具有下行风险约束的最优投资与消费

根据引理3.1，fi（t，y），i=1，2都是凹函数，fi（t，y）都是凹函数*) ≤\'fi（qikbθkT），其中\'fi（b）：=expγibθTb-γi（1）- γi）b, i=1,2。因此，bHi（x，η）≤\'fi（\'yi（η）），其中\'yi（η）=min（qikbθkT，ρ（η））。下面是jα（x）≤ 最大值=1,2sup0≤η≤κcM（x，η）fi（\'yi（η）），其中cM（x，η）：=xγηγkbgkqq，T+xγ（1）- η） γbg（T）。引理5.1。假设0<κ≤ argmax0≤η≤1cM（x，η）和| qβ|≥ kbθkT+（1）- κ)-1kbθkTmax（γ，γ）ηlncM（x，η）-1.（5.4）那么，cM（x，κ）是成本函数的上界。证据首先考虑情况ρ（0）≤ qikbθk。然后‘yi（η）=ρ（η），因为ρ在[0，κ]上减小。把bgi（x，η）：=\'fi（ρ（η））bHi（x，η），我们可以推断出≤η≤κ\'fi（\'yi（η））cM（x，η）=sup0≤η≤κ′fi（ρ（η））cM（x，η）：=sup0≤η≤κbGi（x，η）。让我们研究一下bGI（x，η）的单调性。为此，我们计算其一阶导数ηbGi（x，η）=γi[ρ（η）kbθkT- (1 - γi）ρ（η）]fi（ρ（η））cM（x，η）+fi（ρ（η））ηcM（x，η）。（5.5）注意cm（x，η）是一个凹函数，它在[0，κ]上有第一正导数和负二阶导数，前提是κ∈ [0，argmax0≤η≤1cM（x，η）]。因此ηbGi（x，η）≥ 0如果ηlncM（x，η）≥ γikbθkTsupη∈[0,κ]|ρ(η)|. （5.6）另一方面，从（5.2）得到ρ（η）=-(1 - η)-1[|qβ|- kbθkT）- 2 ln（1）- κ） +2 ln（1- η)]-1/2.那么，sup0≤η≤κ|ρ(η)| ≤ (1 - κ)-1（|qβ|- kbθkT）-1.因此，（5.6）如果ηlncM（x，η）≥ γikbθkT（1）- κ)-1（|qβ|- kbθkT）-1，i=1，2。（5.7）注意（5.7）等同于（5.4）。在（5.4）项下，bGi（x，·）在增加，而sup0≤η≤κbGi（x，η）=bGi（x，κ）=cMi（x，κ），因为fi（x，κ）=1。假设qikbθk<ρ（0）。回想一下，ρ随着ρ（κ）=0而减小。这里有我∈ [0，κ]使得qikbθk=ρ（κi）。现在，苏普≤η≤κi\'fi（\'yi（η））cM（x，η）=sup0≤η≤κi′fi（ρ（ηi））cM（x，η）=fi（ρ（ηi））cM（x，η）=bGi（x，ηi）。另一方面，如果η∈ [κi，κ]。

如上所示，supκi≤η≤κfi（\'yi（η））cM（x，η）=bGi（x，κ）。AsbGi（x，·）正在增加一个结论是sup0≤η≤κbGi（x，η）=bGi（x，κ）=cM（x，κ）。因此，cM（x，κ）始终是代价函数的上界。定理5.1。在引理5.1的假设下*= 0，v*) 是VaR风险约束问题的最优解，其中*t=˙V*t=κbgq（t）kbgkqq，t- κkbgkqq，t（t）。（5.8）证据。我们需要找到成本函数达到上限cm（x，κ）的控制。显然，我们应该选择这样的v:zt（vte-Vt）γbg（t）=（1）- E-VT）γkbgkq，和VT=-ln（1）- κ).为此，我们求解[0，T]˙Vte上的微分方程-Vt=κkbgkqq，Tbgq（t），V=0。最后一个微分方程允许解V*t=-ln1-κkbgkqq，Tkbgkqq，t（t）！，这给出了（5.8）中定义的最佳消费率。5.2 ES约束考虑问题2和ES约束。下面给出了成本函数的上界。引理5.2。假设0<κ≤ argmax0≤η≤1cM（x，η）和| qβ|≥ 2kbθkT+（1）- κ） kbθkTmin（γ，γ）ηlncM（x，η）-1.（5.9）那么，cM（x，κ）是成本函数的上界。证据回想一下VT=ln（1- η). 首先，风险约束（4.14）意味着KYKTKBθkT+Fβ（kykt+| qβ|）≥ ln（1）- κ) - ln（1）- η), T∈ [0, 1]. （5.10）很容易检查函数bψ（ρ）：=kbθkTρ+Fβ（ρ+| qβ|）在|qβ|时严格递减≥ kbθkT。所以，如果我们有bψ（kykT），则检查（5.10）≥ ln（1）- κ) - ln（1）- η).注意bψ（kykT）≤bψ（0）=Fβ（qβ|）=0。因此，对于方程bψ（ρ）=ln（1），存在一个解bρ：=bρ（η）- κ) - ln（1）- η), 0 ≤ η ≤ κ. （5.11）和bη是严格递减的，因为bψ（ρ）是递减的，这意味着bη≥b0。现在，取两边（5.11）的导数，一个等于ρ（η）基克特-η（bη+|qβ|）Φ（bη+|qβ|）=1.- η.请注意，方括号中的表达式以kykT为界-|qβ|。

因此| bρ（η）≤(1 - η） （|qβ|- kykT），η∈ [0, κ].在这个阶段，引理5.1的分析可以用来表明CM（x，κ）是成本函数的上界。我们已经证明，在ES约束下，消费全部是最优的。定理5.2。在引理5.1的假设下*= 0，v*) v在哪里*由（5.8）给出，是具有ES风险约束的问题的最优解。定理5.1和5.2表明，动态风险约束的存在有一个不希望出现的影响，即其投资组合构成消费和投资的投资者应该最优地消费所有资产。因此，我们的结果建议分别考虑效用最大化问题（最优投资）和最优消费问题。注意[2]考虑了类似跳跃扩散环境下的无约束消费问题。特别是，通过利用正交空间中资产收益布朗风险的差异，作者表明，通过集中控制跳跃风险敞口，可以获得最优策略。5.3当消费不可能时，我们考虑以下效用最大化问题supπE[U（XπT）]，其中财富过程由dxπT=XπT（rt+ytθT）dt+XπtytdWt+XπT给出-ZRdπtzeJ（dz×dt），Xπ=X>0。（5.12）然后推导出HJB方程tu（t，x）+supπAπu（t，x）=0，u（t，x）=xγ，（5.13），其中发生器Aα由v=0的如（3.9）所定义：Aπu（t，x）=x（rt+ytbθt）xu（t，x）+xytytxxu（t，x）+dXj=1ZR（u（t，x+xπjtz）- u（t，x）- xπjtzxu（t，x））νj（dz），（5.14）我们试图找到一个形式为u（t，x）=ρxγ，ux=γρxγ的解-1，uxx=γ（γ-1） ρxγ-2，其中ρ是待确定的t函数。将这些公式代入（3.8），我们得到ρ（t）+ρ（t）supπγ（rt+ytbθt）+ytγ（γ- 1） +dXj=1Kj（πjt）= 0，（5.15），其中Kjde定义在（3.11）中。

因此，我们得到了与（3.12）相同的必要最优条件，即bθit+（γ）- 1） yit+dXj=1ij（t）Qj（πjt）=0，yi≥ 0，i=1，d，（5.16），其中qjd定义在（3.13）中。直接论证可以得到无约束问题的最优解。提议5.1。假设*≥ 0是系统（5.16）的解，设h*在（5.15）中是相应的上确界。然后，无约束问题的最优规则由y给出*值函数是Erth*（s） dsxγ。财富过程由DX给出*t=X*t（rt+y）*tθt）dt+X*泰*tdWt+X*T-ZRdπ*tzdeJ（dz×dt），X*= x>0。（5.17）证据。结论遵循了定理3.2中类似的论点，但有一点值得注意：*（s） Ds是普通微分方程ρ（t）+ρ（t）h的解*（t） =0。让我们转向VaR/ES约束下的约束问题supπE[U（XπT）]。下面是定理4.3和4.4的直接结果。提议5.2。假设资产的跳跃为非负且条件（4.21）成立。然后是无约束解y*在命题5.1中，仍然是带有VaR约束的效用最大化问题的最优解。当（4.21）被条件（4.23）代替时，同样的结论对于ES约束仍然成立。提案（5.2）提供了充分的条件，使风险约束VaR/Es不起作用。当这些条件不成立时，可以将约束合并到HJB方程中。这使得这个问题更具吸引力，但解决起来更具挑战性，我们在这里不讨论这个问题。事实上，挑战在于，由于跳跃的存在，风险约束不可能像纯扩散情况那样转化为明确的约束策略。尽管如此，带有投资约束的HJB方程可以用数值方法求解，如[12]所示，用跳跃大小近似。

在[11]中，作者提供了一种分析方法（应用分析傅里叶变换）来计算风险值，以及其他允许厚尾和倾斜回报分布的风险度量。6负跳我们在本节中检查负跳的影响。事实上，如果可能出现负增长，监管机构应该更加保守。我们在下面展示，在这种情况下，根据投资期限[0，T]内风险资产负跳的概率，可以施加稍微严格的约束，以使之前的分析仍然有效。首先，请注意我们还有麻省理工学院≤ 0表示所有i=1，d，即使存在负循环。让我们首先通过引入GBPπt（ξ）来检验VaR约束不等式（4.4）：=kyktdXj=1NjtXk=1ln（1+πjτj）-kξjk）。（6.1）我们想找到qβ（Et（y）Pπt（ξ））的下界。后者可以写为EXP{-kykt+bqβ（t）kykt}，其中bqβ（t）：=qβ（Zt+bPπt（ξ）），且Zt是独立于bPπt（ξ）的可测量标准正态变量。用εt:=P（At）表示，其中t:={在[0，t]}（6.2）中，资产价格至少有一次负跳。现在，假设风险资产的跳变部分是独立的，导致以下基本性质。引理6.1。对于任何0≤ T≤ 我们有t=dYi=1（1- E-λit）Z-1Fi（dz）。显然，εt%εt→ T我们试图估计关于εt的bqβ（t）。根据分位数定义，我们得到β=P（Zt+bPπt（ξ）≤ bqβ（t））≤ P（Zt+bPπt（ξ）≤ bqβ（t），Act）+P（At）。（6.3）关于法案：Ohm\\At（与Zt无关），bPπt（ξ）为非负。因此β≤ P（Zt）≤ bqβ（t））P（Act）+P（At）=P（Zt≤ bqβ（t））（1- εt）+εt或bqβ（t）≥ qbβ（εt），其中bβ（ε）：=β- ε1 - ε. （6.4）显然，bβ（ε）=[2ε- (1 + β)]/(1 - ε） ε时<0≤ (β + 1)/2. 因此，如果0，bβ（ε）向下递减为bβT:=bβ（εT）≤ εT≤ （β+1）/2，这意味着bqβ（t）≥ qbβT。

然后，我们推断风险约束（4.4）被检查为if0≤T≤T-kykt+qbβTkykt- Vt+（y，bθ）t≥ ln（1）- κ). （6.5）因此，在之前的分析中，我们需要用qbβ代替qβ。请注意，使用修改后的置信水平BβT≤ β意味着投资者的投资组合受到更严格的监管。一般来说，在正常的一天生命周期内，εT=0，即使资产价格允许下跌，但以连续的方式（可预测的）下跌。请注意，前几节中给出的分析可通过εt 0获得。现在让我们考虑问题2，其中ES约束由（4.12）定义。在引理A.3的证明中，通过Et（y）Pπt（ξ）的正性，我们得到了β（Et（y）Pπt（ξ））=βZβqδ（Et（y）Pπt（ξ））dδ≥βZβεTqδ（Et（y）Pπt（ξ））dδ。如上所述，qδ（Et（y）Pπt（ξ））≥ qbδt（Et（y））≥ qbδT（Et（y）），其中bδT:=bδ(t） =δ- εt1- εt.改变变量后，我们得到β（Et（y）Pπt（ξ））≥βZβεTqbδT（Et（y））dδ=β- εTβbβZbβqbδT（Et（y））dbδT换句话说，ESβ（Et（y）PπT（ξ））≥β - εTβESbβT（Et（y）），其中bβ在（6.4）中定义。现在，通过引理A.2ESbβT（Et（y））=bβT（1）- Φ（|qbβT |+kykt））=FbβT（kykt+|qbβT |）。因此，在存在负跳跃的情况下，我们需要将风险约束（4.14）中的函数Fβ替换为BFBβT，定义为BFBβT（u）：=β- εTβFbβT（u）。（6.6）然后，通过类似的程序可以获得最优策略。总之，我们证明了以下主要结果。定理6.1。假设在所考虑的视界[0，T]内发生负跳跃，概率εT<β。然后，如果我们在相应的风险约束中用（6.4）定义的BβTde替换β水平，则在前面的VaR约束部分中获得的所有结果仍然有效。对于具有ES约束的问题，我们在（6.6）中将Fβ替换为BFBβt，得到了相同的结果。7.结论性的显著性我们研究了VaR和ESRIK约束下的最优投资和消费问题，重点是确定性策略。

当资产跳变为非负时，可采用[20]中的方法，通过忽略约束跳变而获得的一组可接受策略中的最优解，但置信水平相同。特别地，我们证明了在模型参数的一些温和条件下，如果使用两个相同的幂函数，则无约束解仍然是最优的。对于不同的效用函数，约束的影响是巨大的，对于投资者来说，消费全部是最佳选择。当可能出现负跳跃时，监管机构应更加保守，根据投资期内风险资产出现负跳跃的概率，实施稍微严格的约束，以确保对非负跳跃情况的分析仍然有效。应该注意的是，可以考虑随机策略，但为了使HJB方法仍然有效，有必要修改分位数的定义或使用相对VaR/ES约束[25]。我们还计划将本文扩展到generalLevy的模型。在这种情况下，需要研究近似的小跳跃，稳定性问题可能值得研究，如[12,22]中所述。附录：辅助结果A分位数和预期Shorfall定义A.1（下分位数）。对于任意随机变量Y和β∈ （0，1），Y的下β分位数是由qβ（Y）=inf{u:P（Y）定义的数≤ u）≥ β}. （A.1）以下内容有助于提供最佳解决方案的明确形式。引理A.1。设qβ为标准正态分布的较低β分位数，t（y）为（2.7）中定义的随机指数。那么，qβ（Et（y））=exp-kykt+qβkykt. （A.2）证据。它直接来源于Et（y）的定义和低分位数的线性。定义A.2（预计为Shorfall）。

对于任意随机变量Y和β∈ （0,1），Y的β分位数处的预期shorfall是由ESβ（Y）=E（Y | Y定义的实数ESβ（Y）≤ qβ（Y））（A.3）对于一些随机变量Y。同样，下面的简单结果对于以明确的形式获得最优解非常有用。引理A.2。设φ为标准正态分布函数，Et（y）为（2.7）中定义的随机指数。对于任何β∈ （0，1），我们有β（Et（y））=β（1）- Φ（|qβ|+kykt）），（A.4），其中qβ是标准正态随机变量的较低β分位数。证据定义（A.3）意味着esβ（Et（y））=e-kyktE（ekyktZ | Z）≤ qβ）=e-kyktP（Z）≤ qβ）E（ekyktZ{Z≤qβ}），其中Z~ N（0，1）。直接微积分提供了P（Z≤ qβ）=β和-kyktE（ekyktZ{Z≤qβ}=Φ（|qβ|+kykt），结论如下。使用下面的引理可以比较两个投资组合的风险。引理A.3。设Y，Z是满足Y的两个随机变量≤ 那么，对于任何β∈ （0,1），qβ（Y）≤ qβ（Z）和ESβ（Y）≤ ESβ（Z）。（A.5）证据。对于任何你∈ R、 一个有P（Y）≤ u）≥ P（Z）≤ u） 自从≤ 几乎可以肯定。然后，{u:P（Z≤ u）≥ β}  {u:P（Y）≤ u）≥ β} 对于任何β∈ （0,1），因此qβ（Y）≤ qβ（Y）。让我们证明（A.5）中的最后一个不等式。显然，P（Y）≤ qβ（Y））=β和qβ（Y）=FY（β），其中FY是Y的分布函数。对于Z也可以得到相同的表示。现在，通过定义，ESβ（Y）=E（Y | Y≤ qβ（Y））=P（Y≤ qβ（Y））E（y1{Y≤qβ（Y）}）=βZqβ（Y）-∞yFY（dy）。通过改变变量δ=FY（y）→ y=F-1Y（δ）=qδ（Y）得到β（Y）=βZβqδ（Y）dδ和ESβ（Z）=βZβqδ（Z）dδ，结论由第一个不等式得出。几何L’evy鞅引理B.1。设a:[0，T]×R→ R是满足EhExpnzTZR（ea（t，z）的函数- 1） ν（dz）dtoi<∞.然后，由dXt=X定义的过程-tRR（ea（t，z）-1） eJ（dz×dt）是一个鞅，且hexpnztzra（t，z）J（dz×dt）oi=EhexpnZTZR（ea（t，z）- 1） ν（dz）dtoi<∞.证据

参见[24]中的练习1.6。最优消费率的指数引理。为了v*tde定义在（3.16）中，我们有-五、*T=gq（T）kgkqq，T+gq（T）（C.1）证明。似乎使用（3.16）进行直接验证在技术上很难。我们可以这样做。提供π=π*是一个最优投资组合，我们需要选择成本函数最大的v，即maxvZTvγte-γVtg（t）dt+e-γVTg（T），其中g由（3.15）定义。这个变化问题可以分两步解决。首先，通过Holder不等式，上述公式以ztvγte为界-γVtg（t）dt≤中兴通讯-VTDTKKQQ，T+e-γVTg（T）。当vγte-γvtg（t）在L中是线性独立的，即vte-Vt=bgq（t）a.s.[0,1]，其中b是一个正常数。接下来就是1- E-VT=ZTvte-Vtdt=bkgkq，T，这意味着-VT=1- 成本函数现在由f（b）=bγkgkqq，T+（1）给出- bkgkq，T）γg（T）。通过选择合适的b>0，仍然需要最大化f（b）。由于f是凹的，其最大值在一阶导数f（b）的零点处达到*) = 0，其中b*=[gq（T）+kgkqq，T]-1.因此，e-五、*T=1- B*kgkqq，T=gq（T）gq（T）+kgkqq，定理3.1By（2.9）的T.D证明，一个hasEXαT=xeRt-Vt+（y，bθ）tEEt（y）EPπt（ξ）=xeRt-Vt+（y，bθ）tEPπt（ξ）（D.1），因为EEt（y）=1。考虑到（2.11）中各项的独立性，OneOccessepπt（ξ）=exp（dXj=1ZtZRπjszjνj（dzj）dt）=expZtπsξλds. （D.2）因此，EXαt=xeRt-Vt+（y，bθ）t+（π，ξλ）t=xeRt-Vt+（y，θ）t=xeRt-Vt+（π，u）-r1）t，（D.3）以xeRTe为界-Vt+kπkTku-r1kT。然后我们推导出jα（x）=ZTEXαtvtdt+EXαT≤ xeRT+kπkTku-r1kT中兴通讯-vtdt+e-及物动词= xeRT+kπkTku-r1kT。因此，xeRT+Tku-r1kt是Jα（x）的上界，因为kπkT≤√T现在，如果ku-r1kT=0，对于任何容许策略π，上界都是可达到的*π*jt∈ [0,1]与v*t=0。

相反，如果ku- r1kT>0，则π的上界为*t=（ut）- rt1）ku- r1k-1T√T和v*t=0。引理3.1的证明*tand′π*皮重分别为g（t，π）=γrt+γ（ut）的最大点- rt）π+σtπγ（γ- 1） +K（πt）和`G（t，π）：=γrt+γ（ut）- rt）π+σtπγ（γ- 1).换句话说，它们是方程κ的解：πG（t，π）=0和¨κ（π）=0，其中κ（π）：=γ[ut- rt+（γ- 1） σtπ+ZR[（1+πz）γ-1.- 1] zν（dz）]和κ（π）：=ut- rt+（γ- 1） σtπ。显然，κ（π）≤ κ(π), π ∈ [0,1]这两个函数正在减少。一个是π*≤ π*. 此外，由于G和¨G在[0,1]中都是凹的，所以只有一个hasG*:= 最大G（t，π）≤\'G*t:=max\'G（t，π），从而得出比较ρ（t）≤ ρ（t）（参见（3.16）中的定义）。利用γ的负号- 1人得v*t=ρ（t）1/（γ）-1)≥ \'v*t=？（t）1/（γ）-1).参考文献[1]P.Artzner、F.Delbaen、J.-C.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。[2] 在萨哈利亚，J·卡乔·迪亚兹和T·R·赫德。带跳跃的投资组合选择：一个封闭的表单解决方案。安。阿普尔。Probab。，19(2):556–584, 04 2009.[3] C.阿特金森和M.帕帕科基努。在风险资本（car）和风险价值（var）约束下的最优消费和投资组合选择理论。伊玛·J·管理数学。，(16), 2005.[4] S.巴萨克和A.夏皮罗。基于风险价值的风险管理：最优政策和资产价格。牧师。菲南。螺柱。，(14):371405, 2001.[5] 布鲁诺·布查德和马塞尔·纳茨。广义状态约束的弱动态规划。暹罗控制与优化杂志，50（6）：3344-33732012。[6] B.Chouaf和S.Pergamenchchikov。电力效用函数有界var的最优投资。编辑Y·卡巴诺夫为纪念马雷克·穆西埃拉诞辰60周年而撰写的论文集。斯普林格，2012年。[7] D.库科、H.华和S.伊桑科。具有风险限制的最优动态交易策略。2001