得到了广泛的发展和应用，从数学和信号处理到气象学、经济学和市场研究（例如参见[5]、[15]和[10]）。

SSA方法基于将时间序列分解为趋势、谐波和噪声三个分量。然后，该方法重新构造原始序列，并基于重新构造的序列计算预测。SSA的主要优点是能够预测非正态分布且具有复杂季节性和非平稳趋势的序列。因此，该方法可以在不进行统计假设的情况下使用，例如数据和残差的平稳性和正态性。在[3]和[6]的书中可以找到对SSA方法的理论和实践基础的详细描述。工业生产指数（IIP）及其组成部分是政策制定者和经济学家使用最广泛的时间序列，因此其准确预测非常重要。Franses和Van Dijk[4]利用18个国家的季度工业生产数据，检验了各种模型的预测性能；他们发现，ARIMA模式ls在短期的充足预测中通常表现良好。然而，对于长期非线性，更复杂的模型可以提供更准确的预测。他们的结论是，他们研究中使用的方法没有一种能给出完全令人满意的结果，因此他们建议使用预测组合。Heravi等人[13]使用英国、法国和德国经济体八个重要部门的季节性未经调整的月度工业生产指数，比较了人工神经网络和线性预测的性能。他们在数据中发现了一些非线性的证据，并得出结论，非线性模型，如神经网络，在预测变化方向方面主导线性模型，但在预测一年内的实际表现方面不起作用。哈萨尼等人。

[11] 扩展了[13]使用的工业生产数据，并将SSA的性能与Holt Winters andARIMA的性能进行了比较。基于RMSE，他们得出结论，这三种方法在短期预测中的表现类似，但SSA在更长时间内的表现优于Arima和Holt-Winters模型。他们还指出，SSA在短时间序列中表现良好，所有三种方法都能很好地预测变化点的方向。Dahl和Hyleberg[2]评估了非线性模型的样本准确性，并使用各种测量方法将其与线性模型进行了比较，得出结论，一般而言，非线性模型优于线性模型。Patterson等人[17]还应用并展示了使用多元SSA对英国工业生产数据指数进行实时预测修正的好处。文献[12]全面回顾了SSA在经济和金融时间序列中的应用。Priestley[18]开发了一种通用的时间序列模型，称为状态依赖模型。该模型包括非线性模型和标准线性时间系列模型。在本研究中，我们主要遵循[18]中使用的方法，并通过考虑重现公式的更一般形式来扩展奇异谱分析技术。我们在样本外预测期间更新最优SSA（bootstrap SSA）获得的参数，将其与观测过程的过去值相关联。本研究考察了在预测期内更新参数估计的影响。第二节简要介绍了奇异谱分析技术和自举SSA。第3节扩展了SSA，并描述了基于通用递归公式更新系数的算法。

第4节概述了研究中使用的数据，并应用Bai a和Perron检验来检测数据中的结构断裂。第5节给出了实证结果，并对结果进行了讨论。第6.2节得出了一些结论。SSA和Boo-tstrap SSA本节简要介绍了奇异谱分析。SSA是一种将原始序列分解为若干独立分量的方法，即趋势分量、周期分量和噪声分量。SSA由分解和重构两个阶段组成。第一阶段分解时间序列，第二阶段重构分解后的序列，并通过线性回归公式获得预测。2.1. 分解在分解阶段，SSA首先将一维时间序列数据组织成一个多维序列，方法是选择一个观测向量，并将其移动到整个样本中。这个过程被称为嵌入，结果是轨迹矩阵X，尺寸为L乘以K=N-L+1X=yy··yN-林恩-L+1yy·yN-L+1yN-L+2。。。。。。。。。。。。。。。伊尔-1yL·yN-2yN-1yLyL+1··yN-1yN.“窗口长度”L是介于2和N之间的整数，需要在分解阶段设置。L的选择取决于数据的结构，L的任何一条规则都不能涵盖所有应用。然而，一般来说，L应与数据的周期性成比例，足够大，以获得有效的分离成分，但不大于N/2。[6]对该参数的选择进行了全面讨论。在第二步中，轨迹矩阵X被分解为D个基本矩阵之和：X=X+…+Xd，（1）其中，Xi=√λiUiVTi（对于i=1，…，d）和λ，λ，λd有序非负特征值S=XXT，U，是对应的特征向量。

主成分由Vi=xTi计算/√λi与场景(√λi，Ui，Vi）称为矩阵S.2.2的特征三元组。重构为了区分信号和噪声，我们需要将元素矩阵分成两组I={1，2，…，r}及其补码I={r+1，r+2，…，d}。第一个r初等矩阵X，XR使用近似理论原始矩阵X来构造信号，第一个被视为噪声。第一个r初等矩阵X，通过相应eige n值的份额测量的XRI，Pri=1λi/Pdi=r+1λi。通过对矩阵XX+…+进行对角平均（Hankelisation），可以获得与原始序列长度相同的重构序列Xr。在重建阶段，应选择基本矩阵的数量r。这个参数可以通过寻找特征值λ，λ。λd由原始时间序列的周期图分析得出。有关此参数选择的详细讨论，请参见[6,11].2.3。预测为了用SSA进行预测，时间序列s必须近似满足YT=L给出的线性回归公式-1Xj=1φjyt-j、 （2）其中向量{φ}L-1j=1是一系列常数系数，应予以确定。在SSA中，循环系数φj，j=1，L- 1.如下所示。第一个定义A=（φL-1，φL-2.φ); 下一步，区分Firstl- 1特征向量Ui的组件，使得Ui=（Ui五十、 πi）其中L=（ui，1，…，ui，L）-1） πiis是Ui的最后一个组件；定义∏=Pri=1πi<1。然后得出循环系数：A=（1- Π)-1rXi=1πiUiL.一旦循环系数φj，j=1，L- 1时，应用递推公式可以简单地得到动态预报。^yt+h=L-1Xj=1φj^yt+h-jh=1,2,3。

（3） 在估计样本^yt中，yt的拟合值与重建序列^yt相同；^yt=~yt表示t=1，2，N.2.4。Bootstrap SSAA预测方法可以通过蒙特卡罗模拟或Bootstrap来实现。然而，蒙特卡罗模拟可以应用于真实模型已知的情况。在SSA中，在滤波和重建之前，信号的真实模型是未知的，因此应用b ootstrap程序来获得预测和构造区间估计的统计特性。假设我们有一个时间序列，它由两个分量组成：YN={yt}Nt=1=SN+en，其中sni是信号，eni是噪声。在w indow长度L和相应的特征三元组的适当选择下，有一个表示形式^Y=^SN+^EN，其中^SN（重建序列）近似于剩余序列，且^ENstands。通过bootstrap技术（使用替换），我们从噪声中生成^EN的B个独立“拷贝”EN，i（i=1，…，B）。然后，我们可以获得B系列^Y=^SN+^enan，并以与蒙特卡罗模拟相同的方式进行HF预测^SN+hin。然后可以根据样本^SN+h，i（1）计算平均自举预测≤ 我≤ N） 在这些预测中，^SN+可以与基本SSA获得的预测结果进行比较。这两个预测之间的巨大差异通常表明原始SSA预测不可靠。3.SSA使用一个通用的递归公式Priestley[18]开发了一个时间序列模型的通用类别，称为状态相关模型（SDM），其中包括非线性时间序列模型和标准线性模型作为特例。SDM的主要优势在于其灵活性，且无需事先对参数进行任何特定假设即可安装。

这不仅是有用的，而且可能表明数据中存在特定类型的非线性和结构缺陷，甚至可能表明具有常数系数的线性模型是否同样令人满意。[18]对这些通用模型进行了更广泛的讨论和识别。[7]对状态无关模型在真实和模拟数据中的应用进行了广泛的研究，[19]研究了它对非线性动力学系统的扩展。在本节中，我们用线性回归公式将SSA推广到一般的状态依赖形式。我们解释了如何在预测期内递归更新SSA在充足期内获得的线性电流公式的估计系数。考虑以下等式（2）中给出的线性回归公式yt=φyt-1+φyt-2+ . . . + φL-1yt-（L）-1） ，（4）式中{φ，φ，…，φL-1} 在采样周期内，通过SSA获得re常数，然后在时间（t- 1） 过程{yt}的未来发展由{yt}值决定-1.yt-（L）-1） }。因此，向量Yt-1={yt-1.yt-（L）-1） }t可以被视为过程{yt}的状态向量。也就是说，状态向量中包含的过去与过程未来发展相关的过程的唯一信息。SDME通过允许模型（4）的系数成为状态向量Yt的函数，扩展了线性回归公式的思想-1，得出一般的递推公式模型：yt=φ（yt-1） yt-1+φ（Yt）-1） yt-2+ . . . + φL-1（Yt）-1） yt-（L）-1） （5）该模型具有可考虑的基因多态性，并且作为一种特殊情况，它包括标准线性回归模型。3.1. SSA的递推估计有一个通用的递推公式在这一节中，我们关注参数{φ，φ。

，φL-1} 模型（5）在预测期内的变化。然而，这些系数取决于状态向量Yt-因此，估计问题就是对这种依赖的函数形式的估计。为了估计这些系数，美国教育部采用了一种类似于[8]的递归方法。Priestley[18]表明，可以基于扩展卡尔曼滤波算法执行估计程序。然而，也有一些关于参数的假设[14]。可以做出的最简单的非平凡假设是，参数被局部地重新表示为状态向量Yt的线性函数。假设{φu}是Yt的缓慢变化函数，这个假设是有效的。使用这些假设，参数的更新方程可以写成：φu，t=φu，t-1+ yt-uγ（t）u，u=1，L- 1、（6）在哪里yt-u=yt-U-yt-U-1和γ是梯度。辐射参数γ（t），γ（t）L-1是未知的，必须进行估计。基本策略是允许这些参数以随机游动的形式漂移。梯度参数的随机行走模式l可以矩阵形式写成：Bt+1=Bt+Vt+1，（7），而Bt=（γ（t），γ（t）L-1） Vt是一系列独立的矩阵值和变量，比如Vt~ N（0，∑V）。然后，对于每个t，估计过程确定Bt的值，粗略地说，这将使观测值yt+1与其预测值^yt+1之间的差异最小化，该值是根据在时间t处安装的模型计算得出的。因此，该算法本质上是顺序的，并重新组装卡尔曼滤波算法中使用的程序[14]。在[18]之后，经过一些修改，我们可以在状态空间形式中重新编写一般的递归模型，其中状态向量不再是Yt，而是由状态向量替换：θ（t）=（φ（t-1), . . . , φ（t）-1） L-1，γ（t）。

，γ（t）L-1） ，（8）一般来说，这可以定义为yt-u=yt-U- yt-U-d、 例如，对于d=1的月时间序列，yt-uis被视为月度差异，当d=12时，被视为年度差异。i、 e.，θ是模型所有当前参数的向量。将Kalmanalgorithm应用于重新表述的方程，得到递推^θt=F*T-1θt-1+K*t（Yt）- H*tF*T-1θt-1） ，（9）Yt=H*tθt+t，（10）其中H*t=（Yt）-1.Yt-（L）-1), 0, . . . , 0）F*T-1=伊尔-1.yt-1.yt-2.0yt-（L）-1） 0 IL-1.哪里yt-u=（yt）-U- yt-U-1); u=1，L- 1和K*t、 Kalman-gainmatrix，由K给出*t=Φt（H）*t） tσe，（11）Φt是θt的一步预测误差的方差协方差矩阵，即Φt=Eh（θt）- F*T-1^θt-1） （θt）- F*T-1^θt-1） Ti，σeis是一步预测误差yt的方差，即σeis是et=yt的方差- H*tF*T-1^θt-1.如果CTI是方差-协方差ma trixof（θt-^θt），然后可以使用卡尔曼滤波器的标准递归方程来估计^θt的连续值：Φt=F*T-1Ct-1（F）*T-1） T+∑W，（12）K*t=Φt（H）*t） ThH*tΦt（H）*t） t+σi-1，（13）Ct=Φt- K*thH*tΦt（H）*t） t+σi（K）*t） t，（14）式中∑W=0∑V. （15） 使用通过窗口长度为L的SSA（自举SSA）技术估计的参数，该递归过程将在预测期开始时开始，初始估计系数为：^θt-1=（^φ，…，^φL）-1, 0, . . . , 0）以及模型^σ和Ct的剩余方差-1=^Rφ，。。。，φL-10 0. （16） 如果假设在线性电流公式的s安培周期内获得的参数值是最优的，那么最初将所有梯度设置为零似乎也是合理的。仍然需要选择r∑V的合理值，即Vt的方差-协方差矩阵（因此，通过暗示，选择∑W的值）。