经济复杂网络拓扑结构的实证研究

（6） 出度分布图（3c）遵循的幂律定义如下：.                         （7） 在所有情况下，尾部的末端都有一个区域看起来像是一个截止线，这可以通过系统是有限的，并且一家公司可以持有的连接数量是最大的这一事实来解释。（a） （b）（c）图3 X轴对应于度数k，Y轴为P（k）。（a） 连接网络的经验度分布。（b） 在学位分布上是经验的。（c） 经验输出度分布。所有图都是直方图的对数表示。在随机网络中，度分布服从泊松分布。遵循幂律分布的程度分布似乎是复杂网络（如万维网、蛋白质相互作用、电话和食物网等）中的一个共同特征，但也表现在不同银行的支付系统中[16,17,18]。此处获得的度数分布与上述研究中获得的度数分布具有可比性。表2列出了在不同类型的真实网络中获得的幂律指数的有限列表。3.2重量、强度、大小和直径网络的基本属性是节点数N和链路总数k（表1显示了我们网络的一般特征）。

节点的数量定义了网络的大小，而链路的数量相对于可能链路的数量定义了网络的连通性。连接性（p）是两个节点通过直接链路连接的无条件概率。对于定向网络，连通性定义为  在我们的例子中，连接是0.13，这意味着网络是稀疏的，因为87%的潜在连接在一年中没有使用。直径是两个公司之间的最大距离（通过链路数测量），在我们的网络中，这个距离等于29。与具有可比特征的随机网络的直径（19）相比，这个数字要高得多。直径上的巨大差异表明存在某些公司向其他特定公司发送或接收资金，这就勾勒出了特定和首选的交易路径。直觉上，这是有道理的，因为对于一般公司来说，根据地理位置、公司目标的亲和力、成本政策、未来合资企业、协议或任何其他原因，仔细选择其贸易伙伴、客户、服务提供商或供应商是很重要的。节点的强度是所有链接的权重之和。在这种情况下，Strength度量任何给定节点的总交易量。节点加权强度定义为  哪里是节点i和j之间链接的权重，其和在集合上运行 我的第八个孩子。

平均强度可以计算为 用于检查强度和程度之间的粘结的节点连接数。图（4a）显示了按支付次数加权的链路权重分布。这种分布遵循幂律。图（4b）和图（4c）中节点的强度和程度之间存在相同的幂律关系。这些结果通过幂律与以下标度指数拟合：体积-连接重量分布,                                           （10） 其中缩放指数为1.98。体积向外度强度分布,                                        （11） 其中标度指数为2.21。体积向外度强度分布,                                  （12） 其中缩放指数为2.32。有一些偏离幂律行为，但它们足够小。（a） （b）（c）图4（a）按体积划分的链路重量分布。（b） 按强度进行度分布的节点。（c） 以强度为指标进行节点度分布。3.3聚类、介数和平均最短路径长度节点的聚类系数是聚类的趋势；是节点i周围的密度。它表示节点中相互链接的最近节点的比例。 总体聚类系数是聚类系数的平均值在所有的节点中。它表明拥有共同贸易伙伴的两家公司之间是否存在联系。在我们的例子中，平均聚类系数为0.183，这表明我们的网络中存在着派系。

这意味着，与随机选择的其他两家公司相比，与第三家公司成为贸易伙伴的两家公司成为彼此贸易伙伴的平均概率为18.3%。如图5所示，节点间的聚类系数高度分散。图5聚类系数的分布。图5示出了超过52%的节点具有0或1的聚类系数；因此，网络是分散的。一个节点的两个相邻节点连接的概率约为9%，而完全不连接的概率约为45%。这种高比例的未链接eighbor节点可以用大量度等于1的节点来解释，这些节点在无标度网络中非常频繁。与其他真实网络相比，该平均聚类系数较低（见表2）。在本研究中，这样的系数是公平的。公司之间的业务关系通常通过中长期合同解决。公司希望继续与同一方（供应商、客户、服务提供商、机构等）开展业务，因为总的来说，这比一次又一次地更换它们更容易、更便宜。交易方的变化可能意味着利润减少或成本增加。我们的支付网络中较低的聚类系数反映了这一观点。在我们的例子中，聚类系数高于连接性，因此，网络不是随机的（在随机网络中，聚类系数等于连接性；arandom网络是通过向给定的一组节点随机添加链接来构建的）。

类似规模的随机网络的聚类系数比我们的网络低70倍左右。节点m的介数σ（m）是通过该节点的所有可能节点对之间的最短路径总数；它是对穿过节点i的其他节点之间的路径数量的度量；这个节点的路径越多，网络中的节点就越中心。它指示节点在网络流量中是否重要。 哪里是节点i和j之间的最短路径总数，以及至少存在一条路径的所有节点对的总和，其中 . 高介数节点控制网络。表2中的结果显示，链路的平均介数为40，节点的平均介数为110，这意味着每个公司平均处理110条最短路径，最短路径的数量越高，公司对网络的中心位置就越高。使用Dijkstra算法计算平均最短路径长度<l>[27]。在连接网络中，该值等于7.1。网络是一个7.1度分离的小世界，因此平均而言，任何一家公司都只能在有限的时间内与另一家公司取得联系。我们的网络连通性低，但连接紧密。这一特点与这样一个事实是一致的，即有些公司充当枢纽或关键节点，导致其他公司之间的距离缩短。93%的节点彼此之间的距离在7个链路内，这表明支付网络由其他公司与之互动的核心节点组成。

有1081个节点（占网络中节点总数的6.5%）通过高价值链路连接。该组包含加权链接，占转移资金总价值的75%。图6显示了k核的图形。无向图中的kcore是一个连通的最大诱导子图，它的minimumdegree大于或等于k。或者，k-core是以任意顺序迭代删除次数小于k的节点的（唯一）结果。图6 k核的图形表示。3.4稳健性模拟和程度相关性使枢纽或关键节点成为重要节点的特征之一是其高介数，而不仅仅是其高程度。集线器通常连接图形中未直接连接的子区域的集群。这些节点很重要，因为它们的路径长度很短，有利于信息的高可达性和快速移动。

但由于它们之间的相互关系，它们可能作为联系图表的经纪人和关键参与者也很重要[28]。为了更好地理解网络作为一个整体的行为，让我们来解决这个问题：如果一个节点被移除，网络的结构会被划分为断开连接的集群吗？我们可以考虑几种方法来找到网络中的关键节点，这些节点可能在其他断开连接的组中起到使能器的作用，我们通过定位易受攻击的部分来找到连接网络的节点（参见Hanneman和Riddle[29]）。总共找到了1401个切点或关键节点，这意味着大约8%的节点与保持结构连接的现状有关，或者换句话说，如果我们移除这些节点，那么组件的数量和节点之间的平均路径长度将增加，使网络容易断开。我们为GCC运行了一个模拟，显示随机移除了一部分节点，并考虑了策略性选择的节点。然后，我们测量平均最短路径长度<l>和GCC的相对大小，作为删除节点百分比d的函数[2,30,31]。结果如图7所示。目标节点移除的影响会导致平均最短路径长度快速增长，直到GCC消失，GCC（pc）=0，目标伤害水平非常低（小于10%）。我们将此级别称为入侵阈值pc。值得注意的是，一个弱而智能的攻击会破坏网络。在随机移除节点时，损伤小于目标损伤。

我们发现，我们的支付网络具有无标度特性，这种网络能够抵御随机破坏，因此几乎不可能通过随机删除来破坏支付网络，但如果我们删除特定选定节点的确切部分，它将完全崩溃。这种效应以前在经济危机中的金融系统中也曾出现过：公司或银行可能宣布破产，整个系统保持健康，但如果某些组织宣布破产，那么整个系统就会崩溃。（a） （b）图7。在支付网络上有针对性和随机破坏的情节。（a） GCC中的平均最短路径长度<l>与移除节点的百分比相对应。（b） GCC根据移除节点的百分比绘制。连续线显示目标删除的效果，虚线显示节点随机删除的效果。Pc是每种情况下的渗透阈值。重尾网络中的GCC对节点的随机移除具有弹性，这并不罕见。如果网络的度分布是厚尾的，那么这个事实决定了系统的拓扑结构。然而，当以随机方式移除节点时，度分布的尾部可能会发生变化，然后GCC结构可能会受损[2]。文献中还有其他启发式方法可用于计算将网络划分为断开的簇的节点的最佳渗透保留（例如高阶节点、k核、贴近度和特征向量中心度）。然而，这些方法的一个共同特点是，它们不一定会优化一个度量，该度量反映了由于同时考虑整个有影响的节点而产生的集体影响。

在集体影响方法下，节点的固有优势和劣势共同来自于它们与其他组件的交互配置。Morone和Makse[32]设计了一种适用于大型网络的算法，该算法已被证明比其他经验方法的性能更好，因为它预测了一组较小的最佳影响者节点（如果移除，会破坏网络的节点）。节点的集体影响被定义为节点的缩减程度（其最近连接的数量ki减去1）与距离上所有节点的总缩减程度kja的乘积 从中( 定义为最短路径）   哪里 是半径球内的一组节点 在节点i周围。是球的前端，由一定距离的节点j组成 从i.通过计算每个节点的ci，可以找到具有最高集体影响力的节点并将其移除。集体影响算法将优化影响问题映射到减少网络非回溯矩阵最大特征值的节点最小结构数量的计算上（见Morone和Makse[32]）。我们使用CI方法进行了模拟，结果如图8所示。我们将一组节点的集体影响衡量为GCC规模的下降，如果相关节点被消除，这将发生。该图显示了消除节点干扰后的GCC。当移除大约6%的节点时，会出现最佳渗透阈值，因为这是GCC（pc）=0的点。

这一结果还意味着，有大量的公司支付了大量款项，实际上对整个经济网络的影响很小。图8显示了比图7上使用的先前策略更好的性能（该策略基于阿贝温内斯中心性，其中最佳渗透阈值高于非聚集影响方法）。图8使用集体影响算法，支付网络的GCC作为渗透阈值pcby的函数。相关性的一个实用度量是平均最近邻度函数。如果一个网络具有一定程度的节点更有可能与相似程度的节点建立链接，则称之为分类网络，反之则称为非分类网络。例如，当低阶节点更有可能与高阶节点连接时，或当高阶节点更有可能与低阶节点连接时。计算上述相关度量的方法是平均近邻度函数（见Serrano等人[33,10]）。度节点的条件概率 连接到度的节点定义为哪里 是两个节点的概率，带度和 由alink连接。是学位分布。