高滚动冲击：Parimutuel的一个大型广义博弈模型

（[5]；[54]），我们随后非正式地考虑了当我们允许博彩组织者在两阶段游戏的第一阶段以最佳方式选择豪宅时会发生什么（参见示例5.5）。我们在第4节中的结果不受这种转变的影响。单位区间描述了投注者对结果可能性的不同看法1：观点被p索引的投注者∈ [0，1]认为结果1将以概率p出现。最初，每个不同的投注者都有一些（可忽略的）单位财富。具有连续处处正密度的有限Borel测度u表征了不同使用概率的分布。更准确地说，所有观点包含在Borel集合a中的不同使用者的初始财富总和为u（a）。μ具有连续的正密度是我们在第2节中方便的建模假设。这与Ottaviani和Sorenson\'swork中的一个关键假设类似，尽管他们对不同使用情况下的投注者的后验信念是在使用私人信号和Bayes规则（见[38]）更新一个常见的前验信念后获得的。实际上，渡边假设u不必有密度，即使有密度，密度也不必处处为正（[54]）。这些选择需要一种集值方法，这是我们能够避免的。连续性只是简化了我们的一些论点，例如，参见定理4.3的步骤6。假设的结果起着更关键的作用。关于parimutuel下注博弈中是否存在均衡的结果通常包括以下假设：对于任何给定的结果，至少有两个投注者相信结果将以正概率发生。通过假设密度为正，我们也假设了这一点。渡边已经证明，对于某些固定的p（[54]），如果u（{p}）>0，则平衡可能不是唯一的。

显然，密度的存在阻止了这种情况的发生。我们的原子玩家相信结果1将以概率q发生∈ [0, 1]. 她拥有（不可忽略）有限的初始财富w>0。自始至终，我们都将所有玩家的信仰视为外源决定的。我们不考虑玩家如何对他们的估计进行基因评分；然而，这个过程在实践上和学术上都非常有趣（[22]；[21]）。对于第4节中的理论结果，我们也没有具体说明玩家的估计与结果发生的实际概率的比较。由于大型投注机构据称会产生高精度的预测，我们可以选择q作为实际出局概率1的小扰动。我们在示例5.2和5中非正式地试验了这个额外的假设。3.所有玩家决定每个结果的赌注。他们的选择仅受初始财富的限制：对于个人而言，下注策略是可行的（或可接受的）。例如，韦伯的工作就是如此（[56]）。粗略地说，如果只有一个玩家认为某个特定的结果将以正概率发生，那么她应该在该结果上下任意小的赌注。在没有正的最小赌注大小约束的情况下，均衡就不存在了。6 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKbetto r，只要她的赌注不超过她的财富。例如，教唆者r可以选择将其财富的100%押在结果1上，将其财富的55%押在结果1上，将其财富的30%押在结果2上，或者根本不下注。我们将其形式化如下。定义3.1。

对于不同用途的参与者来说，一个可行的策略文件是一个可测量的函数f=（f，f）：（0，1）-→（x，x）∈ R≥0:x+x≤ 1..原子参与者的可行策略是向量A=（A，A）∈ R≥例如a+a≤ w、 我们称这对（f，a）为可行的策略。在（f，a）项下，原子玩家对结果i下注。每个认为结果1发生概率p的玩家对结果i下注fi（p）×100%（可忽略不计）单位初始财富。我们的可行策略文件空间有点非典型。之前，Diff use Players在parimutuel下注游戏中只能进行单位下注，如果他们下注的话（[38]；[54]）。我们本可以在不因提案4.1而丧失普遍性的情况下做出这一限制。渡边允许不同用途的玩家进行不同的下注，即使他们持有相同的信仰（[54]）。在均衡状态下，这种差异只会出现在那些认为自己的预期收益为零的差异玩家身上。我们在我们的框架中遇到了一个相关的模糊性（参见我们对建议4.1的讨论）。对我们来说，这组投注者的u-测量值为零，我们预计，如果我们放宽对投注者相同信念的限制，我们所有的主要结果将保持不变。更重要的是，原子参与者在获得（[56]；[55]；[13]；[40]）时，经常被限制在单一结果的总数量或单位数量上。提案4.2表明，实施这些限制将产生严重影响。Diff use玩家在结果i上下注的总金额表示为di，即givenbydi=Zfi（p）u（dp）。由于u有一个密度，我们立即确认，任何给定的不同玩家下注的金额太小，无法影响任何特定结果的下注金额。

当然，如果她修改了自己的策略，那么一个特定的差异使用玩家既不会影响总下注金额，也不会影响（1.2）。当不同用途玩家的集合（即不同用途玩家的集合，其信念包含在具有正u-度量的Bo rel集合中）修改其赌注时，所有这些数量都可能发生变化。报酬根据（1.1）确定。每个玩家同时选择自己的下注策略，以便根据自己的信念最大化自己的预期收益。Weimplicity假设每个投注者都知道κ、u、q和w，这样她就可以选择响应对手集体行动的选项。类似的假设也可以在许多其他关于帕里穆图尔赌博的均衡研究中找到（[56]；[55]；[54]；[13]；[40]）。在实践中，对大型投注公司的担忧也源于其所谓的比普通玩家更快下注的能力。我们的静态游戏只有两种结果，所以在这里对这个特性建模是没有意义的。我们希望在未来的工作中重新讨论这个问题。张的论文是一个例外，尽管这项工作的重点与我们自己的（[16]）大不相同。即便如此，我们的玩家可能看起来知识渊博，对自己的信仰缺乏信心。对于结果的可能性，RealBetter可能会有一个更复杂的先验知识。他们可能无法获得关于对手的如此全面的信息。如果他们对这些细节有所了解，他们也可能希望更新自己的预测。高滚冲击7由于每个不同用途的玩家一开始的单位财富可以忽略不计，从技术上讲，我们只应该讨论不同用途的投手的预期收益，因为这些观点存在于一些Borel集合A中。尽管如此，我们还是以一种明显但公认非正式的方式计算和参考单个不同用途投手的预期收益。

这样做有助于激发我们对纯粹战略纳什均衡的定义（见定义3.3），并突出我们结果背后的直觉。一个似乎更令人担忧的问题是如何处理（1.1）病理病例。产生一个可行的策略文件（f，a）是很简单的，对于一些p，我们有fj（p）>0，但dj=aj=0。简单地翻译（1.1），我们得出结论，一个观点被P索引的不同使用的玩家会收到κXi=1（di+ai）！fj（p）dj+aj（3.1）无论何时出现结果j。如果d=d=a=a=0，则下注的总金额为零。实际上，博彩机构可能会取消此类活动，这表明在这种情况下，将所有玩家的支付设置为零是很自然的。或者，对于I6=j，我们可能有di+ai>0。现在有两个a选项可供不同用途的玩家支付。首先，我们可以选择将支付设置为零。实际上，如果结果发生了，但没有人下注，那么没有人会得到赔付。我们还可以将支付设置为+∞, 渡边雅信的作品（[54]）。在实践中，如果在结果j上下注的金额为零，那么每个认为结果j将以正概率发生的玩家都会想在结果j上下一个非常小的赌注+∞ 抓住他的直觉。我们选择第一个选项，但选择第二个选项不会改变我们的结果。只需要计算均衡报酬，在均衡中，两种结果都是正的。有意识地，我们所描述的情况会出现。一个原因是，我们不允许无玩家下注时出现微不足道（或零）的均衡。我们可以，但正如渡边观察到的那样，这种情况是比较特殊的，但解决这些异议的简单方法可能是将κ视为真κ（滥用符号）的一些（众所周知的）负面扰动。

其想法是，每个参与者都会将交易成本建模为高于其实际价值，特别是降低他们的感知优势，并鼓励他们比其他情况下更谨慎地下注。一项更彻底的研究可以从确定使用纳什均衡解概念近似帕里穆图尔下注是否确实合理开始。如果是这样的话，人们可能会赋予更好的人更复杂的先验知识，并使他们能够使用均衡隐含概率更新自己的信念（见定义3.2）。这将导致定义3.3中的额外条件。如果解决方案的概念不合理，人们可以设计一个新的场景，让玩家根据个人参考模型独立决定自己的下注策略，并适当惩罚结果可能性的替代模型，以及对手的参数。从广义上讲，这种对单个参与者优化问题的处理方法在宏观经济和金融领域得到了广泛应用（[24]）。然后，我们可以研究当所有玩家同时参与同一个parimutuel下注事件时会发生什么。我们将对这些主题的进一步考虑留给未来的工作。这种情况可以被认为是一种平衡，因为如果任何一个玩家单方面修改她的赌注，直觉上，她应该至少损失（1）- κ） %8 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER Munkunt有趣且几乎不重要（[54]）。大致上，另一个原因是我们可能将支付设置为+∞.在进行精确的讨论之前，我们先介绍一些符号。定义3.2。

给定一个可行的策略文件（f，a），使得至少一个di或ai为正，结果1将发生的隐含（或主观）概率（表示为Pf，a）由Pf定义，a=d+aPi=1（di+ai）。我们指的是1- Pf，a=d+aPi=1（di+ai）作为结果2发生的隐含（或主观）概率。Pf，Ai是结果1下注金额与下注总金额的比率，假设后者为正。我们之前的讨论暗示了∈ （0，1）不平衡。由于争论是非正式的，我们还不认为这是事实。特别是，一个认为结果1将以概率p为κXi=1（di+ai）发生的不同使用玩家收到的a坐骑！f（p）1{d+a6=0}d+a=κf（p）1{Pf，a6=0}Pf，a和κXi=1（di+ai）！f（p）1{d+a6=0}d+a=κf（p）1{Pf，a6=1}1- 当结果1和2出现时，分别为Pf和A。因此，这名不同用途的玩家认为，这里的预期利润为isf（p）κ1{Pf，a6=0}pPf，a- 1.+ f（p）κ1{Pf，a6=1}（1- p） 一,- Pf，a- 1.. （3.2）类似地，一个tomic玩家认为她预期的职业是κ1{Pf，a6=0}qPf，a- 1.+ A.κ1{Pf，a6=1}（1- q） 一,- Pf，a- 1.. （3.3）定义3.3。纯战略纳什均衡是一个可行的战略规划（f, A.)这样（i）至少有一个我是一个我的答案是肯定的；（ii）对于任何p∈ [0,1]，f（p） κ1{Pf,A.6=0}pPf,A.- 1!+ F（p） κ1{Pf,A.6=1}(1 - p） 一,- Pf,A.- 1!= supb，b≥0b+b≤1（bκ1{Pf,A.6=0}pPf,A.- 1!+ bκ1{Pf,A.6=1}(1 - p） 一,- Pf,A.- 1!);我们后来观察到，Pf∈ (1 - κ、 κ）等平衡（见定理4.3的证明步骤9）。当然，我们仍然在这里滥用符号。

当我们的一个指示函数等于零时，相应的分数实际上是0/0的形式，而不是我们所说的零。高速滚柱冲击9（iii）andaκ1{Pf,A.6=0}qPf,A.- 1!+ A.κ1{Pf,A.6=1}(1 - q） 一,- Pf,A.- 1!= supb，b≥0b+b≤wd,D,borb>0（bκ1{Pf,b6=0}qPf,B- 1!+ bκ1{Pf,b6=1}（1- q） 一,- Pf,B- 1!).（i） 正式排除下注总额为零的情况。（ii）和（iii）确保每位玩家根据自己的信念，在获得支持的情况下，实现预期收益的最大化。首先，观察每个玩家需要的关于对手策略的信息很少。对于给定的差异，使用ettor，了解Pf,A.一个人就够了。原子玩家必须能够计算Pf,b对于她所有可行的策略都是b，因此她有必要了解d和d. 这两类参与者的差异反映出，个体差异参与者不能影响结果1的隐含可能性，而原子参与者可以。这些评论解释了为什么我们非正式地宣称，只有原子参与者和不同参与者的聚合使用参与者影响其他参与者。请注意，每个玩家的策略匿名地取决于对手的赌注：具体来说，heropponents的赌注是如何产生Pf的,A., D, 和d这无关紧要。虽然我们只优化了（iii）中的b，但d= D= 0促进我们对额外资源的使用, D, 硼>0。有人可能会担心，我们没有考虑原子玩家的可行策略b=b=0，如果d= D= 0.记录所有玩家在这种情况下获得的报酬为零。一个简单的计算表明，上确界也为零，所以我们的OMIS离子不会引起任何问题。我们建模框架的最后一个重要概念是唯一性。定义3.4。

纯策略纳什均衡（f）, A.) 对于任何其他纯策略纳什均衡（f, A.), 我们有f= Fu-a.s.和a= A..我们允许f和f对一组μ-度量z ero存在分歧，因为最终，所有相关的平衡量，如隐含概率，都不会受到这种差异的影响。很快，我们看到f（p） 和f（p） 除了最多两个点外，其他所有点都必须相等。对于那些认为自己的预期收益为零的不同用途投注者的行为，只有不确定性（参见我们关于可行策略空间的讨论）。理论结果我们现在陈述并证明理论结果，从命题4.1和4开始。2.前者描述了不同的玩家应该如何下注，以响应原子玩家的策略。后者告诉我们，考虑到不同玩家的赌注，原子玩家应该如何下注。我们用这些观察结果来证明定理4.3，这是我们的主要结果。在（ii）中，我们确定了所有信念被p指数化的不同用途投注者的均衡下注；然而，单次使用这些bel IEF的Diff use bettor解决了同样的最大化问题。我们在第4节描述了所有证明背后的想法；然而，我们将命题4.2和定理4.3的形式方程分别推迟到附录B和附录C。大致上，这表明我们的大型广义游戏几乎可以被视为一个有两个玩家的游戏：不同玩家的平均场和原子玩家。10 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER Munkre认为，它为纯策略纳什均衡的存在和唯一性提供了必要和充分的条件。我们以推论4.4、4.5和4.6结束第4节。推论4.4说，当且仅当最终预期结果为正时，原子玩家才会对特定结果下注。

下一个推论表明，我们的平衡在特定意义上是规则的，而推论4.6则表示，当ho使用接近50%时，结果1的隐含概率趋于0.5。提议4.1。假设（f，a）是一个可行的策略，使得d，d>0。f满意度f（p）κpPf，a- 1.+ f（p）κ (1 - p） 一,- Pf，a- 1.= supb，b≥0b+b≤1.BκpPf，a- 1.+ Bκ (1 - p） 一,- Pf，a- 1.（4.1）对于所有p∈ [0,1]当且仅当iff（p）=1如果p>Pf，a/κ0如果p<Pf，a/κf（p）=1如果1- p>1.- Pf，a/κ0如果1- p<1.- Pf，a/κ.首先，请注意Pf∈ （0，1）因为两者都是积极的。比较定义3.3的（4.1）和（ii），我们发现命题4.1提供了一个简单的描述，在这种情况下，考虑到原子参与者的b集，使用不同参与者的均衡策略。我们的假设不是太严格，因为定理4.3证明的第一步说，在平衡状态下，D和D始终都是正的。出现了三组截然不同的不同用途的投注者：第一组，包括相信结果1发生的可能性大于Pf、a/κ的不同用途的投注者，他们将所有最初的财富押在结果1上。使用那些认为结果发生的概率大于1.- Pf，a/κ组成第二组。这些玩家把他们的全部财富押在结果2上。剩下的差异使用玩家，除了那些信念被p=Pf、a/κ或1.- Pf，a/κ、 不要打赌。没有一组重叠，因为0<κ<1意味着1-1.- Pf，aκ<Pf，aκ。（4.2）证据的潜在直觉很容易解释。