国际贸易：一个强化的Urn网络模型

邻接矩阵wm可以从{X}的后继态矩阵中确定地恢复，并且保留了行可交换性。因此，方程（1）在行置换下是不变的，这是不值得怀疑的。此外，在相同的行和列排列下，m RUP步骤后的概率是不变的，这一特性在文献中称为Wm的联合可交换性（Kallenberg 2005）。具有联合可交换矩阵的网络也称为可交换图（Diaconis and Janson 2008；Orbanz andRoy 2015）。这直观地意味着，在重新标记节点的情况下，与网络相关的概率定律是不变的。因此，看到特定网络的概率取决于网络中出现的模式和频率（有多少条边、三角形、五颗星等），而不取决于它们在网络中出现的位置。一些不感兴趣的网络结构可以通过适当选择初始权重组合来移除。例如，为所有i设置wii=0∈ V排除自循环，wijwjkwki=0表示所有I6=J6=k排除三角形并关注树。对于所有i和forj，选择wi，j=0/∈ {1，i+1}将模型简化为Muliere等人（2000）的整数行上的RUP。例如，可以通过移除（即通过将边权重设置为零）那些归一化权重wmij低于固定阈值ξ的边（i，j），来修改初始边集E。

这定义了从矩阵Wm到新矩阵Wm的多对一转换，ξ和p（Wm，ξ=（wmij））=XL∈LnYi=1Y{j:wmij6=0}mij-1Yk=0（wij+k）·Q{j:wmij=0}Qlij-1k=0（wij+k）QPj（mij+lij）-1k=0Pjwij+k=特大号∈LnYi=1B{wmij}j:wmij6=0，{wij+lij}j:wmij=0B{wij}nj=1, （2） 其中mij=max{wmij- wij，0}，mi=PjmijandL=（L=（lij）lij+wijmi+Pk（wik+lik）<ξ，j:wmij=0！和wmijmi+Pk（wik+lik）≥ ξ、 lij=0，j:wmij6=0, i、 j=1，N,在pi，jlij=m的约束下-皮米。集合L识别与相同观察到的Wmξ相对应的所有Wm：通用截断边（i，j）在wij之外增加了所有使截断边的归一化权重保持在阈值之下，并使未截断边的归一化权重保持在阈值之上或阈值之下的数量。最后，L的完全特征是，相对于初始配置，所有边上增加的权重总数应与RUP步骤的数量相对应。请注意，当npimi=m时，没有边截断，L只包含一个由零和方程（2）简化为（1）的矩阵。现在将分析限制在等式（1）中表示的网络的通用顶点i上。根据斯特林近似，伽马函数可以写成Γ（αz+β）≈√2π（αz）αz+β-1/2e-αz对于固定实数α和β，对于绝对值足够大的参数z。从上面的近似，我们可以导出权重的条件分布和联合分布的近似右尾行为。右尾部的关节权重分布（对于所有坐标的大值）可近似为（wmi1。

，wmin）∝ B（{wmij}nj=1）∝Qnj=1（wmij）wmij-1/2Pnj=1wmijPjwmij-1/2.另一方面，右尾翼中权重wmij的概率质量函数（以所有其他边为条件）与Mij |{wmik}k6=j成正比∝ Bwmij，Xk6=jwmik∝ （wmij）-Pk6=jwmik∝ Y形wmij；Xk6=jwmik- 1.,其中Y-ule表示Yule-Simon离散分布，其概率质量函数f（·ρ）=ρB（·ρ+1）。换句话说，权重条件分布有一个幂律右尾，带有一个与边相关的参数化。特别是，衰减率与顶点其他边的权重呈负相关，从而在公共节点的边之间产生竞争。还可以导出权重子集的联合条件分布的尾部行为：例如，对于大型wmij和wmij:wmij，wmij |{wmik}k/∈{j，j}∝ B（wmij，wmij）（wmij+wmij）-主键/∈{j，j}wmikand，更一般地说，对于大型wmij，wmij:wmij，wmijh |{wmik}k/∈{j，…，jh}∝ B{wmijl}hl=1hXl=1wmijl！-主键/∈{j，…，jh}wmik。现在定义wmij∝ wmij，标准化为havePjwmij=1。当步数m变为整数时，上标m被删除。可以推导出具有相等wij的邻接矩阵W=（wij）的一个等价类W的联合分布。从Athreya（1969）可知，Polya瓮的颜色比例以概率收敛到Dirichlet随机变量，因此p（~W=（~wij））=nYi=1（Qn）-1j=1（~wij）wij/s-1(1 -Pn-1j=1wij）赢/s-1B（{wij/s}nj=1））。（3） 注意，这样确定的等价类是预测一致的，sinceP（Xm+1=j | X。

，Xm=i）=wij，同一类中的所有网络在{X}上共享相同的预测。此外，我们可以移除那些边（i，j），对于这些边，wijis低于一个阈值ξ，其中p（（i，j）在W中移除）=iξwijs，Pk6=jwiks=Bξ;wijs，Pk6=jwiksBwijs，Pk6=jwiks, （4） Iξ（·，·）和B（ξ；·，·）分别是正则化和不完全β函数。可以证明，在对ξ以下的边进行截断后，对应于同一网络的两个加权有向网络WandW的密度之间的差异在byP（W）以上有界- P（~W）≤nYi=1Q{j:~~wij6=0}~wwij/s-1ijBnwij/sonj=1· ξPni=1P{j:~wij=0}（wij/s）-1） ，当ξ消失时收敛到0。在m中，从加权有向网络到无权有向网络的渐进过渡，因此从W到无权有向邻接矩阵A=（aij）的过渡是这样的：~ 伯尔尼1- Iξwijs，Pk6=jwiks！！，具体配置a=（aij）的可能性可以写成asP（a=（aij））=nYi=1ZOhmiCiQn-1j=1wwij/s-1ij（1）-Pj6=nwij）赢/s-1B（{wij/s}nj=1）n-1Yj=1dwij，（5）其中Ohmi=[ξaij，ξ+（1- ξ） 哎哟]Nn-1j=1，这是条件(-1） ainPn-1j=1wij≥ (-1） 艾因（1）- ξ） ，对于i=1，n、 最后，考虑到B=（bij）在主对角线上，bii=aii，在反对角线上，bij，从A中获得未加权的无向邻接矩阵B=如果aij=1或aji=10，则为1，否则为。因此，对于i6=jbij=bji~ 伯尔尼1- Iξwijs，Pk6=jwiks！Iξwjis，Pk6=iwjks！！，以及B isP（B=（bij））=X{i6=j:bij=1}X（bij，bji）随机配置的概率∈{（0,1）、（1,0）、（1,1）}P（A=（bij））。（6） 示例：考虑图2a中的加权定向网络。假设是根顶点，RUP从这里开始。

在m=3个RUP步骤之后，观察图2b中的配置的概率是，从等式（1）中，P（W=W）=B（3,1）B（2,1）= 0.2963，而图2c中的网络具有更低的概率（W=W）=B（2,2）B（2,1）= 0.0370，因为它不太可能顺时针穿过三角形。根据方程式（3），当m→ ∞ 钢筋为s=1，两个等价类WandW，Wand Wrespectively所属，其概率密度函数分别为3.375和1。此外，从方程（4）中，利用阈值ξ=0.2，我们可以计算P（（v，v）在W中去除）=I0。2（1，2）=0.36，p（（v，v）在＠W中移除）=I0。2(2, 1) = 0.04. 从W开始，我们将观察图2d中的未加权定向网络A，概率在（5）P（A=（aij））=P（~W）中给出≥ ξ、 ~w<ξ）P（~w）≥ ξ、 ~w≥ ξ） P（~w）≥ ξ、 ~w<ξ）=Iξ（~w，~w）I1-ξ（~w，~w）- Iξ（~w，~w）Iξ（~w，~w）=0.00864。根据（6），图2e中的未加权无向B以概率（B=（bij））=P（~w）观察≥ ξ、 ~w<ξ）{P（~w≥ ξ、 ~w≥ ξ） +P（~w）≥ ξ、 ~w<ξ）+P（~w<ξ，~w≥ ξ） }P（~w）≥ ξ、 ~w<ξ）=Iξ（~w，~w）Iξ（~w，~w）=0.0144。从Win图2a开始，在9个RUP步骤后观察到图2f中的配置，概率取决于ξ。截断边为（1，3）、（3，2）和（2，1），对于ξ=6/13，L=0 0 11 0 00 1 0,0 0 21 0 00 0 0,0 0 20 0 00 1 0,0 0 12 0 00 0 0,0 0 02 0 00 1 0,0 0 10 0 00 2 0,0 0 01 0 00 2 0,方程（2）中给出了2f中的配置概率，且等于toP（W9,6/13=（wij））=B（4,2）B（2,1）B（4,2）+6B（4,1）B（4,3）= 0.011.3国际贸易网络分析DOT数据每年对应一个已实现的网络。每一行表示一个国家对世界其他国家的出口。

为了实现年份间的可比性，每个矩阵始终包含所有年份的相同国家，因此进出口为空的国家被纳入分析。请注意，矩阵的所有对角元素均为空，表示网络中存在自循环。这是由问题的性质所暗示的，该问题的重点是国际贸易，而不是方法论的限制。尽管如此，还是有可能将分析扩展到具有自循环的网络，例如包括研究中的内部消耗数据。我们希望能够根据对过去发生的贸易关系的观察，更新我们对未来两国贸易关系的看法。此外，我们愿意加强观察特定出口构成的可能性。最近一年的定向贸易流构成了186×186矩阵。可以对之前的网络做出不同的选择，我们选择在最遥远的一年，也就是1948年，通过双边贸易进行Wimplied。What中的所有零元素都被设置为ξ=mini，j:wij6=0wij，以允许在1948年没有贸易关系的国家之间建立新的贸易关系。对于钢筋参数s的多个选项∈ {1，2，…，200}，我们计算从1948年的贸易流量开始观察当前出口构成的概率。遵循最大似然法，我们然后用使概率最大化的s值来估计s。由于我们的可能性是封闭形式的，我们还可以在s上添加先验知识，并进行贝叶斯后验推理。钢筋的最大似然估计值为^s=5，在假定钢筋的先验一致的情况下，它与最大后验估计值一致。

最后，我们通过进行先验敏感性研究，对s的估计进行了稳健性分析。这种稳健性检查涉及用速率参数分别为0.01、0.05、0.5、1和2的不同指数先验分布替换s上的原始均匀先验分布。后验密度的差异可以忽略不计，对于任何先前的模型，后验密度始终等于5。从表1中s的其他后验总结中，我们注意到，在参数后验推断中，可能性是主要部分，因为随着先验分布平均值的降低，后验概率只会略微降低（即，当我们下表时）。此外，95%可信区间显示一个较低值的灯开关。在所有之前的情况下，后验偏斜度均为负值，差异不大，主要是由于后验方差略有增加。最后，多余峰度总是负值，但与高斯情况下得到的峰度相对接近。可以为网络的每个顶点估计不同的加固参数，允许国家特定的加固。通过这种方式，我们考虑到有不同能力巩固伙伴关系的国家。估算的钢筋如图3a所示。在186个国家中，有169个国家的增援人数在1至5人之间，而且几乎所有国家的增援人数都小于或等于21人。值得注意的例外是美国、联合王国和阿根廷，估计分别为92、45和42。鉴于上述估计的增援，从2000年开始，在确定了一定数量的RUPsteps后，我们对网络进行了预测。

同样，所有的空元素W都被固定为等于最小非空元素W的athreshold，从而允许建立新的贸易伙伴关系。M=10000个预测是模拟的，所有模拟矩阵的平均值Wsim是预期预测。然后将阈值以下的所有元素固定为0。图3b的柱状图描绘了实际和预测的合伙企业数量之间的差异分布。0左右的峰值突显了所有24个不改变贸易伙伴的国家。有51个国家扩大了合作伙伴的范围，但高左偏斜度表明，预测的合作伙伴集中在111个国家。尤其是加拿大、英国和美国，预计贸易流将集中在一些主要进口商身上，例如加拿大和美国对日本的出口增加，以及英国对爱尔兰的出口增加。还请注意一组国家，主要来自非洲和中美洲，它们的出口大幅增加。最后，对于每个国家，我们计算实际出口和预测出口之间的科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫（KS）距离，并在图3c中绘制距离。可以在所需的详细程度上扫描结果：例如，呈现最大KS距离的国家是立陶宛，预计该国对法国和挪威的出口将分别从5.27%下降到4.14%，并从1%上升。65%至2.75%。选择在两个不同年份观察到的两个不同起点Ws，我们可以重复上述过程，非正式地了解两个起点之间的事件如何影响预测。例如，我们从1988年和1991年观察到的初始网络结构开始计算M预测。

在图3d中，我们报告了1988年至1990年间事件对每个国家两种预测情景之间的KS距离。最后，在图4中，我们绘制了代表八国集团（G8）之间进出口关系的网络平均预测。报告的边缘宽度与权重成比例，以便更好地确定更强大的国际关系，如美国和加拿大之间以及美国和日本之间的关系。4扩展在第2节中，我们基于Polya urns系统开发了我们的模型，并导出了强度分布幂律行为的含义。不同国家的不同强化参数允许在模型中纳入具有不同贸易和巩固伙伴关系倾向的国家。一个更普遍的参数化方法是对国际贸易网络中观察到的其他经验规律的处理。特别是，我们可以定义与瓮i中连接国家（顶点）i和国家j的球体相关的加强件，将之前的框架从国家特定加强件扩展到双边特定加强件。具体来说，letsij=αi+βijXk（~wjk+~wkj）+γijXk（~wik+~wki）（~wjk+~wkj）。在上述公式中，βij的负值代表了负的分类性，这是一种经验现象，在这种现象中，联系较少的国家往往与高度联系的枢纽相连，因为贸易流量较高（进出口实力之和）的顶点j处于不利地位。同样，积极的合作伙伴关系解释了观察封闭三角形的路径缩短趋势，有利于与拥有共同伙伴的国家建立伙伴关系。最后，第2节中定义的阈值ξ的不同级别（权重小于ξ的边缘最终被移除）控制了网络的全局稀疏性。

ξ越高，稀疏度越低，因为严格正权重的边比例越高。固定βij=γij=ξ=0将模型简化为第2节中讨论的模型。我们强调，在这种扩展环境中，似然评估和模拟也是可行的，因此可以进行精确的推断。尽管如此，为了避免在多维参数的数值似然评估中的计算效率不高，我们可以遵循Miraand Onnela（2015），并通过近似贝叶斯计算（ABC）方法估计αi、βij、γij和ξ（Diggle 1984；Rubin 1984；Tavare et al.1997）。当ABC应用于网络模型时，原始数据集对应于观测到的网络G。参数值αi、βij、γij和ξ从先验分布中采样，通常被认为是非信息性的。根据生成的配置，网络样本G，GT是通过利用以下事实获得的：一旦指定了一组参数值，就可以很容易地从RUP路径生成图形配置。将观察到的网络G与模型生成的网络G进行比较，使用适当的汇总统计数据。对于单变量汇总统计，自然选择是使用度分布（或加权网络的强度分布）：我们提取模型生成网络G的度分布pi（k），并将其与观测网络G的度分布p（k）进行比较。进行这种比较的一个可能距离是两个样本Kolmogorov-Smirnov（KS）检验统计量，比较pi（k）和p（k）的经验累积分布函数，以确定它们之间的接近程度。