不完全市场中的凸套期保值

用Fenchel对偶推导（13）的对偶问题：di（Q）=infλ∈∧+nZOhm[HZQ- HZPσZP*dλ]+dP+eVλ（Pσ）o.证明强对偶pi（Q）=di（Q）的有效性，并推导出内部问题（13）解的必要有效结构（定理4.8）。（iv）将定理4.5和4.8应用于原始问题（7），并推导出（7）的解eа的必要和有效结构（定理4.9）。静态优化问题（7）的解eа的存在可以通过Nakano（2004年，命题1.3）的例子来说明，其中考虑了一致的风险度量。定理4.3。存在一个e~n∈ r求解静态优化问题（7）和ρ（（e）- 1） H）是有限的。证据一组随机测试r={~n：Ohm → [0,1]，英尺- 可测}作为弱紧单位球面L的弱闭子集是弱紧的∞（邓福德和施瓦茨（1988），定理V.4.2，V.4.3）。自从马匹7号以来→晚餐*∈PσEP*在弱*拓扑中，[νH]是下半连续的，受约束的集是弱*闭的，因此是弱*紧的。因为φ7的下半连续性→ supQ∈Q{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }在弱小的顶层，存在一个∈ 解决（7）。ρ（（e）- 1） H）是有限的，因为ρ在某些情况下是有限的- 1） H带φ∈ R（假设4.1）。备注4.4。对于严格凸的风险度量，我们还可以证明任意两个解是一致的- a、 s.关于{ω：H>0}（见F¨ollmer and Leucert，2000年，命题3.1）。凸风险度量不可能是严格凸的，因为ρ（定义2.1（ii））和ρ（0）=0的翻译属性意味着ρ在由等于1 A.s的随机变量生成的L的一维子空间上的线性（关于翻译f函数的进一步性质，见Hamel（2006））。

这意味着对于凸风险测度，只能证明解的存在性，而不能证明解的本质唯一性。4.2杜阿尔问题在本小节中，我们将构造（7）的对偶问题，并证明强对偶的有效性。我们得到了对偶解的存在性，并证明了该问题是一个鞍点问题。定理4.5。强大的对偶性：原始问题（7）和它的对偶问题的值是相等的（p=d），其中（7）的对偶问题的值为dd=supQ∈Q{inf∈R{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }}。（14） （eZQ，e~n）是函数式EQ[（1）的鞍点- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] 式中，eа是（7）的解，而zq=deQdPis是（14）的解。因此，min~n∈R{maxQ∈Q{EQ[（1）-ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }=maxQ∈Q{min∈R{EQ[（1）-ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }}。证据问题（7）可以重写为asp=min~n∈L∞{ρ ((φ - 1） H）+IR（ν）}。我们表示f（φ）：=IR（φ）和g（Aφ）：=ρ（Aφ）- H） =ρ（（ψ）- 1） H），其中线性连续算子A:L∞→ 定义为Aа：=Hа。芬切尔对偶问题是（见Ekeland和Temam（1976），第三章，等式（4.18））d=supY∈ L∞{-F*（A）*Y）- G*(-Y）}，（15）其中*相邻的歌剧是t还是A和f*, G*分别是fand g的共轭函数。原始问题的p值是有限的（定理4.3）。函数f:L∞→ 红外光谱∪ {+∞} 是凸的，因为R是凸的。函数G:L→ 红外光谱∪ {+∞} 是凸的，因为ρ是凸的。由于ρ在某些情况下被假定为连续和有限的- 1） H带φ∈ R（假设4.1）我们有强对偶YP=d（Ekeland和Temam（1976）中的定理III.4.1和备注III.4.2）。邻接算子A*: L∞→ ba(Ohm, F、 P）必须通过定义以下方程式来满足： Y∈ L∞, φ ∈ L∞: 哈*Y、 ~ni=hY，A~ni=E[~nhY]。（16） 为了建立对偶问题，我们计算了共轭函数f*和g*.

通过（16），我们得到*（A）*Y）=supа∈L∞{hA*Y、 ~ni- f（~n）}=sup~n∈RE[~nHY]。函数g由g（X）=ρ（X）定义- H） 。它的共轭函数g*: L∞→红外光谱∪ {+∞} is（Zalinescu，2002，定理2.3.1（vi））：g*（Y）=ρ*嗨。自domρ* {-ZQ:Q∈ Q} a和ρ*（Y）=supX∈AE[XY]代表Y∈ L∞用e[Y]=-1（见等式（5）），值为d isd=supQ的对偶pr问题（15）∈Q{inf∈R{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }}。（17） 对偶问题的解Nezqt的存在源于强对偶的有效性（见定理III.4.1，Ekeland和Temam，1976）。设eа为主要问题（7）的解（见定理4.3）。Sincep=supQ∈Q{EQ[（1）- e~n）H]- 好的∈AEQ[-十] }≥ EeQ[（1）- e~n）H]- 好的∈AEeQ[-十] ，d=inf~n∈R{EeQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEeQ[-十] }≤ EeQ[（1）- e~n）H]- 好的∈AEeQ[-十] 由于强大的二元性，我们有Eeq[（1- e~n）H]- 好的∈AEeQ[-X]≤ p=d≤ EeQ[（1）- e~n）H]- 好的∈AEeQ[-十] 。因此，min~n∈R{maxQ∈Q{EQ[（1）-ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }=maxQ∈Q{min∈R{EQ[（1）-ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }}。因此，（eZQ，e~n）是函数EQ[（1）的鞍点- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] .4.3对偶问题的内部问题在这一小节中，我们考虑对偶问题（14）的内部问题，对于任意的，但固定的Q∈ 问：我们给出了一个关于解的结构的结果。这使得我们有可能在下一小节的主要定理中推导出定理4.5的鞍点的结果。也就是说，我们得到了一个关于静态优化问题（7）解的结构的结果。首先，让我们考虑Q的对偶问题（14）的内部问题∈ Q和letus用pi（Q）表示其最佳值：pi（Q）：=max~n∈需求量（单位：英寸）。（18） 引理4.6。存在一个解决方案e~nQto问题（18），pi（Q）是确定的。证据以下是Ris弱*紧（见定理4.3的证明）和φ7→ 对于所有Q，EQ[~nH]在弱*拓扑中是连续的∈ Q、 备注4.7。

问题（18）可以确定为测试理论问题。设R={~n：Ohm → [0,1]，英尺- 可测量的}是一组随机测试，让我们确定测量值O和O*= O*（P*) bydOdQ=H和do*数据处理*= H代表P*∈ Pσ。问题（18）变成了最大值∈REO[~n]受制于P*∈ Pσ：EO*[φ] ≤eV=：α。这相当于在测试复合假设H={O时寻找最佳测试e k qo*（P*) : P*∈ Pσ}，由一类等价的Sigmamatingale测度参数化，在广义上反对简单的替代假设H={O}。在广义测试问题（Witting，1985，定理2.79）中*不一定是概率测度，但测度和显著水平α被推广为正连续函数α（P*). Witting（1985）推导出了最佳测试e k q的有效最优性条件，并验证了弱性的有效性。我们想证明强对偶是可以满足的。在这种情况下，典型的0-1-结构e k Qis是有效的，并且是最优性所必需的。我们赋予（18）以下Fenchel对偶问题，并用di（Q）表示其最优值di（Q）=infλ∈∧+nZOhm[HZQ- HZPσZP*dλ]+dP+eVλ（Pσ）o.（19）以下强对偶定理成立。定理4.8。问题（18）和（19）的强对偶何为真f，即。，Q∈ Q:di（Q）=pi（Q）。此外，对于每个Q∈ Q存在一个解λQto（19）。最佳随机化测试e k Qof（18）具有以下结构：e k Q（ω）=1:HZQ>HRPσZP*deλQ（P*)0:HZQ<HRPσZP*deλQ（P*)P- a、 s.（20）安第普*[e~nQH]=夏娃λQ- a、 s.（21）证据。设L是（Pσ，S）上所有有界可测r真函数的线性空间，具有逐点加法、实数乘法和逐点偏序L≤ L<=> L- L∈ L+：={L∈ L:P*∈ Pσ：l（P*) ≥ 0}.

我们记得Sis是由Pσ的所有子集生成的σ-代数。设∧是有界变差（Pσ，S）上所有σ-加性符号测度的空间。我们将L和∧视为与双线性形式hl相关联的对偶对，对于L，λi=RPσldλ∈ L和λ∈ ∧，见Aliprantis和Border（1999年，定理13.5）。我们赋予空间L以Mackey拓扑τ（L，λ），这确保了拓扑对偶（L，τ（L，λ））是∧，并且L是桶装空间（Husain and Khaleella（1978），推论II）。二,二,。4).我们定义了一个线性和连续的歌剧t或B：（L）∞, k·kL∞) → （L，τ（L，λ））乘以（Bа）（P）*) := -EP*[H~n]用于P*∈ Pσ。B是连续的，因为对于每一个序列φn→ ~nin（L）∞, k·kL∞), 这是为什么→ B~nin（L，k·kL），其中kL:=supP*∈Pσ| l（P*)|,辛塞苏普*∈Pσ| B（|n）- ν）（P）*)| ≤ k k n- ~nkL∞U和U<+∞ （不平等（1））。因此，在较弱的拓扑τ（L，λ）中，Bаn也收敛。我们定义了函数1，0∈ 路过P*∈ Pσ：1（P*) = 1.∈ IR，0（P*) = 0∈ IR。问题（18）ismax~n∈需求量（单位：英寸），P*∈ Pσ：EP*[~nH]≤埃夫。（22）该约束（22）可以被重写为aseV1+B~n≥ 0<=> B~n∈ L+-eV1。然后，我们可以将问题（18）等效为- pi（Q）=最小值∈L∞N- 等式[~nH]+IR（~n）+IL+-eV（B~n）o.（23）让我们定义函数f（~n）：=-等式[~nH]+IR（~n）和g（B~n）：=IL+-eV（B k）在（23）中。我们想建立Ekeland和Temam（1976）（第三章，等式（4.18））中的f（23）对偶问题：- di（Q）=supλ∈λn- F*（B）*λ) - G*(-λ） o.（24）g isg的共轭函数*（λ） =苏佩尔∈Lnhel，λi- 伊尔+-eV（el）o=supel∈L+-eVhel，λi=supl∈L+hl-eV1，λi=supl∈L+hl，λi-eVZPσdλ=IL*+(λ) -eVλ（Pσ），其中L*+是L+的负双锥。建立ff的共轭函数*（B）*λ） =sup~n∈L∞nhB*λ、 i+EQ[H]- IR（~n）o，我们必须计算hB*λ、 νi，其中B*: Λ → ba(Ohm, F、 P）是B的邻接运算符。

根据B的定义*, 方程hB*λ、 必须满足所有的φi=hλ，Bφi∈ L∞, λ ∈ ∧（见Aliprantis and Border（1999），定义6.51）。因此φ ∈ L∞,  λ ∈ ∧：hB*λ、 νi=ZPσ-EP*[~nH]dλ。因此f的共轭函数是*（B）*λ） =sup~n∈注册护士-ZPσEP*[~nH]dλ+EQ[~nH]o.对偶问题（24）变成-di（Q）=supλ∈λn- sup~n∈注册护士-ZPσEP*[~nH]dλ+EQ[~nH]o- 我-L*+(λ) -eVλ（Pσ）o，di（Q）=infλ∈-L*+nsup~n∈注册护士-ZPσEP*[~nH]dλ+EQ[~nH]o+eVλ（Pσ）o，其中-L*+= {λ ∈ Λ : L∈ L+：hl，λi≥ 0}. 不难看出-L*+= ∧+是（Pσ，S）上的一组有限测度。因此，di（Q）=infλ∈∧+nsupа∈注册护士-ZPσEP*[~nH]dλ+EQ[~nH]o+eVλ（Pσ）o.（25）空间(Ohm, F、 P）和（Pσ，S，λ）forλ∈ λ+是正的有限度量空间。此外，函数f（ω，P*) = H（ω）ZP*（ω） 对于所有人来说，都是可测量的∈ 它代表着所有λ∈ ∧+和所有的∈ RZPσZOhm|HZP*|dP dλk|kL∞≤1.≤ 晚餐*∈PσkHZP*kLλ（Pσ）（1）<+∞.因此，我们可以应用Tonelli定理（Dunford and Schwartz，1988，推论III.11.15），并得出积分阶可以改变，即对于llλ∈ ∧+和所有的∈ RZPσZOhmHZP*νdP dλ=ZOhmZPσHZP*νdλdP<+∞ .因为在（25）中只有元素λ∈ ∧+和∈ 必须考虑R，我们可以改变积分的顺序，得到di（Q）=infλ∈∧+nsupа∈RE[~n（HZQ- HZPσZP*dλ）]+eVλ（Pσ）o.（26）因为∈ R是一个随机试验，是所有试验的上确界∈ 在（26）中的R由φ（ω）=（1:HZQ>HRPσZP）获得*dλ0:HZQ<HRPσZP*dλP- a、 s.如果我们表示HZQ- HRPσZP*dλ=：νλ（ω），对偶问题的值isdi（Q）=infλ∈∧+nZOhmν+λ（ω）dP+eVλ（Pσ）o.（27）这是定理4.8的等式（19）。为了验证强对偶的有效性，我们使用了一个比定理4.5中使用的更弱的正则化条件。

在Borwein和Zhu（2006，定理5）中，证明了如果f和g是凸的和低阶连续的，并且如果存在一些φ，则强对偶成立∈ dom f使得Bа∈ 核心（L）+-eV1），其中core（M）是集合M的代数内部o。如果我们取≡ 0, 0 ∈ dom f，我们必须证明B~n=0∈ 核心（L）+-eV1）foreV>0。从那时起，这就是事实∈ 存在一个s=s（L）>0，这样所有0≤ T≤ s（l）它保持0+tl∈ （L）+-eV1）。我们可以选择s（l）=eV/klkL>0表示L6=0，s（l）=c>0表示l=0，c>0任意，其中klkL:=supP*∈Pσ| l（P*)|.函数f是凸的且下半连续的，因为集合R是凸的且闭的。函数g是凸的，因为集合（L+-eV1）是凸的，并且是低连续的w.r.t.Mackey拓扑τ（L，λ）当且仅当+-eV1）在Mackey拓扑τ（L，λ）下是闭合的。为了证明这一点，我们使用凸集是闭的w.r.t.Mackey拓扑τ（L，λ）当且仅当它是闭的w.r.t.弱拓扑σ（L，λ）。取（l）中的净lα+-eV1）弱收敛于l。因此，对于所有λ∈ λit ho ldsRPσlαdλ→RPσldλ和所有P*∈ Pσ和它包含的所有αlα（P*)+电动汽车≥ 0.假设t存在aP∈ S和aλ∈ λ+与λ（P）>0和λ（Pσ\\P）=0使得l（P*) +所有患者的eV均<0（P*∈ 那么，RPσ（l）（P*) +eV）dλ<0，这是矛盾的*) +eV）dλ=limαRPσ（lα（P*) +eV）dλ≥ 所有λ均为0∈ Λ+. 因为S包含Pσ的一个点子集，所以l∈ （L）+-eV1）。因此，强烈的二元性是正确的。证明所选测量值Q的相关性∈ Q我们分别使用原解和对偶解的符号e~nQandeλqf。解的存在性∈ 在引理4.6中证明了原始问题。现在，由于具有强对偶性，双解λQ的存在性与原目标函数和对偶目标函数在eаQ处的值分别重合。

这就产生了一个必要且有效的临时条件。我们考虑原始目标函数e[~nHZQ]=ZOhm~nHZQdP=ZOhm~nhHZQ- HZPσZP*dλidP+ZPσZOhm~nHZP*dP dλ=ZOhmνν+λ（ω）dP-ZOhmφν-λ（ω）dP+ZPσZOhm~nHZP*dP dλ并从双目标函数中减去它。由于强烈的二元性，在e k Q处的差异必须为零，分别为λQ:ZOhmh1- e~nQiν+eλQ（ω）dP+ZOhme~nQν-eλQ（ω）dP+ZPσheV-ZOhme~nQHZP*dPideλQ=0。这三个非负积分之和为零当且仅当∈ 定理4.8的条件（20）和（21）。为了强调λ是Pσ上的一个度量，我们在定理4.8中使用了no-tationλ（P*).每个Q∈ Q分别存在一个原始解和一个对偶解e~nQ，eλQ。如果Q=eq是（14）的外部问题的解，e~neq是静态优化问题（7）的解。4.4鞍点现在，让我们考虑定理4.5中描述的鞍点问题。用理论4。8.下面是maxq∈Qmin~n∈R{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }=maxQ∈Q{EQ[H]- π（Q）- 好的∈AEQ[-十] }=maxQ∈Q{EQ[H]- di（Q）- 好的∈AEQ[-十] }=maxQ∈Qnmaxλ∈∧+n- EP[（HZQ- HZPσZP*dλ）+]-eVλ（Pσ）o+EQ[H]- 好的∈AEQ[-十] o=maxQ∈Q、 λ∈∧+nEP[HZQ∧ HZPσZP*dλ]-eVλ（Pσ）- 好的∈AEQ[-十] o，X在哪里∧ y=最小值（x，y）。定理4.5允许EQ达到最大值。r、 t.Q∈ Q.定理4.8证明了aeλ=eλeqt的存在性，它达到了最大值。r、 t.λ∈ Λ+. 因此，存在一对（eQ，eλ）解Maxq∈Q、 λ∈∧+nEP[HZQ∧ HZPσZP*dλ]-eVλ（Pσ）- 好的∈AEQ[-十] 现在，我们的主要定理如下。定理4.9。设（eQ，eλ）为（28）中的最优对静态优化问题的解（7）ise~n（ω）=1:HeZQ>HRPσZP*deλ（P*)0:hzq<HRPσZP*deλ（P*)P- a、 s.（29）带EP*[e~nH]=夏娃λ- a、 s.（30）o（e~n，eZQ）是定理M4.5的鞍点（eV，eξ）解决了动态凸套期保值问题（2），（3），其中eξ是修改后的索赔e~nH的超边缘策略。

结果遵循定理4.5、4.8和3.1。备注4.10。由此得出，存在一个[0，1]值的随机变量δ，如定理4.9中的eа（ω）=I{HeZQ>HRPσZP*deλ（P*)}（ω） +δ（ω）I{HeZQ=HRPσZP*deλ（P*)}（ω） ，（31）式中，IA（ω）是随机指标函数，等于ω的一个∈ 一个零，另一个零。δ的选择必须使eа满足（30）。我们没有解决方案eа的唯一性（见备注4.4）。例如，如果我们将δ设为常数，那么方程（30）和（31）将得到一个特定的δ，从而得到一个特定的解e~n。备注4.11。从等式（30）可以看出（eλ仅取零值的情况除外），修改后的索赔额eаH的超边际价格等于资本边界ev。然后，evi是解决动力学问题（2）、（3）所需的最小资本量。总而言之，将凸短缺风险降至最低的可接受策略应支持具有淘汰期权形式的修正索赔eH。参考Saliprantis，C.D。；K.C.博德：有限维分析。柏林海德堡斯普林格（1999）。Artzner，P。；Delbaen，F。；埃伯，J.-M。；Heath，D.：连贯的风险度量。《数学金融》，9,3，（1999），203-228。Borwein，J.M。；朱问：《凸分析中的变分方法》（2006），预印本。Delbaen，F.：一般概率空间上的一致风险度量。《纪念迪特·桑德曼的论文》，第1-37页，柏林斯普林格（2002年）。Delbaen，F。；Schachermayer，W.：套利的数学。柏林海德堡斯普林格（2006）。N.邓福德。；施瓦茨，J.T.：线性算子。第一部分：一般理论。威利，纽约（1988）。埃克兰，I。；Temam，R.：凸分析和变分问题。阿姆斯特丹——牛津：北荷兰出版公司，纽约：美国爱思唯尔出版公司（1976年）。F–ollmer，H。；Leucert，P.：分位数对冲。

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