高滚动冲击：Parimutuel的一个大型广义博弈模型

当且仅当iff（p）时，它相当于在[0,1]上显示该分数（4.1）=1如果κpPf，a- 1>00如果κpPf，a- 1<0华氏度（p）=1如果κ（1-p） 一,-Pf，a- 1>00如果κ（1-p） 一,-Pf，a- 1 < 0.术语κpPf，a- 1和κ（1- p） 一,- Pf，a- 1从相信结果1将以概率发生的不同玩家的角度，分别描述结果1和结果2的预期单位赌注收益。个体差异参与者是风险中性的，不会影响这些数量，因此只有当相应的术语为正时，他们才会关注结果。对于一个特定的分歧参与者来说，κ至多是一个结果∈ (0, 1). 因此，如果一个不同用途的玩家发现了一个有利的下注机会，她就把自己的全部财富都押在这个机会上。尽管他们有很大的可行策略空间，但除了那些信念由p=Pf、a/κ或1.- Pf，a/κ、 在每一个结果上赌100%或0%他们的财富。fiat-Pf、a/κ和1.- Pf，a/κ是模糊的，因为如果一个给定的不同用途玩家在结果i上的每单位赌注预期收益为零，那么她对结果i的赌注大小是不同的。尽管他们的设置与我们不同（见第2-3节），奥塔维亚尼、瑟伦森和渡边发现类似的不同用途玩家群体处于平衡状态（[38]；[54]）。在我们讨论推论4.5时，我们又回到了这一观察结果。推论4.5粗略地说，即使我们考虑到原子玩家的赌注，这些gro Uping仍然存在。证据除了我们上面的启发性讨论之外，没有什么可以正式化的。我们只评论重新排列（4.2）表明我们永远不能同时拥有κpPf和a- 1>0和κ（1- p） 一,- Pf，a- 1 > 0.提议4.2。假设（f，a）是一个可行的策略，使得d，d>0。考虑一下方程式κqPf，a- 1.+ A.κ (1 - q） 一,- Pf，a- 1.= supb，b≥0b+b≤WBκqPf，b- 1.+ Bκ (1 - q） 一,- Pf，b- 1..

（4.3）（i）当q>dκ（d+d）时，（4.4）a满足（4.3）当且仅当a=0且a=min（w，sκqdd1- κq- d） 。（4.5）（ii）何时- q>dκ（d+d），（4.6）a满足（4.3）当且仅当a=0和a=min（w，sκ（1- q） dd1- κ (1 - q）- d） 。（4.7）（iii）何时≤dκ（d+d）和1- Q≤dκ（d+d），（4.8）a满足（4.3）当且仅当a=a=0。正如我们对上一个结果的讨论一样，Pf，a∈ （0，1），我们只研究d，d>0不重要的情况。命题4.2可以被解释为命题N4.1的补充：它描述了原子玩家的均衡策略，给出了使用玩家下注的效果。由于u具有密度，因此具有两点的集合的u度量为零。因此，这种模糊性与均衡的唯一性无关。一个更严重的担忧是，我们可能会有满足定义3.3的可行策略，并具有不同的隐含概率。排除这种可能性是定理4.3证明的关键部分。12 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKA的计算与（4.2）类似，表明（4.4）和（4.6）永远不会同时成立。请注意，a在（i）下大于0，而a在（ii）下大于0。例如，（4.4）意味着DD+d<κq和DD+d>1- κq.（4.9）在这种情况下，a=min（w，sκqdd1- κq- d）≥ min（w，s）dddd- d） >0。因此，在（i）项下，原子玩家仅对结果1下注。原子玩家只在（ii）中的结果2上下注，而在（iii）中她根本不下注。尽管她有机会这么做，但她从不同时在两种可能性上下赌注。命题4。1对不同用途的投注者显示了类似的行为。命题4.1和命题4.2证明中的重要思想密切相关。通过改变（4.4）和（4.6），我们得到了κ（d+d）qd- 1>0和κ（d+d）（1- q） d- 分别为1>0。考虑到不同玩家的下注，第一个术语描述了根据原子玩家在结果1上的预期收益。

第二个术语对结果2有类似的解释。正如我们对不同参与者的分析一样，原子参与者是风险中性的，只有当其中一个不平等成立时，才会下注，直接导致（iii）。Isaacs首先证明了这一点，而mo de ling parimutuel赌博是一个风险中性的原子玩家在不受预算约束的情况下面临的控制问题（[28]）。我们在命题4中包含（iii）。2.只是为了协助我们的陈述。与我们之前的分析不同，我们无法得出结论，原子玩家将自己的全部赌注押在最初有利的下注机会上。原因很简单：原子玩家的选择影响（1.2）。事实上，在所有其他条件相同的情况下，随着原子玩家提高对该结果的赌注，对另一个结果的每单位赌注的支付减少。通过更多下注来平衡增加预期收益的需求，并通过减少下注来保持较高的预期收益，这将导致（4.5）和（4.7），而不是4.1中的“全部或无”下注。更准确地说，如果（4.4）保持不变，我们放松了财富限制，这种交易将使原子玩家下注κqdd1成为最佳选择- κq- d（4.10）关于结果1。该解决方案也首次被Isaacs所涵盖（[28]）。（4.5）背后的想法很清楚：如果原子玩家无法在结果1上下注（4.10），sheinstead会尽可能多地下注。从直觉上看，这似乎是合理的，因为在（4.10）之前，提高她在预期收益上的结果1赌注的积极影响应该超过仅根据对手的赌注就可以确定原子玩家赌注的结果（如果有）。尤其是，这种识别可以在不知道结果1的隐含概率的情况下进行。尽管如此，从（4.3）中可以清楚地看出，原子玩家在均衡状态下对结果i下注，前提是对结果i的单位下注预期收益为正。

我们在推论4.4中对此进行了严格的论证和进一步的讨论。在均衡研究中也可以看到相关的表达式，其中N个风险中性的原子玩家被限制下注特定的总金额（[13]）。显而易见，提案4。2.填补这两种设置之间的小间隙。回想一下，没有明确的解决方案可供张的原子弹玩家使用，他们面临着像我们这样的预算限制，但规避风险（[16]）。高辊冲击13负冲击。对（ii）的解释类似。我们在附录B定理4.3中给出了命题4.2的形式证明。纯s策略纳什均衡存在的充要条件是κ>0.5。当平衡存在时，它是唯一的。低交易成本（或大κ）与非平凡均衡的存在之间的联系已在其他对等燃料下注研究中观察到。例如，渡边模型中存在一个非平凡的均衡，前提是房屋占用率为su fifficientlysmall（[54]）。奥塔维亚尼和瑟伦森也做了类似的观察（[38]）。直觉上，κ>0.5对于我们的框架中平衡的存在是必要的，因为只有两种可能的结果。假设（f）, A.) 是一种纯粹的战略平衡。考虑到她的类型，如果一个玩家相信结果1将以概率p发生，并对结果1下注，那么她对结果1的最终预期收益应该是正的：κpPf,A.- 1 > 0.同样，如果她赌结果2，那么κ（1- p） 一,- Pf,A.- 1 > 0.两种结果均为正值（见第3节），这意味着κPf,A.- 1>0和κ1- Pf,A.- 1 > 0. （4.11）重组（4.11）显示κ>0.5。

更一般地说，很容易看出，在一个有n个结果和风险中性的玩家可以选择不接受的情况下，κ>1/n对于均衡的存在是必要的。文献中的Parimutuel下注博弈偶尔具有多重均衡。例如，Watanabe等人改编了Harsanyi和Selten的工作，从他们的原子玩家模型中选择了几个平衡点中的一个（[55]）。如第3节所述，渡边的连续统一体博弈模型可以描述当u（{p}）>0时某些固定p的多重均衡。我们怀疑，如果我们加入额外的原子参与者或放宽我们关于u有密度的假设，我们的均衡将不再是唯一的，但我们将这个问题留给未来的研究。我们把证据分成9个步骤。第一步允许我们使用命题4.1和4.2。它说，在均衡状态下，不同使用的玩家在每个时间段的总下注量始终为正。第2步将我们上面的讨论形式化，并表明κ>0.5对于平衡的存在是必要的。最后，我们找到了一个与原始pr问题等价的公式。更准确地说，在第3-4步中介绍了一些初步的符号之后，我们在第5步中定义了所谓的隐含可能性映射。我们在步骤6-7中的工作表明，这张地图有一个独特的固定点。由于它的结构，它的固定点与纯策略均衡相关，反之亦然。然后我们可以得出结论，在步骤8-9中，当κ>0.5时，我们的游戏有一个独特的平衡。我们的方法是由以下观察结果驱动的：平衡基本上由结果1的隐含概率决定。考虑到这个数量，我们立即从第4.1条中恢复使用玩家赌注的差异。从技术上讲，我们不知道他们如何使用那些信念被Pf索引的球员,A./κ或1.- Pf,A./κ规矩点，但这无关紧要。

通过命题4.2，我们确定原子玩家的赌注。实际上，这种不平等几乎总是存在的。14 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER Munkt这一观察结果导致了第5步中对а的定义。从某种意义上说，我们的配方仅在固定点有意义，这是刚才讨论的对应关系的基础。我们对定理4.3的完整证明可在附录c中找到。我们用推论4.4、4.5和4.6完成了第4节。第一个结果表明，当且仅当原子玩家对特定结果的最终预期收益为正时，才会对该结果下注。这在（iii）定义3.3中非常明显，我们在讨论定理4.3时基本上假设这是真的。尽管如此，建议4.2确定了原子玩家仅基于不同使用玩家下注的结果（如果有）。例如，根据这个结果，原子玩家在一个平衡点（f）中对结果1下注, A.) 当且仅当ifq>dκ（d）+ D). （4.12）自从> 0，我们可能会担心,A.κ≥ q>dκ（d）+ D).特殊形式的在（4.5）中，最终可以防止这种情况。请注意，命题4.1几乎已经暗示了不同参与者的相应结果。我们之所以这么说，几乎是因为不同投注者的行为尚未确定，他们对某些结果的最终预期收益为0。从这个角度来看，原子和差别使用玩家使用同一个游戏来识别有利的下注机会。从战略上讲，他们只是在决定均衡赌注的大小上有所不同。推论4.4。假设（f）, A.) 这是一种平衡。然后> 0当且仅当κqPf,A.- 1>0，而a> 0当且仅当κ（1）- q） 一,- Pf,A.- 1 > 0.证据我们提出了第一种情况的论点。另一个类似。回想一下d, D> 0（参见定理4.3的步骤1）。

假设> 0.根据命题4.2，（4.4）成立= 0.使用REM 4.3证明的第4步中的符号Pf,A.≤ζPf,A.+ Dζ（Pf）,A.) + D+ D.κqPf,A.- 1>0（4.13）来自艾萨克的工作（[28]）。为了证明剩余的方向，假设（4.13）满足。正好（4.4）、（4.6）和（4.8）中的一个成立。我们不能有（4.6），因为这将导致> 0.Arguingas我们刚刚做了，我们会得到κ（1）- q） 一,- Pf,A.- 1>0，这将导致κqPf,A.- 1 < 0.（4.8）两者都不能成立，因为这会产生矛盾≤Dκ（d）+ D)=Pf,A.κ.高辊冲击（4.4）保持和> 0为了解释我们的下一个结果，假设某个玩家在赌一个特定的结果。如果另一个玩家认为这个出局的概率比原来的玩家更高，那么推论4.5就表明新玩家也在赌出局。回想一下第2节，渡边将这种性质称为平衡调节（[54]）。渡边框架、奥塔维亚尼和瑟伦森框架中的所有均衡都是规则的（[38]；[54]）。有人可能会怀疑这样的结果通常成立，但事实并非如此（[55]）。据我们所知，只有当每个玩家的初始财富微不足道时（38]；[54]），才会在文献中持续观察到规律性。推论4.5表明，我们的模型是一个均衡规则的帕里穆图尔下注博弈的例子，即使原子玩家处于活动状态。这是我们观察到的一个直接结果，即原子和非原子玩家都决定通过确定每单位的最终预期收益是否为正来押注于某个结果。推论4.5。平衡点（f）, A.) 总是有规律的。证据

自从d, D> 0通过定理4.3证明的第一步，结果直接来自命题4.1和推论4.4。第四节的最后一个结果是，结果1的隐含概率趋向于0.5，因为house take接近0.5，减去我们为模型选择的其他参数。事实上，收敛是一致的。最初，这一发现可能显得有些奇怪。例如，很容易确保,A.当q=0且[0，1]的u-质量几乎全部集中在p=0附近时，其浓度介于49.9%和50.1%之间。如果基本上所有人都相信结果2一定会发生，那么在每个结果上下注的总金额怎么可能大致相等呢？我们对定理4.3的讨论概括了关键的直觉。只需注意，与重新排列（4.11）以显示κ>0.5不同，我们可以显示Pf,A.∈ (1 - κ, κ). 即使在极端的情况下，这一点也成立，即几乎所有最初的财富都由那些相信结果2是一个确定的赌注的人持有。尽管如此，我们的第一本能还是有一些优点：这里，Pf,A.≈ 1.- κ代表所有κ（见附录A）。推论4.6。确定u、q和w，并考虑由κ7定义的（0.5,1）图→ Pf,A..Asκ↓ 0.5，地图的值接近0.5。证据请注意，ma p由定理4.3和Pf很好地定义,A.∈(1 - κ、 κ）通过其证明的第9步。5.数值结果第4节的理论结果让我们回到我们的中心问题：巴黎赌球活动的大规模参与者如何影响众议院和普通赌徒？我们通过分析几个具体场景（例如5.2-5.5）来探讨这个问题。我们用房子的收入来量化原子弹玩家对房子的影响。吉夫南平衡（f）, A.), 豪斯的收入仅仅是豪斯塔克和16 ERHAN BAYRAKTAR以及ALEXANDER Munkt的乘积下注总额：（1）- κ） （d）+ D+ A.+ A.) .

（5.1）请注意，这个数量是确定的，并不取决于结果1的实际概率，因为无论结果发生在哪一个，众议院都会收集（5.1）。为了量化原子玩家对不同使用赌注的影响，我们使用两个数量中的一个。在例5.2-5.3中，我们选择结果1的实际概率值。做出这个选择让我们可以计算出不同用户的实际总预期收益。如果（f）, A.) 是一个平衡点，结果1的实际概率是p，那么它就是givenbydκpPf,A.- 1.+ Dκ (1 - ”（p）1- Pf,A.- 1.. （5.2）虽然我们使用（5.2）来描述原子玩家如何影响示例5.2-5.3中的差异玩家，但我们无法在示例5.4-5.5中这样做。原因是，在后一种情况下，我们对结果1的实际概率不作假设。相反，我们使用byZ给出的总目标预期收益来量化对不同用途投注者的影响F（p）κpPf,A.- 1.+ F（p）κ (1 - p） 一,- Pf,A.- 1.du（p）（5.3）处于平衡状态（f, A.). 在这里，我们仅根据每位不同玩家的be liefs和aggre gate计算其预期收益，并对所有不同玩家的结果进行比较。在第1节中，回顾标准说明，原子玩家的存在应增加ho用户的收入，但减少不同用户玩家的总预期收益（实际或主观，如适用）。房屋收入的最终下降只会随着时间的推移而出现，而不会出现在我们的静态博弈模型中。从技术上讲，由于我们在第3节中指定了w>0，原子玩家永远无法在我们的框架中占有一席之地。不过，我们可以通过选择一个极低的值来模拟原子玩家的缺席，比如w=10-10.她的赌注太小，根本无法影响任何平衡量。我们在例5.25.5中对所有案例1都这样做。

在我们接下来的所有案例2中，原子播放器都是存在的，即w>>0。定义5.1。为了n≥ 1，让unbe在[0,1]上测量Borel，其密度GNI定义为Gn（p）=-2n（n）- 1） p+2（n）- 1） 如果p<1/n1/n如果p≥ 1/n.在图1中，我们给出了n=1、3和9的GN曲线图。以下是主要观察结果：（i）GNI在[0,1]上持续且为正。（ii）对于所有n，un（[0,1]）=1。（iii）u是[0,1]上的Lebe-sgue度量。（iv）Gn在分布上收敛于Dirac delta函数，即n↑ ∞.（i） （ii）确保un是描述不同用途投注者初始财富的合适候选指标，也就是说，当u=un时，我们的所有结果都适用。在这种情况下，（iii）表示不同用途投注者的初始财富在n=1时均匀分布。（iv）说他们最初的财富集中在那些相信结果2会随着n的增加而发生的人身上。另一个关键特征是，不同用途投注者的初始总财富始终等于1（见（ii））。在继续之前，我们注意到，我们所有的函数都是在定理4.3的proo f中的思想的帮助下定义的。更准确地说，假设κ∈ (0.5, 1). 第5步中定义的功能High Roll IMPACT 17p0 0.2 0.4 0.6 0.8 1n=1 n=3 n=9图1有一个独特的执行点。由于φ也是连续且递减的，我们可以使用二进制搜索以任意精度有效地近似该值。第8步展示了如何重建纯策略纳什均衡（f, A.), 根据苏尚的估计。例5.2。我们现在表明，通常的叙事所预测的两种效果都可以观察到。在案例1和案例2中，我们将u=u，q=0.9。我们假设原子玩家的信念是完全正确的，即结果1发生的实际概率也是0。9