不完全市场中的凸套期保值

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英文标题：
《Convex Hedging in Incomplete Markets》
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作者：
Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In incomplete financial markets not every contingent claim can be replicated by a self-financing strategy. The risk of the resulting shortfall can be measured by convex risk measures, recently introduced by F\\\"ollmer, Schied (2002). The dynamic optimization problem of finding a self-financing strategy that minimizes the convex risk of the shortfall can be split into a static optimization problem and a representation problem. It follows that the optimal strategy consists in superhedging the modified claim $\\widetilde{\\varphi}H$, where $H$ is the payoff of the claim and $\\widetilde{\\varphi}$ is the solution of the static optimization problem, the optimal randomized test.   In this paper, we will deduce necessary and sufficient optimality conditions for the static problem using convex duality methods. The solution of the static optimization problem turns out to be a randomized test with a typical $0$-$1$-structure.
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中文摘要：
在不完备的金融市场中，并非每一项未定权益都可以通过自筹资金战略复制。由此产生的短缺风险可以通过凸风险度量来衡量，最近由F \\“ollmer，Schied（2002）提出。寻找使短缺凸风险最小化的自筹资金策略的动态优化问题可分为静态优化问题和表示问题。因此，最优策略包括对修改后的索赔$\\widetilde{\\varphi}H$，其中$H$是索赔的报酬，$\\widetilde{\\varphi}$是静态优化问题的解决方案，即最优随机测试。在本文中，我们将利用凸对偶方法推导静态问题的最优性的充要条件。静态优化问题的解决方案是一个具有典型$0$-$1$-结构的随机测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：不完全市场 套期保值 Optimization Mathematical Quantitative

不完全市场中的凸套期保值*2007年4月3日摘要在不完全金融市场中，并非所有或有债权都可以通过自我融资策略复制。由此产生的短缺风险可以通过凸风险度量来衡量，最近由F¨ollmer和Schied（2002）提出。为使短缺的凸风险最小化的自我融资策略提供资金的动态优化问题可以分为静态优化问题和表示问题。因此，最优策略包括修改后的索赔额e~nH，其中H是索赔额的支付额，e~n是静态优化问题的解决方案，即最优随机测试。在本文中，我们将使用凸对偶方法推导静态问题的必要和有效最优性条件。静态优化问题的解决方案是一个具有典型0-1结构的随机测试。关键词和短语：套期保值、短缺风险、凸风险度量、凸性、广义内曼-皮尔逊-勒马杰分类：G10、G13、D81数学学科分类（2000）：60H30、62F03、91B281简介在不完全金融市场中，并非所有未定权益都是可实现的，等价鞅测度不再是唯一的。因此，布莱克-斯科尔斯-默顿模型中的完美对冲不再可能。因此，我们面临着搜索策略的问题，这些策略可以尽可能降低由此产生的短路风险。人们仍然可以使用“超级边缘”策略保持安全。

但从实际出发*普林斯顿大学运筹学与金融工程系，美国新泽西州普林斯顿08544，电子邮件：brudlo off@Princeton。这项工作得到了维也纳科学技术基金（WWTF）P158 89G05的部分支持。从这个角度来看，超级磨边的成本往往太高。出于这个原因，我们认为投资的资本可能低于负债的超高价格。这会导致短缺，通过适当的风险度量，应将其风险降至最低。这个问题已经通过概率（Follmer和Leucert，1999）、损失函数的期望（Follmer和Leucert，2000）和一致的风险度量（Naka no，2003，2004；Rudlo Off，2005）来研究，以量化短缺风险。在我们的方法中，我们使用凸风险度量，即一致风险度量的一般化。与上述问题类似，寻找凸短缺风险最小化的可容许策略的动态优化问题可分为静态优化问题和表示问题。最佳策略包括对修改后的claime~nH进行超边缘化，其中H是索赔的报酬，而e~n是静态优化问题的解决方案，这是一种最优随机测试。本文证明了静态问题解的存在性。我们用Fenchel dua的方法推导出一个关于解的结构的最优随机测试的必要和有效条件。这些结果都是新的，甚至是改进的，当局限于不同的风险度量时，这些结果是由Nakano（2003年、2004年）获得的（见Rudloffe，2006年，第4.1.3节）。本文组织如下：在第2节中，我们陈述了短缺问题的公式，并回顾了凸风险度量的定义。

然后，我们证明了将动态优化问题分解为静态问题和表示问题的可能性。在第四节中，我们分析了静态优化问题。我们证明了一个解的存在性，建立了对偶问题，并证明强对偶性成立。因此，最优解是一个函数的鞍点，具体的第4.2条。为了解决这个问题，我们首先考虑4.3节中的内部问题，并推导出一个扩展的内曼-皮尔逊引理。然后，我们解决了第4.4节中的鞍点问题。静态优化问题的最优解是典型0-1结构的随机试验。2问题的公式d标的资产的贴现价格过程被描述为n IRd值半鞅S=（St）t∈完全概率空间上的[0，T](Ohm, F、 P）带过滤（Ft）t∈[0，T]。过滤应满足通常的条件（见Karatzas和Shreve（1998））。我们写土地∞为了我(Ohm, F、 P）和L∞(Ohm, F、 P），分别。我们捐赠土地∞使用范数拓扑。然后，LCA的拓扑对偶空间可以用L来识别∞L的拓扑对偶空间∞你能和ba打交道吗(Ohm, F、 P）上的完全可加集函数空间(Ohm, F） 有界变化，绝对连续到P（见Yosida，1980年，第四章，9，例5）。设hX，Y为L之间的双线性形式∞还有巴(Ohm, F、 P）：hX，yi=ROhm所有的∈ L∞, 十、∈ ba(Ohm, F、 P）。为了X∈ Lit减少到hX，yi=E[XY]，其中eDenote是关于P的数学期望。LetbQ是所有概率测度的集合(Ohm, F） 关于P是绝对连续的。

问∈bQ我们用eqa表示关于Q的期望，用ZQ表示theRadon-Nikodym导数dQ/dP。一个IRd值半鞅S=（St）t∈如果存在一个IRd值鞅M和一个M-可积的可预测IR+值过程ξ，如St=RtξsdMs，T，则称[0，T]为sigma鞅∈ [0，T]（见Delbaen和Schachermayer（20 06），第14.2节）。设Pσ表示概率测度P的集合*等价于P，使得S是关于P的sigmamatingale*. 由于我们想排除套利机会，我们假设Pσ6=. 更具体地说：当且仅当Pσ6= （定理14.1.1，Delbaen和Schachermayer（2006））。“风险为零的无套利”的概念是对一般半鞅模型中必须使用的“无套利”概念的一种轻微强化。在有限可能性空间的情况下Ohm 如果用“无套利”替换“无免费午餐和消失风险”，用等价鞅测度集P替换集Pσ，则上述断言成立。在IRd值（局部）有界半鞅S的情况下，可以用等价（局部）鞅测度集P（loc）替换集Pσ（见Delbaen和Schachermayer（2006），第9章）。随机变量之间的方程和不等式通常被理解为P-a、 美国的自我融资策略由初始资本V给出≥ 0和一个可预测的过程ξ，结果值processVt=V+ZtξsdSs，t∈ [0，T]定义明确。如果相应的值过程Vt满足Vt，则这种策略（V，ξ）称为可容许≥ 0代表所有t∈ [0，T]。考虑或有索赔。其收益由FT可测量的非负性变量H给出∈ 我们假设*∈PσEP*[H] <+∞.

（1） 上述方程是超边际价格U的对偶特征，最小量Vsuch存在一个可容许策略（V，ξ），其值过程VT满足VT≥ H（见Delbaen和Schachermayer（2006），定理14.5.20）。相应的策略称为索赔H的超边缘策略。同样，在S是IRd值（局部）有界半鞅的情况下，可以用等价（局部）鞅测度集P（loc）替换集Pσ。在完全情形下，等价的西格玛鞅测度P*是唯一的，U=EP*[H] 是未定权益的唯一无套利价格。由于在不完全市场中，超边缘可能非常昂贵（参见Gushchin和Mordecki（2002）），我们寻找投资者可以用较小的数值V<U实现的最佳对冲。换句话说，我们寻找0<V的容许策略（V，ξ）≤EV使短缺{ω：VT（ω）<H（ω）}造成的损失风险最小化，这意味着我们希望将-（H）- VT）+。风险将通过ConverxRisk测度ρ来度量，最近由F¨ollmer和Schied（2002）引入。因此，我们考虑了一个动态优化问题，即找到一个可接受的策略来求解（V，ξ）ρ- （H）- （VT）+（2） 在资本约束下，投入的资本低于超边际价格0<V≤为了方便读者，我们回顾了对流风险度量的定义和一些性质。与F¨ollmer和Schied（2002）相比，其中ρ：L∞→ IR，我们认为在LTH上定义的凸风险度量也可以获得该值+∞ 对于任何不可接受的投资。定义2.1（凸风险度量）。

函数ρ：L→ 红外光谱∪ {+∞} ρ（0）=0是一个凸风险度量，如果它满足所有X，X∈ L：（i）单调性：X≥ 十、=> ρ（X）≤ ρ（X），（ii）翻译性质：c∈ 红外光谱=> ρ（X+c1）=ρ（X）- c、 （iii）凸性：λ∈ [0, 1] => ρ（λX+（1）- λ） 十）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（X）。几乎可以肯定，等于1的随机变量在（ii）中表示为1。假设ρ（0）=0是合理的，并确保ρ（X）可以解释为风险调整资本要求。集合A:={X∈ L：ρ（X）≤ 0}被称为风险度量ρ的接受集。众所周知，每一个下半连续凸风险测度都允许一个对偶表示（参见F¨ollmer and Schied（2002）中的风险测度关于L∞关于一般空间，请参见Ruszczynski和Shapiro（2006）、Hamel（2006）、Rudlo Off（2006））。函数ρ：L→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个低阶连续凸风险测度，当且仅当存在ρ（X）=supQ形式的表示∈Q{EQ[-X]- 苏佩克斯∈AEQ[-eX]}，（4）其中Q:={Q∈bQ:ZQ∈ L∞}. 共轭函数ρ*ρ是非负的，凸的，真的，弱下半连续的，domρ* {-ZQ:Q∈ Q} 和ρ*所有人的满足感∈ L∞与E[Y]=-1ρ*（Y）=supX∈AE[XY]。（5） 备注2.2。L etα（Q）：Q→ 红外光谱∪ {+∞} 成为infQ的功能工程师∈Qα（Q）=0。那么，ρ（X）：=supQ∈Q{EQ[-X]- α（Q）}是一个凸风险度量。函数α称为惩罚函数，ρ*(-ZQ）=：对于Q，αmin（Q）∈ Q是Q上表示ρ的最小惩罚函数（seeF¨ollmer and Schied（2004））。惩罚函数α描述了概率模型Q的严重程度∈ 问：伊斯塔肯。凸风险测度ρ（X）的值是预期损失序列的最坏情况[-十] 减少α（Q），接管所有模型Q∈ Q（F¨ollmer and Schied（2004），第3.4节）。Art zner et al.（1999）和Delbaen（200 2）中介绍的一致性风险度量，是一种额外正齐性的经济凸风险度量。

对于相干风险度量，对偶表示（4）简化为：ρ是一个下半连续相干风险度量，当且仅当存在一个非空的{ZQ:Q的概率度量子集∈eQ}凸与L中的弱*闭∞, 使得ρ（X）=supQ∈eQEQ[-十] 。（6） 如果ρ允许（4）且A为圆锥体，则满足该条件，这意味着supx∈AEQ[-十] =IeQ（Q）是一个指示函数，对于Q等于零∈情商和+∞否则动态问题的分解动态优化问题（2），（3）可分为以下两个问题：1。静态优化问题：找到一个最佳的修正索赔eH，其中e是一个随机测试解min∈Rρ（（ψ）- 1） H），（7）R={~n：Ohm → [0,1]，英尺- 可测量的，补充*∈PσEP*[~nH]≤eV}（8）2。代表性问题：为修改后的claime~nH找到一种超边缘策略。这一想法是由Follmer和Leucert（1999年，2000年）引入的，使用损失函数的预期作为风险度量，并在Nakano（2003年，2004年）中用于一致的风险度量；鲁德罗夫（2005年，2006年）也有类似的说法。我们得到了凸风险测度的以下定理：定理3.1。设eа为极小化问题（7）的解，le t（eV，eξ）为可容许策略，其中eξ为权利要求eаH的s超套期保值策略。然后该策略（eV，eξ）求解优化问题（2），（3），并保持（V，ξ）ρ(-（H）- VT）+=最小值∈Rρ（（ψ）- 1） H）。（9） 证据。设（V，ξ）与V≤这可能是一种可接受的策略。我们将相应的成功率φ=φ（V，ξ）定义为φ（V，ξ）：=I{VT≥H} +VTHI{VT<H}，其中IA（ω）是随机指示函数，等于ω的1∈ A，否则为零。因此-（H）-VT）+=（ν）-1） H.因为VT是一个Pσ-超马氏体（Delbaen和Schachermayer（2006），定理14.5.5）和φH≤ 及物动词：P*∈ Pσ：EP*[~nH]≤ EP*[VT]≤ 五、≤因此，eV∈ R

因此，ρ(-（H）- VT）+=ρ- 1） H）≥ ρ（（e）- 1）H），（10）式中，e~n是静态优化问题（7）的解决方案。考虑可采性策略（V，eξ），其中eξ是修改后的索赔e~nH和V的超边缘策略∈ [eU，eV]，其中eU=supP*∈PσEP*[e k H]是修正索赔e k H的超边际价格（见定理14.5.2 0，Delbaen和Schachermayer（2006））。不等式（10）对于可接受策略（V，eξ）的成功率尤其令人满意。因此，ρ（（η（V，eξ）- 1） H）≥ ρ（（e）- 1） H）。（11） 为了说明反向不等式，让我们考虑一下φ（V，eξ）H=min（eVT，H），其中eVT=V+RTeξsdSs。因为U+RTeξSDS≥ e k H（超边缘）和V∈ [eU，eV]，itholdseVT=V+ZTeξsdSs≥ e~nH+V-欧盟≥ 因此，φ（V，eξ）H≥ 由于凸风险测度ρ是单调的，我们得到ρ（（Ⅴ（V，eξ）- 1） H）≤ ρ（（e）- 1） H）。与（11）一起，我们可以看到φ（V，eξ）达到静态优化问题（7）的最小值。由于（10），我们现在有min（V，ξ）ρ(-（H）- VT）+）≥ ρ(-（H）-eVT）+）。因此，（V，eξ）与V∈ [eU，eV]是在动态优化问题（2）、（3）和等式（9）中达到最小值的策略。备注3.2。如果风险度量允许通过Neyman-Pearson引理直接构造eа（参见F¨ollmer和Leucert（1999）以及F¨ollmer和Leucert（2000）的一些特殊情况），可以看到EU=EV，因为最佳测试达到了界限（8）。在本文的定理4.9，方程（30）中，我们将证明在凸化的情况下，边界也是通过最优检验得到的。因此，最优策略是（eV，eξ）。在下一节中，我们将考虑静态优化问题（7）。为了解决这个问题，我们改进了Rudloff（2006）中使用的方法。4静态优化问题mNow，我们将证明静态优化问题（7）存在一个解，并推导出必要和有效的最优性条件。

因此，我们将构造（7）的对偶问题，对对偶问题的内部问题推导出一个解的结构的结果，然后求解整个问题。4.1生命问题及其解决方案我们假设在本文的剩余部分中，ha将得到满足：假设4.1。设ρ：L→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个较低的半连续凸风险度量，在某些情况下是连续的和有限的（φ- 1） H带φ∈ R.备注4.2。凸风险测度ρ：L→ 红外光谱∪ {+∞} 在其域的内部是连续的（不假设低连续性）（扩展的Namioka定理，见Ruszczynski和Shapiro（2006），命题3.1或Fr ittelli和Biagini（2006），定理2）。特别是，如果ρ（X）<+∞ 对于所有X∈ 五十、 凸风险度量接受表示（4），并且是连续的。但是对于扩展的实值凸风险测度，我们仍然需要下半连续的假设来获得表示（4）。让我们考虑可测空间（Pσ，S），其中S是由Pσ的所有子集生成的σ-代数。我们用∧+表示（Pσ，S）上的有限测度集。我们概述了静态优化问题的求解过程：（i）证明原问题（7）（定理4.3）p=minа的解eа的存在性∈Rρ（（ψ）- 1） H）=最小值∈R{supQ∈Q{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] }}。（ii）通过芬切尔对偶将对偶问题推到（7）：d=supQ∈Q{inf∈R{EQ[（1）- ν）H]- 好的∈AEQ[-十] 证明了强对偶p=d的有效性（定理4.5）。我们得到了对偶解的存在性，并证明了该问题是鞍点问题。（iii）考虑任意变量Q的对偶问题（12）的内部问题∈ Q:pi（Q）：=最大值∈需求量（单位：英寸）。（13） 证明解e k Qto（13）的存在性（引理4.6）。