具有下行风险约束的最优投资与消费

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英文标题：
《Optimal investment and consumption with downside risk constraint in
  jump-diffusion models》
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作者：
Thai Nguyen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper extends the results of the article [C. Kl\\\"{u}ppelberg and S. M. Pergamenchtchikov. Optimal consumption and investment with bounded downside risk for power utility functions. In Optimality and Risk: {\\it Modern Trends in Mathematical Finance. The Kabanov Festschrift}, pages 133-169, 2009] to a jump-diffusion setting. We show that under the assumption that only positive jumps in the asset prices are allowed, the explicit optimal strategy can be found in the subset of admissible strategies satisfying the same risk constraint as in the pure diffusion setting. When negative jumps probably happen, the regulator should be more conservative. In that case, we suggest to impose on the investor\'s portfolio a stricter constraint which depends on the probability of having negative jumps in the assets during the whole considered horizon.
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中文摘要：
本文推广了[C.Kl \\“{u}ppelberg和S.M.Pergamenchchikov.电力效用函数具有有限下行风险的最优消费和投资.最优性和风险：{it现代数学金融趋势.Kabanov Festschrift}，第133-169页，2009]跳转扩散设置。我们证明了在只允许资产价格正跳的假设下，在满足与纯扩散环境相同的风险约束的可容许策略子集中可以找到显式最优策略。当可能出现负增长时，监管机构应该更加保守。在这种情况下，我们建议对投资者的投资组合施加更严格的约束，这取决于在整个考虑期内资产出现负跳的概率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_investment_and_consumption_with_downside_risk_constraint_in_jump-diffusi.pdf (476.73 KB)

2022-5-11 13:59:05 上传

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关键词：投资与消费 Mathematical Quantitative Conservative mathematica

跳跃扩散模型下带下行风险约束的最优投资和消费Hai Huu Nguyen*德国乌尔姆大学数学与经济系，4月20日，2016年摘要本文将[C.Kl–uppelberg和S.M.Pergamenchchikov.电力效用函数具有有限下行风险的最优消费和投资]一文的结果扩展到跳跃效应设置。我们证明，在假设资产价格只允许正跳跃的情况下，可以在满足与纯差异设置中相同的风险约束的允许策略子集中找到显式最优策略。当可能出现负增长时，监管机构应该更加保守。在这种情况下，我们建议对投资者的投资组合施加约束，该约束取决于在整个考虑期内资产负跳的概率。关键词：风险资本、风险价值、预期缺口、下行风险度量、跳跃扩散过程、投资组合优化、最优消费、效用最大化。AMS初级分类：91B70、93E20、49K30；中学：49L20，49K45。1引言数学金融中的一个主要问题是考虑固定投资区间[0，T]内的最优投资和到期时的最优最终财富的组合。特别是，从初始财富x开始，投资者试图最大化以下成本函数jα（x）：=ExZTU（ct）dt+U（XαT）, (1.1)*回复邮件：泰语。nguyen@univ-乌尔姆。判定元件；thaibopy@gmail.comwhereU是两个给定的效用函数，CTI是消费率，Xα是终端财富，取决于控制过程α。

这些问题是机构投资者最感兴趣的问题，他们将资产基金出售给客户，客户有权在投资合同期限内获得一定的付款，并期望在到期时获得较高的回报。实际上，金融活动必须遵守一些由风险度量定义的强制性规定[1]。请注意，风险价值（VaR）和预期缺口（ES）是巴塞尔银行监管委员会认可的此类措施。然而，VaR不是凸风险度量，只考虑超过VaR界限的可能性，而不是损失的价值。研究表明，ES（定义为高于VaR的损失的条件预期）可以用来弥补这一限制。关于最优投资组合风险约束问题的文献非常丰富，我们参考了[3,7,4,27,12]及其参考文献来进行更详细的讨论。请注意，为了满足巴塞尔委员会的要求，投资者必须在整个投资期内控制损失水平。Kl–uppelberg和Pergamenschikov[20,21]研究了具有连续资产动态的非随机金融策略类中的幂函数和对数效用函数。Chouafand Pergamenschikov[6]研究了随机可容许金融策略的统一基础VaR最优投资问题。最近的金融研究关注股票回报率跃升的经验证据[14,13]。事实上，通过在模型中加入跳跃，我们可以允许出现突然但不频繁的大规模市场运动，从而捕捉股票回报分布的倾斜和厚尾特征。许多实证和理论研究表明，跳跃风险对投资组合选择、风险管理和期权定价有重大影响[23,11]。

特别是，面临跳跃风险的投资者的最优投资组合可能与没有跳跃的投资者有显著差异，忽视跳跃可能会导致重大损失[10]。与带有投资组合约束的纯差分模型不同，鞅对偶方法[19]可能不会直接应用于跳跃-差分模型，因为跳跃-差分模型中的跳跃导致的不完整性可能无法通过众所周知的补全技术消除。让我们仅提及最近大量文献中关于带跳跃的最优投资组合选择问题的一些。[11] 研究计算投资组合的风险价值和其他风险度量的近似值，这些投资组合可能包括可违约交易对手或借款人的期权和其他衍生品。[15,16]研究在有或无交易成本的一维跳跃差异背景下的最优组合问题。[22,10,2]解决了跳跃扩散模型中的投资组合选择问题，该模型具有常数系数，并且没有投资组合约束，其中只有一种跳跃类型。[17] 考虑跳跃扩散模型中的动态投资组合选择问题，该模型对投资组合权重进行了约束，特别是将约束问题嵌入到适当的无约束问题族中。在本文中，我们将[20]中的结果推广到跳跃扩散环境。让我们强调一下，即使在没有风险约束的情况下，跳跃差分模型中的问题（1.1）在文献中也没有得到很好的研究。一般来说，当同时考虑投资和消费时，以显式形式获得最优解是一个挑战。对于约束问题，由于跳跃的存在，不可能从给定的VaR/ES约束中获得投资组合的明确等价约束，这是强加在财富过程中的。因此，HJB方法可能不容易应用于解决问题，如[27]中所述。

本文的结论有两个方面。首先，我们证明了在适当的风险偏好选择下，对于两个相同的幂函数U（x）=U（x）=xγ，当资产跳变为非负时，无约束问题的最优解对于约束问题仍然是最优的。当Ui（x）=xγi且0<γ6=γ<1时，约束的影响是巨大的，投资者最好消费全部。第二，当允许资产价格出现负跳时，我们提出了一个更严格的约束条件，该约束条件考虑了出现负跳的可能性。因此，本文可以为有跳模型的监管策略设计提供合理的选择。让我们简短地解释一下我们的主要观点。首先，从监管机构的角度来看，资产的激增并不总是出人意料的。粗略地说，当资产跳变为非负时（例如，市场繁荣），投资者的投资组合风险等于或等于没有跳变时的风险，前提是两者都是最优结构。非负跳跃假设与在风险资产上进行更多投资的可能性正相关。然后，在满足约束的人中寻找最优策略是合理的，这些人对“修正的”财富过程施加了相同的信任水平，而这种信任水平只是通过忽略初始财富过程中的跳跃而获得的。因为循环是非负的，所以相应的容许策略形成了初始容许集的子集。如[20]中明确所示，这个可容许子集可以从直接施加在策略上的等价约束中推导出来。这就允许我们采用HJB方法或[20]中的直接方法来获得最优解。

在跳跃扩散设置中，但使用与纯扩散情况相同的修改约束，监管机构现在需要检查跳跃扩散模型中无约束问题的最佳解决方案是否满足约束。这可以在风险偏好参数的某些条件下得到证实。直觉上，如果可能发生负跳，调节器应该更加保守。在这种情况下，根据投资期内存在负资产的概率，可以应用稍微严格的约束，以确保非负跳跃情况下的分析仍然有效。论文的其余部分组织如下。第2节阐述了市场模型。在第3节中，我们对泵扩散设置中的无约束问题进行了完整的分析。论文的主要结果在第4节中报告。第5节考虑了终端效用和消费功能不同的一般情况。第6节研究了允许负跳跃的情况。辅助结果见附录。2.市场模型考虑的是一个金融市场，其风险资产由系统DSJT=Sjt定义在[0，T]范围内-ujtdt+dXiσijtdWjt+ZRzeJj（dt×dz）！，Sj=Sj>0，（2.1），其中Wt=（Wt，…，Wdt）是标准布朗运动，由复合泊松过程ζjt=NjtXk=1ξjk，j=1，…，产生的补偿随机泊松测度，d、 无风险资产由dSt=rtSt，S=1给出，其中RTI为无风险利率。我们进一步假设ζj=（ζt，…，ζdj）是独立分量向量过程，与布朗运动Wt无关，νd（dzd））×dt是ζj的d维L′evy度量。众所周知，对于任何j∈ [1, . . .

，d]，νj（dzj）=λjFj（dzj），其中fji是跳跃大小（ξjk）k的公共分布函数≥1和λjis是泊松过程Njt的强度。为了保证股票价格的正性，我们假设ξjk>-1，a.s.适用于任何1≤ kande[ξj]<∞ 所有人1≤ J≤ d、 用ut=（ut，…，udt）表示股票升值的向量，用σt=（σijt）1表示≤i、 j≤D股票波动率矩阵。在本文中，我们假设这些过程是确定性的、连续的，并且几乎可以肯定，对于Lebesgue t，σ是非奇异的≥ 0.设φt=（φt，φt，…，φdt）为t时债券和股票的投资额≥ 0.财富过程由xt=φtSt+dXj=1φjtSjt给出。此外，假设消费是可能的，并通过逐步可测量的非负过程ctverifyingRTctdt<∞, a、 s。。如果财富过程满足以下等式dxt=dXj=0φjtdSjt，则该策略称为自我融资- ctdt，X=X>0。（2.2）对于1≤ J≤ d、 用πjt=φjtSjtPdj=0φjtdSjt（2.3）表示投资于第j项资产的财富份额。投资组合过程πt=（πt，…，πdt）被假定为cadlag和RTKπkt<∞ 几乎可以肯定。为方便起见，defineyt=（yt，…，ydt）：=σtπ和θt=（θt，…，θdt）：=σ-1t（ut）- rt1）。（2.4）使用这些符号，我们重写（2.2）asdXt=Xt（rt+ytθt）dt-ctdt+XtytdWt+Xt-ZRdπtzdeJ（dz×dt），X=X>0，（2.5），其中eJ（dz×dt）：=（eJ（dz×dt），eJd（dzd×dt））。假设消费是财富的一部分，即ct=vtXt，其中vTt是一个非负的确定性过程∞. 定义αt=（yt，vtXt）并使用符号Xα强调财富过程是由一些控制α定义的。现在，（2.5）可以重写为dxαt=Xαt（rt+ytθt）- vt）dt+XαtytdWt+Xαt-ZRdπtzeJ（dz×dt），Xα=X>0。（2.6）表示字节（y）=expZtysdWs-Zt | y | sds（2.7）随机指数和putbθt:=σ-1t（ut）- rt1- ξλ）与ξλ=（λEξ，λEξ。

，λdEξd）。（2.8）然后，根据It^o关于跳跃过程的公式，很容易看出（2.6）加入了以下溶液xαt=xeRt-Vt+（y，bθ）tEt（y）Pπt（ξ），（2.9），其中rt=Ztrsds，Vt=Ztvsds，（y，bθ）t=Ztysbθsds（2.10）和跳跃部分Pπt（ξ）定义的asPπt（ξ）=exp（dXj=1ZtZRln（1+πjszj）Jj（dzj×dt））=dYj=1NjtYk=1（1+πτj）-kξjk），（2.11）式中（τjk）k≥1是Njt的跳转时间序列，1≤ J≤ d、 可接受的策略具体如下。定义2.1。过程α=（αt）0≤T≤这被称为可接受的if1。YT和CTA是可预测的，2。ct（ω）≥ 0，对于a.e.（t，ω），3。任何一个≤ J≤ d、 πjt（ω）∈ [0,1]对于a.e.（t，ω），4。方程（2.6）允许一个唯一的强解Xαtde，如（2.9）所定义。请注意，第三个条件，即卖空禁令，是确保Xα为正所必需的。我们用D表示所有可容许控制过程的类。[18]研究了恒定系数市场中两个谨慎性函数的无卖空效应。备注1。在[18]中，作者研究了在不存在卖空和借款约束的投资约束下，跳跃式波动中的动态最优投资组合选择。其核心思想是通过调整利率和股票价格的漂移条件来构建一套活跃的市场。将原始市场中的受限消费投资问题转化为一组活跃市场中的无约束消费投资问题。然后，通过最优地调整实际市场中的利率和股价漂移项，可以获得具有投资约束的原始市场的最优性。有关详细讨论，请参见[18]。现在假设投资者希望在时间间隔[0，T]内优化其预期消费效用，并在终端地平线上优化其财富。

换句话说，对于初始禀赋x>0和控制过程αt∈ U、 我们考虑公式jα（x）：=Ex的成本函数ZTU（ct）dt+U（XαT）,其中，Ui，i=1，2是效用函数，Exis是期望算子conditionalon Xα=X。对于幂效用函数问题，我们选择Ui（u）=uγi，表示u≥ 0，0<γi≤ 1，i=1，2，然后成本函数由jα（x）：=Ex给出ZTcγtdt+（XαT）γ. （2.12）现在让我们来精确说明本文中考虑的风险约束。以下定义的VaR也称为“风险资本”。这里我们采纳了[12,20]中的观点。定义2.2（风险价值）。对于初始禀赋x>0，对照α和面积数0<β≤ 1/2，我们定义了财富过程XαtasV aRt（X，α，β）的风险价值（VaR）：=xeRt- qβ（Xαt），（2.13），其中qβ（Xαt）是Xαt的下β分位数。关于下分位数的定义，我们参考定义A.1。需要强调的是，上述定义与著名论文[4]中的设置一致，limitloss Lt=（1）- κ） xeRt，需要随时动态检查∈ [0，T]。请注意，qβ<0表示0<β<1/2。风险水平的特征是κ-xeRtforsome系数0<κ<1，代表投资者投资组合的负债水平。现在，对于一些κ，我们寻找一种策略α∈ 风险价值由κxeRt统一确定的D，即我们在以下动态风险约束下工作≤T≤电视艺术（x，α，β）κxeRt≤ 1.（2.14）还应注意，风险水平β和κ由监管机构确定。在某些情况下，投资者可以在给定范围内获取κ。如果κ接近0，则投资组合风险处于较低水平，而κ接近1，则与无约束问题一样，投资组合具有较高的损失风险。在后一种情况下，风险限额可能无效。

现在让我们定义第二种约束，与分位数不同，它关注loss的平均值。定义2.3。对于初始禀赋x>0，一个控制α和一个实数0<β≤ 1/2，我们定义了财富过程的预期短缺XαtasESt（X，α，β）：=xeRt- ESβ（Xαt），（2.15），其中ESβ（Xαt）是经典的预期短缺。为了方便读者，定义A.2给出了预期短缺的经典定义。注意，投资者的投资组合可以通过持续施加以下约束来控制：ESt（x，α，β）≤ κxertf对所有t∈ [0，T]。然后，可以观察到与VaR约束相同的解释。在第4节中，我们研究以下约束问题：问题1。给定x>0和0<κ<1，发现策略α*∈ D哪个溶剂最大α∈DJα（x）受sup0影响≤T≤电视艺术（x，α，β）κxeRt≤ 1.问题2。给定x>0和0<κ<1，发现策略α*∈ D哪个溶剂最大α∈DJα（x）受sup0影响≤T≤测试（x，α，β）κxeRt≤ 1.让我们就上述问题发表一些看法。首先，经典鞅方法[19]似乎不可能用于此类具有动态风险约束的问题。请注意，在纯差分模型中，可以将VaR/ES约束转化为所谓的投资组合约束，即对策略的约束，然后通过考虑新的艺术市场（如Cvitanic和Karatzas[8,9]），可以应用鞅对偶。然而，在存在跳跃的情况下，这种转变似乎极具挑战性。另一种可能性是近似求解问题，即我们首先通过投资组合约束近似风险约束，然后考虑相应的近似值。