具有下行风险约束的最优投资与消费

这样的程序很可能需要在精细的渐近分析中完成。最后，对于Bouchard和Nutz[5]提出的状态约束，可以使用所谓的弱动态规划原理，但我们需要在粘性解的意义上寻找最优解。下面，为了得到最优解的封闭形式，我们采用了Kluppelberg和Pergamenschikov[20]使用的直接方法。3无约束优化问题我们对无约束问题3进行了详细分析。给定x>0和0<κ<1，发现策略α*∈ D哪个溶剂最大α∈DJα（x），其中Jα（x）是（2.12）中定义的成本函数。请注意，在投资和消费相结合的跳跃环境中，很少有研究。虽然我们的主要目的是处理约束问题，但这一部分可能被视为本文的另一个贡献。首先，间接值函数由u（t，x）：=E给出ZTtcγ-sds+（XαT）γXαt=X. （3.1）为了完整性，我们从最简单的情况γ=γ=1开始，认为如果没有风险约束，这种情况在经济上没有多大意义。附录D中给出了详细的证明。定理3.1。考虑γ=1的问题3。假设μjt≥ 好的，谢谢≤ J≤ d和t∈ [0，T]。然后，1。如果ku- r1kT=0，则任何控制α*t=（π）*t、 0）带π*J∈ [0,1]是一个最优解，相应的Jα（x）的最优值由J给出*（x） =xeRT。2.如果ku- r1kT>0，则控制α*t=（π）*t、 0）带π*t=（ut）- rt1）√Tku- r1k-1T（3.2）是最优解，Jα（x）的相应最优值由J给出*（x） =xeRT+√Tku-r1kT。3.1情况γ=γ=γ∈ （0，1）我们现在研究γ=γ=γ情况下的无约束问题∈ (0, 1). 让我们首先计算值函数。通过（2.9）并注意到EEt（γy）=1一个getsE（Xαt）γ=Xγeγ（Rt-Vt+（y，bθ）t-1.-γkykt）EPπt（γξ）。

（3.3）另一方面，通过引理B.1EPπt（γξ）=E expZtZRdln（1+πsz）γJ（dz×ds）= E经验ZtZRd（（1+πsz）γ- 1） ν（dz×ds）. （3.4）因此，E（Xαt）γ=XγexpγDt+ZtZRdQπs（z）ν（dz×ds）, （3.5）andDt=Rt- Vt+（y，θ）t-1.- γkykt，Qπt（z）=（1+πtz）γ- γπtz-1.（3.6）因此，值函数由jα（x）=xγ给出ZTeγDt+RtRRdQπt（z）ν（dz×Dt）vγtdt+eγDt+RtRRdQπt（z）ν（dz×Dt）. （3.7）从（2.6）中给出的Xαt的动力学，可以得到无约束问题的HJB方程tu（t，x）+supα∈D{Aαu（t，x）+xγvγt}=0，u（t，x）=xγ，（3.8），其中发生器Aα由Aαu（t，x）=x（rt+ytbθt定义- （vt）xu（t，x）+xytytxxu（t，x）+dXj=1ZR（u（t，x+xπjtz）- u（t，x）- xπjtzxu（t，x））νj（dz），（3.9），其中ytbθt=Pdj=1yjtbθjt是标量积。最佳必要条件w.r.t vis由-xux+xγvγ-1= 0 <==> c=uxγγ-1.我们试图找到形式为u（t，x）=ρxγ（即c=xργ）的解-1） ，其中ρ是待确定的函数。我们有ux=γρxγ-1，uxx=γ（γ- 1） ρxγ-2.将这些公式代入（3.8）得到ρsupα∈Dγ（rt+ytbθt）+ytγ（γ- 1） +dXj=1Kj（πjt）+ ρ+ (1 - γ)ργγ-1=0，（3.10），其中kj（π）：=ZR[（1+πz）γ- 1.- γπz]νj（dz）。（3.11）让我们-1t=(ij（t））d×dπj/易=ij（t）和q=1/（1）- γ). 现在，通过y-one中的必要最优条件，得到了bθit+（γ）- 1） yit+dXj=1ij（t）Qj（πjt）=0，yi≥ 0，i=1，d，（3.12），其中qj（π）=ZR[（1+πz）γ-1.- 1] zνj（dz）。（3.13）下一步是解决系统（3.12）。首先观察函数Kj（π），j=1，d在[0,1]上是凹的，因此（3.10）中的上确界是可达到的且唯一的。现在，让我们假设*≥ 0是系统（3.12）的解，设h*成为（3.10）中相应的上确界。然后我们得到下面的伯努利方程ρ（t）+h*（t） ρ（t）=（γ）- 1)ργγ-1（t），终端条件ρ（t）=1。（3.14）（3.14）的解由ρ（t）=“gq（t）+RTtgq（s）dsgq（t）#1/q给出，其中g（t）=eRth*（s） ds。

（3.15）因此，最优规则由y给出*t（即（3.12）的解）和v*t=gq（t）gq（t）+RTtgq（s）ds（3.16），可以确定值函数的最佳值。注意，当资产价格没有跳跃时（νj=0，i=1，d），我们得到h*= exp{γRt+q-1kθkt}，J的最佳值由J给出*（x） =最大α∈DJ（x，α）=J（x，α）*) = xγkgkqq，T+gq（T）1/q，其中k.kq由kkkq，T定义=ZT | f | qdt1/q，（3.17），这意味着[20]中的结果已恢复。我们在下面的声明中总结了上述分析。定理3.2。假设*是系统（3.12）的一个解，让h*是（3.10）中相应的上确界。然后，给出问题的最优准则maxα∈DJα（x）由α给出*= （y）*, 五、*) 和v*定义为（3.16）。财富过程由DX给出*t=X*t（rt+y）*tθt）dt-C*tdt+X*泰*tdWt+X*T-ZRdπ*tzdeJ（dz×dt），X*= x>0。（3.18）证据。不难检查通常验证REM（见[26,24]）的所有必要条件是否满足。备注2。利用鞅最优性原理验证最优性是有指导意义的：对于任何可容许策略，值函数都是上鞅，但在最优策略下，它变成了鞅。这可以通过对过程ρ（t）（X）应用^o’s公式来检查*t） γ，其中ρ（t）由（3.15）给出。备注3。由于（3.15）中的函数ρ应选择为两个函数gqi，i=1，2的适当组合，因此γ6=γ的情况更难显示。这可以使用[20]中定理2的类似论点来实现。然而，也有可能看到相应的最优解不满足VaR/ES风险约束。我们将在下一节中展示，风险约束的存在对投资者的投资组合有着强烈的影响，因此对他来说，消费所有资产是最佳选择。

因此，我们不提供本例中无约束条件下的详细结果，并参考[20]了解纯扩散情况下的详细分析。3.2一维情况我们提供了更多关于一维情况下最优规则的分析。定理3.3。假设几乎肯定是t∈ [0,1]，ut- rt- ξλ>0，ut- rt- ξλ+ (γ - 1） σt+ZR[（1+z）γ-1.- 1] zν（dz）<0。然后存在一个解π*∈ [0,1]到（3.21）。让G*= G（π）*) 是HJB方程（3.20）中函数G的最佳值，并考虑v*定义为（3.16），其中我们替换了h*和G*. 然后，（π）*, 五、*) 是问题的最优解maxα∈DJα（x）和财富过程作为dx的唯一解给出*t=X*t（rt+y）*tθt）dt-C*tdt+X*泰*tdWt+X*T-ZRπ*tzdeJ（dz×dt），X*= x>0。（3.19）证据。如上所述，我们得到了相应的HJB方程ρ+（1）- γ)ργγ-1+ρsupπt∈[0,1]G（t，πt）=0，（3.20），其中G（t，π）：=γrt+γ（ut- rt- ξλ）πt+σtπtγ（γ- 1） +K（πt），其中K（πt）在（3.11）中定义。最优性的必要条件由η（πt）=0给出，其中η（π）=πG（t，π）：=ut- rt- ξλ+ (γ - 1） σtπt+Q（πt），（3.21），其中Q（πt）由（3.13）定义。注意η在[0,1]上是连续的，η（0）=ut-rt-ξλ>0且η（1）=ut- rt- ξλ+ (γ - 1） σt+ZR[（1+z）γ-1.- 1] zν（dz）<0。此外，η（π）=（γ- 1） [σt+ZR[（1+πz）γ]-2zν（dz）<0π∈ [0,1]对ν的支持是(-1.∞). 所以，根据中值定理，对于任何t∈ [0，T]，存在π*查克πG（t，π）*t） =0。然后按照通常的验证步骤得出结论。备注4。对于有限视界的情况，需要附加条件来获得一致可积性。对于一般的cadl`ag系数，我们可以制定一个具体的验证定理，如[20]所示。现在，我们将上面得到的最优规则与无跳跃最优策略（π）进行比较*, \'v*) 经典的默顿问题。引理3.1（比较）。

跳跃的存在减少了资产的数量，消耗了更多，即ev*T≥ \'v*tandπ*T≤ π*t、 证据。附录E中给出了一个证明。图1：跳跃扩散和纯扩散市场的最优策略4.具有风险约束的优化问题在本节中，我们研究问题1和问题2。在本节中，我们假设以下条件成立：假设（J）：股票价格的跳跃大小是非负的。如第1节所述，当资产的跳跃为非负（如市场繁荣）时，投资者投资组合的风险比没有跳跃时更小或处于相同水平。直觉上，积极的跳跃会鼓励代理人对风险资产进行更多投资。然后，寻找满足约束的最优策略是合理的，该策略具有相同的置信水平，但跳跃被忽略。因为跳跃不是负的，所以这些策略形成了初始容许集的子集。正如文献[20]中明确指出的那样，这个可容许子集可以从直接施加在策略上的等效约束中推导出来。这样就可以使用HJB方法或[20]中的直接方法来获得最佳解决方案。4.1在γ=γ=1的情况下，为了给出具有VaR约束的问题1的结果，我们定义了Kt=（θ，ξλ）tkθk-1和ρ*V aR:=q（kθkT）- |qβ|- （KT）- 2 ln（1）- κ） +kθkT- KT- |qβ|。（4.1）定理4.1。考虑假设（J）下γ=γ=1的问题1。如果kθkT=0，则任何控制α*t=（π）*t、 0）具有正分量向量π*tsatisfyingky*kT≤ 闵√tkσkT，q（|qβ|+keξσkT）- 2 ln（1）- κ) - |qβ|- 克∑kT,其中eξσ=ξλσ-1是一个最优解，相应的最优值Jα（x）由Jα给出*（x） =xeRT。2.假设bθthas为非负分量，即bθj≥ 0代表所有1≤ J≤ （2.8）中定义的dand kξλk严格为正。

然后，formax（0，1- eqβ/2-|qβ| kθkT）<κ<1，（4.2）对照组（y*电视*t） 定义byy*t=θtkθk-1Tρ*V aR，V*t=0（4.3）是最佳值，Jα*（x） =xeRT+kθkTρ*V是相应的最佳值。证据从（D.3）可以得到函数jα（x）的一个上界≤ 施乐-VT+（y，θ）T≤ xeRT+（y，θ）T≤ xeRT+kykTkθkT。我们证明了这个上界可以通过选择合适的最优策略来实现。第一步：根据下分位数的线性性质，我们很容易观察到约束问题1等价于inf0≤T≤Tqβ（Et（y）Pπt（ξ））≥ eVt-（y，bθ）t（1）- κ). （4.4）在假设（J）下，过程Pπt（ξ）大于1a.s。因此，引理a.3qβ（Et（y）Pπt（ξ））≥ qβ（Et（y））。因此，如果α*是较弱约束条件下问题1的最优解≤T≤Tqβ（Et（y））≥ eVt-（y，bθ）t（1）- κ） ，（4.5）那么它也是问题1的最优解，具有初始约束（4.4）。我们现在用约束（4.5）解决问题1，现在可以将约束转化为更明确的forminf0≤T≤T-kykt+qβkykt- Vt+（y，bθ）t≥ ln（1）- κ). （4.6）这正是[20,21]中考虑的扩散情况中的约束。第2步：首先假设kθkT=0，因此所有0的θt=0≤ T≤ T现在，（4.6）变成≤T≤T-kykt+qβkykt- 及物动词- （y，ξλ）t≥ ln（1）- κ） ，（4.7）如果-kykT+qβkykT- 及物动词- kykTkξλkT≥ ln（1）- κ） 由于qβ<0。后一个不等式有解kykT∈ [0，ρ]，其中ρ=q（|qβ|+kξλkT）- 2 ln（1）- κ) - |qβ|- kξλkT。（4.8）因此，对于α*= (π*t、 0），任何非负分量向量π*t=y*tσ-1和y*Tsatizing kykT≤ 闵(√T kσkT，ρ），值函数Jα（x）达到其最大值J*（x） =x且第一种情况得到证实。第3步：现在，假设bθthas为非负分量，且（2.8）中定义的ξλ严格为正。那么，对于所有的0<t，kθtkt>0≤ T一个人会尝试策略（y）*t=θtkθk-1Tρ，v*t=0），可能的最大值ρ>0，从而验证（4.6）。

将这个特定的候选者代入这个约束，我们观察到，如果以下条件成立，约束（4.6）是合理的≤T≤T-utρ+qβutρ+utkθkTρ- ρKtρ ≥ ln（1）- κ） ，（4.9），其中ut=kθktkθk-1T∈ [0,1]和Kt=（θ，ξλ）tkθk-1T≥ 0.以KTONE取代KTONE，对其提出了更高的要求≤T≤T-utρ+qβutρ+utkθkTρ- KTρ≥ ln（1）- κ). （4.10）Letg（u，ρ）=-uρ+qβuρ+ukθkTρ- ρKT。那么，g（0，ρ）=0和g（1，ρ）=-ρ+qβρ+kθkTρ- ρKT。注意，在[0,1]中，g是u中的严格递减函数。要了解这一点，请注意ug=ρ(-uρ+qβ+2kθkT）<0∈ [0,1]如果qβ+2kθkT<0，但这是由（4.2）所暗示的。所以，如果选择ρ，那么g（1，ρ）=-ρ+qβρ+kθkTρ- ρKT=ln（1）- κ） （4.11）然后（4.10）被填满。现在，方程（4.11）允许一个唯一的正解ρ*V由（4.1）论证。最后，考虑到kykT的情况≤√TkσkTone应选择ρ=*V A，证据已经完成。现在让我们考虑带ES约束的问题2。首先，用以下方法重写约束是有用的≤T≤Te-Vt+（y，bθ）tESβ（Et（y）Pπt（ξ））≥ (1 - κ). （4.12）通过引理A.3，我们可以看到（4.12）是从假设（J）和独立于jumpsinf0的修正约束推导出来的≤T≤Te-Vt+（y，bθ）tESβ（Et（y））≥ (1 - κ). （4.13）引理A.2 one getsinf0≤T≤TLv，yt≥ ln（1）- κ） 和Lv，yt:=-Vt+（y，bθ）t+Fβ（kykt+| qβ|），其中Fβ（u）=lnβΦ（u）Φ（u）=1- Φ（u）。（4.15）为了得出最佳结果，我们用ρ表示*下面方程kθkTρ+Fβ（ρ+| qβ|）的解- ρKT=ln（1）- κ). （4.16）定理4.2。考虑假设（J）下γ=1的问题2。如果ρ为，定理4.1的结果仍然成立*V aRis替换为ρ*锿。证据也在尝试策略（v*= 0，y*= θtkθk-1Tρ）我们需要选择ρ的可能最大值，以便检查要求（4.14）。

通过把这个候选人替换成L-one getsinf0≤T≤热释光*T≥ ψ（ut，ρ），其中ut=kθktkθk-1T∈ [0,1]和ψ（u，ρ）：=ukθkTρ+Fβ（uρ+| qβ|）- ρKT。（4.17）选择ρ，使infu∈[0,1],ρ≥0ψ（u，ρ）≥ ln（1）- κ). 显然，ψ（0，ρ）=0和ψ（1，ρ）=bψ（ρ），其中bψ（ρ）=kθkTρ+Fβ（ρ+| qβ|）- ρKT。（4.18）我们的目标是确定ρ的一个有效条件，使得bψ（ρ）是ψ（u，ρ）在[0,1]上的最小值，这个最小值等于ln（1）- κ). 换句话说，选择ρ=ρ*E、 方程（4.16）的解。为了保证这实际上是[0,1]上ψ（u，ρ）的最小值，需要检查u中第一个导数的符号，uψ（u，ρ）=2ukθkTρ- ρφ（uρ+| qβ|）Φ-1（uρ+| qβ|）。因此，bψ（ρ）是ψ（u，ρ）在[0，1]上的最小值，如果所有u的uψ（u，ρ）<0∈ [0, 1]. 使用众所周知的高斯积分估计（z-1.- Z-3） ν（z）<Φ（z）<z-1 k（z），z>0（4.19）一个uψ（u，ρ）<2ukθkTρ- ρ（uρ+|qβ|）≤ ρ（2kθkTc）- |qβ|）≤ 0，为了所有的你∈ [0,1]如果| qβ|≥ 2kθkT。让我们验证等式（4.16）有唯一的正解。为此，值得注意的是，如果| qβ|≥ kθkT- KT。另一方面，（4.19）产生thatlimρ→∞bψ（ρ）=-∞.总之，我们应该取ρ=ρ*由方程式（4.16）确定。考虑到要求*kT≤√TkσkTone得到与定理4相同的最优策略。1其中ρ*V aRis替换为ρ*E.4.2在[20]中的情况0<γ=γ=γ<1下，我们在下面证明，在模型参数的一些温和条件下，定理3.2中的无约束解仍然是最优的。首先考虑非负跳跃的VaR约束。由（3.12）个仓促*it=qbθit+qMit，i=1，d，其中mit:=dXj=1ij（t）Z∞[(1 + π*jtz）γ-1.- 1] zνj（dz）。（4.20）考虑到上述积分是非正的（因为γ<1），我们得到y*信息技术≤ qbθit对于所有i=1，d。这意味着ky*kt≤ qkbθkt。

引理C.1，-五、*T=gq（T）kgkqq，T+gq（T）：=lnχ。与纯扩散情况一样，约束问题和无约束问题的最优解是一致的。定理4.3。假设资产跳跃为非负且为1- χel*(γ)≤ κ<1，其中*(γ) := -qkbθkT+qβqkbθkT。（4.21）然后，在定理3.2的假设下，最优解（y*, 五、*) 无约束也是VaR约束下相应问题的最优解。证据我们需要检查约束（4.6）中的最优解（y）*电视*) 毫无约束地解决这个问题。为此，必须验证-kykT+qβkykT+lnχ≥ ln（1）- κ） ，但这是关系的直接后果*kt≤ qkbθktand（4.21）。让我们考虑一下ES约束的问题。为了说明结果，我们引入了cmθt:=（bθ，M）和M=（Mt，··，Mdt），（4.22），其中mid由（4.23）定义。观察这个cmθt≤ 0, T∈ [0, 1].定理4.4。假设资产的跳跃是非负的，|qβ|≥ 2kbθkT和以下条件保持不变1- χexp{qkθkT+Fβ（qkbθkT+|qβ|）+cMθT}≤ κ < 1. （4.23）然后，在定理3.2的假设下，最优解（y*, 五、*) 对于具有ES约束的相应问题，无约束也是最优的。证据我们需要检查策略（y）的风险约束（4.14）*, 五、*) 由系统（3.12）和（3.16）定义，即。-五、*t+（y*,bθ）t+Fβ（ky）*kt+| qβ|）≥ ln（1）- κ), T∈ [0, 1].考虑到（y，bθ）t=kbθkt+cMθt，ky*kt≤ qkbθkTF在减小，我们只需要验证h（kbθkt）≥ ln（1）- κ） 尽管如此，t∈ [0,1]，（4.24），其中h（u）：=qu+Fβ（qu+| qβ|）+cMθT+lnχ。使用（4.19）可以观察到h（u）=2qu- q|（qu+| qβ|）Φ（qkbθkt+| qβ|）≤ 2qu- q（qu+| qβ|）≤ 0U≥ 0自| qβ|≥ 2kbθkT由假设决定。

因此，H在[0]中减少，∞) 如果H（kbθkT）为（4.24）则为≥ ln（1）- κ） ，这可以很容易地从（4.23）中推断出来。5情况0<γ6=γ<1我们考虑消费和遗赠函数不同的一般情况，即0<γ6=γ<1。即使在纯扩散模型[20]中，这种情况也具有挑战性，因为没有风险约束的最优解不满足风险约束。事实上，约束现在对优化问题有很大的影响。特别是，在[20]中显示，以v的速度消耗所有食物是最佳的*t这是明确确定的）。直观地说，对于我们目前的跳跃模型，同样的结果也是预期的。在这一节中，我们通过调整[20]中使用的方法，证明了这个结果在存在跳跃的情况下仍然有效。我们首先找到成本函数的上界，然后试图指出成本函数达到该上界的适当控制。首先，重新证明代价函数由jα（x）：=xγZT（vte）给出-Vt）γeγRtf（t，y）dt+xγe-γVTeγRTf（T，y），（5.1），其中fi（T，y）：=exp（γi（y，bθ）T-γi（1）- γi）kykt+dXj=1ZtZR（（1+πjtz）γi- γiπjtz-1） 5.1 VaR constraintOne从风险约束（4.6）中得到-kykT+qβkykT- VT+kbθkTkykT≥ ln（1）- κ).放η=1- E-VT.上述不平等性在ifkykT中得到验证≤q（| qβ|- kbθkT）- 2 ln（1）- κ） +2 ln（1- η) - |qβ|+kbθkT:=ρ（η），（5.2）表示0≤ η ≤ κ. 现在，通过霍尔德不等式和等式（vte-Vt）dt=1- E-VT，一个getsJα（x）≤ [xγηγkbgkqq，T+xγ（1- η） γbg（T）]supkykT≤ρ（η）sup0≤T≤Tmax（f（t，y），f（t，y）），（5.3），其中，如（3.17）bgi（t）=eγiRtand kbgkqq，t:=ZT | bg（t）| qdt。让我们来研究bi（x，η）：=supkykT≤ρ（η）sup0≤T≤Tfi（t，y）。首先观察i=1,2时，函数fi（t，y）在y处的整个容许集D上达到最大值*isatisfyingky*ikT≤ qikbθkT。